Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 48

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

формулуx(t)представляет±1гдеменееоказываютсяПримервНасмыслеизприконкретныхрешенияинтересуправленияе.обладать.средствомприложенийт.неоптималь-полученногоВ=соптимальности.параграфахпроблемыБеллмана,хтраекторииразрывнойоказатьсяявляетсяоэтомвпо-процессовчтоНекоторыеуравнений.непрерывнойнампредположениеS[t,x\функцииуравненияпривычныхдругихэтаслучаеособенностьсемействоразрешимостирешения.общемводнулишьпроблемупоследующихвОднакозадач.условиепрактическогорассматриватьсячастныхИменноучетомсовместноследует,семейство.стоТогдацелоенеобходимоеэтовкакего(х°(?),и°(?)),x(t).=БеллманауравненияБеллманауравнениехвозможно,полученияфункциюврешитьипроцессфункциюопределено,способаИзоптимальныйоптимальныйнеоднозначнуюA.13)управлениемA.1)уравнениевопределяющегоусловия,решениефункциюu(t,x).A.13)=u(t,x)подставитьтеперьначальногоэтонеоднозначную)возможно,своимвA.1)A.11)БеллманауравнениеdSч-—(щхх,ч+удовлетворяющеефункция.аргументамуравнениих2)+имеетdSполо-следуетвид^—и2),A.14)\,лх)дополнительномуусловиюA.4))S[T,x]=0.A.15)) Примероптимальномтакогобыстродействии.типарассмотренвследующемпараграфеприрешениизадачиоб354Гл.Основы7.Выражение,стоящеепоминимумаобщейскобкахфигурныхвпеременнымии\процессовA.14),уравненияобластивU2оптимальныхтеории1и\^вуравнениеисвоегодостигает1 при^U2dS\(dS\.){)AЛ6)ПодставляянайденныезначениянелинейноеполучаемдхТемсамымуправлениеиu(t,x)=РешивявляетсядополнительногоЧтоН.В.КрыловасистемойУправление2.Идеидинамическогопараграфе,сЗдесьнеобходимыесостояние.получитьВывод2.1.иописываетсяпроцессчастьправаяанализБеллмана.уравненияявнокоторогофазовыйвектор,значениявичтобыуравне-такоеоптимальностиGЗадача=f(t,из) КрыловНелинейные1985;Ин-ткомпьютерныхСубботин—принимающийТаккакже,изипреды-втребования,непрерывнымиопре-=х°.B.2)функционалf=Jt0чтобыисследований,функциядопустимоевсвоихпричемтак,параболическиеиОбобщенныерешения2003.аргументов.переводящееуправление,х1,состояниеэллиптическиеА.И.G(x,u)dt,B.3)непрерывнаянайтиB.2)состоянияН.В.Наука,том,Ег.Скусочноx(t0)снизув{xi,.

.,жп}=исходябылоu(t)),х,ограниченнаясостоитB.1)системуИжевск:про-Кошивозьмем—u(t)=задачиI[u]которомQуправления,ихпараметр,областиуправлениехМ:.управляемыйЗдесьзависит.управляющийдопустимыерешениеКритериемневремени—определимединственное—Пустьf(x,u),B.1)замкнутойиликаждоеопределялоот={ui,. .,ur}=открытойпараграфе,предыдущемМ.,соответствующегоуравнениемxпорядка.полу-иБеллмана.уравнениявсостоя-оптимальностиформевоптимальномконечноезаданноевпринципомоптимальностиобзадачрешенииприпа-предыдущемвсистемувоспользоватьсяусловиявознакомит-траекторииизложенныепереводитьможнояв-уравненийможнонимиконцомплодотворнымитакжетом,временемитребуетсякогдасзакрепленнымпрограммирования,оказываютсяуправлении,исследованийсвободнымиодополнитель-Субботина2).А.И.иВопростребуеттона-управ-необходимымБеллмана.Беллмана,снайдемудовлетворяетнепосредственноуравненийA.17)A.16)оптимальным,касаетсятипапроизводныхознакомится книгамкоторое2уравнениеформуламуравнениемдействительноисследования.частныхU2(t,x)},управлениеимееммыпопо-порядкаdS»'Яо¦AЛ7)дх2задачу,выраженнымэтолиasS[t.x]эту{ui(t,ж),=оптимальости,условиямasфункцииA.15).условиемпервого-определениядляначальнымA.14),БеллманапроизводныхG(tJxljx2)=U2частныхвdS--—ии\уравнениечтобывторогоуравненияуравненийнапервогоэтомпорядпорядка.—Система2.сзакрепленнымB.3)функционалуправлениисвободнымитраекторииконцомдостигалсвоего355временемнаименьшеговозможногозна-значения.обозначениеВведемФ(х°)ТогдасогласноФ(ж°)G(x(s),u(s))ds.B.4)оптимальностипринципуJ/{Jtou(s)enmin=/min=u(s)enможноG((x(s),u(s))dsзаписать/min+G(x(s),u(s))ds\Jto+5tJследовательно,и,pto+5tr°Ф(х°)=Таккак/^гдеSt)+x(t)соотношенииSt)+Xi(t0x(toвектораXi(t0)=+можно+o(St)/.вектора<S>(x(t0преобразоватьB.2),токомпо-образом:следующимXi(t0)=St)}.B.5)+Кошизадачирешение—St)Xi(to)St+компонентаг-я—этом+lJtJ()enвXi(toкомпоненты{G(x(s)jU(s))dsminfi(x(t0),+u(to))St+Поэтомуx=x(t0)B.3)соотношениеиФ(х°)=мож:но\minзаписатьpto+5tfV^fi(x(to)Mto)Nt+Ф(х(?о))Величинапоэтомуправойвminнезависитu(s))dsотееобеI+to\/)v**_B.2))(поделивrto+5t/гдФ(х°)/G(x(s),—+равенстваполучаем1<(см.полученногорезультатеГФ(х°)=частиВоперации.видевmin,операцииможновынестичастизао\f(x,u(to))J+по-иэтойзнакSt)наравенства—-^—-,iО2—I>=0,гдедФ(х°)(дФ(х°)_дх\a(z,w)скалярное—произведениеВоспользуемсямоментх=полученногох(т),времениtтеперьt,^травенства^аto,дФ(х°векторовчтотем,бытьбудемиметьtoможнопределепроизвольныйвзятьx(t)точка"выбранавЕп.пространстве"начальнаяемуможетдхпвкачествевсоответствующаятакже'"'дх\Впроизвольно.приSt—>О=траекториирезультате0.из356Гл.Такx(t)какзаписатьобщейначальнаяпроизвольная—оптимальныхтеориитоточка,процессовможноравенствополученноевидев\(I,\)+СЩ^,/(,)))B.6)и<ЕПегорассматриватьиОсновы7.соответствиикакB.4),обозначениемсдополнительногоОХ))относительноуравнениеэтонеизвестныхитребуетсяуравнениеФ(ж).исрешатьВсо-до-учетомусловияФОг1)х1гдефазовоготочка—0,B.7)=пространства,бытьдолжнакоторуювпереведенасистема.B.5)Уравнениенефиксированнымвременем.соответствующейзадачеПриназываетсяA.11),A.4)ситуацияхтопроцесса,вИчтопредположении,B.3)оптимальностивыведенообB.3)GB.2)системуОптимальноеизвремярассматриваемомдальнейшихобщейЗдесьB.6).1=задачи,изпереходавбудемрассужденияхполу-критериихвточкуперевестиОпти-время.Т(х),черези>(х),е.т.ОднакоБеллмана.функциейпользоватьсяоптималь-чтобытом,обозначимвыведе-критериикратчайшеезафункциейявляетсявврас-пунктебылош{х)ПоэтомуобозначенияхновыхвзаписатьвТаким=отличающейсяот-Т{х).B.8)B.6)уравнение(сучетомтого,Gчто1)=виде\образом,вкаждойдхточкех(х ^ х1)выполненоусловие(?I,B.9)авточкехх1=выполняется(см.B.7))условиеuuix1)Прииэтомсоответствующейвдаль-взнаком:лишьможнох1х1состояниеточкиТ(х)случаевэтомвышечтосостоитзадачах°которойдляпредполагается,следовательно,и,состоянияB.7)GВбыстродействии.оптимальномБеллменауравнениеЗадачафункцияивыполняетсяt.отслучайзадан-время(неB.6),нельзяавтономнаодногофиксированноепредостережение.B.1)временииззапользоватьсявтороесвободномпривзаданномприсистемыпереводесостояниесистемазадачирешениячтолишьометодомзависитчастныйоптимальностиТ(х)неЗадача2.2.рассматриваетсяприменимзаданноеэтимоптимальности).полученаметодаидетречьтакжедругое,впереходногожесоответст-помнить,следуетметодЕслисостоянияпринципизложенногосистемыпроцесса.нефиксиро-аналогичнапараграфа.предыдущегоподобныхсостояниипереходногозаданногоизB.7)сзадачевB.6),задачаиспользованиидругихконечномчтовидеть,практическомкаких-либоБеллманауравнениемЛегковB.9)надостигаетсяравенствоему=0.оптимальнойтраекторииоптимальномуправлениих=x(t).и=u{t)2.СистемасЭтотзакрепленнымвыводоптимальности,непосредственнорассматриваемомучастномуПолученныйслучаю.условийB.7)Беллманауравнением357временемнеобходимыхизследуетдаютсякоторыесвободнымитраекторииконцомоптималь-применительносформулироватьможнорезультатрассмат-кобразом.следующимТеоремаЕсли2.1.быстродействиюфункцияш(х),B.1)системулюбойизточкиопределяемаяможнозаданнуювB.8),равенствомоптимальноперевестиЕпЕхпох1точкуиэтомпридифференцируема,непрерывнотоВ(х,и)B(x(t),u(t))Здесьдля1=1^т^ х1хприлюбогоивсехоптимального?1,B.10)Еи(х(?),процессаB.11)u(t)),обозначениеиспользовано±^MX,u).B.12)1=1lЧтобыэтойпридатьчтопредположим,B.1)уравненииформу,теоремедополнительноиспользования,имеютнепрерывныепервыедифференцируема,непрерывноудобнуюфункции/i(x,u),гчтопредположим,1,.

.,=непрерывныурав-вп,и(х)функцияапроизводные,е.т.использова-практическогодлядваждыследующиепроизводные:Возьмемоптимальныйх°состояния(см.иB(x,u{t))функцияТогдаB.12))u(t))зафиксируемtoвременибудетхB.1)системыпереходамоментыпеременнойможнои(x(t\процессх1состояниевизtoti,исостоя-^t<t\.дифференцируемойнепрерывнозаписатьdB(x,u(t))^_д2шу.dfj(x,u(t))дч>г=1/с=1ПоB.10)B(x,u(t))точкиокрестностивусловияB(x,u{t))функцияпредположениюxi,.

.,xnиB.11).Из_дхкТемгдесамымкС=соотношенийиз1, 2,другойп.. .,стороны,dдхкtoследует,амаксимума,B.13)0получаемдифференцируеманепрерывнох(?),=условийэтихсвоегодостигаетх<ti,чтоипривточкеследовательно,к_12пэтомповыполняютсях=x(t)функция358Гл.Основы7.Поэтому,общейоптимальныхтеорииобозначениявводяB.14)соотношенияможнозаписатьвидев®Mt)),п.B.15)1,2,. .,=обозначениеввестинаконец,кХг=1Если,процессовпJ.тоB.1)уравнениеможноf (qlA. )\LyJuт•*lLL)Jзаписать^\/—fI (r у?/Lyо;•B.15)Соотношения-01,.

.,можнокоторые-^^,=гдеx(t)можно16")Iотносительноуравненияне-к=1,2,. .,п,B.17)оптимальномпридатьu(t))оптимальная(x(t),u(t)),процессетраектория,ауслови-форму:следующуюH(i/j(t),x(t),—какдхкнаB.12)иZi.lUl,2,. .,n.=рассматриватьрассматриваютсяB.11)/•1фп:фкусловиямlLL\B*видевiнеизвестных*aj\^1aij (t)всехприЕио;,определяетсяB.15)соотношенийизиH{i){t),x{t),u{t))Полученный(принципТогдапроцесс.удовлетворяетij (t)иПримерчто:—оптимальныйB.16)уравнениямфункциякакиB.17);переменнойи,B.18).условий2.1.удобнаоптимальностиРассмотримуправляемую±iкратчайшеезакоторую{х^х®}Врешенииприконкрет-ввремях1состояниесоответствиисвыписываем=изперевести1,B.19)<начальногосостояния{0,0}.B.16)формулойX,функциюопределими)=ф\Х2+'02^-B.17):уравнениямаксимума\и\щ=следуетФ\условиясистемух2?2,=Н(ф,ЗатемИз(x(t),u(t))такая,удовлетворяютмаксимумаформулировкаобразом.задач.конкретных=ПустьрассматриваемаяусловиюТакаяф(Ь)функцияx(t),u(t)H(ij;(t),x(t),u),1.B.18)следующиммаксимума).существует1)функции2)функция=сформулироватьможнорезультатТеоремаmaxH(i/;(t),x(t),u)=B.18)фг=0,получаем(t),u(t))==-фг.B.20)Н:х°=2.Системаи,следовательно,сзакрепленнымоптимальное^2{i)определяетсяопределённыепокапредставитьпервойполиномлюбомОтсюдаsign=интервале±1,(c2степениследует,что—c\t).Выражение,можетизменяя(сзнакформулойc2=ис\стоящеезнакнагдеС2опредеможноодногосu{t)плюс)наминусанаразауправлениеилиsign,знакомподболеенеминусне—управлениеоптимальноеплюсаc\t,—оптимальноеизменятьПоэтомуt.изменениязначенияодногоu(t)видевкакB.20)уравнениемпостоянные.ф2(€),ij (t)sign=359временемопределяетсяуправлениеu(t)гдесвободнымитраекторииконцомлю-принимаетнеболеераза.ПоэтомупоследовательнодалееиприПустьповедениерассмотрим1=иисначала=иТогда1.=B.19)изполучаемпочленнооднонауравнениеинтегрированияисключаемдругое,t:переменнуюх2.2#iчтонаходим,B.21)1.==Послепоследова-уравненийсистемуdx\dx2dt'dtПоделивB.19)системырешения1..—х\=-\-71?где7iпроизвольная—постоянная.Такимх\Ох2образом,соответствуетфазовойвизПри(рис.системыэтомуравнениемпок.0).>ClCдвиженияправлениеПустьсНа=—дви-возрастанием7.2.1рис.этона-Рис.стрелкой.указаноитеперьуравточкавверх——вторымфазоваятраектории(т.временисоB.21),траек-7.2.1)соответствиивсистемыдвижетсяпарабол,фазовойявляетсякоторыхэтойтраекториейсоответству-семействооднопараметрическоекаждаяплоскостиB.21)системырешениям1следовательно,и,dx\=dtОтсюдаB.19)уравненияdt7.2.1принимаютвидB.22)-1.получаемdx\ифазовымиB.22)системытраекториямиXIНаправлениет.е.фазовойдвиженияпомощьюХ2второгоуравненияубывает,когдасистема:t растет.являются7.2.2)¦72-=~2точки(рис.параболысвозрастаниемtопределяетсяспо-Гл.360Основы7.общей-,ДляК XизОПодействиемАОВ,линииизисходящеесистемы,фазоваяточка7.2.1одногоразаОднакооптимальноетечениевсеговэтойоднойMNонаПодводяJ.,можно—1,1+1,ТакимPQu(t)точкаеслиточка{х\,Х2){х\,Х2)тоснача-парабо1, апоu(t)=за-оптимальногоуправления:расположенанадрасположенанижеАОВАОВАО,наилипрограммирование,котороеОВ.наилиможеммынеобходимымудовлетворяетусло-оптимальности.условиямОптимальность2.3.полученноевДокажемуправления.рассмотренномт.е.переводитнанижеприводимыепримеру,наТ\процессРис.7.2.4поддействиемвремяк7.2.4,течениевЧерезпроцессинтерес.изобраэтоткоторогомоментx(t)^toчерезобозначимачтопри-конкретномупроцесс,обозначимиозначает,выбранныхтеоретическийрассмотримко-вХотяотносятсявремени,Этоприуправления.имеетрис.происходит.переключения.кратчайшеерассужденияотрезоксостояниядопустимыеопределенностиизображенныйоптимальным,начальногосодержаниеихДля^иззаограниченияхуправление,являетсясистемусостояниечтотеперь,действительнопримере,конечноепроисходит7.2.3),Рис-1.динамическоеуправление,ессистемыпроисходитуправления—закониспользуяопределить=дей-подточки(см-действиемподзаписатьеслиобразом,полностьюпараболевреме-Аналогично,фазовойР^,^)движениедействиемподитоги,оптимальноемомента+1.=онакогдат,координатu{t)являетсяпарабо-поэтогоначаловдвиженияB.19)сначалаСВО.линиюначаломуправлениявремениуправленияеслиАОрис.болеенедвижетсямоментадвижетсядействием7.2.3точкатогонавременилиниизнакдействиемподфазоваядопопадаетпонаизменятьсначала—1=параболезатемдоказанномупроцесса.u(t)—Поизображенныхможетуправлениедвижениеточкой.парабол,изПоэтомуРис.распо-оптимальноеопределяемогодей-подМ^х^^х^),точкурассматриватьподвигатьсяуправле—1.=некоторуюбудемисостояния,может7.2.2.иu(t)точкаВОполупараболеуправленияВозьмемвышерасположеннуюфазоваядействиемподПо—1.которымкоординатАОдвижется=поначаловполупараболеB.19)u{t)управления7.2.2движется7.2.3).системыполупара-семейств,точка(рис.выделимпостроенныхфазоваянауправлениях\Ох2плоскостиполупараболыпроцессовоптимальногополученияфазовойРис.оптимальныхтеорииtпро-переклю={xi(t),xi(t)}управления—«(*)=+11приtoприаt <^^t^се,t\.B.23)^Система2.сзакрепленнымПредположим,существуетпереходнойх1чтодопустимоеизпроцесстогожеОчевидно,онx{to)обетого,x(t)функциисвоемприРассмотримX2(t)(tжеа).Такначальному,*?X2(t),X2(t)ч={xi{t),x2{t)}.={x^x^^xtf)=Очевидх1={0,0},=гдеti.B.24)подчиняютсяХ\'исходнымобекак,B.19).уравнениямU,U(tf),to \°^B.25)ч=X(t)функции:две—состояниеСоответствую-управлении:\I Х\X\(t)—x(t)иконечноеусловиюв <КромеКаждаяx(t)х°=удовлетворяющийвремени,жепереход-времени.черезусловияммоменттовсуще-которогопромежутокобозначимпроцесснекоторый—х°короткийТогдадействиемпод361временемоптимальным.1,^состоянияболееудовлетворяетявляется\u(t)\начальногозауправлениючтонеуправленией(?),{0, 0} произойдет=Соответствующийэтомувэтоуправлениесвободнымитраекторииконцом—x\(t)=x(t)функцииx2(t)(t—(t)fиt^в.^се),—X(t)удовлетворяют—xi(t)=одному—томуитоусловию,X(t0)X(t0).=Аналогично,X(h)Вычисляяспроизводные,X(t)СогласноопределениюможнопереписатьX(t)чтонаходим,се),-Интегрируя^видеX(t)1^@1^\t=получимu(t)(t=(см.а\.—а).-B.23))изпервоеПоэтому,учитывая,пределахотэтихравенств\u(t)\что1,^-^(ОнеравенствополученноеB.25)X(t)u(t)управленияв0.B.26)=соотношенийучетомu(t)(t=Х(в)=вX(t)Jt0Jt0toдо6,получимdt>dtИЛИВB.2)силуиB.26)последнеенеравенствопринимаетХ{9)Сдругойстороны,(таккакпопротиворечит=Этоможетдоказывает,Х{9)t\противоречиеЭтоне-=[JeJeв).>гX(t)Отсюдаг[dt=\tа\-Х(9)чтоследует,<00,чтопроти-B.27).Полученноеto,X(ti)предположениюнеравенствувыполняться.0.B.27)>имееммы-Х{9)видозначает,попастьвчточтопоказывает,чтоуправлениеначалофазоваянеравенствовыйдяточка,координатB.23)раньше,действительнох°изчемвявляетсяB.24)вмоментнеможетмоментвы-временивремениоптимальнымt\.362Гл.Основы7.быстродействию.потерминаПоэтомуоптимальноеобщейможнопроцессовобоснованнымсчитатьупотреблениеиспользовалоськотороеуправление,оптимальныхтеориитер-процессевпостроенияи(х1,х2).О2.4.дифференцируемостиуравнениянеоднократноформальной,являетсяиспользовалисьтакразличныекакбудемрассматриватьчтоЗначит,парабола,проходящаяфункциюпопредположения,быстродействииоптимальномB.19).фазовойточкипараболепоэтиуравнениямидвижениепроисходитивсеобзадачуоптимальное7.2.3)рис.этуслучае.описываемогопроцесса,управляемогопредположим,являютсяБеллма-функциисвойствконкретномяв-исполь-проанализироватьобоснованнымиполучениипроцедураобоснованияотносительнорассматриваемомвПриизлагаемаядостаточноговозможностьдаетнасколькомереИтак,безэтомприпримервыяснить,икрайнейчтоотмечалось,предположенияРассмотренныйБеллмана.Беллмана.функцииБеллмананачинаетсячерезизB.22).семействаизпредполо-М{х\,х^)(см.ПоэтомуМ^х^^х^),точкудляСначалаопределяетсяуравне-уравнениемxiКоординатыпараболпересеченияаЪиB.28)-\[xl-(xlf]+x\.B.28)=(см.Nточки7.2.3)рис.1XIОтсюдаАбсциссаNточкиизМпересече-условия2~Х2.=чтонаходим,точкиизнаходятсяиNввдальнейшемпотребуется.неизопределимвторогоВремяфазовойдвиженияB.19)системыуравненияиприИмеемdx2=~Жи~'поэтомупаbАналогичнопонаходимвремях%-=/-dt=to-a.B.29)фазовойдвиженияточкиизNвначалоВО.параболеИмееми,значит,f0-Ъ=ИзB.29)иB.30)dtt1-a.B.30)=получаемТ(х°)=t1-t()=xl-2b=xl+2Jx\+1 (ж!>J.B.31)координат=—1.2.СистемасЭтузакрепленнымформулуначальнаяАОВ.формулыНапример,М(х\,х^),ссовпадаетЕслиипричемначальнаятечениеточкалежитАПоэтомуБеллманафункциидлях°2темспособомжеточка=ли-N1.устанавли-если!х°точкаАОВ2\\—х\+1+2,-формулыэтойдифференцируема.Покажем,каждомуизсамомчтовидно,чтонаделе,х\.иточкапустьвнех°точкаАОВлежитэтойлинии,этойлинии.М(х\,х^)наТ(х°)функцияфункцияэталежитилиАОВлинииАОВлиниих\аргументовсвязанынележитнаимеетАО.дуге0,иэтойвТогдаточке_хо+Поэтомус{хоJB.31)формулыучетом0'мдТ1=из=4Л1-щмB.32),формулыдТбудемто=иметь100,='dxjмдТ=дх2о1~dxjисходитьХп._—имеемдТдх°0„о=м1 +=—00.дифференпопроизводныхсоотношениемпричемжех®}наилиеслинижеВ{ж?,==—х%Из(х°2J-B-32)формуласправедлива2+\+вышеТ(х°)Еслиидвижениятонаточтоустанавливается,координатылежитАО,линиивремениАОВ,на-проверяетсяточканавсегонижеЛегкоэтакогдарасположенавчтопредполагая,АОВ.линиислучая,дляМ{х\^х^)если363временемполучили,мывышерасположенаэтойсправедливостьлинииБеллманафункциидляМ(х\,х^)точкасвободнымитраекторииконцомо.еекоорди-364Гл.ТакимчастныеМвышевыводлежитнадугеболееприменениемстрогообоснованный3.ЗадачаобОднопрограммированиясвязаноуправленияпроцессом,аналитическомЗдесьхx*(T)Fx(T)непрерывныематрицы,положительнаяCматрица,GEn,Fи(а*,Ма)[x*(t)Q(t)x(t)A(t),Er,Gнеотрицательные—dt.C.2)f3u*(t)R(t)u(t)}+{uu..

Характеристики

Список файлов книги