Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 40
Текст из файла (страница 40)
О., Сопсеры апо' Аррйсапопв о1 Ршне Е!ешеп1 Апа!ув!в, %!1еу, Х. У., 1974. 2!епк!еччсв О. С., Тье Р!ппе Е1ешеп! Ме1йоо ш Епя!пеет!пя Зс!епсе, МсбтачгН!!1, Ьопйоп, 1971; есть русский перевод: Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике, иэд-во «Мир», М., 1975. Глава 16 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА. МАШИННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ В гл. 13 — 15 обсуждались общие свойства элементов высокого порядка. Был рассмотрен только один пример использования этих элементов, а именно в задаче о переносе тепла в стержне был применен одномерный квадратичный элемент.
Вопрос о том, как выполнить надлежащие расчеты с помощью ЭВМ, не обсуждался. Настоящая глава завершает рассмотрение элементов высокого порядка. Здесь будет описана машинная реализация указанных элементов, приведены три конкретных примера, а также будет показано, как определить координаты узлов, расположенных на криволинейных границах. 16 1. Машинная реализация Вычисление матриц элемента в случае использования элементов высокого порядка требует выполнения большого числа арифметических операций, которые проще всего проводить с помощью быстродействующей цифровой вычислительной машины.
Последовательность выполнения операций не зависит от типа элемента. Общая блок-схема вычисления матриц элемента представлена на фиг. 16.1. Рассмотрим основные этапы вычислений по этой схеме. Отправной точкой в расчетах является выбор точек интегрирования и весовых коэффициентов для численного интегрирования. Число точек интегрирования зависит от порядка интерполяциоииого полинома, который в свою очередь определяется тем, какой элемент используется при построении дискретной модели.
Информация о типе и порядке (линейный, квадратичный, кубичный и т. д.) элемента должна быть введена в ЭВМ до того, как начнется вычисление матриц элемента. Эта информация обычно вводится вместе с номерами узлов элемента. Порядок элемента должен быть определен при задании геометрии элемента и прн интерполировании искомой величины по ее узловым значениям. Значения координат точек интегрирования и весовых коэффициентов вычисляются в отдельной подпрограмме.
Правильные значения этих величин для рассматриваемого элемента получаются при использовании ряда условных операторов 1Р, определяющих тип элемента (треугольный, четырехугольный и т. д.) и его Выбор аиу/ек инмегрироы/ник и веселил конрфиииенмов И'С Вололнение [А"/] и [/га/] нулями Цокл КК=/,К Вычисление [1]. [О]н и ]Во/[У]] т Вычисле/в/е /рунк//ио ФОРям о ил лроовво/]авве Ввн/веление . [В],[В]' [В] [В], [В]э [В][в,] и и д Цикл ~=1, КВ [/"']=[/"']+[В] [3][е ]а]Ре/ И ]'/уС Цикл .7=!, нк [Ам/в[ки1] [В]т[р] ]В] ь [//е1 [Х]]:" И с [КК] Фиг. 16.1, Блок-схема численного определения матриц элемента. К вЂ” число точек интсгрированин; НК вЂ” число строк и столбцов в матрицах; П вЂ” порядок злэмснта полкнома, использусмыа длн задания формы элемента; // — порядок элемента, используамыа при онрсдслснни узловых наиэмстров, Глава 16 порядок. Необходимо также сохранить для основной программы величину, соответствующую числу точек интегрирования, так как эта величина потребуется в качестве параметра цикла, в котором выполняется численное интегрирование.
Составление матрицы Якоби, обратной к ней матрицы и вычисление ее определителя составляют первый этап работы цикла, в котором вычисляются коэффициенты матриц элементов. Необходимые для составления матрицы Якоби частные производные вычисляются в подпрограмме, которая определяет как функции формы /?о так и их производные д/?;/д$ и д/?;/дц. Выбор соответствующего множества функций формы осуществляется с помощью условных операторов 1Р, устанавливающих тип и порядок элемента.
После того как вычисление матрицы Якоби завершено, нужно решить, какими функциями формы будем пользоваться для интерполирования величины у. Будут ли это те же самые функции формы, которые использовались для получения матрицы Якоби, или они будут другими? Если это те же самые функции формы, т. е.
элемент изопараметрический, то Мь дМ;/д$, дМ;/дп и т. д. совпадают с 1?ь д/?;/д5 н т. д., использованными для получения матрицы Якоби, и можно приступить непосредственно к вычислению частных производных дМ~/дх, дМ;/ду и дМ;/дг. Если интерполяционный полипом для ~р отличается от полинома, который применялся для задания формы элемента (субпараметрический или суперпараметрический элемент), то необходимо вычислить Мь дМ;/д$, дМ;/дц и т.
д., прежде чем приступить к следующему шагу. Частные производные по координатам х, у и г определяются в подпрограмме, которая выполняет умножение вектор-столбца, содержащего дМ;/д$ и т. д., на матрицу Якоби. Зная частные производные, можно построить матрицу градиентов [В)~ и вычислить все подынтегральные выражения, такие, как [В)т[1?) [В), [В)т[Р](ео). Элементы матриц [й<'Г) и (/<'~) теперь, получаются умножением соответствующих значений подынтегральных выражений на весовые коэффициенты н сложением полученных вели. чин с результатами аналогичных операций, уже выполненных для других точек интегрирования. Поскольку [Ам~) и (/ьч) получаются путем суммирования, элементы этих матриц должны быть приравнены нулю перед началом работы внешнего цикла.
Для определения результантов элемента необходимы частные производные дМ;/дх н т. д. Поэтому процедура вычисления этих величин включает многие из тех расчетов, которые производятся при составлении матриц элемента. Результанты элемента могут быть вычислены в точках интегрирования илн в любых других точках внутри элемента.
Координаты точек, отличных от точек интегрирования, должны быть указаны для каждого элемента. Элементы высокого порядка. Маииигнаи рваливат!ии 3!о 16.2. Примеры применения В этом разделе обсуждается решение трех задач, рассмотренных ранее. Будут рассмотрены кручение стержня с поперечным сечением в виде квадрата, распределение температуры вблизи кабеля, а также распределение напряжений в области выточки.
Каждая из этих задач была решена ранее с использованием треугольного симплекс-элемента. Мы сравним результаты, полученные с помощью элементов высокого порядка, с данными, которые получаются при использовании симплекс-элементов. 16.2.1. Кручение стержня квадратного сечения В гл.
7 были найдены сдвиговые напряжения в стержне квадратного сечения со стороной 1 см, подверженном действию крутящего момента величиной 196 Н см. Из соображений симметрии рассмат,ривалась часть стержня .в виде прямоугольного треугольничка, который разбивался на 64 элемента с 45 узлами. Было ~получено максимальное значение т,„=915 Н/смг, которое отличается от теоретического максимума 945 Н/ом на 3,2%. Задача о кручении стержня была решена дважды путем разбиения исходной области на кубичные треугольные элементы.
В обоих случаях для задания о формы элемента использовались линейные функции формы для треугольника. В первом случае для разбиения применялся только один элемент (фнг. 16.2, а), во втором случае область ~разбивалась на иетцре элемента (фнг. 16.2,б). В обоих случаях наибольшее сдвиговое напряжение было получено в вершине прямого угла исходной треугольной области. В одноэлементной модели максимальное значение т„, равно 890 Н/см'. Это значение практически совпадает со значением, полученным при использовании 64 316 Глава !б симплекс-элементов (892 Н/см') до применения теории согласованных результантов элементов. В случае разбиения области на четыре кубичных треугольных элемента максимальное значение тгв равно 929 Н/см'. Эта величина только на 1,7% меньше теоретического максимума 945 Н/смв. Фиг. 16.3.
Значения напряжения тха в отдельных точках области (напряжение тт' вычислялось в узловых точках). 0=8 1О' Н/см', О =1' иа !00 см, 26 0 = =279! Н рад/см'. При использовании элементов высокого порядка исчезает необходимость в применении теории согласованных результантов элементов, потому что результанты элемента теперь являются функциями координат и могут быть вычислены в произвольной точке.
На фиг. 16.3 представлены значения т,„в точках, расположенных на границах элементов. Заметим, что точкам, которые являются общими для двух и большего числа элементов, соответствует несколько чисел. Эти числа могут существенно отличаться по величине. То же самое наблюдается при вычислении любой другой величины, зависящей от производных искомой функции. Последнее обстоятельство указывает на то, что в точке, общей для смежных элементов, поверхность, соответствующая искомой функции, имеет по разным направлениям различные углы наклона. Полученные значения можно уточнить, если использовать при разбиении области элементы меньших размеров.
Главное отличие, которое получается прн вычислении результантов элемента с использованием симплекс-элементов и элемен- з1т Элементы высокого порядка.Масиияяая реализация тов высокого порядка, иллюстрируется на фиг. 16.4, где показано изменение величины т,„вдоль оси х.
При использовании симплекс- элементов напряжение получается постоянным в каждом элементе, что соответствует ступенчатому изменению напряжения при переходе от одного элемента к другому. В случае применения теории согласованных результантов распределение тр, получается не- /000 500 ° 400 ьь ы 0.25 05 Фиг. !6.4. Распределение по оси х значений тем вычисленных тремя различными методами. — снмплехс-элементы; — — — — сеглесананные напряжения; — ° — четыре нубнч- нмх треугольных елементл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
