Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Величина с(Л ~называется плотностью энергии деформации, а полная энерпия деформации получается, интегрированием этой величины по объему тела: Л=~ — ((е)т (о) — (ев)т (о)) дУ. (5.63) Вид векторных столбцов (е) и (о) зависит от того, какая задача |решается. Например, для двумерного случая плоской деформации что совпадает с теоретическим значением. Теоретическое значение в:рассматриваемом случае было достипнуто благодаря выбору модели перемещения, точно соответствующей физической задаче; перемещение, изменяется линейно как в,модели, так н в ~реальной физической задаче.
Рассмотрение краееык задач методом конечнык элементов эти вектор-столбцы имеют вид (е) г= [а,„е„, у„„) и (о)т=[о В основе курса теории упругости [5] лежат два важных соотношения: закон Гука, который связывает компоненты тензоров ,напряжений я деформаций, (и соотношения связи между деформациями и перемещениями. Закон Гука в общей форме имеет вид (5.65) да д(о у = — +— дг дх' дн до до й~ = — + — у = — +— ду дх ' э' дг ду ° где и, и я ш — компоненты перемещений в яаправлвн~ия коорди- натяых осей к, у и з соответственно'). Эти компоненты пвремеще- яий был~и, выражены в гл. 3 че(рез узловые значения следующим образом: (и) = [У[ (с(). (5.66) Здесь [Л~] — матрица функций формы (3.24). С помощью формул (5.65) можно выразить вектор деформа)ьии (е) через узловые перемещеяия (Щ.
Общая форма этих соотношений такова: (.) =[В) (Р). (5.67) Здесь [В] — матр~ица, .получаемая дифференцированием яадлежащим об)разом,матрицы [У]. Фактичвские значения коэффициентов матрицы [В] зависят от вида яспользуемого элвмвнта я от типа ,рассматриваемой задачи. Поэтому точеное определвние [В] будет отложено до,рассмотрвняя конкретных примеров. Эмвргяя деформации Л(') отдельного элемента с помощью формул (5.64) я (5.67) может быть записана в следующем, виде: Л(е) ( ) ((Ц)т [В(е)[т [Р(е)) [В(е)[ (Ц) ) 2 (е) — 2 (У) г [В"[г [Р")) [е( ) ) + (е() ) г [Р"') (е(и )) с([l. (5 68) ') л(ля того чтобы компоненты деформаций (5.55) образовывали тензор, необходимо правые части выражений у,„„у„„у, умножить на Пг. — Прим.
Ред. (о) =[Р) (е) — [Р[ (в,), (5.64) где [Р] содержит упрупие ко(нстанты материала. Соотношения связи между деформациями и перемещениями записываются как дн до ди е е в дк ° ее ду зг дг ° ГЛаеа а Это определе)вне предполагает, что силы,разложены на компоненты, параллельные компонентам перемещений. Эта часть полной работы пье входит в сумму (5.54), так как рассмот~ронные силы сосредоточены в узлах. Работа объеьаных оил Ж, фв, Ж дается формулой К~'=~(иЖ +оу'+п)Я) в()l, к(е) (5.70) где и, а и ш — компоненты, вектора перемещений внут)рл элемента по осям х, у и я соответственно.
И~нтеграл здесь необходим, так как и, о и и) вместе с Ж, ~ и Я могут изменяться внутрен элемента. Используя равенство (5.66), формулу (5.70) можно переписать в виде Жом ((т~е), (7) т ())))е))т Звее) )у а).")е) (5.71) вге) Работа поверхностных сил определяется следующим образом: 'йтв)о=~ (иР„") + прв'~+ шР,'~) ))о, з(е) (5.72) где и, о' л ш — компоненты вектора перемещений, а р, р„н р,— компонвиты вектора напряжений, параллельные кооуд~имапным осям х, у и в. Последнее слагаемое в (5.68) не зависит от узловых значений (У), поэтому оно не вл~ияет,на процесс минимизации и в дальнейших ссылках на (5.68) ~не будет прин|иматься во внимание.
Работа, совершаемая внешними силам~и, может быть разделена ла три,различные части:,работа Ф'„совершаемая сосредоточенными силами, работа %'р, которая получается в результате действия компонент напряжений на внешней стороне поверхности, работа )вы совершаемая массовыми силами. Работу сосрсдоточеаных сил легко определ~ить, если в каждой точке приложения сосредоточен~ной силы поместить узел. Работа сосредоточен~ной силы равна произведению вел~ичины этой силы ч)а длину пути, на котором эта сила действует. Таким образом, Работа отдельной силы )равна Р К Обозначая узловые силы через (Р), а узловые перемещен|ив через (У), совершенную Работу можно записать в аиде произведения матриц: ит (цт (р) (р)т ((7) (5.69) 85 Сравнение формул (5.72) и (5.70) показывает, что они идеи- тичны по форме.
Поэтому (5.73) (е) Используя формулы (5.54), (5.68), (5.69), (5.71) и (5.73), полуяаем,выражение для пол)ной потенциальной энергии: + [и] т [В< )]т [В ] [В ) [и] я Я ' (<(е) ~ [Ц]Т [В<с)]т [О(с)] [е<е)] Я/ ,[е) Т(е) — Щт [Р]. (5,74) з(с) Чтобы минимизировать величину П, продифференцируем выражение (5.74) по (У) ~и приравняем,результат нулю.
Эту операцию можно выполнить, используя дифференциальные соотиоц(ения Б1 и Б2. В результате будем иметь [В(с)Т] [Д(с)] [Д(с)] <1[l [1)] Т(е) ),(е) Т(е) [)1< (с)] Т Р<с) <[Я вЂ” [Р] =О, (5.75) (е) п=ь[ Рассмотрение красных задач методом конечных влементое Р(с) [[Т~~) [Ц]Т [))/(е)]Т р(е) ДЯ (е) Рг 1[(е) (Ц]Т [))<(с)]Т На((е) <[(Т Я(е) р<е) — [(у]Т [у( )]' р<с) СБ (е) д(с [Ц(е)]т [17<с)] [е ] <Дт [Д/(е)]Т $<с) <([т Я(е ) Глава в Интегралы в формуле (5.75) определяют для каждого элемента вектор нагрузки (1(е)) и матрицу жесткости [й(')], которые можно объединить следуюшим образом: дП(е) ',"[~) — [й ) [и[+ (1ы ). Уравнение (5.7б) очень похоже на уравнение (5.44).
В рассматриваемом случае [й(е)] — объемный интеграл вида [ь(е>) ~р(е))т [р(е>) [В(е)),е[т ,(е) а (1(и) — сумма нескольких интегралов: [1(е)) ~[В(е))т [>)(е)) [лу(е)[ (([т к(е) Я(е) р(е) [е>(е))т 'еат(е) (()е — [л)(е))т р(е> с5 [Р[ (5 78) Я (е) (е) Р* (е) (е) Матрица жесткости элемента (5.77) не содержит поверхностный интеграл, который встречается в задачах теории поля.
Объемный интеграл в формуле (5.77) по форме идентичен объемному интегралу в (5.45), хотя числовые значения [В(и] и [0(е>] совершенно разные в этих двух случаях. Глобальная матрица жесткости [К] и глобальный вектор-столбец (Р) в матричном уравнении [К) [и) =[Р) (5.79) даются соотношениями (5.80) (5.8!) е=! Задачи 38. Выведите уравнения для примера в равд. 5.1, если правый конец стержня, третий узел, теплоизолирован, а по боковой поверхности происходит кон~вективный обмен тепла.
87 Рассмотрение краевых задач методом конечных элементов 39. Выведите систему уравнений для перемещений в изображенном ниже элементе конструкции, подверженном осевой ~нагрузке, Используйте двухэлементиую модель сузловы~ми перемещениями Уь Уз и Уз. Заиетим, что значение Ут должно равняться нулю. з К задаче 39.
49. Прогиб опертой балки, подверженной действию постоянного изгибающего момента М, описывается дифференциальным уравне- нием дтд М вЂ” + — =о, дха Е! ра ус оВ где Е! — жесткость поперечного сечения, ие зависящая от длины. а) Дайте выриационную формулировку этой задачи.
б) Выведите систему уравнений для определения Уз, Уз и уч, используя четырехэлемеитную модель, показа~иную ниже. ке К задаче 40. 4!. Покажите, что объемный интеграл в формуле (5.35) эквивалентен объемному интегралу в (5.32). Глава 6 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ НЕКРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ В четырех предыдущих главах рассматриваются вопросы дискретизации тела, построения интерполяционного полинома для отдельного элемента и использование интерполяционных полиномов для дискретизованной области„а также дается вывод основных уравнений. Каждая из этих глав содержит исходную информацию, связанную с методом конечных элементов. В этой главе мы переходим от рассмотрения теории метода к его реализации. Ее цель— проиллюстрировать все этапы реализации метода.
Эта цель достигается путем получения численного решения задачи о кручении стержня некругового сечения. Выбор именно этой задачи для иллюстрации реализации метода конечных элементов объясняется двумя причинами. Во-первых, в этом случае относительно просто выводятся уравнения метода конечных элементов. Матрица [К) лепко вычисляется, а интегралы по границе области обращаются в нуль в силу задания нулевых граничных значений искомой функции. Во-вторых, концепции, используемые при,рассмотрении кручения стержня некругового сечения„ одинаково важны как для механических задач, так и для задач теории поля.
Хотя теория кручения стержней представляет собой самостоятельный раздел механики деформируемого тела, используемые в ней дифференциальные уравнения аналогичны уравнениям, которые описывают перенос тепла и течение грунтовых вод. 6.1. Общая теория кручения стержня Согласно теории'> ~кручения цилиндрических стержней с произвольной формой сечения, сдвиговые напряжения, возникающие в теле в результате действия крутящего момента Т относительно оси в (фиг. 6.1), могут быть вычислены в произвольной точке тела по о Существуют две теории кручения стержней некругового сечения.
Одна из них была развита Сен-венаном, другая — Прандтлем. Обе теории обсуждаются в работе ~Ц. Варианионная теория Прандтля, используемая в этой главе, описа. на в книге Тимошенко и Гудьера [31. Глава б формулам д~р тел = ду д~р т.в= — дк (6.1) где гр — функция напряжений. Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид (6.2) Фиг. бя. Сдвиговые напряжения в стержне некругового сечения, подверженном действию крутящего момента. а граничное условие записывается как р=О. (6.3) Т = 2~ тра. (6.4) Функцию напряжений можно наглядно представить как некоторую поверхность, охватывающую поперечное сечение стержня (фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
