Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 50
Текст из файла (страница 50)
.,=хп}(см.являетсяпеременныхвC(t)матрица—Эадачупеременнуюуправления,В парагра-использовалосьматриц(см.решенной,считатьу.понятиеA.33)2K(t)формулуеслиматрицуизпараможновидеизu(t,x)полностьюнаблюдаемуюматрицыможнооптимальногопостроенияпрямоугольной5).гл.представитьзадачатакнеC(t)x.C.39)псевдообратныхпостроенииразложенияпараграфа=задачавыраженногоскелетногоиначальнымC.27))системугдеполностьюкомпонентынаблюдаемыхВекторомуслосоптимальное+случаеоновы-Ко-начальнымрешать,C.31)построитьзадачанеиформулеможночтокажется,сC.34))-^R-^tWit^K^x=наблюдению.недоступныg(t),C.31):ииC.33)можноподанзадачирешениеуравнениязадачубыланализкакуравнениепоследнююегоиполученарешениюкВпрочем,формулыНаK(t)переходитьопределивиспользуяРиккати,матрицалинейноеоптимальногоопределения=решатьзатемC.37).условием=уравнениемчтопредполагая,C.32),КоптиявляетсяC*(T)FC(T),C.35)-2C*(T)Fz(T),C.36)z*(T)Fz(T).C.37)=решена.C.39).=-±R2K(t)=M(t)C(t),C.40)ТогдауправлениеC.38)можнозаписатьввиде372Гл.Основы7.ЕслижеперепишемC.40)C.38)представлениеПодставляяполученныйобщейуправлениерезультатпервоеA1x-\-f(t),=тоневозможно,впроцессовзадачасложнее.решаетсяC.27),системыуравнениеперепи-видевxоптимальныхтеорииy0<t<T,C.41)C(t)x,=гдеВ№В№(г),Предположим,0^x(t\чтоТогдаt.^тфункционалом,Поэтомугазатем0^жевышеанализэтой^t.^тэтомсостоитхC.11)вформулепоявляетсяадди-отличиерешениянаблюдениинеполномфунк-наопределеннымвсемобзадачамотаналитическомреше-констру-наблюдением),неполнымприведенныйтовывод.позволяетдляКошизадачейдифференциальныхзадачаоказываетсяимеетопределяетсяразмерностьK(i)матрицытоп,уравнениесобойпредставляетотносительноуравнениедляКошиздесьситуацииC.1)уравнениизадачусвестиобыкновенныхСложностьдифференциальныхнелинейныхчтотем,параграфе.труднойотносительногдеспринципиальноеэтомпоРиккати.векторсоответствиивФ(?)приизадачнаиболееполученноеФ(Ь)у(т),=управлениеследующийрешениюэтомеслип2из0Подставляяu[t,x(t)]программированияуравнениячто5,гл.п,.
.,иметьоператором,полнымсделатьПрифункционалы.будем1, 2,=оптимальноеитог(сдинамическогоуравнений.гоператоравпозволяетматричноготем,вобщийкt,управленияподвестиоптимизациисистемуэлементовматрицы.Трудностиврешатьнужноуравнений.повышаетсясматричноеДлядоп.возрастаниемтретьегодевяти.ДляДляРиккати,уравнениесистемы(численномрешениипрактическомлавинообразнонарастаютРиккатиИменноt.регуляторовРиккатиг/(т),изявляетсяправилурассмотренныхПрименение<тоднородным^гзадач,Еслиx(t)векторавектор-функцииФг{Ь)случаеоптимальногодругихконструированииобщемвсинтезарешенияопределить1параграфевXi(t)определенияобязательнонег/(т),функцияхвременипозволяет{=дляобразом,нопо,xn(t)}использоватьТакимзадачиФ(?){xi(t),. .=егоаддитивным,отрезке?,изложенныйфункционаламиоператорx{t)уC.38),определяемыйопределить<поуправлениевоператор,можно0линейные—x(t)—каждом^компонентанаФ&)у(т),=1,.
.,п,=представлениеФ{Ь)^тl]B*(t)g(t).-записатьXi{t)<&i,tопределеннымможногде0x(t\каждомприB(t)Rlнау(т),вычислениячтовыводу,к-±=наблюдаемаизмеренияспособприходимлинейнымC.41)системарезультатиспользуяиh(t)системыC.1)изсостоящеечислопорядкачетвертогоаналитическм)илисистемычетырехуравненийпорядкана-второгоскалярныхвихпорядкаРикка-системебудетуже16иЗадача3.т.обаналитическомПоэтомуд.РиккатиуравненийисследованиевопросысвойствисвязивПримерразрешимостиxiКритериемсталисистемауправляемая-xi+u,=х2исследо-описывается-2х2=выбраноптимальностиуравне-многочисленныхпредметомуправления6).теорииПусть3.2.дифференциальныхматричныхрешенийихпроблемамисрегуляторов373конструировании+уравнениямии,у2xi=х2.C.42)-функционалOТребуетсяоптимальноепостроитьнаблюдаемойпеременнойВоспользуемсяметодомкритерийнеDx1\_22ох\ох2\-иОтсюдаu2]dt+=SБеллмана4х\х2—х2J-отt.+х%)зависеть[1/99ч1mmТогда+/Jo-ищеми-Sопределениядля,OS(—х\-—е.т.и2)+чтодопускаем,принимает+вид,Л+и)(—2х2-—dt.=0.и)\+dSдх2'Решениеполучаем(dS\dx!224xi-4Xlx2+x22-[-—этогоуравнениеdS\2=dSdS.-—)dx2jdxidX2+уравненияS[x]-2—x1-4-—x2ищемввидекцх\+2к12ххх2=0.3.43к22х\,C.44)+поэтомуdSdSПодставляяприравнивая+Таккак+fcu4(fci21,=/наЭтимнапример:является/c22J+и8/с22=/сц,к\21,2(fcuC.43)и+fci2)(fci2нас+=Егоров2к121.53,А.И.Уравнения=2к22-0.56,Риккати.—М:,урав-неотрицительные=Физматлит,k21)=решениеинтересуетпринимаетявляетсярешениемприравни-системук22итоSБеллманаk22x2).C.45)получаемх2,неотрицательным,функциякотором2к22) См.,++уравнениевх\коэффициентовфункционалсистемы,значения.степеняхотносительнок12J(fciC.45)изпроизводных2(k12xx=—одинаковыхприРиккатик12х2),+значениякоэффициентыуравнений2(k11x1=—этойS[x],=Беллмана99S+S\4^i^2~видевдх\ицельючтонаходим,поэтомуDх\уравнениеdSиэтойГ°°[Bx1функциюслучаеможетСвидевГ°°1/Jo^-^этомнаблю-отпрограммирования.запишем1=Взависимостивдинамическогооптимальностионауправлениеу.0.2252001.-1.374Гл.оптимальноеполучаемобщейC.44)формулепоследовательно,и,Основы7.ТеперьэтоСуправлениеэтойуПерепишемеепоследнеесоотношенияТакимвсистеме1(см.образом,параграфпорядка.оA(t),иQ(t)должныR(t)РассмотримБудемC.12).нанепрерывныпредполагаютсяназыватьРиккати.C.11),КошииC.47)(Q(t)положительной(R(t)системыуравнений0).>Обозначимх=A(t)xданнойF0,^ap-Q(t)x=во-матрицыкромеи,0),гл.подробнеечтоTвзвеномQ(t)того,R(t)фундаментальнуюS(t)p,-^W(t,s)череззвеноэлементарноетеперьпредполагать,^ t ^toотрезкенеотрицательнымикакклассификацией,дифференцирующимсегоуравнениязадачирешенииB(t).F1),гл.Решение3.4.вопросизалгебраическихсистемуполучими,0.176?/.C.47)+соответствииви.каких2соотношениемыбC.46)с-0.751/=иметь-я2.xi,рассматриваярегулирования,первого2xiнеизвестныхи[у]+систе-вC.42):=вместеотносительнобудем2х2у.уравнениеитоге+системыуравнениеэтиуравнений—2^1=наблюденияотпоследнееВ%2—уРассматриваяtуравнения.2xi=зависимостивподвапервыеучтемипредставитьнужноC.7)формулепо0.335х2.C.46)+продифференцируемцельюC.42)системе-0.97x1=авидеви(хъх2)процессовS,функциюнаходимуправлениеоптимальныхтеорииположи-—КошиматрицуR(t)p,C.48)-гдеB(t)R~\tW(t).C.49)Пусть,задандалее,{х°,р0},векторих(?0)=х°,ТогдавсWikэтиминачальнымиусловиямиможнопредста-видепредстаfx(t)\\p(t)Jгдеусловияp(to)=p°.C.48)системырешениевитьначальныеукажемблок—Аналогично=пхпразмерностиможно(х(Т)\Если3.1.K(t)=[W22(T,t)W12(t,to)W22(t,t0)/КошиматрицыWсистемыC.48).уравненийформулузаписать\р{т))ТеоремаfWu(t,to)\W21(t,to)__~K(t)-(Wu(T,t)W12(T,t)\(x(t)\yw21(T,t)—решениеw22(T,t)J[p(t)JуравненияРиккатиFW^T.t^lFWniT.t)-W2i(T,t)],C.51)гдеK(T)=F.C.52)¦[6-b[))C.11),тоЗадача3.обаналитическомДоказательство.C.48),регуляторов375конструировании{x(t),p(t)}Пустьудовлетворяющееусловиюp(T)ПризаданнойможноFматрицеиполишьПокажем,такоезадатьпроизвольнор(Т),чтоэтимрешениеопределяетсях(Т)векторx(t)удовлетворяютp(t),C.53).иусловию[K(t)ТакK(t)C.54),каксоотношениемСогласноK(t)S(t)K(t)-связанныесоот-уравненийC.48).W12(T,t)K(t)]x(t),W22(T,t)K(t)]x(t).[W2i(T,t)воспользоватьсяp(t),имеем+=и0.=системырешениеC.54)иQ(t)]x(t)x(t)тообразуютx(T)[Wu(T,t))р(Т)удовлетво-находим+Риккати,уравнениядействительноC.50)теперьC.54),соотношениеиA*(t)K(t)+соотношениямЕслиочевидно,K(t)x(t)+K(t)x(t).=решение—соотношением,получаемC.48)K(t)A(t)+C.48).системыK(t)x(t).C.54)=производную,уравненийсистемукаквекторвидевэтимВычисляяопределитьрешениепредставимоопределяемыеp(t)Учитываястроитьрешенийтакихтакнеоднозначно,C.53)формулепоиоднозначновекторамизодноFx(T).C.53)=p(t)Функцииуравненийсистемырешение—+C.53),равенствомтоотсюдаискомоеполучимC.51).равенствоТеоремаK(t)Решение3.2.C.52),условиемопределяемоеC.11)РиккатиуравненияC.51),формулойсначальнымусло-положительнойявляетсямат-матрицей.ПоДоказательство.R{t)неотрицательны, aS[t,x\предположениюВположительна.онаявляетсяввидеуправлениеввидеC.9).C.7),ЭтаасS(t)Qлюбом,аналитическом^отличномВ[=[x*t)0,праваяоттождественногоуправленийлишьвжеобластиограниченнойследующемпоx(t).векторебыливвсетакоговкакпредположениюRположительнаприравенствавышеявляетсязадачирассматриваютсяТакнулярегулятороввстречаютсяPполученногочтоконструированиизадачC.13)))+C.49).частьнапомним,значения(см.видевмыоптимальноеопределяет-^-формулойтозаключениедопустимыхчастоJtопределяетсяF0,^очередьC.9),учетомБеллианакоторыйчтоозначает,x*(t)K(t)x=гдесвоювнеотрицатель-C.2),функционалафункцияFифункцииопределениемзначениемu(t,x)ЭтосминимальнымопределяемQ(t)матрицысоответствиипространствонотипа,QизобластьючтоЕг.сЕг.Однакоаналити-значенийвприложенияхпринимающимиуправлениями,Методылю->обзадачипредположении,параграфе.x*(t)K(t)x(t)Поэтомурассмотрены0,>решениятакоготипа0.376Гл.Основы7.РассмотримещеодинПервыепрограммирования.А.М.Летовым.задачиболееПостановка4.1.управляемыйобщихизадачихкотором/{/i,.
.,/n}=заданнаячто/(?,и)ж,остальныхQЕп,илиобластиуказаннойвtпогдеиtпотакжечтоu(t,достаточномымалыхпредположениеx(t)].Еслинатого,функ-tисовокупностии)тривиальное=u(t,решениеQкрайнейпоРешивзначениямередо-при0D.2),КошизадачуфункцияопределенаQобластиизточислом,t <<приu(t,x)управлениеt G@, г),считаетсят.функция,скалярнаяизмененияx)Будемх.\ x°\\^H,D.2)будет?,переменныхстабилизацииинепрерывновектораобластинеотрицательнаяобластиУправлениекусочнокомпонентамследующее.принимает—Q.воноследовательно,и,времениж,считаютсязначениямиx@)=x°,малымоптимальнойуправление1)за-—Кошиизх(?),функцияcj(t,совсемозначаетвышеобН0.>=интервалевдопустимоеих,поеслизначенияt,tэтаu{t)задачирешениипроизвольнодалее,указаннойЗадачавуправлениями=t>0,хбытьможетПусть,напринимаетфункциюгф,Допустимымипозначенияхдопустимымопределеннаяx)ПоследнеетСl,2,.
.,n,=допустимым,f(t,x,u(t,x)),=определим=гдепеременныхq.исчитаетсяпредполагать,управлениеизмененияiдифференцируемохипорядкатакженепрерывноиобластьO,вектор-функцииu(t,x)=замкнутаявектор-функциигде^г,Ег.КромеЕТ,ftGидифференцируема=векторнепрерывныетипауправ-анулевойкусочнодругимиПустьGiJ,^непрерывноиfi(t,f n,f r)—{ui,. .ur}=| х|открытая—непрерывнапеременных,6qс?>0,D.1)иобластивaпостоянная,функциясвязьсистем.f(t,x,u),Gопределенапредполагается,нелинейныханализ={xi,. .,xn}=ееустановитьизамногиерассмотретьуравнениемxвполученысвязанокибернетике.вописываетсяпроцессбылипутипозволяютпозицийнаправленияминаучнымиэтомпрограм-стабилизациикоторойидеирешениивдинамическогонарезультатыоптимальнойсистем,суправлении,методаобзадачтеорииуправленияважнымиоптимальномприменениерешениемобщейзарождениеобзадачтиппроцессовстабилизациисущественныеСоптимальныхтеорииоптимальнойэффективнымоказалоськоторыхобЗадача4.общейсостоитвтом,хичтобыопределени.допу-найтичтобы:такое,уравненияD.3)былоустойчивым;асимптотически2) функционал/uj(t,x,u)dtD.4)Joпринималнаименьшеесоответствующемх@)=х°,возможноеему\ х°\\<У.решениизначениеуравнениянаD.3)сэтомлюбымуправленииначальнымиусловиемсоот-Задача4-обВтомчастномтривиальногорешениястабилизацииоДляобзадачиЛяпунова, определеннуюбудем.нестабилизацииидеямивоспользуемсяV(?,череззада-называетсязадачарассматриватьоптимальнойхп)#i,.
.,функциюЛяпуно-областивtВведем,здесьОбозначимЛяпунова.методаЕеасимптотическуюлишьD.3),уравненияD.1).системырешениявторогообеспечитьтребуетсякогдаслучае,устойчивостьзадачейстабилизации377оптимальной| ж|0,>Я.D.5)<обозначениедалее,D.6)Очевидно,чтоD.5)областиесливыборенекоторомпривыполняетсяB[V(t,x),t,x,u(t,x))тоэтоозначаетсилувуравненияdft])найтиТеорема4.1.имеющуюбесконечноD.5)дляЕслиV(t,x)функциюx)u(t,иx)об-вчтополнаядифференциальногоудовлетворяетж),условиюu(t,x)D.1)уравненияпределвысшийфункциюV(?,функциипроизводнаяD.5)областив=-Lo(t,x(t),u(t,x(t)).D.7)малыйиО,=D.6),D.3),формулысилувсоставленнаяV(?,функцийравенствочтотакие,положительнуюопределенноположительной;онинай-можноопределенноудовлетворяютвобластиусловиям:1)функция2)справедливоu(t,x)cj(t,x,u(t,x))=являетсяравенство;), t,3)быкаковбылнивекторu(t,x)]ж,справедливоиунеравенствоB\V{t,x),t,x,u]тоиуправлениеu(t,x)=>является0;D-8)=0,D.9)Приоптимальным.этомвыполняетсяусловие/uo(t,x(t(,u(t,x(t)))JoMОперациюИнтегралсмысле.всехдляmindtвD.4)прииивсехдляD.1),всемудовлетворяет(см.гл.2,ОстаетсякакизЛяпуновачтоЗначит,выбранномэтовтеоременачалаокрестностиобV(t,x)асимптотическойрешениеu(t,x)управлениефункциякоторогодлятривиальноеудо-устойчиуравненияD.3))функционалфункцииD.4).V(t,x)управлении.управлениеD.8),значенияуправлений.теоремыусловиемалойуказанноеусловиям4).смыс-следующемвозможногодостаточноD.3),приV@,:=внаименьшегоуравнениепараграфdtпониматьнужнодостигаетполучимпоказать,выполненои)стабилизирующихдругихустойчивоасимптотическиТакx)u(t,x(t),JoПодставляяуравнениеустойчивостиu(t,х@)Доказательство.в/minравенствах=состоянийначальныхкоординатпоследнем=минимизируеттополнаяпроизводная7.ОсновыD.7),из378Гл.удовлетворяеттождествуобщейоптимальныхтеориикоторогопроцессовинтегрированиемполучаем/»ООV@,x@)Сдругойстороны,выполнятьсялюбойдляполнаявектор-функциидругойD.9),чтоозначает,u(t,x(t),u(t,x(t))dt.JoнеравенствоЭто/=ииD.6)обозначениясилувх)должнополучаемV(t,x),функциипроизводнаяй(?,=составленнаявсилууравненияxудовлетворяетf(t,x,u(t,x)),D.10)=неравенствуdV(t,x(t))>-Lj(t,x(t),U(t,x(t))),D.11)dtx(t)гдерешение—тоуправление,свойствомдляуравненияD.10).достаточномалого\ x(t)\гдегзаданная—<е,каки=значенияu(t,x)| х@)||t^ooпостояннаястабилизирующее—x(t)решение\ x(t)\lim0,t >прималаядостаточноD.11),неравенствоТак=0.Поэтому,величина.обладаетинтегрируяполучаем/JoТемсамымдоказана.теоремаЗамечаниеЕсли4.1.чтовспомнить,S[t,x],Беллманафункцияпрограммированияметодевдинамическогопрограмми-формулойопределяемая/>ООS[t,должнаудовлетворятьх]Гw,=mm<u(t,x,u)ограничиваетсяегосравниваяЛяпуноваМеханикав) См.,например:СССРза—Наука,можнозаметитьаналогияКакнепоказалинеко-ограничивает-исследования,су-программированиемиоптимальныхметодом7).стабилизацииТеория1968.>,i)D.6),оптимальнойН.Н.М.:AaxЭтаV.идинамическимобКрасовскиплет.^dS%x\?t>^fi{t,x,u)уравненияSмеждузадач50+признаками.связьрешениивчфункциямимеждуглубокаясуществует,частьюформальнымиуказаннымиLu(t,x,u)dt,^^=iправойсаналогиюit/БеллманаatинекоторуюиуравнениюdS[t,x]^то,min=управляемыхсистем/Меха-Задача4-обстабилизации379оптимальнойОптимальная4.2.применимПустьлинейныхстабилизациялинейнорешениюкуравненияxA(t)гдеB(t)инепрерывные—вектор-функциифункционалиu(t)созначениямивимеютвидхпхпигКритериемсоотвек-непрерывныекусочноЕг.пберемоптимальности/>ОО/Jo1[и] =Q(t)гдеразмерностейсчитаемуправлениями=системыпри-B(t)u,D.12)+матрицыДопустимымисоответственно.A(t)x=оптимальнойуправляемойдвижениявозмущенного4.1Теоремустабилизации.систем.обзадачквадратичныхнеотрицательная—положительнаябудемискать(R(t)матрица>функциюоптимальную0),^R(t)положи-—0).(см.Ляпунова4.1)теоремуформыквадратичнойвидев(Q(t)матрицасимметричнаязадачирешения/3u*R(t)u]dt,D.13)+непрерывнаянепрерывная,Для[x*Q(t)xпV(t,х)x*C(t)x=Y,=Сгкхгхк,D.14)г,к=1которойвподлежатCikфункциюБ,записатьНаоптимальномсвоегоfdV\*f^+=J—минимумаэтомприWt)xиуправлениии+u(t,x)=B(t)u)+x*Q(t)xD.15)функцияиусловиясогласнонайденное(см.Vu(t,x)Подставляясво-достигать=0.D.16)функцииопределениюдолжнаусловиечтонаходим,минимумаD.15)Pu*R(t)u.+выполнятьсядолжноB[V,t,x,u{t,x))Изопределяющуютак:dVB[V,t,x,u]D.6),формулуТогдаопределению.можно=D.14))получаем-^-R-1B*{t)C{t)x.D.17)управлениеD.15)формулувиучитываяD.16),условиеполучаемВычисляябудем^CAatpгде0является—квадратнаяЕсли+подставляяифункциюудаетсянайтиV(t,x),определяемаяQ-\+ихC*BR~1B*C=вD.18),уравнение0,Полученноеэлементами.нулевымиРиккатиуравнениемоптимальнуюACсматрицаматричнымопределяющейфункцияD.14)функциипроизводныеиметьотносительноуравнениеC(t),матрицыопре-ЛяпуноваограниченноеэтогорешениеформулойD.14),оказываетсятакое,уравненияположительной,что380Гл.тоОсновы7.согласно4.1теоремебудетобразом,главнаяособенностьслучаесостоитвфункциякоторомуравнениеоптимальнойАаВиимеетдвиженияпостоянныеVфункциюслучаеVстацио-когдаслучая,дляхпQпRи(см.видевлинейнойВи,D.19)+матрицыискатьследуетнауравнения,проведемразмерностейD.13)об-ТакимвидАх=матрицыоптимальностикритериивэтогодлязадачиследовательно,рассматриваемомвстабилизациихгдеРиккатирешениеанализвозмущенного—аD.12).системыограниченноеположительной.Дальнейшийсистемы.процессовоптимальным,уравнениябытьдолжнаобЗадача4.3.стационарнойрешениинайтичтобыVбудетстабилизациивтом,оптимальныхтеорииD.17)управлениеоптимальнойобзадачарешенаобщейхпитакжегсоответственно,Впостоянны.этом3.2)пример=г,к=1гдесне,кг,Риккати1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
