Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 44
Текст из файла (страница 44)
.=fti ^Jможноуц,. .возможногоформулы,уmr,(Pi,v)=a,—W(t,s)через1, 2,=последующие+..\h"nl\ti)Тогдакдостигаетт\/fti (tj)P=гto)x°упроститьПустьвремениA(t)x,==W(T,Xl-E.30)E.31).чтобытогообозначения.моментзначения.обозначимu(t)сводитсяусловийвыполнениивB.7))=величинакоторыхE.2)возможногоуправлениезадачасамымсоответствующеевектораcТемдопусти-найтичтовеличина/ц(?),черезкомпоненты—времениуравнения(см.условиямчтобытом,такое,обычно,какТогдаc\,.
.,пара-удовле-моменты. .,г;условиемhiV(tVj)vVjгдевременивремени,max{H,. .>mJ}E.30)=задачи,tE.29)ахматрицы1, 2,=внаименьшегорешенийматрицунормальнуюгначальнымE.3),своегорешенияфундаментальную^состоитусловию/приотзависящиемоменты^видакомпонентамиуравненияэтомfi+i<управлениемсудовлетворяетТне—фиксированныеft<?тц,. .,—фиксированными.импульснымрешение=toсчитаютсяуправлениеемуt,?Шгнеравенствамtи1, 2,=t\. .aуправления,удовлетворяющиеtjг,.
.,1>^-ф,E.29)=придатьУправление5.ДляполученнойрешениякпервыелишьзадачиЕт,обозначимНЧерезпредставимыхлюбыеанезависимы,зависимы.пространствачтопредположим,линейновекторовлинейносистемысилой331минимальнойсвсистемек+Pi,. .,Pn1этойвекторовподпространствоhвектороввидевкhY^OLiPuE.33)=г=1гдеvакai,. .,ЕтGоднозначнопредставимОчевиднотакжебылисвязанысуществуетсобойтойудовлетворяетE.33),формевсистемойимеетуравненийпостоянныеPijгдеиE.34)вj-я—гопределимсистему,.дт}..а^,однозначноE.34)векторh,векторзаписан-определяемыекэту{дькогдасуществу-чтоследует,тогда,cei,.
.,^2Р^=сг,Решивci,. .,cnкотораячастности,толькоиудовлетво-постоянныезависимостью,втогдаE.33)векторчтобыдостаточно,линейнойОтсюда,E.32)условиямзаписанныйжеPm.Pi,. .,векторамимеждуичтобытогодлянеобходимомеждувекторg±H.E.34)heH,g,утверждение:E.32),условиямh +=любойчтоочевидно,видевvудовлетворялТогдапостоянные.произвольные—компонентаh°векторН,ортогоналенPj.вектора=1, 2,E.33).формулепоток..
.,ТаккаквекторимеемВекторыР&Р\. . ,линейнонезависимы,поэтомук21, 2,=j=k+lv=lАЗдесьэлементадополнениеиГрамаопределитель—j-йE.34)можноAiuРк,настоящегоопределителя,формулуТеперьстроки.v°этогоPi,. .,векторов—представитьалгебраическоеi-roпересечениивстолбцавиде="Ij=k+lj=k+lгде/г?,. .,h^Этапостоянные.—компоненты/г°,вектораформулаgk+i,произвольныйопределяет••9т•,посто-произвольные~удовлетворяющийвектор,со-E.32).соотношениямТакимзадачаобразом,сводитсяh°kдостигаетсвоегоПримернаименьшего5.2.значенийтехпараметров+^aljgj,\h°k+1+gk+1\,. .,значения.ПустьХ\определениюквеличинакоторыхуправляемый=Х2+описываетсяпроцессUi,±2=^2,0уравнениями<t <Т,\h°m+pm|I332Гл.сначальнымиxi@)условиямибудем#2@)\ui(t),а,=u(t)вектор-функциисчитатьзадачиПростейшие6.=u2(t)где^1,^2,^3ТребуетсяперевестисистемучтобысвоегоПрежденаименьшеговсегоI")-vss(t+Ц- Y-E.35)0=возможногочтонаходим,Поэтому(моментныезначения.рассматриваемомвслучаеv).*=(;?)•\(\(-а-ЪТ\(hi,соотношенияпринимаюти)(h2,u)ci,=наc2=E.35)управленияхвид(ft\i;)гдескалярноеЕ3,&vозначаетh1{^1,^2,^3},=(ft2,v)cb=произведениелинейнопроизведениевекторов{1,2Т/3,7/3}=c2,E.36)=h2ипространст-в{0,0,1}.=h1Векторыинезависимы.Поэтомуминимальнойвекторопределяютсяизaih1=a2h2,+F.44),условиямпостоянныегдеиaiопределя-а2уравненийсистемы(hОтсюдаудовлетворяющийдлины,v°формулепоопределяется,h)ai(h+)a2jh(ft.ci,=,)aift+(ft,ft)c^2=C2-чтонаходим,-ЪТ),ах2(Т)=»-«¦»>=0пространствеftуправлениямичтотакие,величинадостигалаиДопустимымиu2(t)}состояниевХ1(Т)так,управленияпостоянные.произвольные—Ь.=v25=оптимальногоа2=5[аТ-Ъ+^ТЧ),S=[2+^-''следовательно,Г/^-<*Bа=Далее,изЬТ),+Т-5(Ь+-а+-^-Ь],5[-Ь+-агр2/ггл+ci=0,=чтонаходим,^сеобразом,в=<се,се,постоянная.вещественнаяпроизвольная—Такимпредставим\условий(h1 ,д)где2Т2любойвекторv,виде| \E.37)удовлетворяющий—се}•условиямE.36),пред-h26.Оптимальноебыстродействиеv®, v®E.37)гдевекторкомпоненты—zчерезсе,/своегодостигалаЭтааИз6.6.5чтообозначимлинийонаДля~'\и6.5.5являетсяаа0значениеM2Mi,зна-E.37),формулувТЛХ6Jзадачи,E.38)всегоодногопримередовольнопросто,а.параметрапараметров;рассмотренномвнайтиудалосьпользоватьсяследуетчтоотнеизвестныхэтогоб~\отметим,зависящейотысканияудается.плос-апараметраэтоЛ~ГвеличиныоказаласьприемНауправлениеэтойанализзначениечтото=\потомутакойv%.<череззначениемI(v°-Tминимальноепрохонайти6.6.5)—ПодставивоптимальноеЗаканчивая(рис.=искомымMq.точкиu°(t)v%—Рис.видно,искомоетом,<6.5.4абсциссыопределяем—f-3,>функцийэтихпересечениярис.а0значениеТграфикипостроимVoРис.прямаячтобызначения.что=попарногоэтавТ1VIтосостоитгеометрически.определённости,иО,—век-параллельнуюиE.38)озможногоvv°-|amaxдляаприЗадачаЕ3пространствевеличинарешаетсяпеременныхТочки6.6.4).наименьшегоПредположимтрехмерномv°=333управлениявекторуvкоторомпри=легкозадачаплоскостикак(рис.параметраВортогональнуюТак(v^v^v^)точкузначениеL,прямую{—Т/3,1,-1}.=v°.вектораопределяетвекторупроходитv®исилойограниченнойсввеличинеВобщем/применитьнелинейногометодамипото-случаенепрограммиро-программирования.6.ОптимальноебыстродействиесРезультаты,изложенныелинейнымиуправленияпозволяютзадачедоказатьобоптимальномвнекоторыеспараграфелинейнымпокритериемсодержательныебыстродействиисистемахуправленияпредыдущемсистемамилинейныхвсилойограниченнойотносящиесяутверждения,длялинейныхрешениюзадачипоз-оптимальности,систем.кза-334Гл.Постановка6.1.управляемыйпроцесс,xA(t)гдеB(t)ифункцииL^to,u(t),=T).toточкамииB(t)u+t<to<t<T,F.1)f(t),+разрывасоптимальности.уравнениемпхпиТ,управленияусловияпхгДопустимыми<оптимальногоописываетсяразмерностейизиUi(t)=A(t)x=матрицы—функциязаданнаяНеобходимыекоторыйзадачи.РассмотримзадачиПростейшие6.f(t)соответственно,считаютсяуправлениямипервогоМоментрода.вектор-компонентаминепрерывнымикусочнощtвремениза-—Т==считаетсясвободным.Заданотакженачальноеусловиеx(to)=x°,F.2)ажелаемоесостояниесистемыконечныйвмоментtвремениТ=определяетсяравенствомx(t)=x\F.3)вх1которомзаданный—вектор.задачаРассматриваемаячтобыобдопустимоенайтибыстродействииоптимальномиуправлениеu°(t),=состоитвудовлетворяеткотороетом,усло-условию{\Ul(t)\,.
.,\ur(t)\}^u,F.4)maxпричемчтобытакое,удовлетворяловF.4)условииТакимобразом,F.1),КошипревосходящемТ,минимальномприF.2)Посто-to.заданной.считаетсяэтомвзадачирешениеемуF.3)условиюvПостояннаясоответствующееоптимальностикритериемслучаефунк-служитфункционалIТребованиеоF.2)состояниячтотом,/W(?,s)Обозначимi-йчерезэлемент=xl-/ц(Т,i)столбецг-йс{Т).вектораКошиto)x°W(T,-JIW(T,соотношенияхизF.8)одногоегосоотношениеТеперьТ=вкаксостояниязаданногос/циоттак.условиямобиF.8)управлениеприминимальномможноaCi(T)черезпереписатьв—виде.
.,п.F.8)невA(t)x,=а1, 2,заранееИменноВзадан.задачепоэтомусоотношенисистемыпереводавF.7)F.8)иявноТ.параметразадачунайтиТребуетсяF.4)этого=параметрдругое.врассматриваемуюсформулироватьF.3)условиирассматриватьследуетзависимостьуказанаудовлетворялоtвременисостоя-dt.F.7)t)f(t)B*(t)W*(T,t),F.6)гМоментхуравненияматрицыТогдаизсистемуc(T),F.6)=матрицас(Т)переводитсоотношениеW(T,t)B(t)u(t)dtфундаментальная—u(t)=моментноедаетЛогдеиуправлениеF.3),состояниевT-t0.F.5)=оптимальномu°(t)Т,чтобыпревосходящемсфорудовле-можноуправлениитакое,оноto.Оптимальное6.быстродействиеИменнопоследнююэту,котораяТеоремаоб2)вэнергиейокончания(Г°,hxсистемелинейно3)междупереходногоТогдалюбыеиоптимальномметодику,/гг(Т°,?,А)г-«я—компонентавзадачечтоимеетA),hk(Г°,t)зависимы;с(Т°)существует/i (T,?),. .компонентыiудовлетворяют1, 2,=г,F.9).
.,условиюAlCl(T0)требованиям,t). . ,вектораЛпAi,. .,постоянные/i*(TV,z/sign(Г°,линейнонихвектор-функциямиu°(t)=извекторамеждуиуправление=1сп(Т°)чтооптимальноеhxк +ci(T°),. .,зависимость,u°z(t)iжепроцессаt) вектор-функциикаквремякомпонентамилинейнаяже(Г°,hnто. .,hn(T,t).атуобуправления.оптимальногоt),. .,внезависимы,гдезадачибыстродействии;оптимальномтаиспользуярешенииприПусть:6.1.момент—решать,6.4ограниченнойс1)Т°параграфевбыстродействиибудемзадачуприменяласьуправления335силойограниченнойс+иуправлениеAfccfe(T°)+..и°(?)=lF.10)=удовлетворяетмоментнымсоот-соотношениям(Л<(Т°,*),и)=с?(Т0).(hi,гдеи)минимальнойсуправлениисТсилой5.1теоремойбудемпараметром,чтонаходим,L^tojT0).вегокаждомпри.
.,*,1, 2,=элементовСчитаяДоказательство.соответствиигпроизведениескалярное—решатьконкретномсуправлениеобзадачуВзначении.минимальнойсилойупсоот-имееткомпонентыUi(t,T)h%(T,где?,А)i-я—=Aft* (Г,signкомпонентаЛ),*,г=1, 2,г,F.11). .,векторакA,апостоянныеитребованием,соотношениямА&Ai,. .,чтоопределяютсяусловиюF.11)управлениеАвеличинынахождениянаименьшеезначениеобозначимчерезпостроениякритерияJ°(T),оптимальногоформулуимеематхспособасоотношени-F.8).Дляамоментнымудовлетворяет-1^2\hhl)T,t,оптимальностиегоподчеркнувуправлениязависимостьнаходим,отпараметрачтоJ°(T)Т.=А(Т).Изспо-336Гл.ЗдесьВыводы.6.2.задачиПростейшие6.управлениявсеповторятьследуетливрядоптимальногоприве-рассуждения,денныеприреденныеприрешенииобзадачиустанавливаютсябыстродействииоптимальномПоэтомууправления.ограничимсярассматриваемойвограниченнойсздесьэнергиейфактов,констатациейлишьтакзадачекакже,управ-которыеэтоустанавли-сделанопарагра-впараграфе4.4.J1.Функция2.ОнаJ°(T)=непрерывнанеограниченноТпривозрастаетt0.>Тприto—>0.+графикиПоэтомуJ°(T)JJпеременныхТ1<ТэтихзначениймоментомРисТг,этомэтотмоментF.11)следовательно, функцияпереходитВтомF.2)состоянияобЗадача7.НачинаяA.M.работсисследованиямисостоянияПрисистемы,Естественнаяэтоме.Мыспециалистов.КакпоказанопростонаходитьполучатьвпрограммноесинтезазадачирешениеПостановка7.1.5)Т.1-го21,конгрессаСм.:А.Летов№4-6;1961.ИФАК.A(t)x=Т.—29,+М.:Изд-во4;этойглавеисчисления.сравнительноудаетсяпро-переходомполу-уравнениемt°<t<T.G.1)I-IVрегуляторов.Р.СССР,вариационно-описываетсяB(t)u,КаллманАНВклассическогоконструирование№так-многихрешения.предельнымпроцессАналитическоеМ.—путемзатемазадачи,вниманиеуправления.управляемыйх—такимфункциякаквариационногоПрименениеПустьееиссле-квадра-управления.привлеклиметодыоптимальногозадачи.вариационного исчисления.сбралсяформулировкааобисследованиясвязаныискалосьаппаратуправление,состоя-задачаоптимальногорешенияразличныепараграфе,общихизкачестваинженернаяклассическийнастоящемимеютмногиебылисинтезаеерассмотримиспользоватьпредлагается5),управлениеинеF.10)решения.критериемаппаратаусловиеПоэтомуимеетприложениямзадачаматематическаяарегуляторовоптимальноеаналитическогопростотаv=F.4).некоторыхрешаласьзна-следователь-и,системуКаллманаееивт.Р.иоптимизации,функционал.квадратичныйтакжеЛетовауправлениязадачJиконструированииоптимальноготеорииJ°(T)=ситуациианалитическомz/,F.9),условиятакойве.F.5)возможноепереводящеговыполненииприбыстродействиипрот.функционал=функциейJu(t\=явля-доказана.функцийиF.3)состояниеоптимальномпографикиТA(t°)теоремауправленияизадаче,наименьшеессамымТ°оптимально-переходногоусловиесовпадаетТемкогдасуществуетвТ°=F.10).случае,неточек,Тприусловиевизименно,значениивыполняетсявремени<НаименьшеерассматриваемойпринимаетВзначение.а(Г°окончанияв1ПРИ6 66.6.1).быстродействиюпопроцессакото-Г0,!11,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
