Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В результате имеем А А [Цт — У >[И 0 (17 20) Ю Первый интеграл в (17.20) вносит вклад в матрицу (й'>), второй — в вектор ()и>) из уравнения Р>н>) (>у) =(1<'>). Третий интеграл участвует в образовании обеих величин [а>в>] и (Г'>). Очевидно, если дгу[дп обращается в нуль на границе, то третий интеграл исчезает, Вывод равнений для элементов методом Валеркина 331 Неизвестная функция ~р в уравнении (17.20) определяется соотношением у=[У[ [Ф), так что и — р = — [М[ [Ф).
ду ду — = — [У[ [Ф) д~р д дк дк Подставляя полученные формулы в первый интеграл (17.20), имеем (д[У1 д [У[ + д[У) д [И[ 1 ~4 )Ф) [ дк дк ду ду ) что соответствует выражению ~[В[ [В[ [А)Ф) А (17.21) — — ~ ('Р, — $се) ° д~р (17.23) где у,— температура границы тела, а у — температура окружающей среды. Температура внутри элемента дается соотношением ~у=М,Фв+ МтФт+ ЛтвФл, (17.24) откуда имеем для точек поверхности фэ =ОФт+ ЛвФэ+ 1 вФл (17.25) для задач теории поля. Третий интеграл в уравнении (17.20) заслуживает более детального рассмотрения, поскольку образует конвективную матрицу в задаче о переносе тепла. Предположим, что мы имеем ряд треугольных элементов вдоль вертикальной границы, как показано на фиг.
17.1 (эта граница выбрана только из соображений простоты), и хотим вычислить интеграл дчэ (17.22) Ж вдоль этой границы. Поток тепла вдоль границы соответствует тепловым потерям, вызванным конвективным теплообменом, и представляется величиной зз2 Глава 17 так как вдоль рассматриваемой границы А~ ††О. Теперь для теплового потока получаем следующее выражение: Ф, — =И(~р,— ~р )=71(0 Ла Еа) Ф; — гнр .
(1726) Ф„ ~- — =ь(1а -1э ) Фнг. 17.1. Поток тепла на границе элемента. Подстановка (17.26) в (17.22) дает ~~И)г еИ=Ь ~(У)~ Щ [Ф) г(М ~~Р7)г 7нр е(Ж (17 27) Я' Ю Ж где У=10 Еа Еа]. Выполняя интегрирование в (17.27) с помощью плоских А-координат, приходим к результатам, идентичным тем, что получены в гл. 8. Использование метода Галеркина непосредственно приводит к слагаемым, которые в вариационной формулировке должны быть добавлены к функционалу, чтобы учесть граничные условия. Метод Галеркина применяется также при решении двумерных и трехмерных задач теории упругости [5).
В результате получается система уравнений, подобная той, которая соответствует вариаци'онной формулировке этих задач. ззз Вывод уравнений длн элементов методом Галеркина 17.4. Задача Коши Метод Галеркина может быть использован при решении задачи Коши, а также при решении переходной задачи, обсуждавшейся в гл. 11. В этом разделе будет рассмотрена задача Коши для одного дифференциального уравнения, а затем проведено обобщение на случай системы дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим дифференциальное уравнение — +4у=О «Ру йсс (17.28) с начальными условиями у(0) =0 и у'(0) =4.
Это уравнение имеет очевидное решение у = 4 гйп 21. Приближенное решение этого уравнения можно получить численно. Чтобы проиллюстрировать применение метода Галеркина, используем именно этот способ. Подставляя (17.28) в (17.1), получаем с ~~1т')т ( — „", + 4у) с(с=О. о (17.29) (17.31) Мы уже указывали на необходимость разбиения интеграла на сумму и преобразования интеграла, содержащего производную высокого порядка, в интеграл от первой производной. Подобное преобразование уже рассматривалось по отношению к с(эу/с(хэ. Учитывая формулу (17.9), получаем т, где Т,— шаг по времени (длина) отдельного элемента.
Уравнение (!7.29) может быть записано теперь в виде т — (йСссс)т — "— ! — ~~'., ) ( У вЂ” 4 [сс«слс)т у) «И=О, (17.30) -1 т« где Тс и Т; — значения времени, соответствующие узлам с и' 1 эле. мента, а сс — число элементов. Применение формулы (17.30) будет проиллюстрировано с помощью линейного интерполяционного полинома для у: Глава Гт Соотношение (17.31) определено относительно местной ' системы координат с началом в д-м узле, что соответствует пределам интегрирования Тд=О и Т;=Т,. Подстановка выражения (17.31) в (17.30) дает г, .=д э — 4 (Яка!г (Лпо! (!')) Й =О. (17.32) Для первого элемента получаем следующие уравнения так как во всех других узлах угол поворота не определен. Объ- единяя уравнения для отдельных элементов и предполагая длину элементов одинаковой, получаем 1 — 1 — 1 2 — 1 Уд 1э 1; О О т, — 1 2 — 1 1 2 — 1 21 Уд 141 !э 1 4 1 1э 14 1 У! О О = О 4Тв + 6 (17.35) Заметим, что все уравнения, кроме первого, идентичны.
Система уравнений (17.35) может быть записана в виде — 4 — —. (1'д — д'д) + — ~-'- (21 д+ д'"э) =О, (17.36а) е Т ( — Ул-д+ 21 л 1 ллд) +  — (Ул-д+ 41'л+ 1'ллд) =О, лР2;(17,36б) т, где и — произвольный узел. Зная Т„из этих двух уравнений можно определить все значения (У). — — ' + — †' д = . (17.33) Любому другому элементу соответствуют уравнения т + в — —, (17.34) Вывод уравнений дли элементов методом Валеркина Примерз 171. Требуется решить дифференциальное уравнение (17.28), считая шаг по времени равным 1/1б с.
Начальные условия следующие: у(0) =0 и у'(0) =4. Сравнить результаты расчетов с аналитическим решением. Рекуррентные соотношения, соответствующие рассматриваемому уравнению, даны в (17.36). Заметим, что условие у(0) =Оииу! позволяет решить уравнение (17.36а) относительно Уз. 4 16( тз)+ в ~ 16 ) Уз 0 4 /! или 96 Уз=— 385 ' Уравнение (17.36б) может быть решено относительно У„+ь Получаем соотношение 764 385 откуда находим У= — У вЂ” У = —.— — 0 764 764 96 385 з э 385 ' 385 Уз=Ов4948 Повторяя эту процедуру для каждого временнбго шага, вычисляем последовательно все узловые значения.
Ниже приведены значе- ния У, полученные численным методом, а также значения, соот- ветствующие точному решению. Метод конечных элементов Метод конечных еиементов Точное решение Точное решение В случае использования метода Галеркина при решении задачи Коши получаются уравнения с двумя замечательными особенностями. Шаг по времени может изменяться, если в этом есть не- 0 /тв /тв /тв /тв %в /тв /тв /тв 0,0 0,2494 0,4948 0,7326 0,9589 1,1703 1,3635 1,5354 1,6833 0,0 0,2493 0,4948 0,7325 0,9589 1,1702 1,3633 1,5351 1,6829 в/, '%в /тв /тв тз/ эв/ '%в 1,8051 1,8987 1,9627 1,9962 1,9985 1,9697 1,9101 1,8209 1,8045 1,8980 1,9618 1,9950 1,9971 1,9680 1,9082 1,8!86 зза Глава 17 л обходимость; могут варьироваться и функции формы, входящие в (й(<а)]. В случае большой величины шага по времени можно использовать элементы высокого порядка. Изменение шага по времени вызовет модификацию системы уравнений (17.35).
Эта модификация будет выражаться в появлении более одной пары рекуррентных соотношений типа (17.36). Некоторые из этих соотношений будут включать как новые, так и старые приращения времени. Если вместо линейного интерполирования (17.31) применить функции формы для квадратичного элемента, вместо двух будут получены три уравнения. Первые два уравнения используются для определения Уа и Ув. Третье соотношение рекурреитное, оно выражает последовательно одно из узловых значений через три предыдущих: У„„=у(У„, У„„У„,).
Такая ситуация всегда возникает при решении задачи Коши с помощью метода Галеркина; всегда имеется достаточное число уравнений, чтобы можно было вычислить значения У, требуемые для проведения вычислений по рекуррентным формулам. 17.5. Система дифференциальных уравнений первого .порядка Система дифференциальных уравнений первого порядка вида (С( — (Ф)+[К) (Ф)+ (Р)=0 (17.37) обсуждалась в гл. 11, где было дано конечно-разностиое решение этих уравнений. Теперь решим эту систему методом Галеркина. В результате для вычисления значений (Ф) получим матричное уравнение, которое несколько отличается от уравнения (11.23). Используя для интегрирования неизвестной величины (р линейную модель, можно записать ф(е) й((е)ф 1 )у)аф ф() = й7<л)фв(+ й7~е)ф,л (17.38) ф(е) — й((л)ф + (1('(е)ф где индексы ( и / используются для обозначения двух узловых значений, разделенных во времени на величину шага длины Т„а г обозначает общее число узлов.
Соотношение (17.38) в матричном виде имеет вид (Ф<а) =Ж<(л) (Ф), + Л'5') (Ф(я Вивод уравнений для элементов методом Галернина 337 Здесь (Ф) — матрица размера пХ1, а У<е1 и У<е> — функции формы. Подстановка выражения (17.39) в (17.1) дает два матричных уравнения: г, ~7т';([С[, )+[К[[Ф) -[. [г[)а[1=0 (17.40а) о г, ~ Ув([с[ — + [К[ [Ф[+ [г"[) В=О. (17,40б) о Дифференцируя по времени соотношение (17.39), получаем [ 1 [Ф[' т [Ф)'+ т [Ф[' ('74') Подставляя (17.41) и (17.38) в (17.40а) н выполняя интегриро- вание, имеем — — [С[([Ф[; — [Ф)в)+ — '[К[(2 [Ф[,+ [Ф[й)+ — [Р),=0. (17.42) Преобразуя точно так же уравнение (17.40б), получаем — [С[([Ф[; — [Ф[й) + — ' [К[([Ф[;+ 2 [Ф),) + — [Р[в — — Ю.
(17.43) Последние два уравнения могут быть объединены в одно: ( — [с[+ [К[) ( — [с[+ —, [К[) Это уравнение для элемента, соответствующее одному шагу по времени. Для получения системы уравнений, определяющей значения (Ф)ь (Ф)э и (Ф)э, ..., оно должно быть объединено с аналогичными уравнениями для соседних временных шагов.
Пусть всем элементам соответствуют одни и те же приращения времени; объединяя уравнения для первых двух шагов по времени, по- Глава ГТ З38 лучим ( —,' [с]+ф [К[) ('з' [ 1) ' [С[+ т [К]) 2 8 2 1 [г)в [р)в х [Ф) (17.45) Так как (Ф), известно, то первое уравнение в (17.45) можно использовать для вычисления (Ф)ь Все остальные уравнения, начиная со второго, идентичны между собой и могут быть записаны в общей форме: ( —,' [С)+ —" ,[К]) [Ф)а, + —" [К] [Ф]а+ +( [С1+ 8 [К1) [Ф)-'= [").
">2 (17.46) Это соотношение позволяет вычислить все требуемые значения (Ф) для любого л больше двух. При использовании формулы (17.46) следует иметь в вйду две особенности, которые отличают ее от результатов, полученных разностным методом. Для вычисления (Ф)„лл необходимо знать два вектор-столбца (Ф)„е и (Ф)„, а кроме того, требуется помнить три матрицы размера (С]. Последнее требование приводит к значительному загружению машинной памяти и представляет определенный недостаток при решении систем большого порядка. Для реализации метода Галеркина во временнбй области можно применить другую процедуру: рассматривая шаг по времени как отдельный элемент, вычислить (Ф)ь используя (Ф)ь При этом вектор-столбец (Ф); может быть найден либо из уравнения (17.42), либо из (17.43).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
