Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Подстановка координатных значений $ и т) вместе с узловыми значениями х и у дает 10 10 4 ! à — 1/2 1/2 3/2 — 3/2~ 20 15 4 ~ 1/2 3/2 3/2 1/2~ 25 30 8 25 или Искомые величины д)Уз/дх и дл/~/ду можно вычислить, если известны производные дМ,/д5 и доз/дз): (! -$) ()-ч) ()+в+а) /р,=— 4 Дифференцируя Мь получаем ду (! — ч)) (2е+ ч) 4 Четырехугольные элементы дЛ'! (1 — 8) (2т1 + $) дт1 4 ВычислЯЯ этн величины в точке $=т/э, т[=т/г, имеем После перемножения матриц получаем д1Ч! !20 дх 8 60 — 20 3(16 8800 8800 илн дМ! 15 дУ! 18 — — — и — =— дх 850 ду 850 15.4. Соотношения, определяющие элементы Чтобы получить соотношения, определяющие элемент, необходимо вычислить объемные и поверхносвные интегралы: [[гье![ ~~В[тД [В[,У ф[[У[г[[1[)г[Ч У а! У [=~~ ит„т(З, (15.22) ае [с!'![= ~ [[т' [г [[т'[ г1'у'.
Замену переменных интегрирования можно сделать с помощью соотношения е['у'= [ г[е1 [[[ [ ЫЫч, (15.23) где !' — толщина элемента. Объемные интегралы в (15.22) приводятся к виду ! ! ~[В[г [д[[В[д =1 ~ ~ [В[ [В[[В[[бе[ИИЧ[1. У вЂ” ! -! (15.24) (' [[у[ [Л![т(1г е ~ ~ [[у[г [ф[ [бе[ [~[ [![я!й у -! -! 305 Четырекугольные элементы О 774бО О 774бО Фнг. )о.з. Точки интегрирования, соответствующие численному интегрированию выражения (У)г [М) по квадратичному элементу. со значениями координат, представленными в табл. 13.2. Расположение точек для квадратичного четырехугольника показано на фиг.
15.9. Применение формул (15.28) требует большого объема вычислений и не иллюстрируется здесь. Процедура расчетов по формуле (15.28) совпадает с той, которая проиллюстрирована в гл. 13. Различие заключается только в большем числе точек интегрирования. Для составления матриц элемента в (15.22) необходимо определить два поверхностных интеграла: Ь ())7)г (Л') г(5 и 1 )гт ()(У)ггБ.
аг зэ (15.29) Вычисление этих интегралов является относительно простой операцией, если элемент ограничен прямолинейными сторонами, но становится более сложным в случае криволинейных сторон. Если стороны элемента прямолинейные, проще всего интегралы в (15.29) вычисляются аналитически. После вычисления коэффициентов матриц они могут быть сохранены в машинной памяти для дальнейшего использования. Рассмотрим линейный четырехугольный элемент, на второй стороне которого (узлы 2 и 3) наблюдается конвективный теплообмен. Вычисление интегралов начнем с вычисления функций формы при 3=1, что соответствует Рассматриваемой стороне.
Вспоминая функции формы (15.4), имеем 4 =О, Осли 4=1, () — $) (( — ч) матриц элемента в случае линейного четырехугольника необходимы четыре точки интегрирования, для кубичного четырехугольника требуется уже 16 точек интегрирования. Эти точки интегрирования располагаются по элементу симметрично в соответствии Глава (в й( (1+4)(1 — Ч) 1 — Ч 4 (1+$)(1+ч) 1+ч 4 2 й,= ('-""+"' =О.
4 Запишем произведение (й()т(Ж): 441)г 1)((1 (15.30) От нуля отличны только те члены, которые связаны с рассматриваемыми узлами. Далее необходимо связать дифференциал длины Ю с дифференциалом переменной интегрирования Нт). Преимущество интегрирования по т) заключается в том, что при этом просто записываются пределы интегрирования. Дифференциалы Н5 и Нт) связаны соотношением гБ = ( де( [л'1 ~ с(ч, (15.31) в котором ~ де114'1 ~ определяется зависимостью 2(+ 1 (15.32) гдето — длина стороны между узлами 2 и 3. Матрица Якоби (У] для данной одномерной зависимости имеет вид а 2 ~Б 1 ап 2 (15.33) Таким образом, имеет место равенство ~де(1.(1~ =Ж/2, и дифференциалы связаны соотношением 4(5 = — '4(Ч.
в:б 2 (! 5.34) О 1 — ц 1+ч 0 -о о о о- О (1-и) (1- в) О О (1 — „) (1+ч)в О о о о о зот Четырехугольные элементы Подстановка выражений (15.30) и (15.34) в (15.29) дает О О О О О (1-~) (1-6') О О (1-ч') (1+~)' О О О О О ! 4 (15. 35р -О О О ОМХ О 2 1 «Ж О 2 1 О 6 О 1 2 О (15.36) ОООО 2 О О 1 О О О О О О О О 1 О О 2 ь ~ (Л!) т ( ь1),1 с а~ 6 (15.37» для стороны, содержащей первый и четвертый узлы. После приведенного рассмотрения вычисление второго интеграла в (15.29) не составляет труда. Используя матрицу функций формы [У1т из (15.30) и соотношение (15.34), находим О (1 — э)) (1+ т1) О О 2 Нэ)= 2 . (15.38) 6 ЛЖТьь 1 О Значения ненулевых коэффициентов в матрицах, получаемых в результате вычисления интегралов (15.29), идентичны значениям, полученным для треугольных элементов.
Соотношения (14.17) и (14.18) могут быть применены и к четырехугольным элементам. Выведенные выше формулы могут быть также использованы для элементов с криволинейными границами, при этом величина Й представляет собой длину дуги рассматриваемой стороны. Этот факт непосредственно следует из соотношения (!5.32), в котором длина дуги у выражается через $ (или т1) с помощью соответствующих функций формы. Отметим, что ненулевые коэффициенты в (15.36) изменяют свое положение в зависимости от того, какая сторона элемента рассматривается. Двойки при этом всегда остаются на главной диагонали, а единицы располагаются вне ее.
Чтобы убедиться в этом, читатель сам может показать, что Глава И 15.5. Прямоугольные призмы Рассмотрим трехмерные элементы, которые принадлежат тому же семейству, что и четырехугольник. Семейство трехмерных призм в координатах $, ть Ь изображено на фиг. 15.10. Функции и узлов 'ПонеОн Кеабра згудла Кубачнмв Фиг. 15.10. Элементы в виде призм для трехмерных моделей. формы для этих элементов приведены только в общем виде из-за большого числа узловых точек. Используя обозначения 1о=15в )о=~лв ~о=Й. (15.39) запишем следующие соотношения для функций формы.
Линейный злелзент (8 узлов) Л в в (1 + ~о) (1 т т)о) (1 +40)' (15.40) Для примера рассмотрим определение, Уь В этом случае, учиты- вая формулы (15.39), имеем Четырехугольные элементы так как $1 —— — 1, т1о= — Ч, ~о= — Ь. Используя эти выражения, получаем для Ут следующее соотношение: Лl = — (1 — !) (! — т1) (1 — ь). Квадратичный элемент (20 узлов) Для угловых узлов лЪ= в (1+!о)(1+Чо) (!+ага)(1о+Чо+ьто 2) (15.4 ) Для узлов на ребрах Ч=~1, 1=~1, (15. 42) Р= 4 ( ~)( +Чо)( +~о). Соответствующие выражения для узлов на других ребрах получаются перестановкой координат. Кубичный элемент (32 узла) Для угловых узлов йЪ= г4 (!+за)(1+Чо) (1+ьа) !9(4 +Ч +ьг) — 19).
(15 43) Для узлов на ребрах — — 3 ° . !в — — ~ 1 (15.44) дав = ~ (1 — 1)'(1т91о) (!+чо)(!+~о). Приведенные выше выражения сводятся к их двумерному аналогу при ~=-ь1. Так как при В=-ь! или Ч= ~-1 двумерные функции формы сводятся к одномерным функциям формы, рассмотренные трехмерные элементы могут быть объединены в один класс с соответствующими плоскими или одномерными элементами.
В случае трехмерных элементов сохранение непрерывности при переходе от одного элемента к другому означает непрерывность по поверхности, общей для двух соседних элементов. Таким образом, функции формы должны быть такими, чтобы неизвестные величины однозначно определялись их узловыми значениями в точках поверхности, общей для двух элементов. Приведенные выше функции формы обладают этим свойством. Процедура составления матриц элемента почти идентична той, которую мы обсудили при рассмотрении четырехугольного элемента. Матрица Якоби теперь имеет размеры ЗХЗ, число точек интегрирования при вычислении величины [В]т(В] равно 2э=8, 27 и 64 соответственно для линейного, квадратичного и кубичного З1О ГЛаВа 1в элементов. При этом предполагается симметрия в аппроксимирую- щем полиноме 1порядок полинома по каждой из координат один и тот же).
Общая форма интегралов записывается как ! 1 1 ~ ~ ~ Н, ть ~) ~ бе1% ~ г)11)иК= †! -! †! в в и = ~ ~ 2, 'Н,Н,.НД,, Ц1 Ц. (15.45) 1=! 1=! з=! Очевидно, что определение матриц элемента в данном случае требует большого объема вычислений. Для получения матрицы 1й!'>1 в случае кубичного элемента должны быть вычислены 64 матрицы каждая размером 32Х32.
Для составления матрицы линейного элемента требуются вычислить 16 матриц размером 8Х8, в случае квадратичного элемента необходимо вычислить 27 матриц размером 20Х20. Поскольку ЭВМ легко справится с такими расчетами, приведенные цифры не должны удерживать от использования квадратичных и кубичных элементов.
Задачи 160. Получите выражения для функций формы Л1з и № квадратичного четырехугольного элемента. 161. Получите выражения для функций формы Л1з и № кубичного четырехугольного элемента. 162. Получите выражения для функций формы четырехугольного элемента, изображенного ниже. К задаче !62. 163. Определите порядок интегрирования, необходимый для численного определения интеграла ) [!!1]т1!ч1езУ в случае элемента из задачи 162. 164. Вычислите частные производные д№/дх и дЛЦду в точке $=з/з, !1= †элемента из задачи 159. Четырехугольные элементы 165.
Вычислите частные производные дУв/дх н дУв/ду в точке $= — '/ы 71= !/в элемента нз задачи 159. 166. Напишите подпрограмму, которая будет вычислять частные производные функций формы по х н у. Зависимость х н у от естественных координат считайте линейной, а для «р используйте выражение (15.11). Координаты (5, т)) точки, в которой вычнсляются производные, должны вводиться в подпрограмму в качестве исходных данных. 167. Проннтегрнруйте численно [У)тп!5 вдоль границы 71= 1 квадратнчного элемента н сравните результат со значением, полученным аналитически. 168. Составьте блок-схему программы численного ннтегрнровання [У]т[У)г()7. Зависимость х н у от естественных координат считайте линейной, для ~р используйте выражение (15.11). ЛОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Соек К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
