Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

.,системывида1, 2,. .,п.A.8)линейноhn(t)чтоочевидно,=подпространствонезависимыхиприh\(t),. .,этомНпространстваhk(t)Управление1./с-мернымявляетсявэнергией289минимальнойслюбаяиh(t)вектор-функцияНЕоднозначнопредставимавидекг=1ТеоремазадачаЕсли1.1.торешение,этоДоказательство.чтоонооднозначнообvP(t)Н.принадлежитпредставитьэнергиейимеетН.Пустьнеминимальнойсуправлениипринадлежитрешениеоптимальное—Тогда,управлениесогласноЛеви,теоремедопустим,иегоможноодно-видевu°(t)v(t)=w(t),+v(t)w(t)Я,eЯ,JLпричемI «°(*)II2Тактоw(t)какiJ,JLIK*)II2=avP(t)Ik(*)ll2.+IK*)ll^o.(i.9)моментнымудовлетворяетA.8),соотношениямполучаемIе.т.состоянияе.т.v(t)A.4).управлениеA.2)внауправлениисостояние1(и°).чемh*(t)v(t)также1, 2,=переводитИзп,. .,A.1)системуA.9)соотношенийA.5)противоречитминимальнойгCi,=функционалvЭтоdtследует,принимаетзначение,опредположениюсостоя-<котороеи0чтотом,из| ^(?)||что—| ix°(t)| 2,меньше,суправлениеэнергией.Введемв/(hi,Iдверассмотрениеhi)(hbhn)\/(hi,(h2,hn)..(h2,hi)..\(hn,hi)матрицыhi)IIдж(h2,hi)(hn,hn)J\(hn,hi)..(hi,hn)(h2,hn)....(hn,hn)..c\сcjгдеПоacnci,.

.,компоненты—ММатрица. .,hn(?),aMcA.7).векторасобойпредставляет—расширеннаяhi (?),. .вектор-функцийГрамаматрицусистемыматрицапгСогласноматрицыB*(t)W*(T,t)/ц(?),функцийопределениюМчтонаходим,М=Jt0W(rjможног==представить1, 2,. .,1, 2,. .,п.A.10)какп,ввидестолбцовматри-290Гл.ТеоремаэнергиейДля1.2.имеласовпадали.задачачтобытогонеобходиморешение,ПриэтомзадачиПростейшие6.иобоптимальногоминимальнойсуправлениидостаточно,чтобыуправлениеu°(t)оптимальноеуправлениярангиэнер-МматрицпредставимоМсивидевкг=1гдекrankM=rankMc;=аjfпостоянныеявляютсясистемырешениемуравненийгhk/i ,. .,которойвлинейноСогласноминимальнойсA.12)1, 2,независимы.Доказательство.управлении=предыдущейэнергиейимеетобзадачатеореметогдарешениетолькоиуправлекогдатогда,су-функциясуществуетг=1котораяудовлетворяетфункциюA.8),соотношениявчтоеслисамымA.10)имеетПодставляярешение,е.т.итолькоrankMкогдаОстаетсядоказана.оптимальноефунк-этутогдаразрешиматеоремыторешение,будетзадачачастьперваяимеетзадача=показать,представимоуправлениеA.11).видеИтак,пустьмаксимальнымчислом.

.,hn(t).ПоминимальнойсуправлениепринадлежитвчтоуравненийТемrankMc.=A.8).соотношениянаходим,системакогдатогда,вмоментнымН,подпространствулинейноэнергиейразмерностьоноравноизи0ономакси-определяетсявектор-функцийк.ПоэтомунезависимыхпредположениюТогдасуществует.которого/i (?),. .системыможнопредставитьвидекu°(t)^Mt),=г=1таккакпоотрезкеA.8)х)соотношенийВ[?о,Т].Подставимрезультатеci,. .,Следовательно,оптимальноеПриочевиднымвимеетимеетивидэтогоA.12).уравнений7??A.11).•••>ПриСледо-7&-обязательнонетеоремыможнонасоотноше-решениедоказаннойВместоМс.независимымоментныхсистемуединственноеиспользованииМлинейнокпервыеполучим7гсистемауправлениематрицыhk(t)управлениеопределенияэтас&практическомвычислятьвоспользоватьсявы-следующимрезультатом.СледствиеэнергиейДля1.1.имеламоментныхчто)Остальныетакивектор-функциипкаки—кпостоянныеиз.,.hn.,спсвязаныA.8)тойCiлинейнойжеhn(t).являютсямеждуминимальнойпостоянныесобоймеждуh\(t),. .,соотношенийсуправлениичтобысвязанывектор-функциис\1.hi,.былиобдостаточно,иA.8)соотношенияхсоотношений,задачачтобытогонеобходиморешение,зависимостью,чтоэтодлязаданных/i (?),.

.,функциипредположениюследствиямисобойтойсоотно-предыдущихжелинейнойзависимостью,вУправление1.ПримергдеПусть1.1.иu\U2энергией291минимальнойсуправляемыйпараметры,управляющие—Допустимымиописываетсяпроцессдпостоянная.—вектор-функциисчитаютсяуправлениямиуравнениямииu(t)==которыхдля+uidtU2\<оо.оТребуетсянайтисоответствующеедопустимоерешениеемуиуправлениеu(t)=A.13)уравненийсистемычтобытакое,ссоот-начальнымиусловия-условиямиудовлетворялоусловиямxiA)=x2A)=x3A)=x4A)а0,=функционал/=/оэтомприВсвоегодостигалнаименьшегорассматриваемомвозможногоW(t,случаеAt010и,следовательно,s)0значения.W(t=s)—и0\001th00001DБ=1/¦©•Такh\{t)какиметьполучениярешениеданныхI—Отсюда=Согласнокимеетсобойзадачаначальных10о\11 -t0о10001000г»0г»-11-il I/лr\-10010001/000—771компонентыZ,с2изимеетже=ит—1.1,теоремылинейнойрешениес3—1=выполнениит+/o\01-t)/11гл1-1W't^»0/1с^-,\-9—сп+^.минимальнойпостоянныеqсвязаныhi(t).вектор-функцииусловияп--.A.16)=управлениикогдачтоприк +обтогда,зависимостью,+пзадачатольколишьполуче-С:вектора—Z,тогдарешениетой=ДляA.7)):1гможетA.14).01вполнеэнергиейданных(см.Снеминимальнойсспециальныхследующие—системарассматриваемаяуправлениивекторследствиюэнергиейобприполучаемс\тосовпадают,задачапостроимС---/<ftмеждуIi2(t)лишьэтих^^ПоэтомуиПоэтомууправляема.A-15)(см.A.15))По-292Гл./i (?),вектор-функцииПосколькуоптимальноеищемуправлениепостоянныегде7i,и72моментным/ h*1(t)u°(t)dtэтивA.16),[cl,=Подставляя6fc6/—+согласнооптимальногоуправленияЪ(п+Завершаяимеет21-этогопримера,лишьприи7зc4.этомусло-74:-*;-/,=+п+иA.16),д)--(ппд.-+3Bfcд)+21энерсуправленияизкри-другиминих.Vjj.(Du,v)=u(t)функцияхнамногообрезиячтоэнергией.минимальнойсзадачсмысле,опти-рассмотреннаяминимальнойопределенныйT)томчтосоператор,u^t)иp)t.+n-д).—A.16).некоторыеL^O,2/+-(п—g)t,+п-управлениирешенииположительныйв+напомним,обРассмотримввиде3Bfcраз4/+u\(t)вуправленииприЗг=компонентызадачиисимметричен74условиярешенияплотногод,—ещеобметодвсюду——21выполнениизадачи—некоторогоЭто(и, Dv)дляизчто:означает,всехииVD;2)выполняетсянеравенство{Du,причемимеетравенствоОператорDмногообразияVjjи)^местопорождаетбылоКакTLd-черезЭтовс0.=предыдущейкотороеоноглаве,образуетсяобозначимзамыканиемнормев(Du,u).=гильбертовым,и=управляемыйрассматриватьA.1)Vd,пространство,[u,v]БудемиприЕискалярноепроизведениенемвформулепоопределяетсявсехприлишьотмеченоявляетсяпространство0энергетическое[и]2уравнениемудов-=при72,—1+анализоптимальности.D=41-(п 3-применим1)Dh*4(t)u°(t)dtучитываяипредставитьрешениеоказываетсяПусть=A.15)-Зк=вышекритериями274можно-Зк=ОбобщениеПриведенныйиз72u°(t)ul(t)энергиейA.17)74+72д),—u4(t)1.2.fотносительно+72/2+формуламПоэтому,задачаоп-чтонаходим,—u°(t)вектор-функцияc2,=функцию7i=тонезависимы,(t),A.17)чтоусловия,уравненийсистему27i/37iлинейно+74/14h*2(t)u°(t)dtсоотношенияполучимОтсюдаj2h2(t)+изищем74h±{i)иуправлениясоотношениямJoJoJoусловие/ц (t)71=fi2(t)оптимальноговидевu\t)удовлетворяетзадачиПростейшие6.начальнымусловием(Du,v).процесс,A.2).Допустимымикоторыйописываетсяуправлениямиурав-будемvУправление1.сминимальнойпространстваTLd-Придопустимомуправлениифункциисчитатьиназыватьподбудемtвсех1^@,Gиг-йЗадачаNстрокиЗдесьhi(t)R(t)Q(t)иA.19)I[и]2=при-управленияfнепрерывныследует,допустимыеи@)K(t,s)K*(s,t),=допустимыеQ{t)управленияT~ClD,г1,2,=управ-и(Т)=0;=dt,A.19)K(tjS)u(s)dsичтоаматрицы,порожденныеQ*(t).=этихвоб-случаяхсоответствую-операторами™+Я(*КD\наu(t)ВозвращаясьGобразомвK(t,Jos)u(s)дваждыZ/2@,T).Тогдабытьпоставленнойи(Т)=какпредставленывыпишемзадаче,/Joh*(t)u(t)dt=icuVi(t)вектор-функциивспомогательныеDvi(t)=hi(t),г=с1, 2,асоотноше-п.A.20)помощью.

.,п.A.21)нормНгв.моментные1,2,. .,=в,уравненийопера-A.18)квадратыпространствахвыше=оптимальностикритерииэнергетическихдиффе-непрерывнои@)условияммогутсоответствующихкds,наопределенудовлетворяющихочевиднымu(t)бытьдолженфункциях,функциях/0<?<Т,соотношения:Введемта-усло-u*(t)R(t)u(t)u(t)]dt,A.18)условиямпространстваоператорэлементовu(t)=начальнымоптимальногосимметричныеэнергетическиедифференцируемыхA.19)сфункционалэтомзадачи++иA.1)приu(t)Q(t)u(t)+u*(t)K(t,s)—иуправлениедополнительнымположительнымиL>2иявлятьсямогутdоператорявляютсякоторогоуравненияA.4)непрерывныеfA.18)непрерыв-п,допустимоерешение[u*(t)Q(t)u(t)JoJoи1,. .,=компонентынайтиудовлетворятьматрицыявляетсякачества:/—б)I2=причемна-значение.задачJoигвектор,условию=соответствующимибудемW(T,t)B(t).критериямидолжныN[u],—чтобывозможноеa)hобразуютбудемэтомчто<матрицытакихQ(t)Придальнейшемвуправлениитакая,емуследующимиИзи)удовлетворялоПримерамигде(hi(t),том,внаименьшееуправлениядопустимомсоответствующееA.2)принимал(ихусловияэлементыконкретномпригт-=Т).состоитчтобыусловиемtипостояннаяэлементамитакое,A.2)A.3).функциюпониматькаждомпри0=2.СуществуетприA.1),условиями).точкахвкакрассматриватьзадачирешениемследующиеA.3)1.Функциянепрерывнойможнокоторыеэтомu(t)основнымигдеu(t),=выполненнымипредполагатьсоэнергией293эле-294Гл.Такэтиhi(t)какA.20)L^O^T)Еоднозначноуравненияможно6.Простейшиеприлюбомразрешимыпредставитьрассматриваемуюг,товTLd-оптимальногоосновноговторогосилувуправленияТогдамоментныеусловиясоотношениявидев[viMизадачиг=cuсформулироватьможнотеперьзадачу.

.,п,A.22)1, 2,=обра-следующимобразом.Средиu°(t)управлениеегодопустимыхвсехВсоответствиилинейночтобытакое,минимальной.быланормауправленийнезависимы,Леви,требуетсяНвEиипредставитьупэтомприVi(t)функциичтопредположении,внайтиA.22)условиямможнозадачирешениеu(t)=удовлетворялоонотеоремойсивидев<*Mt),A-23)г=1гдепостоянныеоднозначноапai,.

Характеристики

Список файлов книги