Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 56
Текст из файла (страница 56)
.,предполага-явнозависяти=поG.27)системыотixr},to<t,G.28)t./=иуправлениеоднозначноопределяетсо-G.1)системыпеременнойот{ixi,. .,Кошизадачип,G.27). .,дифференцируемымидопустимоепрежним)1, 2,=xi,. .,непрерывноi,. .управления.уравнениямиг/Д?,Функцииоставляем=анализтерминальногоОтличиечтотого,управленийдопустимыхДальнейшийописываетсяфункциихисходитьзадачахдваждыиG.27)обозначенияВводяможемвэтотдвалишьприниматьраза.,иг),аргументов.чтоможет,xn,ui,. .потом,вt.одногопроцессfi{t,xi,.
.условиямисовокупностиполиномомобращатьсяможетизмененияпосколькувкогдазадачу,непрерывнымиявляетсяоно2.1).максимума=ПоэтомуtbG.26)<G.26),Поэтомуболеесмысла,t<формулеотрезкекоторойизпостоянные.управлениеимеетмаксиму-G.24),уравненийt0внеG.18))своегопроизвольные—t.знакпример±iусло-(см.имеемФ2ЩG.23)(см.G.20))-ФъG.24)достигаетG.23))c2t),любомнане(см.теперьв+с2signизменяяПринципРассмотримединственное1,—2состоитвиде(ciзнакомразавыполнятьпараграфепредполагаютсявоптимальное+17.4.ипеременнойСледовательно,значения,примераsign=относительноболеененульUНачальныеф2.G.25)sign=ciзаписатьподстепени+1].Нсистемой-\-c2t,с\=стоящеепервой(см.иопределяетсяu(t)Выраж:ение,=приф2+уравненияпеременнойпоф2^)находим,областьюслучаех%.=функцииопределениемф2и+1]формулеэтойэтомв[—1,x2(t0)иВфункциинепрерывныее.т.отрезок^1=0,на1,^видевопределениядляуравнениямикусочно|гх|Н(ф,сил-и-считатьуправленийдопустимыхG.3)#2,Х2условиюxi(t0)ванализомописывается—будемудовлетворяющиезначениймаксимумаи,[to, t\],отрезкаОграничимсябудем.процесс=управлениямиu(t),=гдеизравенствонеХ\условияпеременнойtвсехпривыполнялосьвременитакжепочтипримера.Примериu(t)G.21);=равенствомоментиллюстративногоифункциякакрассматриваемаяпримаксимума={/i,.
.,/п},u(t)мы(классединствен-до-418Гл.Основы7.общейоптимальныхтеориипроцессовx(to)=x°,G.29)анатакомкаждомрешениифункционалазначениеопределенопS[u]с*х{Т)=^ед(Т),G.30)=г=1сгдезаданный—Задачаназадачанадостаточновчтобытом,G.29)функционалкоторомt^Т.^Длядопус-найтидостигаетнаименьшегозадан.соотношениямиG.6)иизТогдавведениемG.7)фазовомзадачуявляетсячастнымG.10)уравнениемG.8),оптимальностикоторыйяв-G.30).описываетсяпроцесспроцессасоотношения-xqописываемогопроцесса,критериемкритерияслучаем2.ПустьоптимальностисокончанияпеременнойдляЕп+1случаи.моментвспомогательнойполучаемзада-процессачастныенекоторыепараграфанастоящегопространстветакаяпродолжительностирассмотримп.1задачелинейным,являетсяфиксированнойприиллюстрациивt\=G.29)функционалчтото,универсальна1.Пустьвфиксирован.значения.НесмотряtТ=состоитуправленияуправление,возможногоtвременитерминальногодопустимоеtoмоментвектор,G.27),уравнениямиаоптималь-критериемфункционалслужит.7[и]=Ф(х1(Т),.
.,хп(Т)),G.31)вФ(#1,. .,которомпроизводныехп)нужногоxo(t)положивхо,G.28),задачирешениедальнейшихввспомогательную переменную—функцияформулахзаданная—Дифференцируясвоих<2>(xi(?),. .=всеимеющаяаргументов,Введемпорядка.,хп(?)),вспомогатель-{xi(?),. .где,xn(?)}G.29).этосравенствоxo(t)fo(t,=?i(?),учетом••G.28),уравненияxn(t),•,ixi(t),. .,можнозаписатьur(t)),гдеu..ПоэтомусФункционалначальнымитакже..,Xn,Ui,..являетсячастным.типаможноуравне-уравнений0, 1,. .,П,i=1? 2,Функцио-п.. .,G.30).функционалаОднакопродолжить.,ur).минимизациисистемыx^->=случаемрешенияхрешениях=xi(to)..задаче,Ur),I.0?=наэквивалентнанаЖо(^о)подобногоПримерыG.3)определенногоfi{t,Xi,=G.31)функционала(T),xq=,xn,uu..г=1°X%условиямиJ\[u]дФ{хъ..
,хп)условиямиXiс2^fi(t,xu=минимизацииначальнымиJ\ [и]функционалаV^ч,ur)..задачаG.27)уравнений,xn,uuэтогоделатьнебу-будем.Продолжаяуправлениямоментограничения.чтовремениВприотсутствииили,какговоряттраектории.наналоженыэтомвздесьнарассматриватьконечныйограниче-{#i(T),. .,Однакобудемуправ-G.27)дополнительныеточкаограниченийслучае,терминальногосистемынекоторыемножеству.каких-либозадачирешениечтобыпотребовать,заданномуввышепостановкебытьмогутнекоторомузадачуконцомееприможночастности,принадлежаласформулированнойанализотметим,хп(Т)}будемконечноесостояниезадачупринадза-исследоватьсистемы,сосвободным7.Принциписоответствующеемаксимума419(принципТеоремаоптимальнымиалинейнойслучаеДляхG.30)функционалуповмаксимума).решениеемузадачевG.3)былиu(t)=оптималь-необходимо,управления,достаточноииуправлениеG.27),задачитерминальногоG.27)системычтобытогоx(t)=выполнениямак-условиямаксимумаH(t,i>(t),x(t),u(t))(=)maxH(t,uEUi>(t),x(t),u),G.32)гдеH(t,ф,x,u)^2&&&хъ=••.
.,ur),G.33)•,xn,иъi=lф(Ь)a{/0i(t). . ,=i/jn(t)}фг1сначальнымиdH(t,il>,x(t),U(t))¦=,г1, 9f2, 7~A, . .,n,G.34)л=OXiусловиямифг(Т)u{t)Пустьсоответствующеерешениеему. .,п.G.35)1, 2,=оптимальное—x(t)aуправление,со-—уравненияхначальнымг-а,=Доказательство.суравненийсистемырешение—f(t,=to<t<T,G.36)u(t)),х,условиемx(to)=x°.G.37)u(t)Управлениюu(t)чтобытакое,соответствующееx(t)Sx(t)оставалосьстемженачальнымПриэтомона,+G.37).удовлетворяет8хf(t,x,u(t)=условиемSx(t)0f(t,=x(t)очевидно,+ИзонполучаетИмеявТаккакфакт,припереходеu(t)5x,8u(t))+u{t)идругойиG.38)=G.39)условию0,G.40)x(t)u(t)u(t)управлениюк+котороеSu(t).тооптимальны,стороны,G.30),функционалаприращениеуправления=S[u(t)чтоочевидно,Su(t)]+в-силуS[u(t)]>0.G.41)G.39)уравнениясправедливора-равенствоW(t)[6x(t)-6f\}dtф(?)где={ф\(€),. .,фп(г)}Sfф*дПодпространствеЕп.понимается=чтоследует,f(t,x(t),u(t)).-начальномувычислимотSS[u(t)]СG.9)вектор.этотвидуфункцияТогда5u(t))G.38)уравненийудовлетворяетn-мерныйнулевой—соот-уравнению5x(t0)гдета-причемобозначимуравненияxфункция5x(t)G.37).ЧерезG.36),задачирешениярешениемSu(t),приращениедопустимым.приращениеявляетсямалоепроизвольноSu(t)+ему+дадимf(t,x(t)—+скалярное=Кошизадачирешение5x(t),u(t)+произведение5u(t))=векторов0,G.42)G.34),G.35),аf(t,x(t),u(t)).фиqвпространст-420Гл.Основы7.ЕслиоптимальныхтеорииG.33),обозначениемвоспользоватьсязаписатьобщейтопроцессовG.42)равенствоза-можновидевI\^*{tMx{t)Jto-5H(t,i/;(t),x(t),u(t))]dt0,=где=ТаккакпоH(t,Ф(ь),х(ь)Тейлора+/^компонентыпредположениюдифференцируемынепрерывноSx(t),u(t)+поSu(t))H(t,-вектор-функциисовокупности/харгументовии,непре-дваждытоформулепозаписатьможно5H(t,i/>(t),x(t),u(t))=){t),x{t),u{t)Su(t))+H(t,-i){t),x{t),u{t))+._±IИнтегрируяC/Xn(JXjпочастямиJtoJучитываяG.34)уравненияиG.40),получимi=l-± i=1Jtoi=1JtГшхмdtoВссоответствиичастиэтих5S[u(t)}.ГГГJto'toТакимобразом,изравенствSфункционалаПоэтомуопределениемравнаравенств)>*{t)Mt))Sxi{t)dtf ±m*Mti=1dX*-±Cisxi(T)+=перваясуммаправойвvi=1G.46)сG.47)учетомиG.48)окончательнополучаемSS[u(t)]где=rj=—/Jt0[H(t,i/j(t),x(t),u(t)+5u(t))—H(t,i/j(t),x(t),u(t))]dt+rj,G.43)+772,rjirll=Yi!'XaJU!^^ij=l5х&)dt'JtoG.44)Принцип7.максимума421формулаПолученнаяособенноспособееоптимальногоприращениялишьПопредположениюG.37)G.41),неравенствоДопустим,t*x(t)tвсехиз#20,>фЦ),I§G.32)Ш,Si,t*—^2)вспомогательноебудем/u*(t))Jhчерез+-A5*x(t)S*x(t)постоянные#2иJIf(t,=г/*x(t)S*x(t),+ту*+по>=0иN2-63F2S^+г?*,+G.43),e5*x(t),u*)G.39),совокупности0 такие,>иметьформулев+u*(t))52).вычисленныйприту*,f(t,-fi.„G.40),компонентыпредположению<член=задачидифференцируемыiVidtбудемS[u(t)}fT d2H(t,4>(t),x(t)решение—u(t))}+-остаточныйе.т.j=lJt°ПоSiчисланиG<45)G.43)S[u*(t)}=u*(t),=1»непрерывночтоtels.vi/j(t),x(t),формулойсобозначенг/*6u(t)ЗдесьЯсно,/ [H(t,iP(tO,x(t),u*))-H{t,i>{t),x{t),U(t))]dt<53{S15*S[u(t)}гдеH(t,-соответствиивu{t)[to,T].О<управлениеi/j(t),x(t),=ПоэтомунеравенствоS3<иметь[H(t,Jtoкакможномалыми.приТогдатонепрерывно,«*)СмоментиТаксправедливоx(t),+UЕнарушается.кусочночтотакие,H(t,-(t*=0>u(t))произвольноПостроим5$и*точкаu(t)управлениеиx(t),интервалабрать0>G.43).форменеравенствоx(t)справедливосуществуютнихдляаH(t,можночтоследовательно,внамрешениеемузаписатьТогдаонамаксимума.соответствующееиможнотакие,SiЗдесьпринципаи,неверна.непрерывна,числаприSS[u(t)]гдезадачтраектории.оптимальными,теорема(to,T)Eфункцияуказатьu{t)являютсячтовремениконцомосо-иисследованиивсформулированногоуправлениеG.36),задачисвободнымдоказательствадлярользначительнуюсоуправлениятребуетсяSфункционаламинимизируемогоиграютполучения5u(t)+u(t)),S*x(t0)вектор-функции/харгументов.,u(t)когдаx(t),.„ии.u*(t),==G.47)0.дваждыЗначит,т.непрерыв-существуютчто\fi(t,x(t)+6*x(t),u*(t))-fi(t,x(t),u(t))\<Гi=l1=1J2(*)~u(t)\.е.422Гл.Основы7.ПоэтомуG.47)соотношенийиз/Согласнопроцессовполучаемг^2\5*Xi(t)\dt^nN2^2\u*(t)-ui=l^toк=1u*(t)функцииопределениюнеравенстваоптимальныхтеориип»tpt^toг=1общейG.45)формулепоизэтогонера-следует,чтопG.48)dt^toи*где{и*,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
