Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 54
Текст из файла (страница 54)
.,=Atg\пхcosF.23)собственныхсистемавычислениямиуравнения/=функциюПодставляяrin=корниипсистемуZ/2@,1)Непосредственнымиположительные—-(t)X-(x)X-(s)F.23)a-ортонормированнаяп(х)где\=ГГ1••г\-л/г*л\с\аъ*-РТакF.23)функциякакдолжнаaij(T)Аналогичноищемпоступаемвприудовлетворятьлтля=dijизпервомуJ1'еслиi10,еслиг<.F.25)=краевойрешениизадачи=Э>гао*\ф j.F.19),видеоо<p(t,x)=^Ck(t)Xk(x).F.26)k=0Врезультатедляопределенияcn(t)получаемсистемуF.22),условийуравненийF.20).Еерешението406Гл.Основы7.общейZ))начальнымипроцессов1ajn\Cj-соптимальныхтеорииAj2^]Kj-%-n],+nF.27)0,1,. .,=условиямиcn(T)fn(t)Здесьфпи0,=коэффициенты—п0,1,. .F.28)=f(t,x)функцийФурьеф(х)исоответствен-соответственно,fn(t)КакТакимоптимальноеОднакоиметьследуетдаетЭточтоF.13)формулепоОставляястороневрешитьF.27),F.26).ииопреде-Сегоипо-градиентможноопределитьзаписатьвсТакимобразом,всеF.30)атакжепринадлежитдоказательствотого,W^iQ).классуметода,займемсявсегопреждеНепосредственнойF.24)-F.25).проверкойЗначит,убе-можноF.29)F.27)уравненийсистемуЧШ>4Фг)<Нг$)F.28)условиядлянеобходимыеискомоеK(t,x,s)=0,оптимальногоопределенияСданные.оптимальноеiполучаемформальногофункцииопределяемопределяем(p(t)X),tJрр®+учетомимеемметода.существова-виде\*dtОтсюдазавершенияобоснованиедоказательствообоснованияcn(t).полногодлявыполнитьиSКошизадачирешениеможноK(t,x,s)иисодержатьl-exp2A?(t-T)]'+образуютзадачи,функциичтотом,вдолжнооптимальногопостроенияпроцедуравыше,указывалосьdij{t)функцийубедитьсяэтарешениефункцийфункционалапроблемыw(t,x)отысканиемчтовиду,частности,вуградиентвкакпроизводныхсуществованияF.16)Беллманаградиент,формальноелишьнеобходимо,обоснование,анализаиформулампофункционалэтотF.24)F.23)F.15)управление.управлениямы(f(t,x)иЗнаянамзадачиуравненийопределяемF.16).формулепоK(t,x,s)функ-управлениябудем.требуетсянерешатьрешениядифференциальныхфункцийэтихпомощьюF.21)уравнениедальнейшегодляфункцииопределяющихоптимальногопостроениядляПоэтомусистемыij (x)Xn(x)dx.Фп=выше,требуется.образом,небесконечныедвеf(t,x)Xn(x)dx,отмечалосьужеrj(t)функция/=формулпомощьюи(p(t,x),управление.азатемуправленияF.23),формуламиF.26),F.29)F.23)и6.ДинамическоеРазрешимостьСледующий6.4.управлении.состоитпрограммированиядляпрограммированиечтобыF.1)—F.3).чтопоказать,уп-оптимальномууправле-краевойрешениезадачибудем,неприводитьмыазаймемсярешения.собственныхопределениярешенийположительныхПоэтомуЛп<(<краевой+пF.4)задачинаходим15),а=K(t,x,s),функциидляЛпзначенийAtgAуравненияптгсправедливооптимальномпрограммирова-построенномуединственностипостроениемнадинамическогообобщенноеДоказательствоИзметодаединственноесоответствуетлишьанализевсистем407F.1)—F.3)задачиэтаптом,вуправлениюкраевойраспределенныхкакполо-что)тг.-F.23),формулойопределяемойсправед-равенствоОС)(iК/оТак2/3А?какГТДалее,1+exp[2Af—Поэтому(tоо1| г>||самымтеперьоптимальнымТак(см.F.29)),,е2T,L^.L2(Q),pкраевойразрешимостьL2(Q).GацудовлетворяютJoусловиюможнозаписатьR{t,x,s)u{t,s)dsР+p(t,x)гдеF.13)формуламиуправлениеp(t,x)=F.1)-F.3),задачиопределяемымоптимальноеполучаем°°неравенствупространствеКкоэффициентыто1удовлетворяюто,управлением,как1F.29)формулесогласно—^вчтопоказано,ДокажемявляетсяvГ1fT ^элементанорма—ТемтополучаемJo1где1F.26)формулыучетом2/3Af,>F.30)JoftоT)]—функциис—Joг=0°°находим,чтоя^ИяИ'гтацви=0явля-F.16).при%видеФ{t,x),F.31)i=0оог=0ZP) См.,физики.—М.:Тихоновнапример:Наука,1999.А.Н.,г=0СамарскийА.А.Уравненияматематическойфизи-ф j408Гл.Основы7.ЗдесьфункционалаиметьследуетS[t,краевойразрешимостии]вегоиобщейчтовиду,свойства.оптимальныхтеориинасможетДлянеипроцессовинтересоватьдальнейшегоструктураваженовопросразреши-задачиF.32)au(t,O)подстановкойполученнойВкраевойсудовлетворяющаяF.1).уравнениевF.6)тождествоминтегральнымF.32)задачиF.31)управлениясоответствииназываетсяинтегральномуобобщеннымрешениемu(t,функциянепрерывнаяО,=x)W2'E(Q),удо-тождествуt=t2u(t,x)v(t,x)dx=ог1/JoлюбойдляфункцииR(t,vудовлетворяющиевремени,(р(х)W^iQ).Edst\<^x)\dxdtt^и\au(t,l)v(t,1) dt,моментыпроизвольные—Т.^t^+Приэтомвреме-любойдляфункцииравенство/lim^^+°Г1[u(t,x)Joищемрешение| v(t,t\выполнятьсядолжноФормальноеs)Здесь0условию?2@,1)Еs)u(t,Хчд(х)]ср(х)—видевdx0.=Фурьерядаx),F.33)п=0{Хп(х)}гдефункцийзадачиполная—краевойF.32)получаемэтотуравнениясоответственно.fnфпикоэффициенты—Учитываяусловие,дпкоэффициенты—W2'/n(t)],n/(t,x)должна(Q),х)=зада-формуламF.34)0,l,.
.,^(ж)ипосоответствен-функцияудовлетворятьтого,нетеорииуравненийчтоun(t)F.33)полученноеЕгобудем.вчастныхo,i,. .,F.35)=д(х).функциирешениеприводитьвnФурьекоэффициентовформальноенайденоДоказательствоиспользуемымФ(^,иполучаемпоследовательностьсамым+s)функкраевойуравнениеж,функцийкоторомуип(о)=дп,гдеCn(t)-Фурьеначальноеи(ЬчХ)чR(t,un{t)определениядлясобственныхсистемаврядфункций-Ii/Jnan(t)гдеZ/2@,1)вПодставляяпредставлениеучитываяиF.31),ортонормированнаяF.4).задачиF.34)Соотношениямиопределяетсякраевойзадачирешениеu(t,x)можнополучитьпроизводных.F.35)иТемоднозначно.са-F.32).принадлежитметодом,классуширокоисполь-Динамическое6.дляпрограммированиеПриближенное6.5.являетсячтопокажем,оптимальногоуправ-F.31),формулойопределяемоеуправление,яв-допустимым.u(t, ж),1^@,1)Функцияпринадлежитобобщенным?, т.являющаясякаждомПРИfпричемоценокF.17),Joчтоследует,<F.31)формулев</?(?, х),R(t,x,s)иF.32),задачиоо,функциейK(t,x,s)функцийдляdxнепрерывнойявляетсяинтегралвышекраевойрешениеме.u2(t,x)JJooисистем409синтезазадачирешениеСначалауправления.распределенныхИзt.отполученныхвы-F.23)формуламиопределяемыхL2GФ(?,их)^2-GПоэтомуp2(t,x)dxdtJonT2Jonl/2pTnl\// (\JoJJo/ R(t,x,s)u(t,s)ds\Jodxdt+Jo/piФ2(tJs)dsdt=22[Jo///Jo(t,x,s)dsR\JoJгдеMСледовательно,ТеперьдляF.31)фактастроитьэтойСопределяющихбудем,нецельюdx.принадлежитметодаR(t,x,s)этоw(t,x),градиентДоказательствопрактическимвопросом.задачи.конечнымограничимсяаW$(Q).болеезаймемсярешениечисломФ(?,х)функциюи1\р],Течтопоказать,нужноклассуаL,2{Q).пространствупринадлежитприближенноеdsdxdtфункционалF.16),приводитьядроu2(t,x)минимизируетформулойопределяемый/f1излагаемогодействительноБудемJoуправлениеуправлениеэтогоmax=обоснованияполногоu2 (?, s)Joслагаемыхизрядах,вF.31),формулыопредее.т.возьмемуправлениеPm(t,x)/=г1Joi?m(t,5)ixm(t,х,s) dsФш(?,х),F.36)+гдеm^Rm(t,x,s)^Ргдеum{t1x)um{t,x)—точноеявляетсяг=0краевойкраевой/=Joж)=g(x),egi=0г=0ZPрешениерешениемu@,~^^2=F.1)-F.3)задачиприр=pm(t,х),т.задачиRm(tJxJs)u(tJs)dsux(t,0)=uc(t,+Фш(^,х)1)+au(t,+1)F.37),=0.е.410Гл.Основы7.Ясно,обобщеннымявляется1) показать,um(t,x)позволяетum(t,x)чтотакрешениемu(t,x)отx)pm(t,Можносходимости.значениютакжечтолишь,немыр(?,кх)наоптимальногонеэтоL2являетсятакжеОтметимоценок.формойудобнойМожноуправления.минимальномукэтихполученииэтойскорость1[рш]единственнопозволя-очередьоценитьиявля-позволяет:уклонениясвоювсходимостискоростьЭтовеличиныметрикевостанавливатьсяF.36)управлениеаппроксимацииx)(Q).W2yоценкуВсеF.32),задачиклассуполучитьL2.оценитьфункционала.будемэтогоОднакопринадлежит2)процессовкраевойпространствасходимостьустановитьоптимальныхтеориирешениеиL2{Q)\Еметрикевкакже,иpm(?,чтообщейаппрок-порекомендоватьдругие,инапример,р™(?,ж)=u™(t,x)гдекраевойВчастности,омоментыинформацииЗадачаотсостояниивремениxi,.
.управленияНа,xs.интегральнойвобъектауправляемого?]_,. .,?&законсостоитслучаяхсвязи)ивснимаетсяточкахизолированныхвформируетсяэтихзаконвсеготочкахF.38).илиообратнойпринципупредстав-течениевегоформируетсяF.36)вобъектаизолированныхинформациивремениэтойФу-рядасуммууправленияуправляемогоотдельныхвподобной2.Информацияформе,частичнуюF.37).оптимальногосостояниисобираетсяэтойразличными.ситуации.1.Информацияоснованиирешениебытьмогутn-юзадачиаппроксимацииследующиеуправленияпитвзятькраевойпроблеманализеинтересприближенноепостроенноеможнорешение*ro(t,a;),F.38)+междуu™(t,x)определяющегоПриiJro(t,x,sX(t,s)dsСоотношениякачествевпредставляют/способомF.37).задачиФурье,Joнекоторым—вуправленияпопостроенииподходящихоснованииобратнойпринципусвязи.(поуправленийнеобходимыхполученииотдельныевНаxs.х\.
. ,управленийэтихоценокоптимального.ВпервомможнослучаеНаблюдениезадачи.u(?,функциизаxi),. .,u(?,управленияобъектаxs).состоитОдинPm(t,x)RmгдеФтикакой-либоте—изчтотом,в=JO/частности,гдеи(х)можно=(хRm(t,X,a)u(t,чтоиxi). .-(хэтощ[гх(О,ж)сстроитсяусловияЛагранжах3).р(ж),a)0)х),характеризую-задачейRm(t,x,a)u(t,^(t,и(?,функциячтокраевой/==виде1,. .,5.формулойполучим,иххзаконавх),u(t,x)a=определяется—Фш(?,+изисходяуправление,I<JodaF.38),в=u(t,Xj),j-объекта,состояниеa)=ux(t,da(?, х),+1 +Чu(t,функ-даетформированияберетсявариантовзада-решенияточкахфункциявоспользоватьсяИспользуяхарактеризующаявозможныхинтерполированияU(t,Xj)Ввариантизолированныхвуправляющаяфункции,жеформулыследующийпредложитьсостоянием1)=0.помощью7.Принципмаксимума411Решениеэтойчастьправуюможнозадачиu(t,x)представлениеполучаемu(t,Fm(t,x)гдепоследовательно жхxi,Fm(t,=#2,u(?,Однакокогдазадач,воизоптимальностиприсредимаксимумаСразуповлеклозажеприменениемможнох%сfi(xu•З.М.) См.,—••области?хп,иънапример:М.:которойспримене-ЗдесьподробноБолееприведенпринципизло-мынейсконцевкниги.Пустьмаксимума.UИн-ткибернетики.Егоровуправля-Наука,А.И.1978.Киев,Оптимальное1980.значения/^управление112управленияДисс.измерения:с.тепловымиоткрыдваждыоптимальногонеполного—изпредполагаютсясинтезаосновеп,G.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
