Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 42
Текст из файла (страница 42)
.черезопределенности1.2для,hn{t,T)будемможнозадачиПростейшие6.считатьоптимальногостолбцыB*(t)W*(T,t)матрицылинейноихуправленияиСогласнонезависимыми.тео-записатьпг=1величиныгде7ъ•••>однозначно7пLU.вкоторойCi(T),величиныс(Т)7—г=с(Т)Вх1=рассматриваемом. .,п,вектора-W(T,to)x°случаеТ,отсэтоговеличинутаксвоесоответствуеткаккомпонентами(см.векторасамымтенаходимТ,постояннаяТовзятаvНаименьшее<изизJ[u]вTqT\<<своесо-управлениюфункциюВводякоторые. .,удовлетворяютуравнениюD.3).определяетибыстродейст-оптимальноговремяубедиться,этомве-соответствиевтакому| u| .=изменятьJ[u%D.8)=условияТ^этихЧтобы—to.toставитьКаждомуфункционалазначениятребуетсяТуРуправлениярешениякаждомуy°(t,T).dt.D.7)t)f(t)зависимостьэтапеэнергиейзначениеW(T,Jt0следующемтеми/-учитывать<p(T)быстродействия6)являютсянуж:нонапараметраминимальнойсуправлениегде12п(А—1, 2,уравненийсистемыA.7))формулуиизопределяютсятребуетсяустановитьфунк-свойстврядцииСвойство4.1.ТакДоказательство.непрерывны,тоНепрерывнозависитпоТотиD.6)поТпринуля,ТпонепрерывнаиtвеличиныТакопределяемаяСвойствофункция4.2.<р(Т)ЕслиховекторыудовлетворяетДоказательство.=вусловияхD.2)иD.8)следует,D.4)различны,условиюф(Т)limЧ>(Т)х1и.ИзсоотношенийY^сгг=1(ГOг=D.5),(Т)=оо.D.6)л/с^^М-^Т^Т),D.9)ичтоНекакнепре-7ъ---?7п<^(Т),функцияне-Т.иD.7).формулойтоB(t)ипонепрерывныопределяемыйотA(t)матрицыhn(t,T)отличен(?0,оо).епредположению/i (t,T),.
.,с(Т),векторСледовательно,Т.непрерывнаD.8).формулойтокаквектор-функциисистемыопределительнепрерывны(р(Т)Функция4-ЗадачагдеМоббыстродействииоптимальномD.6).системыматрица—317Таккакрассматриваемомвслучаеhi(t,T)hj(t,T)dt,toтоЛ(Т)определительСг(Т)(р(Т)величиныфункцииТиусобойконечными,постояннаяизТо,Натой(ТоTqto—намножествеD.2)вДлялюбогоu(t,T),(см.очевиднорис.быпереводилоВозьмемТвремяОto.—иСдругойминимальнойнезависимостивремениТприip(To)/i (?,То<неТto<можноаТо.=имеетD.4)векторыэтомТвремя—toиих1То,всехТ\,приоптимальноеуправление(столбцыбольшоммоментиD.4)иформулевремениторазличны,поматрицыотрезкебольшомстроитсяэтомутверждение.hn(t,T)достаточноуправлениинезависимо-ПридостаточноD.2)условияхнаТ^,.
./i (t,T),. .,вJ[u]однозначно.определяетсяначтовидно,линейнойсилувследующеенезависимых°6.4.1рис.функционалафункцииЕслиИзрешение.Припе-котороезаv.=доказаннымбыстродействииоптимальном6.4.1управления,котороеизсчитать4.1.Т,ix(?,Tq),Tq)=hn(t,. .,линейноt <JToсостояниевзначениеминаименьшимТеоремаtoсуществуетD.2)являетсяTq),являетсяB*(t)W*(T,t))\\Рис.времениэнергиейПоэтому\%т^Уоче-состояниямоментстороны,Точерезусловиютеперьфункцийобозначим=<Р(ТО)сtoпостоян-—/т\нерачтосистемуудовлетворялоz/=„Поэтомуизбысо-Тпрямойгдеz/,линий\состояниявыполняется\ u(t,T)\\.6.4.1),<пере-представляетсю,ууправленияочевидно,(р(Т)неравенствоиззатакого0.+оп-которые!D.4)состояниеопределенияI^D.1)системуве-наимень-управлений,техпереводятаплоскостив=0,+to—>кэтихфункционалаiзначениемнаименьшим<упересечениявремяявляетсяТ<прямуюСогласно<р(Т)ТприприближающуюсяАбсциссы—изчтоtoto—>Поэтомусю—>находим,проведембыстродействия.определению=плоскостиD.3).<..
).<Tiчтооптимального=женеравенстваТь..Покажем,(р(Т),<^(Т),асимптотическикривую,6.4.1).у^Тприх1.<р(Т)чтоследует,функциинулюкх°какфункцииграфикнепрерывную(рис.D.9)свойстваэтипеременныхстремитсятакформулепоУчитываяD.6)системыостаются(см.условиезадачаобD.3))318Гл.которойв27ь1, 2,=определяются. .,п,hj)-ij{T),амоментТовременивыполняетсякоторомэтойпервых,дваtoнаt<Т.Во-вторых,того,чтобыПервоевведенодляэнергией1, 2,=п,.
.,Т, toТегоТ,<кото-приненесувязыватьhn(t,T).ВчислотомжедостаточноОносущественным.Еслиэтоограничениеэнергиейразлич-привектор-функцийнезависимыхдоказательствобыломинимальнойсD.5).виделинейнорезультатевреме-являетсяvминимальнойсчисломотрезкеуправленияуправлениянужно/i (?,T),. .точноявляетсяВо-условия.определенномчтоиТ).вектор-функцийноодномвhn(t,определенныхпредставлениепредставлении/i (?,T),. .,четкообеспечитьТТ),. .,независимостьтребованийэтихлюбогоприhi(t,предполагаетсяиздляторазличныхуравненийзначениембольшом,достаточно<большим.снять,гнедостаточнолинейнаяпредполагаетсявременисг{Т),вектор-функцийестьтеоремеhn(t,T).
.,управлениясистемынаименьшимГрамаматрица—Виз=являетсяоптимальногоравенствоМ(Т)гдезадачиПростейшие6.болееоказываетсятеоремыгромоздким.vодного(относительнотребованиеВтороемаломможетзадачаD.2)состоянияви)числаиметьподчиненногоуправления,изнерешения,посколькуусловиюD.3),D.4).состояниеЭтомуявляетсянекотороефактуПрисущественным.можетоказатьсябыпереводиломожнодатьод-нисистемугеометрическоеитолкование.КриваяТу(f(T)=Поэтомусю.—>(см.линииПример4.1.6.4.1)рис.уПусть=(p(R)начальнымиуv=управляемыйприvпересекаться.уравнениямиUD.Ю)?2,±2==могутнекогданулю,киописываетсяусловиямиxi@)=a,ДопустимымиТребуетсяТонайтифункцииvP(t)управление=иb.D.11)и=u(t)соответствующий/2@,EемуT)примоментдоста-време-что:такие,а)x2{0)считаютсяуправлениямиТ.большомдостаточновременистремитсямаломпроцесс±1собязательнонеивыполнялосьнеравенствоJoб)соответствующееудовлетворялоэтомузадачирешениеуправлениюусловиямxi(T0)=х2(Т0)=в)функционал1[и]=Т,0;D.12)D.10),D.11)удов-Задача4-обопределенныйнаu°(t).управлениипереводящихуправлениях,D.12),состояниевбыстродействии319оптимальномбыпринималФундаментальнаяhi(t,T)поэтомуиJi2(t,T)t,—управле-видS—Соответствующие1.=имеетнамоментныесоотно-вид/ГТГТJoJoСначала(Тt)u(t)-находимdtВu(tOминимальнойслинейнойсилу/ЪТ,-а-=управлениеТ.положительномвT=имеютD.11)состояниязначениеD.10)системыtсоотношенияизвозможноеКошиматрицаD.10)системунаименьшееdt=энергией-b.произвольномприhiфункцийнезависимости/г2иегоищемвидеU°(i,T)=7i(T)(T-i)+72(T),гдеСО7iи(Т)72изопределяютсяуравненийсистемыгдеf=JoВыполняянеобходимыеыеввычисления,_6Bа_чтонаходим,6Г)_+23а+Следовательно,ДляопределенияТотносительнобыстродействияоптимальноговремениотноси-решаемуравнениеJo/Опослекотороевычисленийнесложныхv2T3НаименьшийположительныйоптимальноговремяопределяемоеПример&iна-Х2—отрезке4.2.4Ъ2Т2D.13),ПустьуправляемыйаX20<t <=Tqэтогоопределяетуравненияемуискомымуправлением.описываетсяуравнениями(t+Х4=—2Ix2,Х4где(опри0<t\t-22<t <привре-u°(t,управлениеоптимальнымпроцесс±з0.=соответствующееui~\-g,Т,12а2-является=вид\2аЬТТкореньбыстродействия,формулой-\-ot(t,T)u2,временипринимает-<T<2,Т.=U1+U2—дTo),320Гл.ФундаментальнаязадачиПростейшие6.Кошиматрицаэтомвоптимальногоимеетслучае0At-sследовательно,вид0010и,управления0О01t-s0001(}h4(t,T)=Изфункцииопределенияhi(t,T)hs(t,T)исовпадаютИмеяэтоxi@)когдавж4@)=4об0,<3ирангТпри2.>быстродействии,оптимальномхг(Т)а< Т^ 2Тпривектор-функции2.
Значит,2>0приравен=Тприф h^(t,T)задачуж3@)=следует,/ц(?,Т)рассмотримвиду,ж2@)=х2(Т)=ко-х3(Т)=х4(Т)=1=чтоусловии,приa(t,T)hi(t,T)вектор-функцииГрамаматрицыичто/оДляJou(?)гдевыписываемзадачирешения/h*(t,T)u(t)dt{ui(t),U2@}-=моментныех1{1,1,1,1},=[отгдетого,Еслипроцесса.Tqhi(t,To)2,равноопределенияD.14).иметьТ)структуру+вектор-функций7зЛз(*,Т)74^4(t,T).моментныевТовременивидевподставляеммоментаси-вискать+управлениеотысканиязави-воптимальногоследуетТ)эт0длявектораокончаниянезависимых72Л2(*,+7г(^)ЗатемразнуюТовремениуправление7ift2(t,=можетлинейночисловеличинсоотношенияTo)оптимальноеикомпонентыW(T,t)f(t)dt,моментто4как0, -g}.g,u°(t,находится^и0 (?, Т)Для{0,=1,2,3,4,D.14)=определяемJoуправлениезависимостисистемеf(t)aгq(T)ВеличиныОптимальноеCi(T),=с(Т)=х1гдесоотношения:со-составляемурав-уравнениеT{[u°1(t,T)}2Joиобозначаемиявляется>2,превосходящемОноего.решаемнихуправлениеоптимальныйто[0, 2].имеетсяВвтривToiкотором^2,тоБеремзадачаТналинейнонезависимых,Tqi-ЕслиТ),>превосходя-какоптимальноеTqiжевремени,/ц(?,иизОптимальным=отрезкевектор-функцийсистеменаименьшеерешена.положитьнужнопродолжаетсяв=7г(Т)этогомоментD.15),l.D.15)решений.несколькоЕсли=показановыше,управлениеследуетвидеВеличиныопределитьТо1.случаеu°(t,T)подстановкииметьчерезпроцессэтомтолькоискатьможетего[u02(t,T)]2}4t+l2(T)h2(t,T)определяемуправленияокончания+извоптимальногоl3(T)h3(t,T)уравнений,моментные+которыепослеполучаютсяD.14).соотношенияпроцесса,74(T)/i4(t,T).D.16)управлениеЧтобыD.16)под-опредеснайденны-4-Задачамиji(T)обподставляемэтогокореньбыстродействии321оптимальномТположитьследуетнезадачаОптимальноеслучай,теперьD.1)^гШгt™1<2,^токоторомврассматриваемаяимпульсномуправлениямиu(t)=спригj;ивремени,Vij1,.
.,г,D.17)=удовлетворяющиеtoусловиювыборомпостоянные,—уравне-вкомпонентамигмоментывсехуправлении.допустимымиизаданные—tfj+i<D.16),То2прикогдавектор-функцииявляютсяt\,. .кооптималь-времяуправление¦,j5(t-t)),гдеопределяетичтоокажется,быстродействиеРассмотримуравненииположительныйТ02)являетсяЕслиТо2-=Минимальныйчерезрешений.имеет4.2.егоОптимальнымбыстродействия.оптимальногоD.15).уравнениев(обозначимуравненияможнокоторых<управ-процессом.управлятьРассматриваемаяизздесьD.2)состоянияограничениинапараграфеЧтобыбылоэнергию(см.2D.1),D.2)навремятакопределяетсяD.1)системувозможноеформулировкупараграфеогра-прикакже,можноипара-в(см.вид_.Изr.(rn\чтото,тозадано,чтотого,моментныеполучаемпринимают\7.повторимu(t)=Коши.формулепоD.4),условиюD.17)иуправлениеопределитьуправленияхнесколькозадачи,Если4.2.удовлетворятькоторыеперевестиминимальнокотораястрогуювдолжночтобытом,взаB.6)).формулудатьзадачиD.4)управления,изложенорешениесостоитзадачасостояниеврешениеэтореше-соотношения,B.7))7пD-~\#)1—v=lj=lгде-t0иСвцельюfNT-П1упрощения3формулпоследующих=1D.18)соотношениязаписываемвидет^2au(T)zk=Ci(T),г1,.
.,п,D.19)=к=1гдетчерезotik(T)+mi=+..Такимпостоянная.—к-якомпонентаzвектораейздесьрассматриваемая=компонентавбытьможетзадача{^ц,. .,vrrrir},аче-D.18).соотношенияхсформулированаввиде.Требуетсягдеzkсоответствующаяобразом,следующемусловию7ПГ,обозначенанайти1)соответствующееD.4)2)выполнялосьQ={Qij}суправлениеемуприминимальномвидакомпонентамиx(t)решениеТ,превосходящемзадачиD.1),D.17)D.2)чтобы:такое,удовлетворялоto;условие—симметричнаяположительнаяматрица,v—заданнаяпо-322Гл.ОтметимD.17)этихэтогочерезвекторнауменьшаетсяz,наразмерность{ft}.системырассматриваемойспособом,каждомЭтотиТемнеменеенарешениеудаетсядопустимымиимеетпостояннуюнетточекизрешенииприсис-рассматтемполучитьжеспосо-функцииявляютсяуправлениямионаопределяющихкоторомучитыватьеекогдаслучае,внеобходимофактважныйD.20)неравенстваПо-(когдаТг^-,?j+i,t^).зависитвеличиныпеременныхtj<T<8{tком-в—процессом,управлениичислосоответст-Vijприуменьшениемчастиинтервалезадачи.чтоtj)единицу.влевойформаКвадратичнаяСотПараметрымножителямивточкуееотличающуюстоятпроцесса.очереднуюуправленияпункте.участвующихпродолжительностипереходитзадачи,управленийпараметров,оптимальногопредыдущемвдопустимыхчислоПоэтомуэтойрассмотреннойзадачи,компонентахотособенностьважнуюсоответствующейзадачиПростейшие6.из??(*о,Т).Всамомзадачусначаладеле,заТвремяto,—D.19)Соотношениячтопредположим,Тгдепринадлежитoti(T)гдевсвекторза-решаетуправлениевышеуказанномуперепишем(tj,интервалуtJ+i).видев(al(T),z)—искомоегcu=otik(T),компонентами1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
