Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Подстановка этих частных производных вместе с 1у1-' в формулу (14.8) дает ! 1 — 4 6 — 4Ц ! — 8Ез+ 241 з ду 278 г и или '~' = — 0,Ы,+1,Ы., д д =0,751.а — 0,251.м ду Эти два соотношения выполняются в произвольной точке элемента. Наша цель — определить производные в точке (1, 4). Для достижения этой цели следует определить 1.-координаты данной точки.

Используя преобразования координат, можно записать 1=0Е,+ЗС +С.„ 4=01.,+ 2Ь,+61.„ 1 =~т+ ~а+ ~а Решением этой системы являются числа 1 4 ' 1 Ь,=— 8 ° Еа= —. 5 в Подставляя значения Ьз и Ез в формулы для производных, получаем д = 0'бала+ 1'бала= в + в дУ~ 0,5 1,5 5 7 дМ~ 1 ду 16 14.3. Составление матриц элементов Если интерполяционные соотношения содержат Ь-координаты, в уравнениях для элементов появляются интегралы по площади элемента следующего вида: Эти интегралы должны быть определены численно, поскольку матрица Якоби является функцией Е-координат и невозможно получить явное выражение для обратной матрицы.

Некоторые. интег- Элементы еыеокого порядка: треугольник и тетраедр 279 ралы могли бы быть определены с помощью формул, представленных в третьей главе. Однако использование этих формул усложняется тем, что, прежде чем приступать к почленному интегрированию, требуется вычислить произведение матриц [В) т[0! [В!.

Ошибок будет меньше, если эту операцию интегрирования выполнит ЭВМ. Процедура численного интегрирования аналогична той, которая была рассмотрена применительно к одномерному элементу. В работе [11 предложено множество точек интегрирования для треугольника, позволяющее упростить численные расчеты. Расположение точек интегрирования и соответствующие весовые коэффициенты приведены в табл. 14.1. Использование данных табл. !4.1 эквивалентно замене интеграла (14.12) суммой: 1 1-Гаг и ~ ~Г(Ь„1.„Тз)!да([7)!~«.адТя=,~~,й71У(Таа ~а. Ьз)а (14,13) о о г 1 где д((.ь Ть а'.з) включает !бе![а)~.

ПоРЯдок интеРполиРованиЯ определяется суммой показателей степеней трех координат в каждом члене. Например, если интегрируется произведение г.аЕзТ.е, сумма показателей степеней которого равна четырем, следует использовать схему интегрирования четвертого порядка точности из табл. !4.1. Пример 145. Требуется определить интеграл от произведения с сомножителями дФа/дх и д№/ду по площади элемента, рассмотренного в задаче 144. Проверить ответ, применив для вычислений интегральную форму (3.43). Частные производные и матрица Якоби были определены в задаче 144.

Они имеют вид и |г)е1[т! ~ =16. Запишем произведение дУа дУа 3 з 10 3 га ага+ аг аг та дя ду 8 з 8 ' е 8 В этом выражении каждый член представляет собой произведение второго порядка, поэтому при интегрировании можно ограничить- Таблица )4.1 Формулы численного иитегрироваиив длв треугольников Весеэые нозррниеенты Кооовннаты Ош нона Ьз 1/ 1/ 1/ /э й=О(Л3) '/, о '/, 1/3 1/3 0 О 1/3 1/, /з 1/ 1/4 й=О(Л3) й=О(Л') 36/ 31/ и Ь й=О(Л4) 3/ /136 0,11250 0,66!97075 й =0(Лз) 0,06296959 а=0,0596!587 ()=0,47014206 7=0,10128651 Л 0,79742699 1/ 1/ 1/ 3/ 3/ 3/ 3/ 11/ /ы 1/ге /16 '/3 '/з /3 */3 О 1/3 1/ О О /, 1/. 0 0 1 1 0 0 0 1 0 /а /з /з а () () а () а 7 7 Л Л т 7 Эеемеиты высокого лоредка! треугольник и тетраедр 1 Ет=Ез= 2, Е,=о, 1 Е,=Ег = —. о 1 Е,=Е,=— 2 ° Е,=о. Каждая точка интегрирования имеет весовой коэффициент !!з.

Интеграл в (14.13) преобразуется к виду ! ! — !.з УУ ( з,+ 1о Е1 з Е.)~бе!(()~~Е,2Е о о =~~„(Рей',(Еп Е„Е.), е=! где йз(Е, Е Е,)=( — 16 Е,*+ 1, ЕЕз — !6 Е„)~бе!(/1~, или Юз(Ем Ез! Ез)= 6Еа+20Е Ез б~е. так как ~ бе! Я ! =16. точки интегрирования Е!=Ез !!з Ез — 0 и 3 и! = — 6Ез = —. Э Для первой Для других точек интегрирования 3 йт = 2 й!в=2. Подставляя эти результаты в формулу (14.13), получаем 1 1 ! 1 / 3 3 ! ! 2= 6 К+ — а+ — й = — ~ — — — — +2)= —— 6!бе=6~22 / ся схемой второго порядка точности. Координаты точек интегриро- вания: 282 Интеграл от произведения (д№/дхд№/ду) может быть вычислен также с помощью интегральных формул, приведенных в гл. 3.

Используем равенство а~ми Т1Тз~вс(А=(а+ь+с+2)! 24. л В рассматриваемом случае имеем 3 с 3 2! ЗА — — 1. йА= — —,2А= — —, 8 ~ 8 4! 8(6) ' л Я" =+Ф = — '" л — — 1. с(А= —— 3 с ЗА с 8(8) ° л Площадь элемента может быть вычислена с помощью формулы (3.9), что дает А=8. Окончательно получаем Этот результат в точности совпадает со значением, которое было получено численным методом.

В формулы для матриц элементов входят два типа поверхностных интегралов: ц)у)г ()у) 43 ~а ()у)г (3, зс 51 (14.14) где а — коэффициент вида аТ, д или р,. Эти интегралы могут быть очень просто определены с помощью соотношений, представленных в гл. 3. Наиболее просто вычисляется второй интеграл в (14.14), поэтому мы начнем с него. Допустим, что требуется вычислить интеграл ~у[Матс(Я вдоль стороны 1.1 =О квадратичного элемента, изображенного на фиг.

14.3, б. Запишем функции формы ~Ч, О, №=41 Т.„ М,=О, У,=Т.,(21., — 1), Уа=Ц (2Ь, — 1), У, =О. азз Элементы еыеокого лоркдка: треугольник и тетраедр Теперь можно записать интеграл в виде О О (,з(21„— 1),(З ЯЖма ~з(2~з — 1) О ~г1((у)т ~с э Жзз (14,15) где Юззз — длина стороны Ь=О. Толщина элемента предполагается единичной. Окончательный результат получается такой же, как в случае одномерного квадратичного элемента: величина д распределяется по трем узлам элемента в отношении '/з, з1з, '/е. Формулы, аналогичные (14.15), могут быть выведены и для других сторон элемента.

Интеграл ) у[У)тд5 равен уХззез 8 (14.16) "О О О О О О" О О О О О О О О 4 2 — 1 О О О 2 16 2 ΠΠΠ— 1 2 4 О О О О О О О 1з (Р71 т (У) дЗ азоыз (14.17) для стороны г.1=0 кубичного элемента. Югззт — длина стороны, содержащей узлы 4, 5, 6 и 7. Соотношения (14.15) и (14.16) не применимы к осесимметрическим задачам, если рассматриваемая сторона параллельна оси симметрии (всем узлам, расположенным на этой стороне, соответствует одно и то же значение радиуса).

Поверхностный интеграл )л[У1т[У)г(Я вычисляется таким же образом, как (14.15) и (14.16). Запишем окончательные выражения для стороны 11=0 в случае квадратичного и кубичного элел~ентов: Глава И Ц)4)т (й!),(с заиг 64$м (14.18) !озо Соотношения, подобные (14.17) и (14.18), для других сторон за- писываются аналогично. Значения ненулевых коэффициентов не изменяются, меняется их положение внутри матрицы. 14.4. Тетраэдральные элементы Естественная система координат для тетраэдрального элемента вводится почти так же, как в случае плоских 7.-координат. Четыре безразмерных расстояния Ьь 7.ь 7.в и ~л определяются как отношения расстояний от выбранной произвольной точки элемента до одной из его сторон к высоте, опущенной на эту сторону из противолежащей вершины.

Такие Е-координаты называются объемными, они связаны между собой соотношением (14.19) 71+1 +йв+Ев 1 Функции формы для линейного тетраэдра представляют собой объемные 7.-координаты: й!т=(м Л!в=7в Мв=Лв и Л1л=7л. (14.20) Функции формы для элементов высокого порядка могут быть получены из формулы (14.4) с учетом того, что Рв теперь определяются уравнениями плоскостей, проходящих через соответствующие узлы, а не уравнениями прямых, как в случае треугольника. Ниже приводятся типичные функции формы для элементов различного порядка; элементы изображены на фиг. 14.4.

000 0 0 0 0 0 0 000 0 0 0 0 0 0 000 0 0 0 0 0 0 000 о о о о о о о о о о о о 128 99 — 36 19 99 648 — 81 — 36 — 36 — 81 648 99 19 — 36 99 128 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 0 0 0 000 000 0 0 0 000 0 0 0 0 0 0 000 0 0 0 Элементы высокого порядка: треугольник и тетраэдр Фиг. 14.4. расположение узлов в линейном (а), квадратичном (б) и кубичном (в) тетраэдральных элементах. Узлы 17 — 20 расположены на гранях тетраэдра. )квадратичный тетраэдр (1О узлов) Для углового узла (14.21) Л1т =(2л.х — 1) 1.х. Глана И В этом случае плоскость, определяемая уравнением Аз=О, содержит узлы 2, 3, 4, 6, 9 и 10. Плоскость, определяемая уравнением Ег= '/з, охватывает узлы 5, 7 и 8.

Для узла на ребре /г/ =4Ц1 . (14.22) В этом случае плоскость /.з=О содержит узлы 1, 3, 4, 7, 8 и 10. Кубицнгай тетраздр 1'20 узлов) Таблица И.2 Формулы численного ннтегрнронаннн дла тетраадра Коорлвызы точка /.з /.з / з /з /4 /з /з /1=О//гз) Т В а а В В В В а /г=О(/гз)' а =оыюого /з=о,вогоовг а 0,58541020 В=О,!3819660 /1=о<аз) /4 /4 /з '/з г/ г/ /з /з 1/ !/ Ч 3., — нарненнннтлар к граня нанротнн нотного рака. '/з /з % '/а /з /з г/з з/з /з /з г/ 1/ г/ 1/ %а %з %о з/ з/за 287 Эяементы еасокого порядка: треугольник и тетриедр Для углового узла У, = —,' (31., 1) (37.,— 2)1., (! 4.23) Для узла на ребре У, = — '~.,7., (3С !), (14.24) Для узла на грани Уза =27Е,Егере. (14.25) Сравнение формул (14.20) — (14.25) с двумерными функциями формы, данными на фнг.

Характеристики

Список файлов книги