Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 42
Текст из файла (страница 42)
После определения х-координаты узла, его у-координата вычисляется по формуле (16.2). Глава 17 ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ГАЛЕРКИНА Уравнения для элементов, которые использовались в главах прикладного характера, были выведены в гл. 5 путем минимизации либо энергии деформации, либо функционала, связанного с рассматриваемым дифференциальным уравнением. Существуют другие способы получения уравнений для элементов.
Преимуществом этих способов является то, что отправной точкой для них служит непосредственно само дифференциальное уравнение и, кроме того, они исключают необходимость вариационной формулировки физической задачи. Один из способов, известный как метод Галер- кина, был предложен в 1915 г. Галеркиным как приближенный метод решения краевых задач. В сочетании с интерполяционными соотношениями метода конечных элементов метод Галеркина весьма эффективен при решении как краевых задач, так и задачи Коши. В этой главе обсуждается применение метода Галеркина к решению дифференциальных уравнений первого и второго порядка.
Эти области приложения достаточно хорошо иллюстрируют реализацию метода Галеркина, а также показывают возможность его применения в других прикладных областях. 17.1. Метод Галеркина Метод Галеркина обсуждался многими авторами. Применения этого метода в сочетании с конечно-элементной моделью рассматривались в работах 12, 3, 6]~. Подробное изложение его содержится также в работе [4~.
С помощью метода Галеркина получается приближенное решение дифференциального уравнения. При этом должно выполняться следующее условие: разность между приближенным и точным решениями должна быть ортогональна функциям, используемым при аппроксимации. Если исходить из дифференциального уравнения Т.и — 1=0 (Т.— дифференциальный оператор) и приближенное решение искать в виде и=Х1У;1Уь то для него будем иметь Т.и — Г=е, где е— остаток или ошибка, поскольку это решение только приближенное.
Мы хотим сделать е малой величиной, насколько это возможно. При использовании одного из способов сделать е как мож- 324 Глава ГГ но меньшей величиной требуется выполнение равенства УвЫ)г= =0 для каждой из базисных функций Уь Это равенство математически означает, что базисные функции должны быть ортогональны ошибке по области )т.
Применение метода Галеркина в сочетании с методом конечных элементов приводит к уравнениям ~ УаРф) Я=о, р=(, 1. А,.... (17.1) где <р — искомая величина, которая аппроксимируется соотноше- нием ф=!Лг„)Ч,, У„...) (Е), (17.2) а ллр — дифференциальное уравнение, определяющее ф. Пусть авф Иф 7,(Ч>) = †„~ + 3 „ф + 4= О, ф(0)= 1, ~р'(0)= О, тогда формула (17.1) принимает вид ~ Фа ( — „ф +3 — „+4)ах=О. о Верхний предел интегрирования равен длине одномерной области, в которой ищется решение. Высший порядок производных, которые могут содержаться в 1,(ф), не ограничен, он определяется физическим смыслом задачи.
Однако высший порядок производных, который допустим в (17.1), на единицу больше порядка непрерывности интерполяционных соотношений. Так как все интерполяциониые соотношения в этой книге нулевого порядка непрерывности (непрерывна ф, но не ее первая производная), в уравнения (17.1) могут быть включены производные порядка не выше первого. Это ограничение может вызвать некоторые сложности, но большинство из них можно преодолеть сокращением порядка Е(ф), используя интегрирование по частям.
17.2. Изгиб балки Уравнение упругой линии балки й~у М авв Е! (17.4) служит удобной отправной точкой для данного обсуждения; оно описывает одномерную задачу, и, кроме того, это одно из уравнений, которые наиболее часто рассматриваются инженерами. На- Вывод уравнений для элементов методом Галеркина 325 (ж) (' — "", — В(-)( =О. о (17.5) Интерполяционная функция для у определена на отдельном элементе, поэтому уравнение (17.5) должно быть переписано в виде суммы ,~~ ~~ (й(~ )1 ( "',"; — ~', )дх, (17.8) (е) где Я вЂ” число элементов, а Е(е) — длина отдельного элемента. Прежде чем начинать вычисления, необходимо выбрать функции формы 1(т((е)~ и преобразовать интеграл (17.6) таким образом, чтобы он содержал производные порядка не выше первого.
Ограничимся линейной моделью для йч у=У,У +й( У = 1 — л л — ' =(Ф(е)1(У). (17.7) Момент М вЂ” функция длины элемента, величина М!Е1() может быть аппроксимирована также с помощью линейной модели: (17.8) Интеграл (1)1(е))т ( у (1 ( (е) преобразуем путем интегрирования по частям, что дает х; ь(е) (Фе))т — ", ((х=(Л((е)1т —" ~ — ( д(л("1 У ((х. (17.9) х ь(е) ') Эта величина представляет собой кривизну балки. — Прим, ред. помним, что М вЂ” изгибающий момент в произвольной точке х балки, Н см, Š— модуль упругости, Н/смв, 1 — момейт инерции сечения, см', и у — прогиб балки, см. Будем предполагать, что М вЂ” известная функция координаты х, тем самым М)Е1 будем считать заданной величиной. Применение метода Галеркина к уравнению (17.4) приводит к соотношению 326 Глава 17 Подставляя (17.9) в (17.5), получаем в качестве исходного уравнения соотношение х,.
!)у< )]т у ) ( ! 4Ф )! у + р~)е)]™ 1)ееХ=О. (17.10) Е( У х, 'ъЛе) Первое слагаемое в интеграле (17.10) представляет собой матрицу коэффициентов элемента [Й<е)1 в уравнении ]Ь(е)] (у) — ())е!) (17.11) После суммирования по элементам второе слагаемое в интеграле (17.10) будет соответствовать вектор-столбцу (Р). Член вне интеграла в (17.10) вносит вклад в вектор-столбец (Р) при условии, что производная е(у/дх (наклон) определена на каждом конце элемента. Этот член не учитывается, если ничего не известно о наклоне в узловых точках.
Вычислим интегралы в (17.10): ]])!]т а их е)х — = — !У] (У) = — [ — 1 1] Ыу 1 кх лх '(у 1' е — )е~ ее е,=( ' [ ~]~ — 1 1)(е') е» о 'о У или дх= — ' . (17.12) о Верхний индекс (е) отброшен, так как рассматривается отдельный элемент. Интегрирование выполняется в пределах от нуля до Е, так как функции формы в (17.7) выражены в местной системе координат с центром в )-м узле. Š— длина элемента.
Для второго интеграла имеем Г„~л~ "е,=~~в~ ~е~( ~е~~ )е,= ' [ ]( е ) )1еле) о о Применение полученных соотношений иллюстрируется на следую- щем примере. Вывод уравнений длл элементов методом Галеркина 327 Пример 170. Консоль длиной 150 см жестко закреплена в точке х=О и подвержена действию сосредоточенной силы величиной 4500 Н на свободном конце. Изгибная жесткость сечения Е1 равна 8,5 !Ов Н/смз. Требуется определить прогиб консоли в шести узловых точках, расположенных на равном расстоянии друг от друга. Разбиение области на элементы, а также эпюра изгибающего момента показаны ниже.
Значения величины М1Е! в узлах даны в следующей таблице: М/Е1 Узел мте/ — 0,000794 — 0,000636 — 0,000476 -0,000318 — 0,000169 0,0 4500Н 67500 Н см К задаче 170. Е1=86 !О' Н смз; длина каждого элемента 30 см. Запишем уравнения, соответствующие первому элементу: — 1 1 — 1 1г! 30 2 1 М17Е1 к 1 —— — о После ни" д и член в левой части уравнений исчезает, поскольку и точке х=О угол поворота равен нулю.
Этот член ие появляется в других уравнениях, потому что ничего не известно об угле по- 328 Глава Гх ворота ни в одной из других узловых точек. Коэффициенты в уравнениях для остальных элементов остаются теми же самыми, так как все элементы имеют одинаковую длину. В результате суммирования матриц элементов получаем следующую систему уравнений: + 150 или 1 — 1 — 1 2 — 1 — 1 2 — 1 — 1 2 — 1 — 1 2 — 1 — ! 1 Последняя система уравнений может быть решена без обращения матрицы, потому что У1=0.
Из первого уравнения Ух — 1; =0,33345 получаем У,= — 0,33345. Второе уравнение теперь может быть решено относительно Ув, третье — относительно Ув и т. д. Таким образом, для У могут быть записаны рекуррентные соотношения. Определяя и как глобальную степень свободы, будем иметь — У„х+2ӄ— У,=Р„, и ) 2, или У„+х — — 2ӄ— У„х — Р„, и > 2.
1 — 1 — 1 2 — 1- — 1 2 — 1 — 1 2 — 1 — 1 2 — 1 — 1 1 у, ! 2 у !в Ув !в 2 1 1 4 1 1 4 1 141 1 4 1 1 2 (у у; у у у 1в — 0,000794 — 0,000635 — 0,000476 ! — 0,000318 — 0,000159 0,0 0,33345 0,57155 0,42855 0,28605 ' 0,14310 0,02385 ззо Глава 17 можно записать (17.16) Теперь первое слагаемое в объемном интеграле преобразуется к виду [М)т ~~ с[11=~ д ([й1)т — '>> )>[[' ~ д[>у[ ду Л'. (17.17) дх дх у' По теореме Остроградского — Гаусса имеем ~ — '(~цт д'у ) г[ =~'[[у)т дч' 1,[З. (17.18) У 3 Точно так же можно преобразовать интеграл Ф [[>7)т ~'Р,[)> Объединяя соотношения (17.17) и (17.18) с аналогичными соотношениями для приведенного выше интеграла и учитывая, что >Л'=ИА и Ю=ЫЯ'„ уравнение (17.15) можно переписать в виде )[ ! (д х+ д У) — ~" ( — — + — — — [й[[т д) [А=0. (17.19) Р 1 д [>>>] д»> д [>У'1 д>> ,) 1 дх дх ду ду А Здесь предполагается, что толщина элемента 1 равна единице.- Поверхностный интеграл в (17.19) может быть выражен через величину д>р>дп, где п — внешняя нормаль к поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
