Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Уравнение (17.43), видимо, более широко применяется, хотя (17.42) будет давать для (Ф); значения, почти идентичные тем, что получаются с помощью (17.43). Как показано в работе (1), использование уравнения (17.43) дает для (Ф), значения, которые меньше осциллируют, чем в случае решения исходной системы (17.37) разностным методом, рассмотренным в гл. 11. Вектор (Р) в (17.37) может изменяться со временем, В этом случае его нужно вычислять для каждого временного шага и уравнения (17.42) и (17.43) должны быть видоизменены. 339 Вывод уравнений длл элементов методом Галернина 17.6.
Заключение Сочетание метода Галеркина с кусочной аппроксимацией метода конечных элементов является чрезвычайно эффективным способом решения многих дифференциальных уравнений. Несколько примеров, связанных с техническими расчетами, были обсуждены в этой главе. Метод Галеркина, безусловно, получит широкое распространение благодаря тому, что он позволяет обходиться без вариационной формулировки задачи. Задачи 172, При осевом нагружении некоторого элемента конструкции его перемещения описываются следующим дифференциальным уравнением: ейт ' Р— — — =О, дн АЕ где и — перемещение, см; Р— осевая нагрузка, Н; А — площадь сечения, см', Š— модуль упругости, Н/смз. Получите матрицы элемента для этого дифференциального уравнения, считая величину Р(АЕ постоянной. 173.
С помощью матриц элемента, полученных в задаче 172, вычислите узловые перемещения для детали конструкции, изображенной ниже. Используйте два элемента равной длины. Е-га107 Икаем А доне К задаче !73. 174. Определите матрицы элемента для дифференциального уравнения в задаче 172, если величина Р7АЕ меняется линейно от одного узла до другого. Используйте результаты решения задачи 108, рассмотренной в гл. 12.
175. Выведите уравнения для элемента, соответствующие дифференциальному уравнению (17.28). Используйте элемент с тремя узлами (квадратичный). С помощью выведенных уравнений решите исходную задачу Коши для интервала 0(1(1. Глава 17 176. Используя линейный интерполяционный полипом, получите уравнения для элемента, соответствующие дифференциальному уравнению первого порядка: — +ау+Ь=О, ау ат где а и Ь вЂ” заданные константы, а у(0) известно. 177. Используя результаты, полученные в задаче 176, решите одно из следующих дифференциальных уравнений.
Сравните результаты с теми, что дает аналитическое решение. а) у'+Зу=О, у(0)=4, 0<1< 1; б) у' — 4у+2=0, у(0)=1, 0(1( 1; в) у'+2у — 1=0, у(0)=З, 0<1< 1/2; г) у' — бу — 6=0, у(0)=0, 0 < г( 1. 178. Решите задачу 176, применяя следующие элементы: а) квадратичный интерполяционный полипом; б) кубичный интерполяционный полипом. Решите одно из уравнений в задаче 177. 179. Выведите уравнения для элемента, соответствующие дифференциальному уравнению второго порядка: — + а — „+ Ьу+ с=О, где а, Ь и с — заданные константы. Для у используйте линейный интерполяционный полипом.
180. Используя результаты, полученные в задаче 179, решите следующие уравнения: а) у" — Зу'+4у=О, у(0)=у'(0)=1, 0<1< 1/2; б) у" — 2у+1=0, у(0)=2, у'(0)=0, 0<1( 1/2; в) у"+у' — 6=0, у(0)=0, у'(0)=З, 0(1< 1/2. ЛИТЕРАТУРА 1. Ьгопеа 1., Оп 1Ле Ассигасу о! Р!пне Е!егпеп! Яойнйпв 1о йе Тгапыеп1 Неа1- Сопдисноп Евана!!оп, 1агета. 1. /от !/итет!са! Ме!Лог!з !а Еау!певппу, 8, 103— 110 (1974). 2. Матин Н.
С., Сагеу О. Р., !п!гадис!!оп 1о Р!ппе Е!егпеп1 Апа!увгв, Мсбгачг-НИ!, ЛЬ У., 1973. 3. Ыогг!е О. Н., аеУИев О., ТЛе Р!пне Е1егпеп1 Мейод, Асааегп1с Ргевв, ЛЬ г'., 1973. 4. Во1«опйон 1. 5., Майегаацса! ТЛеогу о1 Е1авпсИу, 2-пг) ед., Мсбгаи-НИ!, ЛЬ У.. 1956. 3. ВзаЬо В. А., Ьее О. С., Вегнча1йп о1 8!!!!пеев Ма1псез (ог Ргоыегав !п Р!апе Е!аз1!спу Ьу Оа1егЫп'в Мейой, 1а!ета, 1. /от !/атпет(са1 Мейоиз ва Еауваеетту, 1, 301 — 310 (1969).
б. Е!епЫечг!сх О. С., ТЛе Р!ппе Е!еп1еп! Ме!Лоо !п Епя)пеег!пя Зс(епсе, МсСгаигНИ1, Ьопдоп, 1971; есть русский перевод: Зенкевич О., Метод конечных влементов в технике, изд.во «Мир», М., 1975. Глава 18 УЧЕБНЫЕ ПРОГРАММЫ Во всех предыдущих главах подчеркивалась необходимость машинной реализации метода конечных элементов.
Очевидно, что метод конечных элементов не пригоден для проведения расчетов вручную. В этой главе будут рассмотрены некоторые программы, которыми следует пользоваться при изучении материала, представленного в гл. 2, 6 и 8 — 12. Настоящая глава не должна рассматриваться как последняя глава этой книги. Изложенный здесь материал нужно использовать в качестве приложения при обсуждении конкретных применений метода конечных элементов.
Программы, приведенные в этой главе, далеки от тех сложных программ, которые могут решать самые различные задачи. Они не. предназначены для того, чтобы конкурировать с имеющимися стандартными программами. Эти программы преследуют только учебные цели. Такие несложные программы весьма желательны с учебной точки зрения, так как они сокращают до минимума классное время, требуемое для объяснения ее работы. Перечислим некоторые характерные особенности, которые приводят к упрощениям в программе: 1. Используются элементы только одного типа — линейные треугольники. 2. При разбиении области на элементы характеристики материала каждого элемента предполагаются одинаковыми. 3.
Главные оси инерции параллельны координатным осям х, у. 4. Каждая программа решает только однотипные задачи, например задачу о кручении упругого стержня, двумерный случай переноса тепла, двумерные течения жидкости или двумерные задачи теории упругости.
5. Редко встречающиеся варианты счета исключаются. 6. Программы мало отличаются между собой в отношении требуемых исходных данных и организации их ввода. Даже в том случае, когда разнообразие вариантов счета в программе сведено к минимуму, методика программирования включает такие характеристики, которые делают эффективным использование этих вариантов. Все коэффициенты системы уравнеяий [К)~(Ф1= (г) хранятся в машинной памяти в виде отдельного вектор-столбца, Такой способ исключает необходимость заранее проставлять размеры отдельных компонент (К1, (Ф1 и (г) н зна- Глава 18 чительно сокращает число ошибок, совершаемых неопытными пользователями. Относительное расположение [К], [Ф1 и (г1 в указанном вектор-столбце показано на фиг.
18.1. В программах учтено также, что результирующая алгебраическая система уравнений имеет матриФиг. !8.!. Относительное расположение Щ, (Ф1 и (Г1 в вектор-столбце. цу ленточного типа, поэтому в эту главу включен ряд подпрограмм, выполняющих различные операции над матрицей [К]. Каждая программа построена на основе блок-схемы, представленной в гл. 7. Специальные программы, включающие некоторые модификации, обсуждаются в связи с каждой прикладной темой. Ввод исходных данных' для элементов осуществляется в том же формате, в каком эти данные перфорируются программой О111П после завершения ее работы. Это позволяет исключить еше один источник ошибок при формировании исходных данных.
Представленные здесь программы написаны для ЭВМ с минимальными запоминающими устройствами. Исходные данные элементов не хранятся в машинной памяти, а вводятся вновь, если необходимо вычислить результанты элемента. Тот, кто имеет дело с ЭВМ, обладающей большим по объему запоминающим устройством, может считать более удобным хранить информацию об элементах в машинной памяти. Написать программу можно несколькими способами.
Эта глава содержит только те программы, которые являются результатом работы самого автора по созданию ряда учебных программ, основанных на методе конечных элементов. Каждый пользователь может по желанию модифицировать эти программы в соответствии с его учебными или исследовательскими целями, а также с учетом возможностей ЭВМ. Следующие программы написаны на алгоритмическом языке ФОРТРАН 1Ъ' [2]. 18.1. Й]х10 Неверно составленные исходные данные для элементов — главный источник ошибок при использовании программ, основанных на методе конечных элементов.
Обработка исходных данных также требует затрат времени. Существуют программы, которые ав- Учебные лрогламмы томатическн вырабатывают исходные данные элементов. Эти программы построены на различных принципах, но все они служат одной цели: размещают узловые точки внутри рассматриваемой области и затем разбивают область на элементы.
Окончательным результатом их работы является вывод на перфорацию номеров узлов элементов и координат этих узлов. Программа СчК!Р вырабатывает исходные данные элементов для,представленных в этой главе программ, основанных на методе конечных элементов. Для конструирования дискретной модели рассматриваемого тела в СзК!Р используется семейство четырехугольных зон с восемью узлами (квадратичные четырехугольники). Эта программа может моделировать двумерные области, которые составляются из прямоугольников и треугольников, границы которых могут быть описаны кривыми второго порядка. В программе осуществляется нумерация узлов элементов и вычисляется величина (Я+1), используемая для определения ширины полосы ленточной матрицы.
Не пытайтесь минимизировать Я за счет перенумерации узлов. Минимизация ширины полосы ленточной матрицы и связанные с этим программы обсуждаются в работе [11,. 18 1.1. Четырехугольная зона В программе ОК1Р для предварительного разбиения на зоны могут применяться только квадратичные четырехугольники. Этот элемент, однако, обладает значительной гибкостью: может использоваться в качестве прямоугольника, четырехугольника общего вида или треугольника (фиг. 18.2). В последнем случае две стороны четырехугольника используются для задания одной стороны треугольной зоны. Восемь узлов, определяющих зону, нумеруются, как показано на фиг. 18.2.
Узлу 1 всегда соответствуют координаты $=ч1= — !. Заметим, что один из угловых узлов (узел 5 на фиг. 18.2) всегда будет на гипотенузе треугольной зоны. При рассмотрении каждой четырехугольной зоны выполняются пять основных операций; 1. Согласно введенным исходным данным, определяется число строк и столбцов узлов. 2. Делается проверка, нет ли среди граничных узлов таких, которые уже были пронумерованы ранее. Если такие узлы есть, то за ними сохраняются номера, которые им были приписаны раньше.
3. Узлы нумеруются последовательно, начиная от точки с координатами $= — 1, т1=+! и двигаясь слева направо (при изменении $ от — 1 до +1) и сверху вниз (при изменении т! от +! до — 1). Все узлы, пронумерованные раньше, пропускаются. 4.
Номера всех граничных узлов сохраняются для последующих рассмотрений соседних зон. Глава 18 5. Зона делится на треугольные элементы. Каждому элементу приписывается определенный номер. Вычисляется величина ()я+1), которая сравнивается с наибольшим значением ()с+1), полученным в предыдущих расчетах. Фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
