Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

.,изопределяютсяуравненийсистемып^2[vi,vk]akгCi,=1, 2,=п.A.24). .,k=lПолученныйТеорематоЕсли1.3.задачаобстрокиA.2)постоянныек +1однозначнощСледствиефункцийТогдаA.4)иискомое/i ,. .задача1.3оптимальноек,/i&,<представитьв[и]2любыеанезависимы,При=A.24).уравненийзависимы.допол-A.23),видевсистемылинейноп,линейноимеетсIпредставимоизhnнезависимы,A.1)системыоптимальностикритериемуправление/i ,. .,системытеоремедляопределяютсяПусть1.2.извсформулированнаяилинейнопроцессомиTLdвразрешимагдеW(T,t)B(t)управленииусловиямиобразом.следующимматрицыоптимальномдополнительнымиоднозначносформулироватьможнорезультатсформули-этомрешение.можноуправлениевидекг=1гдеоднозначноодai,.

.,определяютсяизуравненийсистемык,Vj]ajДоказательстволинейнымэтогоитойжевлинейнойСледствиеэнергией,собойтойнесколькопримеров.будем,авиллюстрацииявляетсясобоймеждуобимелаибылифункцииизследствияполученныхрезультатовми-необходимоA.20)чтосуправлениирешение,соотношенияхдоказательствудляDоператорсвязаныvnзадачазависимостью,аналогичнонечтотого,hn.1.3,спк.. .,г>1,.

.,теоремеi,. .,линейнойизфункции/i ,. .,обобщеннаявпостоянныежеичтобытогоуказаннаячтобыДоказательствоприводитьчтоДля1.3.минимальнойдостаточно,междуA.20)зависимостью,1, 2,=вытекаетследствиясоотношенийсилуi=Ci,исвязаныhn./i ,. .,1.2,теоремырассмотримиегоУправление1.Примерэнергией295минимальнойсПусть1.2.управляемыйописываетсяпроцессXi=X2~\-U+l,Х2сначальнымиU2A.25)условиями=0.A.26)=ж2@)Условия,должнокоторымконечныймоментзададимвремени,Спомощьюж2A)-l,=будем=x2(?)}конеч-в2,A.27)=функционалсчитатьf11[и){xi(?),=видевоптимальностикритериемx(t)решениеудовлетворятьa;i(l)ауравнениями=/ [2и\Joи\+матрицы1V/функционалможнозаписатьвидевIгдеи={1x1,1x2}управляющий—Поэтомуположительна.ееотображающий/=Г1v(t)1[и]иu(t)=Следовательно,изкаждаяA.25),задачиэтихA.26)требование+о+гх2—2uiix2]dt<наопределенL^O,X2(t)A.27)условий=Joприводит1)иГ1Г1[u1(s)ЕслизаписатьэтиВводим+(l-s)u2(s)]dsсоотношениявAuiОтсюданаходим,видефункциивспомогательныечто-l,/=моментнымк=A.20),v\/li,Av2u2(s)dsтои==получимс^2помощью^2-определяет/соотношениям/JoJoвсех00.принадлежитs)u2(s)]ds,выполненииОнусловиюфункцийформулами(tJoПоэтому[и]2.=удовлетворяющих[2и\решениеформулыпомощью1[и]видев{ui(?),u2(?)},споло-иоператор,Au(t).=представить=себявсимметричнаположительныйкакрассматриватьL2@,1)можноАМатрицавектор.можнопространствоФункционалфункцияхu*Audt,соотношений2.A.28)со-296Гл.оптимальноеиищемуправлениезадачиПростейшие6.оптимальноговидев(Апостоянныепричемныеи71итогеполучаем2-7i(7i*d-27222*)"этоподставляяопределяем,72ВA.28).соотношенияуправления2"управлениевмомент-уравнения-1,=72-1.=ПоэтомуПримерПусть1.3.Х\toгдеиТ=управляемый#2,%2+—%2=фиксированные—^3>Хзмоменты(t0)Ж!Систему<=требуетсяж2(*0)Т,A.29)состояниесистемыперевести1.2,переменнуюпоследнимфункциивозьмемA.30)условиямобразом,ПроцессТоТоXl{to)Состояниесистемыв——ТомоментдопустимымиvДля=v(t),решения<ТХ2.соотношениямизадано/ [v\t)+v\t)]dt,=Jtoабсолютноявляютсяудовлетворяющиезадачивведем=-i)непрерывныеA.32).условиямBvtх2(Т)=х\,A.34)управлениямиэтойтак.функционалслужитJ[v]<времених1(Т)=х\,причемсформулироватьможноX2+V0<t<4-i, V0=конечныйоптимальностикритериемс0.A.32)теперьЖ1?X2{to)=соответствииравенства=задачу—вКошизадачейТл Х2Х1-Х2,ЧтобыпараметраТогдах%-=справедливыv(T)=рассматриваемуюописываетсяL^(to,T).v,=A.31)иv(t0)ТакимEиметьисогласноvбудемu(t)=управляющегообозначениеA.29)изикачествеввведемих%уравнениемпричемх3(Т)=0,A.31)функционалсчитаютсятеоремойфазовую0.A.30)==управлениямивоспользоватьсяж3(*о)х2(Т)=х1служит/Допустимымиа&=состояниевоптимальностикритериемфункцииt <<Начальноевремени.Х1(Т)=х\,ауравнениямиU,to=соотношениямизададимаописываетсяпроцессоператор+v,0<t <Т,функ-Управление1.определенныйнадваждыудовлетворяющихиэнергией297минимальнойспорождаетA.32).энергетическоедопустимыедифференцируемыхнепрерывноусловиямОнНвv(t),=а[v1,v2}Поэтомукритерий/=[v1v2Jt0ДляJ[v]оптимальностипостроениянормаиможнонемввоспользуемсяхарактеристическогоэтойуравненияинтерполяционныйf(p)exppt,=W(t,s)АсистемытКорнямичислаexp{A(i-s)=если=1\x2(t)J\0=exp{-(tехр{-(*о*о)}LLПоэтому1.—видэто~J^t{t_~s)ввидеA.33):Коширешениеl-exp{-(i-S)}WexP{-(t0\0удовлетворяло»у» \v(s)S)}-JA.34),условиям¦при-соотношениямехр(?--T)]v(t)dtх\=-х\A-ехр(?0-Т))х\-=сьA.36)exp(tЧтобыпроизведенийчтобытом,моментнымк=имеетАу.Jt0 \Требованиер2f(p)lзаписатьГ* * Пприводити(x\У V^2to)}\--(I=задачирешение-s)}ееу()характеристиче-0=функции-A.35),теперьр\чтосистемыВыписываемуравненийсистемы-У2A.35)=произвольнойнаходим,Wit=матрица—s) однороднойУ2,длявиде[v]2.являютсяполиномПолагаявЛагранжа-Сильвестра.полиномом[v,v].=представитьW(?,=[v]2dt,=КошиматрицытT)v(t)-левымdtчастям(см.=9i(to)согласноJ[v],exp(t0T)x%-соотношений=придатьскалярныхвидпроизве-gi(t)функциивспомогательныевведемc2.иg2{t)соот-A.21))(-91+92Ix\-=этихНв,пространствевсоотношениямиТогдаявляютсякоторогопроизведениещу2}+J[v]функционалэлементами•>скалярноеv(t),=определеннымформуламиопределяетсягдеvположительнопространствоvуправленияфункцияхявляется=теоремеопределяется1-9i(T)ехр(?=1.2-Т),-д2+д2g2(t0)=g2(T)0,оптимальноеформулой°).A.37)=управление,exp(t=-Т),t0<t <Т,0.минимизирующеефунк-298Гл.Постоянныеи71подстановкиизнаходятся72алгебраическаяуравненийсистемапостоянные71управлениеu{t)Примери1.4.заданногоРасматриваетсяинтервалаПроцесс0времениописываетсяхгдевеличина,известныехарактеризующаявходногоапостоянные,и[общаяt <изменениямерыхсоответствующейсодержаниеТогда<качествевТфункционала1\этомсостав-x2dtконечноговыходеис=Joоптимальном/Расходыпродукта.u(t)=и2.пропорциональныu{t)управлением[a2x2на0интервале<¦состоитуправленииA.38)связяхидополнительныхслучаеиуправлениюx(t)Двукратнымфункциона-минимизациивусловияхх@)Внекоторой—множитель.обприCивыражениеммасштабный—Задачавсвязаннаярасходов,суммаопределяютсяа2апродукта,концентрация—концентрацииh[u]гдетечениеФункционалреагента.беретсяпредпо-ввCщA.38)+ах=Joнареакцияскоростьюколичествоположительныесоставляющейхимическаяуравнениемх—v.=Т2).t <<искомоестроимипостояннойсреакторвобразомтакимлегкообозначенияуправляемаявводитсяПолучаемаяОпределивA.37),вышепослеполучаетсяA.36).решается.введенногореагенткотораяфункциюзатемпомощьюуправлениясоотношениялегковычисливи72счтопредположении,моментныевоптимальногоуравнений,системыA.37)управлениязадачиПростейшие6.u(t)=C=Joх(Т)0,=решениесоответствует/формулыизвестнойприменением1.=Дирихлеможнодоказать,что/x2(t)dtf32=JoJoJoJou(t)exp{a(t-s)}exp{ce(t=f32J/о-[ J[r)}u(r)drdtds=K(t,r)u(t)u(r)drdt,Joгде1vп^S)='ShWT-r)}ехр{се(Т-г)}exp{ce(i—а) См.,Наука,1972.Линапример:-С.21.З.Б,МаркусприЛ.Основы-теорииt)\t>г,приоптимальногоуправления.—М.:Управление1.функционалПоэтомуДh[u]=аэнергией299минимальнойс"попадания"х(Т)1=/Г\а\JoIIfK(t,s)u(t)v(s)dsОбозначаячерез1\[и]аГт+а\/JoDинтегральныйK(t,s)v(s)dsможноD,какv(t)гдеопределяетсярешениеявляетсяинтегральногоA.40),уравнения/v(t)функцииСледовательно,известнойоднозначно.Этотого,этимперепишемапостояннаявидl.A.41)=постояннаяопределяется7v(t)функциюнайтиинте-решениемпридатьсоотношениемопреде-7являетсяможноравенствуостаетсяуравнениеA.40),v(t)чтоexp{a(T-t)}v(t)dtJoи=jv(t),силуэтому7/3ПриВопределеннам,видевуравнения7[^v]равенствомположительнопредставитьинтегрального1-элементанормувиде1.можно=формулойu(t),+в=показать,управлениеt)}.A.40)-энергетическуюзаписатьи0—dsкакможнонетруднооптимальное1,A.39)=определяемыйs)u(s)рассматриватьA.39)соотношениеОператорdt(Зехр{а(Т=оператор,[v,u]поэтомусостояниеуравненияK(t,функционалиG Ив-,u(t)v(t)+интегральногоv(t)конечноезаданноеввидевfa1=a2C2Jточкипредставитьрешение—видевдвижущейсяможноJov(t)представить\I а\ JoJ\ K(tJs)u(t)u(s)ds^u2(t)\dtJJoусловиегдеможноизA.40).уравнениявидевt{а(Техр—s)}v(s)ds+oа2Гт+—aJtехр{се(Т/t)}-{a(Tshs)}v(s)-ds=C exp{a(TA.42)t)}.-обозначенияозначенияВводяr(t)ftfT=JoJtA.42)уравнениеav(t)exp{-ce(Texp{ce(T-s)}v(s)ds,можноq(t)записать-t)}+вa\r(t)sh{a(T=sh{a(Ts)}v(s)-A.43)ds,виде-t)}exp{-a(T-t)}+a\q(t)=a/3.Гл.300Продифференцироваваего,хр{-а(Г-управленияd[r(t)2sh{a(T'-*)>]-q(t)A.44)избудем'-*)}]-2d[rsha(T-(T-t)}}dta\f-d[rаIt+ТItтожеполучаемa\ d[r(lt)}]-общееt) exp{ce(T--t)}0,=ехр{-2се-(Г--уравнениеможнорешениеr(t)=2аг+гЕгоa(Tshсамое,exp{-2ce(TОтсюда-v(t)sha(T-t),A.45)=иметьdtчто0.=чтоследует,=v(t)exp{a(T-t)},следовательно,или,,2Лa{q(t)A.44)A.43)соотношенийr(t)а,+dt'dtИзи,оптимальногополучаемt)}]-задачиПростейшие6.записатьвexp{-Ai((T7iа\г—-=0.с2ехр{-А2(Твидеt)}+t)},-гдеAi,2ИзA.45)уравненийv(t)ciAi=чтонаходим,exp{-(AiПодставляяа)(Г+следующуюГа2=0,=0,aAi1-dexp{-AiT}ПервыекоторыеформулойформулуравенстванайденодваизуравнениявыполняютсяИзA.47),A.41)полностью.этойс\однозначнонаходимтакс2,с\Темсамымкото-равенства,форму-определяютсяиv(t\функцию7-А2инаходимопределяемпостояннуюсобойAiкакуравненийпоследнихдвух0.=представляютичлены,с2:0,=-ехр{-А2Т}с2системылюбыхприA.46).+А21СоA.47)?)}.подобныеис\--приводяиотносительно1-—а)(Г+A.44)уравнениевUAiехр{-(А2с2А2+уравненийсистемуdt)}-функциюэтуполучимA.46)-a±=соптимальноес2.помощьюПодставляяихкоторойуправлениевизЛинейные2.системысистемысбылипараграфепредыдущемсуправленииквадратичнымРассмотримдифференциальныминуюпрежнихA(t)x=выше,идиф-описываетсяпроцессотносительнокомпонентыB(t).u(t)ивектор-функцииUj(t)которыхA(t)матрицявляютсятеперьуправлениямиixr(t)},to<t<T,B.1)B(t)u,+предположенияхдопустимыми.

.,оператором.уравнениемxприКакдопусти-гильбертовадругогоилиположительнымситуацию.упчтоL^to^T)изоптимальномпредположении,внекоторымтеперьобзадачирассмотреныфункциипорожденногоуправлениемкачестваявляютсяпространства,импульснымкритериемуправлениямидопустимымиуправлением301импульснымЛинейные2.ВспредставимыОднакодо-{ui(t),. .=видевrrij%(*)Е=ЧкЧ*Ф,-J1, 2,=г,B.2). .,к=1S(t)гдевремени,функцияимпульсная—удовлетворяющиевыборомпараметровB.2)видабудемлюбойи=u(t)РешениеS(t)Lp{tM{tcp(t)B.1),представить3гдеэлементыWij(t.s)ЕсливидB.2),будемXi(T)гдеhiv{s)=РассматриваемаяТребуетсясоответствующее емукомпонентами=моментаtвременитакому=изsин-управлению{xo1,.

Характеристики

Список файлов книги