Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

.,видгиперболическимии=колебаний1, 2,=собственныеусловияхтригонометрическимиграничные=граничныхдругихfce)+кеслисобственныхчастотыу rFp(lсобственныеимПри..соотношенийизописываются0,A2.6)=значения=формулойсХ"A)=собственные==7гzk\аХA)=имеетгопределяютсяидентифицируемостьчтоследует,Х@)инаблюдаемость,Управляемость,5.колебани-управленияколебаниями.Постановка12.2.задачиявляютсяизастержняизнекоторыхсвремяэтихзадачудаетсявкоторойтребованиями,функций/j,k(t)иг/^t),Рассматриваемая26)H2(t),=^fe(t),к0, 2,набор=Каждыйодного.классическоеопределяетСм.,задачапоканеограничиваемфунк-управляющихобобщенноеилирешениенапример:Егоровуправление,Т.К.аппаратами.А.И.,М.:—Знаменскаяинтеллект.Л.Н.—следующем.вСиразетдиновГ.Л.,космическимиупругимиОптимизация,состоитуправленияДегтяревнапример:управления) См.,(обзор)//2,иф(х),A2.7)=A2.7).задачиоптимального0,=Фурье.задачейкраевойщ@,х)uxx(t,0)/i^(t)кромекРешениеметодаприменением(р(х),=функцииуправляющиеколеба-гашенияод2и.и@,х)никакимиЗдесьуправлений.описываемыйпроцесс,(д4иполногограничныхполучитьуправляемый26)исследований27).задачпомощьюза-приложенияприкладныхразличныхконечноеРассмотриммногочисленныеиформулировкамиограничимсямытеоретическихРазличныерезультатов.имеютстержняпредметомколебанийФормулировказадач.колебаниямиуправления2000.ТеоретическиеМашиностроение,Управление—№5.—С.основыоптималь-1986.упругими112-121.колебаниямиЗадачи12.колебаниямиуправленияопределитьфункцииТребуетсяуправляющиеu(t,x)решениемомент/х&(?)Какпоказаноможновозмущениявремяравноu@^200^(t)Г^—'2Ciгдеvo(t)j >o(t)щ(г)и^(t)=формулампоA2.9)типаможно^Здесь/с,Z,у07П,^(t).иky=сосредоточеннымиТребуетсявдругой—lu(t,1)иммоментвремених)управ-них.ивф(х),A2.11)=предыдущейmv(t),+aзадаче,y@)y(t)опре-жетипа,обфункцияизних—распределеннымисистемы,{u(t,x),решениеt=Ттогосостоящейсистемой,управленииОдинсу0.A2.12)=управляющая—идетколебаниясоответствующеезадачдругихизуравненияречьпогаситьнекоторыйчтоэлементов,арядазадачейщ@,типа,+образом,параметрами,чтор(х),=a,v(t)взаимодействующихдвухх)постоянные,—Такимзада-функциямиоднулишькраевойжеatчторешенииОтметимдифференциальногопомощьюстерж-краевойод2итогоуправлениесколебанийуспокоенияописываемыйA2.10).описываетсяи@,определяется1определяемымиисистем.процесс—задачапри(д4иi 2{t)т.е.y(t)}удовлетворяетобъектпараметрами.найтис/хг(Осистемыизсосредоточенныиv(t)такие,A2.11),A2.12)условиями(Т,х)=щ(Т,х)=у(Т)=0привсехРешениерассуждениями.хG^2(О?—процесс,использоватьупругихУправляемыйже0, авоздействиями,=внешнимиколебаниямигдеv2(t)2t-—CO8тарешается/хг(Орезультатуправления/^(t),=+СЬA2.9)2/2управляетсяЭтот^(t)0,этослучае=2—образомA2.7),задачейрассматриваемом=паа-1n<P"n™™когдаслучае,ввоз-постоянная.Аналогичнымстержняначальные22/2^cos^^-^mrsin^^LJn=lпроизвольная—колебаниямиуправления(ввремя=ими1.A2.8)<хвоздействий,00Г2n=lLемуопределяемоеформулами-V=О <задаче/хо(?)определяютсясоответствующиеусловиям0,=конечноеполагаяичтобыуправляющихзаа/тт),=0>такие,рассматриваемойвпогаситьТ2,удовлетворяетграничныхпомощьюО,=щ(Т,х)=ниже,сстержняkA2.7)и(Т,х)Твремениui/k(t),задачикраевойстержня281упругого@,1).задачиполучаетсядостаточнопростоследующимирассужде-282Гл.Независимоy(t),отонабудут/хг(ОсГ1Г1l4(t)=-JoJo/»1/\/»1=-Jo\идентифицируемостьсоотношениямивыборограниченколебанияпогасит(см.формулампоопределятьсяy°(t)какимитого,совместнонаблюдаемость,Управляемость,5.еслистержня,A2.9)il>(x)G2(t,x)dxip(x)G[t--,x)dx+CuA2.13)+A2.14)il){x)G2{t--,x)dx-C1,JJoк^функциифункциидвеA2.10))и<p(x)G!(t,x)dx+этигдеOO._,Gi(t,X)>^nSinn7TX7Г=9П^—чочСЮ97Г._,^—ччG2\t,X)S1I1t,>^7Г=9П_-,ПCOSП7ГЖ97Г1.COSn=ln=lCiПостояннуюТа/тг,=е.т.выбираемчтобытак,выполнялосьу(Т)условие0,=гдеполагаемп_Определивобразомтаким(используяформулеA2.13)Формулызадачиздеськорочеv(t),Еслисотрезоканало-решениемпараграф),предыдущийособенности.важныеколебанийэтокоторогоопредезарезультат(см.струныуспокоениятечениеколебаниягасятполученныйдвеполноговремени,вкоторыеОнизадачи.полностьюколебаниямипросматриваются1)].A2.15)поставленнойрешениесравнитьуправления1.Времяпонаходимуправлениеlu(t,-ky-даютиа/тг.0 доотвременианалогичнойто/Jj2{t)управленияm^=A2.15)иискомоеA2.12))v(t)определяютy(t),функциюсоотношениеболеестержняможносделатьчемвразатрикоро-колебаниямиуправленииприструны.2.ВозможностиA2.13)t=ит,е.т.A2.14)A2.14)можнопредставитьlAit)=LVIt,x)GiПереходявэтихформулахпринципуобратнойсвязивзятыравнымивщ(т,х)ф(х).=приспо-управления(р(х)некоторыйТогдаинулю.получениядляфункциинужношире,полученф(х)имоментвусловияхвремениA2.13)формулыивидевГ1и(т.о(р(х),/ [u(rix)Gi(t,x)Jo~былистержня=гораздорезультатиспользоватьэтогосостояниеи(т,х)щ(г)иможноДлякакположить/хо(?)аz/2,связи.рассматриватьстержняЖелаемыйиспользуются.иобратнойпринципуA2.11)не^(t)Формулыповсеуправленийпомощьюколебаниямиуправленияонизадачирешении+х*кI +)\пределущ(т,x)G2(t,x)xиЛт,щ(т,x)G2@,х)]—It,x)G2приt-^x*г,I +)\получаемut(r.dx,x)G2@,управленияx)dx.поЗадачи12.колебаниямиуправленияyo[t,u(t,x),ut(t,x)}=f-283стержняупругогоu(t,x)G1(t,Jout(t,x)G2lt,v[t,u(t,x),ut(t,x)]УправлениеОнистержня.задачейВA2.7)полагаютсятонулю,завремявнешнихпредставитьвутверждения^(t)воздействияхвидеfi2(t)ииA2.10)A2.9)зада-краевойописываетсяпроцессv2(t\fio(t)a^o(t)ико-успокаиваюта/тт.=этогоколебаниямиуправленияберутсяуправленияТдоказательствазаданныхеслифункциямистержняДлячтотом,впараграфанастоящегопунктезадачрешенияуправляющимиравнымиколебанияпредыдущемрезультатызаключаютсяиA2.15).формулепонаходимДоказательства.сформулированы12.3.былиdx.чтотем,воспользуемсяVi(t))иA2.7)задачирешениезадан-приможнопредста-ОО-1un(t)-2,u(t,x)Xn(x)dx.n=lобеУмножаяуравненияколебанийграничныхусловийчастисравенство,2d2unучетом(nirLunCll(рпВТогда=/2f1f1JoJo2(n7rK[z/o(t)можноcosnTrполученноеsinnirxdx,фпсделаемпредставитьA2.16)1,2,.

.,=условий/2=ф(х)sinnirxdx.заменуввиде-jcosn.(П7ГJи,интегрируяуравнениям—начальныхучетом(f(x)A2.16)уравненияхихсрешатьнужноик2=+которыеХп(х)наприходимМ2(--COSП7Г—,п=1, 2,..следовательноUn(r)=(рпcosn^Trr2_+Ф*,т27гг'2+Представляярешение(птгJзадачиA2.7)COSП7ГCOSП7Гввиде/i2——,sinn27r(r—s)ds.284Гл.наблюдаемость,Управляемость,5.\°°I/u(t,x)ш=х—,[/(г,=ж)идентифицируемость^"^=^'п=1ичтоучитывая,A2.8)условияCOSЮпПтогда?Фп?27гТтН—SinП2ТГП7Г2(птгJг/0Jг/( ( L2—п22тгsin(рп+Ттгде—/Г1Jo^cosтг1тпcosптгm-\//(^2—V;[Jo)к2.к—/H<^Г1ЛГ2пUo/sinnГ1irsdsfasz/2(/a(l-—is)\2/^2Vотсюдакак/Lio*¦I—Vcosя"/ncosnTrsinn2Tr(l)cosлЛ2)J/^чтонаходим,—ПТГусло--s)ds{as\(asV *¦ /V—ILcoscosn2Tr(Tr)fиA2.18)/i2—isinn27r(TrГ ГЛ^COSJ^^2п2тгAsinптгптг/i—s)ds—A2.17)0,=2—^A2.18)0,=ТтположитьГ Г1/(птг)+s)/-;1,=тоГ1Г Z1x2//=—/птгf(a(l-s)\/i02sinnj—s)dscos—V^птгcosncosп2тг5//a(l-s)\2(/i0п^тгз5)—2sin.л.тгA11dsл^=—)cosnTrcosn2Tr(l—5)/¦,тгA.Г1 Г Г.,|мо/аAs)\—IXI\(as+Щ[ds117^=cosn2TT5,=sinn2Trsd5—четырех^(l-s)\/asнеизвестныхфункций\х^и0,щ.0+0.тоA2.19)0,=ТГ=относительноnл/s) ds—уравнения(птгJ+as—fas\2/y0Г1sinn2Trs,cos—\kj22пихds—/шЛ.z/n—(птг)+s)—cosnTrcosn2Tr(ldstis—дваполучаем\7Г2n+Такfas\/J+(—1)пфп{\A2.17)равенствах1^@,1)?вЦ—/iO(—птгжвидеUo\z/o( (+cosn7r)вfa(l-s)\Д2/2—ЕсливН^грпz/0(записать(—1)п(рп+[Тт/^Уо/V71"sinкогдатогда,Н~)—r(птгJ7ГТТПполнатолькоиV71"mTrinтгТ/а.=можно{sinnTiic}функцийсистемавыполняютсяUn(r)A2.20)12.Задачи/jLo(t)Положимвнешнихвозмущений,отсутствииихВколебаниямиуправлениящ(г)=стержня285упругого0,=будеме.т.спроцессомуправлятьизгибопределяющихнастержняегоэтомслучаеA2.19)уравненияЛA2.20)ипринимаютвид0,A2.21)/Г1 ГL(a(\-s)\М2I—V(asX\(V2-/V^/J^9п2тшcos—ds,,=0.A2.22)Isinnкак1.

>(!-*Л^2^1fas\2A2.22)уравнениеCOSПcosn)flZ7T7Готоот-присмещения.=Такпомощьюконцах21715aStisasможно_=^,1=/i^представить/a(l-s)\/as\IV])\тгтг>Г1dI—J—Следовательно,2/Jo/i21Vможно^I—1(—")разлож:имвsinn/i2nS0'U/»7n=lsinn7rsds,// аA—V2nS)\-^-^.ХАналогичноостальнымиопределяется/Jo2—"1Г1/asV2\2Sinnслагаемыми—\k715,ряда.имеемгде^2—=у,715as,as,z/2n2Smnт1-0.=поСХ)n=l7ГdsФурьезаписатьгдеtisп2тг5sinрядыas\n=lч\±2п2.Ii/2[U-^)/a(ls—^)\l,/x2видевz/21иd—2Функцииf1sinn7rsds.A2.23)системе286Гл.УмножимпоA2.21)равенствавсемп1, 2,=В..A2.23)ибудемитогезадачиПростейшие6.оптимальногоsinn27rs,науправленияазатемпросуммируемихиметьгдеооооmО/(s)\^="^/\ 7i1(—1)>2•П7Г2/0/\SinniDj)^7Г5,E)^="^/1\п—-t(—1)П7Г>2/2/•^Sinn-iA2.26)7Г5.оо/°\п=1п=1ИнтегрируяA2.25)равенство/аA-8)\^гдеСA2.27),А_7Гпределахот(as\Г>=oРешаяпостоянная.произвольная—вполучаемГ1—L2fюпф0{з)5,будемdg+иметьс^A227)A2.24)уравненийсистемуитгАr(a-7rt)/ai—V0 до)аI +/гр+(s)as\JoJGo,с2"'Таку?E)функциикакокончательнои^(s)/222^cos^^t-^nTrsin^^tтоЭтотсстержняможновозмущениявремяТравнопомощьюц%(€)i/§(t)заa/тг),определяютсявотсюда1+СЬA2.28)A2.29)рассматриваемойграничныхпогасить=»o(t)ичтоозначает,результатколебаниями2(Лn=lLгдеA2.26,)формуламиопределяютсяполучаемзадачеконечное(ввремярассматриваемомuo(t)=0,формуламиfjL2(t)=nl(t),A2.28)v2(t)иначальныеслучаеполагая=коле-управлениявоздействийуправляющих=A2.29).z/?(t),этоГЛАВАПростейшиеполученныечтопоказывают,также(см.управляема,1)гл.былиестественнотипаявляетсязадачамисостояниядопустимыенасистемыЗдесьжеосновномчтотем,процессысостоитпростотаменеематематическогоподобныхзадачоблегчаетпутьпроцессов,котораяУправлениеобЗадача1.1.вуправляемыйдифференциальнымивреше-ихдляболееилифактовмаанализболеепоследующихпривычнойиоптимальныхглавах.двухэнергиейэнергией.которыйпроцесс,чтотом,теорииминимальнойсуправлениинихпредварительныйминимальнойсиИхрешаютсяуправлениясложнойдостаточнорассматривается1.рассматриватьтеорииобщейпониманиюизэлементарныхПоэтомупроблематикуделаетквОниизвестныханализа.этойуравнениями.аметодов.функциональногодостаточнопростейшимлинейнымидостаточноинаформулировкиформулировок,использованиемпростокосостоя-накладываемыхпосвященаспециальныхявля-ниже.описываютсякоторыхтакогонихограниченияхТакиеглавеизодногоограничений,приводятсяэлементарностивразработкатребуетсянерешениянеизоснованауправления.настоящаявуправлений,Задачиразличныхприиуправленияотметим,управлениясистемувремядопустимыеиоптимальномпроцессаоптимальногозадачсистемОднойбыстродействии,формулировкаееуправляемогоповедениедругихобТочнаяописанииуправленияпоискеуправлении.переводящемууправления.подробномвсистемкритерию.иномуоптимальномкратчайшеезаозадачитомууправления,состояниекачестваилизадачапоискудругоевнаобраспространеннаяпосвященакотораясостояниязаданногоанализеприразличныепонаилучшимидовольнотембесчисленноесистемах.рассмотретьназываютсяодногокритериитакихвявляютсякоторыесразнообразныеуказаныпроцессовПоэтомуВместепо-управляемости,существуетизсистемусостояние.обзадачиобычнотопереводящихзаданноепереходныхисистемауправленияисследованииприеслиуправлений,множестводругое,оптимальногозадачиРезультаты,бБудемдифферен-линейнымописываетсярас-уравнениемto^t^T,A.1)сначальнымусловиемx(to)=x°.A.2)ПриэтомфункциихпЩ^ъ,классасчитаютсяпредполагается,размерностейматрицых°Т),иA(t)что=u(t)пихпзаданный—GL^to,B(t)игвещественныеа^оиТДопустимымификсированные—мат-непрерывныеf(t)вектор.Т),—соответственно,—функциязаданнаяизсчитают-управлениямимоментывремени.288Гл.Тогдакаждомудопустимомууправлениюx(t)W(t,s)гдеW(t,to)x°=+фундаментальная—задачиПростейшие6./нормальнаяприx(t),ФункцияОнанепрерывной.решенийздесьобзадачаЕпЕТребуетсянайтизаданныйA.3)непре-почтииtвсехприu°(t)=задачиследующем.вL^to^T)A.1)-A.2)EКошичтобытакое,соот-удовлетворялоус-условиюх(Т)=хгA.4)ифункционалэтомприГ/=1Ы12=достигалсвоегонаименьшегоФункцияи?«?(*)<**A-5)значения.u°(t)=называетсяэтомприсуправлениемминимальнойэнер-энергией.Решениеэтойкактомупроблемасможнозадачитойпомощьюполучить,жеиспользуятеоремыподобноЛеви,теоремупредыдущейвглавеисследоваласьпро-управляемости.ИзA.3)формулыкогдатогда,чтоследует,u(t)управление/JA.4)условиевыполняетсятогдатолькоисоотношениюудовлетворяетW(T,s)B(s)u(s)ds=С,A.6)toгдеГТ1Обозначаяэлементhi(t)черезG,вектора[?о,Т]линейноLJ(?o,T),к(к^п)изТогданезависимы.состоящееизэлементовгCi,максимальное—вектор-функцийB*W*(T,s),матрицыачерезqг-йнаотрезкеэле-получаем=ПустьW(T,s)f(s)ds.A.7)Jt0столбецг-йA.6)из[x1-W(T,t0)x°-=изРассматриваемаявектор.состоитиуправлениерешениеабсолютноA.2)A.1).управленииемууравненияявляетсяусловиюпроизвольно—оптимальномсоответствующееA.3),формулойуравнениюх1далее,однородногоA(t)y,=начальномуудовлетворяетПусть,f(s)]ds,A.3)+Коши).определяемаяудовлетворяет[?о,Т]отрезка(матрицаsфункцияWt,s)[B(s)u(s)Jt0матрица=управлениясоответствуетptуtоптимальногочислоh\(t),.

Характеристики

Список файлов книги