Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Функции формы для двумерных элементов равны нулю во всех узлах, за исключением узла, номер которого совпадает с номером соответствующей функции формы; кроме того, они принимают нулевые значения вдоль всех границ элемента, которые не содержат укаэанного узла. Например, функции формы Л!з для квадратичного элемента (фиг.
15.5) обращается в нуль во всех узлах, за исключением первого узла. Кроме того, )т'! принимает нулевые значения вдоль сто- Х=(!+4 (г-41 Фиг. !5.6. Граничные функции четырехугольного элемента. рон четырехугольника 5=1,и Ч=1. Функция формы для второго узла обращается в нуль вдоль сторон 5=1, Ч= — 1 и Ч=1. Функции формы могут быть получены либо путем решения си* стемы уравнений (гл.
3), либо непосредственно комбинированием Функций, которые обращаются в нуль на границах элемента. Множество функций, равных нулю вдоль одной из сторон элемента, легко получить из функций формы для линейного четырехугольника. Эти функции показаны на фиг. 15.6. Произведение любых двух ~эких функций соответствует первым четырем членам в формулах (15.11) и (15.12). Поэтому удобно записать функции формы в виде произведения двух полиномов: для квадратичного элемента гтр =(ах+ аз$+ азЧ+ аззЧ) (ах+ аз$+ азЧ), (15.13) для кубичного элемента Уа=(сс,+аз$+азЧ+аззЧ)(ах+аз1+азЧ+алР+азЧз). (15.14) Глава IЗ Остановимся теперь на определении постоянных, входящих в последние соотношения.
В качестве базисных функций выберем следующие: Й! =(1+ т!) !»=(1 з) (15.15) зз=(1 Ч) !!в =(1 + 1). Каждая из них обращается в нуль на одной из границ элемента. Введем еще множество функций Рь з=1, 2, 3, 4: 1», если узел р не принадлежит стороне я, р» — а=1,2,3,4, 1, если узел [! принадлежит стороне Й. Функция формы для квадратичного и кубичного элементов дает- ся формулой !з а=~п г;1 (а, + азз+ азт!+ азз-+ ад'). (15.17) /=! Степень многочлена в (15.17) определяется числом имеющихся узловых условий. Его коэффициенты определяются приравниванием д!а единице в узле р и нулю во всех других узловых точках, 4 которые не входят в произведение Пгь Коэффициенты а» и аз у=! всегда равны нулю в случае квадратичного элемента.
Применение формулы (!5.17) будет проиллюстрировано на двух следующих частных примерах. Пример 157. Требуется определить У! и !зз для квадратичного элемента, показанного на фиг. 15.5. Решение начнем с определения функций гз, Рз, Рз и !''! в (15.16). Так как первый узел угловой и принадлежит одновременно первой и четвертой сторонам, то г!=1 и г»=1. Другие две фУнкции следУющие: г»=1»= (1 — ~) и гз=[з= (1 — з!) [фоРмУлы (15.15)1~.
Произведение в (15.!7) равно Четырехугольные злементы Общее выражение для № имеет вид Л', =(1 — $) (1 — з1) (аз+ аз$+ азз)). Произведение (1 — $) (1 — з)) обращает в нуль № в узлах 3, 4, 5, б и 7. Константы аь аз и аз должны быть выбраны так, чтобы Л'з была равна единице в первом узле и нулю в узлах 2 н 8. Подстановка этих трех узловых условий Л',=1, если 1= — 1, з1= — 1, Уз=О, если 1=О, з)= — 1, Л',=О, если $= — 1, з1=0, в формулу для № дает три уравнения, которые могут быть решены относительно неизвестных констант.
В результате имеем 1 аз= а =аз= —. 4 ' Таким образом, функция формы № имеет вид 4 Функция формы Уз соответствует средней точке первой стороны, поэтому Р,=1, Р,=1,=(! — 1), Рз=Ь=(! — 11) н Рз=1з=(1+1) После вычисления произведения в формуле (15.17) получаем Уз=(1 — $) (1 — з)) (1+ $) (а, + а,1+ азз1). Остается удовлетворить только одному узловому условию Уз=! при 5=0 и з)= — 1, поэтому в многочлене (аз+аД+азз)) следует сохранить только один член с произвольной константой. Таким образом, для № получаем выражение Уз =(1 — $) (1 — з1) (1+ $)аз.
После подстановки этого выражения в узловое условие имеем Глава 1в Пример 158. Требуется определить функцию формы № для кубичного четырехугольного элемента, показанного на фиг. 15.5. Узел 2 принадлежит первой стороне элемента, поэтому из приведенного выше примера можно заключить, что У, =(1 — Р) (1 — т1) (а, + а,Д+ авт1+ а,Р+ авч'). Полипом, содержащий произвольные константы, должен быть усечен, так как не выполнены всего два узловых условия У,=1 при $= —, т(= -1 1 3 1 Коэффициенты ав и ав должны быть вычеркнуты, поскольку члены вида $в нли квт)з не входят в формулу (15.12). Сохранение члена авв! пРивоДит к системе УРавнений с нУлевым опРеДелителем, поэтому этот член тоже должен быть зачеркнут. Таким образом, для Ув имеем У,=(1 — Р) (1 — ч)(а,+аД.
Используя условия в узлах, получаем систему 1 — — 112(а,— а,/3)=1, (-) ° ° = 11 ( ) ° 1 — — ) 2 (а + а,/3) = О. 1 откуда находим аг=9/32 и аз= — 27/32. Окончательное выражение для функции формы имеет вид У =+ (1 — Р) (1 Ч) (1 — 3$). Функции формы для квадратичного и кубичного элементов приведены на фиг. 15.7 и 15.8. Простым сложением можно убедиться, л что эти функции формы удовлетворяют критерию 2Уа=! для В ! каждого элемента. Представленную здесь процедуру можно применить и к элементам более высокого порядка. Однако необходимость использования таких элементов весьма сомнительна. Трех представленных здесь элементов вместе с элементами, описанными в гл.
13 и 14, достаточно для решения едва ли не любых задач. Можно построить четырехугольные элементы н других типов, например скон- Фиг. 15.7. Функции формы для' квадратичного элемента. Л(! — — (1 — В)(1 — Ч)(В+ ч+ 1). Л(2 — (1 — Р) 6 — И). 1 1 4 2 >24 = — (1 — ч') (! + Ы 1 2 л(в — Ы+ $) (1 — ч) ($-и-'.1), 1 4 л)в — (1+ В>(1 е п) (1+ о — 1).
1 4 Л(в — (! — Зв) (1 + Ч), 1 2 л(в — (1-гпту(1-Ы. 1 2 мг= — — (1 — Ы (1+ ч) Й вЂ” и+ 1) 1 4 Фиг. 15,8. Функции формы длн кубичного элемента: 1 9 >Г! — (1 — Ы (1 — Ч) ( — !О + 9(ЗЗ + 412)!, Кг — (1 — Ч) (1 — Р) (! Зи 132 32 Л!в [1 — Н) (1 — $2) (! + Зи. 9 32 ма — (1 + Ы (! — чв) (1 зч). 9 32 л „вЂ” (! — З) (! — нг> Ы вЂ” зи>.
9 32 мм — (1 — Ы (1 — аи (1 + зч). 9 32 мг — Ы + и (1 + ч) ( — >о 4- 9((г + г)), 1 32 >тв - — Ы + Ч> (! — Ы> (! - Зи, 9 32 Л(а — (1+ Ы (1 — И)( — 1О+ Ойв+ ИгН, 1 32 1 л(в — Ы+ В)(1 — иг)(1+ За), 32 )тв — (1 + г!) (! — Зг) (1 (Л ЗВ). 9 32 л - — Ы-им+и>( — 19+9(22+92)), 1 32 Глава Гд струировать элементы, интерполяционные функции которых будут представлены полиномами разной степени по каждой нз двух координат. Рассмотрим, например, интерполяционный полипом, линейный по т1 и квадратичный по $.
Соответствующий ему элемент будет содержать шесть узлов, как показано в задаче 162 (в конце этой главы). Полипом вида ~у =а, + а,$+авц -~- а,1т)+ а,Р+ авт1Р (15.18) сводится к ~Р=ах+а,$+авР, если т1 постоЯнна, ик р=ь,+Ьв), если $ постоянна. Здесь аь а,, ав, Ь| и Ьх — константы. Область применения этого элемента, вероятно, очень ограниченна; соответствующие функции формы могут быть получены исследователем, использующим эле- мент.
15.3. Вычисление производных функций формы Формулы для вычисления производных д!Чв/дх и дй!а!ду получают непосредственно из результатов, приведенных в предыдущих главах. Матрица Якоби определяется соотношением дх д$ да'а дх дФ~ дх =й ду д$ (15.19) дх дч ам ду ду дч дл!а ду которое можно обратить, чтобы получить частные производные по хи по у. Матрица Якоби является функцией $ и т1 даже для простейших четырехугольных элементов.
Эта зависимость легко обнаруживается при рассмотрении преобразования координат: где функции формы те же, что даны в (15.4), а Хь Хь Х,, Մ— х-координаты четырех вершин. Йв используется здесь для обозначения функций, определяющих форму элемента. Дифференцируя х по 5, получаем — = — 'Х,+ — 'Х,+ — 'Х + — 'Х, дх д!!1 д!1в д!!х д!!л дй дй г дй '" дй в д5 дл!д да дЛ!э дч х й~Х~ + К Хв + вХв + й4Х4 (15.20) Четырехугольные элементы 301 где д!1з д (1 — т!) (! — $) д$ !)Г 4 ан, 1 — н 3 д$4 д)та 1-! ч д$4 1 — т! 4 (15.21) д!(з 1-(-т! ' д$ 4 После подстановки и перемножения имеем дх — (1 — т!) Хт+ (1 — т!)Хз+ (1+ т!)Ха — (1+т!) Хз 4 Отсюда видно, что коэффициенты матрицы (э] являются функциями 5 и т!.
Пример 159. Требуется найти частные производные дЛ/т/дх и д№/ду в точке 5='/а, т)=т/з элемента, изображенного ниже, в предположе- нии, что скалярная величина тр аппроксимируется квадратичным полиномом. Запишем формулы преобразования координат: х = зтзХз+ зтаХз+ ЙзХа+ ЙвХз„, у =/~Л+ Ю'з+ )та)'з + )~з)'в, где /агав линейная функция формы. Для скаляра тр имеем соот- ношение Х, Гз Х, )'з Хв )з х ~ — (1 — т)) (1 — т)) (1+ т)) — (1+ т))1 ' 1 — (1 — 5) — (1+ 1) (1+ 1) (1 — 1)1 %=/тзфз+/тзфз+ Лафа+/твтзэз+ Л!Рв+Л(вфв+Л тфт+ тувфв где да — функции формы, представленные на фиг. 15.7. Прежде всего составим матрицу Якоби. Производная д)та/д$ приведена в (15.21). Вычислим дтта/дт(: д!(т ! — 5 д!тз 1 + $ дт! 4 ' дт! 4 дттз 1+5 джаз 1 — $ дт! 4 ' дт! 4 Матрица Якоби теперь записывается в виде Глава 16 Р5. 5!)) К задаче !59.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
