Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 41
Текст из файла (страница 41)
.,п,ЕслиучестьC.8)втеперькC.8).функционалаизВлишьможно=у(Т)C.2),соотношений. .,п,C.12)1, 2,=to)y°V(T,строкуввид=I-Jматричном[V(T,з)ф)равенствеds.C.13)C.13),сфор-Обозначимвектора-верхнююпридатьгcu=силуC.8).видВернемсяанализ.C.1),видеC.2).видепридатьt).
Тогдакомпонентыh[u]гдеееB*(t)V*(T,h*(t)u(t)dt—Сфункционалуобщийвможноминимизацииматрицы/q,1\[и}записатьиметьJt0гдеизадачиг-йможнозаписатьифункционалуобщейвышеC.10)иобъединитьможноПостановкасформулированнойчерезC.11))иC.10)3.1.C.4)уравненийсовокупностьатофункцио-C.3)308Гл.bVo(T,t)Здесьуправления,оптимальногоуправления+строкаV(T,t).матрицыфункционалавместопоэтомуиV°(T,to)yo=верхняя—задачиПростейшие6.ЪВеличинаДбратьможнонезависитотфункционалh*(t)u(t)dt.ПолученнуюобразомтакимТребуетсяиC.6)соотношениямудовлетворяласформулируемзадачуфункциюнайтиu(t)=образом.следующимLr2(to,T)eчтобытакую,удовле-онаи(huu)гCi,=.
.,п,C.14)1, 2,=функционалаI0[u]этомпринаименьшеепринимал(u,v)ЗдесьТеоремапринадлежитонозначение.элементовпроизведениесформулированнаяЕсли3.1.вНзадачаЬ^о^Т),СU2.извышеподпространствуставимыи)возможноескалярное—(h0,=имеетторешение,элементыпред-котороговидепиУ ^jhj.=г=0Прит.этомискомоеvP(t)управлениепринадлежитC.6),шараграницее.\ и°\\Доказательство.ПустьСогласноуправление.u°(t)v(t)=имеетзадачаЛевитеоремеегорешениеv(t)u°(t)иможнооднозначноg{t).+и.=представитьg(t)H,eоптимальное—_LввидеH,причемIK°l|2=ll«l|2Предположим,что?щH.l 5l|2.C-15)+Тогдачтоочевидно,1Ы1^о.g(t)Компонентатакженевлияетфигурируетвнаакакнавuo(t)литом(так/о[^о]величинуудовлетворяеткак(ho,g)C.14).условиямчтосмысле,| д|предположениюТакимобразом,рассматриватьееэлементОнфункционаллежитизврешением.минимизируетфункциональногострогоф 0,тоследующийполучилсязадачуявляетсятакжефактупоЕслиvэтотвлияетсогласно0).=ОнаC.15)равенствуОнафи-лишьдолжноусловиеТакэлементто,C.6)условиивыполнятьсяневнутриэтогоусловияполучаемрезультат.конечномерномшарасогласноН,пространствеC.6)ограничениямудовлетворяет/о.анализа,изПриэтомC.6).согласноЭтокоторомунеравенствупротиворечитлинейныйтоиизвестномуфункционалэле-C.14),C.16)3.Управлениеназамкнутомназначениясистемойсвоегодостигаетнаименьшегозначе-множества.противоречиеТеорема| д|чтоозначает,тпо0,=оптимальное| u°(?)||aho(t).
. ,вектор-функцииЕсли3.2.[to,T],отрезкеопределяетсяоптимальности309критериеммножествеограниченномграницеПолученноеналинейнымсhn(t)линейно(еслиуправлениеv.=независимысуществует)оноопре-формулепоЛ*)Х>Л(*).C-17)=г=0гдепостоянные7о?7ъ••определяются>7п•изhi,hj)j =ci,гуравненийсистемы. .,п,C.18)1, 2,=3=0i,bjbi7i-C-19)=i,j=0ТакДоказательство.u°(t)управлениедолжнаудовлетворятьпостоянные7о>7ъ••ПримерначальнымионопредставимоC.6)условиям•?7пдолжны3.1.Пустьх0стопредыдущейсогласнокак,Н,принадлежитC.14).иудовлетворять+xiОтсюда±iщ,C.18)Допустимымиуправлениямиудовлетворялохгt <<найтииуправлениеиvP(t)=такое,=чтобыu(t) ()=оно{(){ixудовле-условиюt1,C.22)<Носоответствующееемуудовлетворялоx(t)решение={xi(t),X2(t)}задачиусловиюхг(т)е,=функционал1[и]=хо(Т)C.23)наименьшеепринималВвозможноерассматриваемомзначение.случаеV(t,s)=(lf-Sпоэтомуho(t)аТ,C.20)Ь.C.21)=вектор-функциисчитаютсяТребуется-^2-иC.19).условиямиxo(to)=a,апостоян-уравнениемt0u2j=функциячтоиописываетсяпроцессуправле-Этаследует,уравнениямуправляемый=теореме,C.17).видевсоотношенияC.13)={l,T-t},fti(t)дают/ФункционалC.23)=можноfTпредставитьu2(t)dt-b.C.24)=ввиде{0,1},C.20),C.21)удовле-310Гл.IТакимхо(Т)=образом,функционалминимизирующегоЪ(Т+а=задачаусловияхC.21)Согласнотеоремеt0)-/+сводится/оМпризадачиПростейшие6./[u^t)Jt0[^i@3.2У"jЛ/п—Idt.u(t),(-^~1~t)u2(t)]~~минимизи-dtоптимальноеищемуправление—/7/0''О(~tпV—I^^ —I/Л/1П/l'^l(~t\лЛ/n——V/III/О\Д)1^Ij-в—I—*Л/1виде/1е.т.^oi(^)ПодставляясистемуC.24)вотносительноэтойизи7оtoJ-(Т7071системы7i-C.25)7i-t0)получим71,T-t0квадратноеотноситель-уравнение70z2\z-b2J^J=Отсюдачтоследует,задача'ZZ2Еслиэтотовыполняется,условие70,ДДдвасоответствуютзначения717iC.25)функцииПодставляяиз--12^2-7о?7iфункционалвГ26находим^оимеетуправлениеMi(t)=7o,7о^овид=12+z2'-7о---/оC.2))1оптимальноеV:70•fr=значениядва7о"'когдатогда,t0.имеем'/012 +г2 z212+толькои-№-&2)2№)2"V V71условиеТT-t0.=тогдаразрешимаЬ2 <Им+равенствов'""-T-to'(Т1 +t)-„26,^Исключаяи7о(^=относительноуравнении7б^02@7о,=функцииэтиполучимаt)u2(t)}-управления/иуьуправленияC.23).и7/1(Г+отысканиюк=оптимальногоиучитывая,что(см.первое3.Управлениетеореме3.2системойлинейноСлучай3.2.линейнымсзависимыхтеперьТеоремаЕсли3.3.tвсех[^о,Т]GпостоянныесуществуютподпространствеНu°(t),управление| и01|условияC.8)критериемЕслиже\ vP\\когдаслучае,задача-мограничением\ vP\\(см.обтоg(t)любая—удовлетворяющаятеоре-пеимееттозависимы,вединственноесуществуетC.14).ПридлявыполненииC.1)системысрешения.единственно,задачичтотакие,линейноуправлениирешениефункция,Вhn.•?независимы.an,условиямиимvP(t).являетсялюбоеявляетсяu(t)где/гп@3.1)оптимальномрешением\±,•anhn(t)C.26)+..теоремуC.6)z/,=<+удовлетворяетz/•линейноai,.
./i (?),. .,Lr2(to,T)Скоторое>aifti(t)=вектор-функциии^ъhn(t)ситуации.ho(t)для/i (t),. .,возможныедругиеho,векторовho(t),функциичтопредполагалось,Рассмотримоптимальности311критериемВслу-видауправлениеu°(t)+g(t),=подпространствуортогональнаяНудовлетво-инеравенству|Ы|2^2-|к°1|2-C-27)МинимальноефункционалазначениеIопределяетсяэтомприформулепоC.28)гдеCiкомпоненты—C.13).вектораДоказательство.линейноПустьэлементовввыполняетсямаксимальное—hn./i ,. .,системевпредставимC.26)условиекЗдесьнезависимы.илинейночислолюбойТогдавидеэлементh\(t),. .,hk(t)независимыхНподпространствапред-кг=1Приэтомчтоочевидно,удовлетворяющийНвединственныйсуществуетC.12).условиямЕгоможноэлементпредставитьви=ix°(t),видекг=1где7? образуютрешение,Учитывая,уравненийсистемыhj)jC.8)функционалчто[видC.28).Еслиявляетсярешениемчтосогласно| u°||^C.26)z/,тои0управлениеКрометого,u°(t)+g(t),вIэтоудовлетворяетлюбаяк.. .,записатьV°(T,t)<p(t)dt+зависимостизадачи.1, 2,=можноJtoJtoнаходим,г=Ci,ho(t)u(t)dt,значениенаусловиюфункцияg±H,видевидаu°(t)C.6),принимаетионоявля-312Гл.такжеявляетсярешениембудетусловиеи0функциявектор-функцийудовлетворяющихудовлетворяетненеуправленииПримерж'оxiТребуетсянетВсилувC.6).тоz/,Этоко-тогда,| u°||когда>z/,независимостиL^tchT),из>толькоислучае,линейнойфункций| u°||Aуправляемыйудовлетво-обзадачаописываетсяпроцессt)v,2,-перевестиоптимальномxiизсистемух2иъ=уравнениямих3ж3,=+ui=и2д.-состояния{/с, /,m,=п}состояниепричемаидругихеслиж@)втогдарешения.Пусть+C.6),Поэтомуимеет3.2.=hk(t)управленияусловиюН,_1_дC.27).условию/i (t),.
.,C.14).оптимальногоудовлетворяетнеравенствуудовлетворяетусловиямонаи0 -\-д,функциинаg(t)функциякогдаеслизадачи,выполнятьсязадачиПростейшие6.чтобытак,выполнялосьусловиефункционалсвоегодостигалКакнаименьшегопоказаноho(t)ТакимПриа21.h2(t)=Оптимальноеподстановкойи72этогоизопределяются7зв(Ы,и)3.3.теоремыусловиямп3,=а\=азО,=видевуравнений,моментные({=C.26)искатьследуетуправленияШ.соотношениивуправление7?•>Постоянные(J)=удовлетворяютслучаеимеемзадачиМ*).вектор-функцииэтирассматриваемомвзначения.рассматриваемойдляA1J)=образом,этом=возможного1.1,примеревкоторыепод-получаютсясоотношенияг=Ci,1,2,3,=гдес\этихнетЗдеськоэффициентов.Компоненты—I.=C2необходимости—п—тповторятьОнибылиu°(t)управления==—Gдсз-,=+п—связанныевычисления,выполнены^.срешенииприпримераопределением1.1.Компо-формуламиопределяются13vfl(t)+-UI+6т+An)--Bmn)t,+23A -LiТакимпитобразом,таковы,этобудетуправлениечтоГ1°(?)+О(?)]й<1оптимальным,еслипостоянныек,I,Управление3.системойДлязначенийтехВзаключениекомбинациейоптимальности313критерием/с, I,постоянныхнезадачавыполняется,линейнымсимеетmип,этокоторыхдляненеравенстворешения.случай,рассмотримho (t)когда/i (t),.
.,вектор-функцийhn(t),аэтинеплинейнойявляетсяком-функцийпоследнихлинейнозависимы.Теорема3.4.1)неПусть:постоянныхсуществуетai,a2,. .,ап,присправедливокоторыхра-C.26);равенство2)в/i (?),. .,системевектор-функцийравноТогдадляC.7)счтобыhp(t)обнезависимы.оптимальномлинейнойуправленииC.2),условиямиci,. .,cnлинейнойженезависимыхлинейнодополнительнымиикомпонентытойлинейночислоh\(t),. .,C.8)критериемсобой(),,iп)изадачинеобходимо,междусвязаны(ррмаксимальноеразрешимостиC.1)системойиhn(t)<C.13)векторачтозависимостью,былиC.6)связа-вектор-функцииип()Еслиэтотовыполнено,условиеоптимальноепредставимоуправлениеввидер«"(*)Х>Л(*).C.29)=г=0гдепостоянныеопределяются7гудовлетворяетиз(hi,условиями)Доказательствоитопостояннымимеждусистемы,u(i),=чтоуправлениеC.29)ПримерРассмотрим3.3.ппоследниелинейнойусловиябыуправляе-одногоявляется—3.1.Прирсоотношенийуправленияононаограниченияхпри=управляемыйxsxsjпонужноC.12)конечноекоторыйописываетсях@)Критерием{/, к,ш,п,},этомимеемслучаеA00t-s10001000<1,vt <неравенствомфункционалсоотношениямиопределимХ1{1)1[и]=хоA).В0g,—определяемыхсистемыберемоптимальностиU2[ul(t)+u22(t)]dt^l.состояния=+управления,/ису-учесть,лишьвпроцесс,u\=допустимыеJoНачальноесуществует,оптимальным,этомуравнений^2удов-являютсяC.12)изризЕслитеоремыслучаепервыхсистемойсоотношениям.доказательствомрассматриваемомследствиемвытекаетхотямоментными2.=Необходимостьпростое.спC.29)управление\ и°\\2существованиячтотого,ссовпадаетвтребуеткотороедоказательствочтор;.
.,с\,. .,удовлетворяющегосуществу=довольнотеоремызависимостьюуправляемостигQ,=требования,1, 2,=х2A)=х3A)=0.си-314Гл.задачиПростейшие6.оптимальногоуправленияСледовательно,с\Таким—к=образом,hi(t),аизнеIi2(t)кэтогх?(?)е.+7о=Постоянныеудовлетворяла72+7гопределяются7з72этиввыполнялосьищем+7з^з(?)>C.31)7звидев72^--чтобыu{t)вектор-функциясоотношения,получим1—берутсянормаио||?/| 2о_^@,1).вПодставляяуравненийсистемуиu°(t)=определениядля7о57з:472+7°+727о+7о[72обозначенияВводясистемыг127з+27з+72Последнее27з]д/23=\qг-агдеАд6Зг,Отсюдаi7o-=2д22 +чтополучаем,выполненииэтогоИмрешения.изнаЭтотможетип,27з+q2727з+д=изп,—1.=первыхуравненийдвух^[Зг=2qможнотеперь+-46+70].C.33)привестиквиду0,=имеетЪ >-вещественные0.C.33)уравнениевообщеимеет,оптимальностидваговоря,меньшеепринимаетре-C.31).формулампоопределяемыеуправления,еслирешения,значение,задачи.чтопоказывает,удовлетворяютчтосистема/i (t),.
.,функцииесли3.3,теоремыусловиямпотому7зC.32)условиярешениембыть,не+V2/4rg.—критерийкоторомпримерспт,4а7о-г2+дваискомымci,. .,?,C.32)C.33)системасоответствуютних,будет+,а2При[т72—системыуравнение—/о\—6-^+п—7о=-п=+==чтонаходим,Тозадачитребования,г.?-—произведениеC.31)и7Л37ои+72=изПоэтомучтобые.т.С2,=остальныхсовпадают./2.д—удовлетворяютусловиямскалярноеизпд,hs(t)идвес\72^2@+y%(t)72^,++n—комбинациейпервыерешение@70^0=-(U.гдеhs(t)т=тоu°(t)т./+=Ii2(t)чтобывыполнено,условиеhi(t),инеобходимо,равенствосзлинейнойявляетсяhi(t),задачид/2,+п—ho(t),ho(t)функцийтрехЕсли—т=вектор-функцииразрешимостидляC23.3,теоремыусловиямZ,—C.30)уравненийhn(t)оптимальногоипостоянныемо-управленияможетоказатьсянеразре-неразрешимой.Воминимизациивсехрассмотренныхлинейноготеоремахфункционала,параграфаэтогокогданазадачаанализироваласьклассдопустимыхуправленийЗадача4-оббыстродействии315оптимальномнакладывалоськвадратичноеC.6).ограничениеможнозадачрешенияприменитьитомвОднакоизложеннуюметодикуC.6)вместокогдаслучае,беретсяограничение[и][и]гдеэнергетическая—положительным<порожденнаяи,положи-некоторымоператором.обЗадача4.быстродействииоптимальномэнергииОднойиззадачтребуетсяпереводитьПривремя.допустимыеобычноэтомауправления,рассматриваетсяэнергиюуправления.этотуправленияпродолжениетехзадачПостановка4.1.процесссобойизадачиэнер-известномсмыслепродолже-параграфах.ееПустьанализ.управляемыйуравнениемxначальнымA(t)x=+B(t)uf(t)D.1)+условиемж(*0)A(t)гденаоптимальногопостроениявдопусти-параграфеэтомограниченияпредыдущихвосновнойописываетсяВзаданыздесьрассматривалисьнаограниченияспособапредставляеткоторыекогдакратчайшеезасистемы.когдатипа,разнообраз-еевдругоевразличныеизлагаемогорамкахтипзадач,состояниясостояниетакогозадачрядибыстродействии,одногофазовоенаиуправленияоптимальномнакладываютсяиногдаВобизсистемутеориивзадачаявляетсяограниченнойприуправленияраспространенныхприложенияхразнообразныхиz/,элементанормаB(t)f(t)исоответственно,непрерывные—функциисчитаютсяразмерностейматрицыфункциязаданная—х°,D.2)=иu(t)=L^to,изL^to^T).GхпT).пДопустимымиМоментtвремениихпуправлениямиТгсоот-является=свободным.КаждоеD.1),задачичерездопустимоеD.2).заданнуюопределяетуправлениеСредирешенийэтихтакие,x(t)решениетраекториикоторыхзада-проходятх1.точкуРассматриваемаяздесьТребуетсянекотороеестьнайтисостоитзадачаиуправлениеследующем.вu(t)=чтобытакое,оноудовлетворялонеравенствуIMlL«(to,T)асоответствующееx(t)решениеему*ЛD-3)D.1),<задачиD.2)удовлетворялоусло-условиюх(Т)=х1.D.4)ПриэтомфункционалI[u]должендостигатьсвоегоИзлагаемыйспособздесьпредполагаем,сминимальнойчтоКакегоизвестно,моментэнергиейможновозможногополучитьоснованt=Тследующимиспользованиире-Сначалаэнергией.Соответствующеезадан.D.2)условияхнаминимальнойсуправлениивременипризначения.задачирешенияобзадачирешениярезультатов=T-t0наименьшегоиD.4)способом.обозначаемуправлениечерезu°(t,T).316Гл.Обозначимтеоремеh\{t,T),.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
