Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

.,=xn},оператора Сис(х)граничномуaij(x)=GS+справедливы0.с(х)иНаграницеобластьСЕпвпредполагаютсяограниченнымиа2иэллиптичностиусловияпостояннаяобластиGрешениечтотакая,вдолжноуравнениязамкнутойудовлетворятьусловиюди—) См.,например:например:) См.,+БеллманСраговича(х)и=Р.g(x)p(t),ВведениеВ.Г.хвАдаптивноеетеориюS,матриц.управление0t <<—М.:измериоперато-неравенстваS(илигладкойсформулойопределяетсявыполняетсятого,пппij=lг=1г=1^xeG,(9.1)0<?<Т,операторлиней-описываетсятипаоткрытаяаположительнаясуществуетGf(t,x),=S,кромеи,которыйпроцесс,ограниченная—Ъ(х\функциями:+CuграницейКоэффициентыизмеримымиобластиGгладкой)кусочноу—системпараболическогоуравнениемb(x)гдепараболическихТ,(9.2)М.:1969.Наука,Наука,1981.об-Управляемость9.а(х)которомвд(х)функциейНачальноекраевойкотороевидевфиксированномвообщеговоря,обобщенноепри(9.1)-(9.3),онаопределяетсязаданоусловиезадачизадачаОднако,решения.?.поверхностик(р(х),(9.3)=условияхфункФунк-неотрицательнойиконормаль—и@,х)L,2(G).изуказанныхрешение,^управление.решенияклассического(слабое)Т),функцияПостроениеПриуправлении.измеримой/2@,Gкакзаданная—9.1.имеетp(t)рассматриваетсяф(х)гдесистем255ограниченной,являетсяL2(S),Gp(t)Функцияпараболическихлинейныхимеетединственноеупнеиме-(сла-образом.следующимПустьQ(tiM)S(ti,t2)u(?, x),0боковая—суммируемыекоординатамXi,..t <<QT,<t2Q@,T),=Q(t\1t2IцилиндрасуммируемыхобобщенныепроизводныеQцилиндрупо(t,x)aW2(Q)иимеющих(слабым)u(t,x)изпочтидляфункцийкласс—такжеквадра-пространственнымкраевойрешениемW2(Q),классаt\всехудовлетворяет^2икоордина-(9.1)-(9.3)задачипонимает-которая:@,Т)изинтегральномуилюбойприФ(?,функциих)W2(G)GтождествудидФ,/+2)Q(h,t2),e,ХП..функция1)hпообобщеннымПод<поверхностьквадратичноквадратичнопонимаетсяGx(t1,t2),=удовлетворяетначальному(9.3)условиюслабомдр)Ф-dSсмысле,"0;=е.т.г/lim"в(аи[u(t,x)ср(х)]ф(х)—dx=ОGлюбойпризадачиф(х)функцииКакВ.показалсуществуетснайтиJ/GбыкаковаГIdxi>™dvбылаквадратичное)собственныхФурьеШтурма-Лиувилля,асвтом,действительныетакиеиобобщеннымпосостоитзадачаW2(G)/ a(x)vФdSdx-\-Ф(х)W2(G).Gеслиисчисления,заизвест-чтобызначе-тождествоQXjJJJфункциявариационноговзятьGдФ1fflj=1SGниЭтазадачей.интегральноеац(х)\-с(х)уФ\рядазадачиv(x)выполнялосьнаограниченияхвидевсоответствующейфункциичтобыкраевойрешениевышезадачу.краевойнетривиальныеЛ,гсистемыисходнойопределенноепредставленоvm(x)функциямассоциированнойметодамиэтубытьможетрешениесобственнымтакуказанныхприопределяющиеТакоезначенияL/2(G).единственноифункции,известныеизПлотников19),И.вОнакачествеX=решается/ bvФdx^метода-прямымифункционаламинимизируемоговыражениеВ.Плотниковфункций.И.Энергетическое/Изв.неравенствоАНСССР.1968.—исвойствот.32,систе-переопределенностивып.4,—С.743-755.Гл.256наблюдаемость,Управляемость,5.идентифицируемость^^\[a(x)v2dS.vm(x)ФункциисоответствующиеиопределяютсядФdvmdx/ffjjлюбойприа(х)утФФ(х)функции/собственныеим\тзначенияоднозначносоотношениямиинтегральнымиИ/21(С?)G^(x)dxdS+/ bvm<I>dx,Xm=m(9.4).

.,и1,=1, 2,=0=фприпAm,Amт,GасобственныетСистема70>чтоРешениеL2(G),внормыэтогонорметакая,полнааксиомамтремобычнойAm+iсвойством{^т(ж)}функцийвсемудовлетворяетэквивалентнойобладаютЛтзначенияоо.^выполняютсяприy^D(v)удо-нормой,являетсяитакпространства,сю—>функционалаИ/21(С?)в^какэквивапостояннаясуществуетнеравенствакраевой(9.1)-(9.3)задачиищемвидевоо«u(t,x)^^=um(t)vm(x),um(t)/ bu(tJx)vm(x)dx.(9.5)=rn=lДляиum(t)коэффициентоввычисленияФполагаемu(t,=ж)\dvmdu%3-*~lJGtiдоdxjобозначениеиспользованогдеотdxi1"S=^2будемВt.Vc(x)uvm\из(9.4)тож:дествахвфиксированномприIdx+(9.5).Послеберемрезультатетконкретноеполучаемba(x)uvmdS\mum{t),=tпоинтегрированияпределахвиметьШaij(x)оъ\-c(x)uvm\dQ/+Q(tut2)a(x)uvmdS/ um(t)dt.Am=S{tut2)Положимтеперьвтождестве(??)Ф=vm(x).Тогда(9.6)справедливора-равенствоuvm\tidx-агз(си-+/-(аиf)vm-dx-\-gp)vmdS=0.(9.7)Управляемость9.(9.6)Сравнивая/параболическихлинейныхbuvmll^dx(9.7),исоотношениеполучаемI\m+систем257buvmdQ/=dQfvm/+(9.8)dS,gvmGQ(tut2)Q(tut2)S(tut2)которое,очевидно,справедливоПоложимтеперьt^?,=продифференцируемравенстварmга,будемtiaВ?.по1, 2,=..Полученныепостоянной.считатьбудемитогеx)vm(x)dxЛ^+любомпри(9.8)виметь/ р((ж+т1, 2,=..GОтсюдакоэффициентысначальногоучетом(9.3)условияоднозначнокоэф-определяем(9.5):разложениивtum(t)^e"A-f=fm(t)++Jр(т)е-х^-ТЧт,(9.9)gmогдеb(x)cp(x)vm(x)dx,cpm=g(x)vm(x)dS,gm=GSt(9.10)fm(t)f f f(t,x)vm(x)e-x^t-^dxdr,=видеобразом,Фурьеряда(9.10).В.И.изрешениеми(?,обЕдинственностьбылиуправлениемсистемывидаB(t)u.начальнымусловиемичтобытребованием,системаитребуетсяизуправлениемилиЗадачатакиеуказатьA(t)однойпространства.конкретномприA(t)матрицыиусловияB(t),B(t)ипараметрами?2@,T)всостоятситуацияизоднойбы-условия,такжедругуювтом,(см.принципиальноточкиэтомвслучаепараграф2, п.1).иная.точкусостоитвтоготочкубытьдолжнадругуюможносистемупроизвольнуючтоуправле-следуеткоторыекоторыхпрост-непрерывнымеговвыполненииконечномерномвкусочноуправляемостиприматрицасконструированнаяпроцесссистемудополнительныепроизвольнойЭтиописываетпереводитьпространства.матрицыраспределеннымисобзадачуособенностиважнейшиеееконечномернойуравненияконечномернаяЕппространствечтобыздесьотметимуправляемостиобеспечиваетсяпредваритель-рассматриваемуюсистемы,обеенепрерывными.Этажерядом,пространственнымиформулироватьрешенияздесьэтимопределяемаяпоислабымявляетсяуправляемости+управлениих),в(9.9)L/2(Q).чемзадачейссравнениюдействительнопроизводныепринадлежащиеПреждепараболическойформальноформулампорядобобщенныезадачианализ.управляемостипоэтотфункцияе.т.имеетФормулировка9.2.чтоW2(Q),итакжепеременным,..построеноопределяемымипоказал,класса(9.1)-(9.3)задачикоэффициентами,сL/2(Q)предварительныйкраевойрешение(9.5)Плотниковпринадлежит1, 2,=GtiТакимraДлясистемнапереводитьизпространспециальносчто-наложитьженеособеннойтоготом,распределен-258Гл.Еслипроцессописывается,обеспечениячтобыфункции,функцииусловиячетвертомуклассу.Соболева,изможетэтогозадачитребуетсятаквсего,условиичтобытипаобеспечиваются,требованияприведенывышеотметить,чтокраевыхимеетсясзадачнеоднороднымифункциональногонапример,вздесьТ0,>Требуетсяуказатьф{х)функцииКЕсуществовалосоответствующееЕслитакойф(х)функциижеКЕ(9.11),условиюЗдесьтопроцесспринадлежатТак(f(x)управлениеинажетомучтоТ-дости-Eчто(см.?2@,любойдляT)функ-(9.3))условиеможночтотакие,решениеудовлетворяет(р(х)ф(х),и-управляемым.вообщеКе.т.усло-Квполнефункций,классусоот-(9.11).множествомуправлению,то,функ-чтобыусловиюназываетсявниманиеилюбойтакое,свойством,L/2(G)p{t)Eтеплопроводностиодномусобладаетдлячтобыназыватьэтомуобратитьследуетсовпадатьнеговоря,можетинесовпа-L2(G).какговоря,условие(9.11)(9.1)задачирешениевообщет.Тна-времени.удовлетворялотемсоответствующеемомент?2@,T)Ебудемегофункциивремени(9.1)-(9.3),задачитоК(см.,условиютакой,(9.1)-(9.3)указан,класслюбойимоментуказатьКклассЕслижимости.позицийсрезультатыxeG.(9.11)p{t)задачикра-рассмотренаобщиеудовлетворялоуправлениерешениеемуот-следуетразрешимостификсированныйфункцийКкласспри-темследующем.в(9.1)-(9.3)ф(х),=требова-Лионса).Ж.-Л.нои(Т,х)спроблемасостоитзадачирешениерассматри-ТакиеВместеболеепроизвольный,—условиякоторыеусловиямзадачазада-Этиограничениями,которыхикраевойуправлений.полученынихнакла-системууравненийклассПлотникова.вБалакришнаначтобыПотребуем,иА.В.науправлении.граничнымианализа,работыРассматриваемаяТ,ПустьИ.работ,множествобесполезным.решениятемиВ.тот,ана-занятиемслучае,мнению,работыизнежелиуправляемости,являетсярасширитьнашемувзятыиусловийдопустимыхклассепо"узкому",конкретномимаксимальновыбранномпривложениятеоремамконечномерномвчет-принадлежитединственностьначальномтакими,рассматриваемогоиначальногопроблеме.кобеспечивающиезаданномвыбираемподходиззадачисогласнопоискклас-одномуболеезадаче,какже,ограничения,приПоэтомуинойх)Т,=функций,конечномернойвслучаеПрежденакладываемприклассурешение.условиямu{t,tдлятребу-функцииаклассу,решениерешениястартовалоэтомэтомпринадлежатькоторогоаналогичныхВПриклассу.Следтоуправлениипринадлежалидругому—(9.1)-(9.3),задачейконкретномприуравнение,условийкраевыхтретьему—решенияопределяющиеизидентифицируемостькраевойнапример,ееединственноститребуется,классу,наблюдаемость,Управляемость,5.(9.3)какже,икаждомпри(онообобщеннымявляетсятак-(9.3),условиеконкретномуправлении,принадлежитследуетW2(Q)),классу"впониматьслабомтосмысле",е.г/ \u(t,x)lim^T-oJлюбойприИмеязафиксируем моментвТ.времениum(t)ввидеопределяютсярядаdx=0L2(G).ф{х)функциюконкретнуюРешениеф(х)]?(х)GЕвозьмемвиду,коэффициентыпредставим?(х)функцииэто—(9.1)-(9.3)задачипоформуламбудем(9.9).ЕL2{G)искатьивФункциюзафиксиру-(9.5),видеф(х)гдетакже9.Управляемостьпараболическихлинейныхсистем259гпУт(х),G.ЕXга=1дляТогданеобходимочтобытогоментнымu(t,решениечтобыдостаточно,иx)удовлетворялоудовлетворялоp{t)управление(9.11),условиюнеоб-следующиммо-соотношениям:тfp(t)e-x^T-^dt9mmcm,=1, 2,.

.,(9.12)=огдеVme~XmTСт=фтВсвойствасилупостоянные1, 2,. .,=ГП1, 2,=собственныхсистемызамкнутоститсш,/ш(Т),~удовлетворяют...(9.13){ут(х)},функцийпо-условиюОО^С^<ОО.т=1Эточтоозначает,принадлежит{ci,. .,=гильбертовуформулойполномукоторомсвекторопределяется}cm,. .с/2,пространствукомпонентами(9.13)изскалярноепринад-произведениекото-вооm=lВ1^2@,пространствеставимыхТ)5дмножестворассмотримpN(t),функцийпред-видевpN(t)=J2amame-^T-t\N=1,2,. .т=1Тогдачтоочевидно,NI1e-(\m+\n)T\m,n=lЕслиэтозамкнутьмножествоН\подпространствоСв^2@,Т),метрикеZ/2@,il>(?),пространствафункцийизсостоящееT),тополучимпредставимыхвтп=1гдекоэффициентыудовлетворяюташусловию(X)ЯтОтЯпОпJ2A"»m,n=lПри+A»^е-(Лт+А„)Т)_<^^(914)этом/,(АТП\ЗдесьдвойногосходимостьiV+pV9гпат9папряда^_е-(Лт+Ап)Г)понимаетсяв^Qпритомчтосмысле,iv^ооилюбомр>0.260Гл.ТемсамымН\ЕсходитсяпоН\теоремеможнополным(см.однозначнопараграф| р| 2этом\ w\ 2=Отсюда,w(t)длякаждойизq(t),+?2@,T),?2@,T)пространства)каждуюeЯА,p{t)функциюEw(t)q(t)±Hx.| ^| 2.+частности,в{ат},=видев=подпространствомп.11,представитьp(t)Приа(9.14).являетсяЛевимеждусоответствиепоследовательностямиирядПосколькутоидентифицируемостьоднозначноевзаимноустанавливаетсяw(t)функциямикоторыхнаблюдаемость,Управляемость,5.чтоследует,т0,=т1, 2,=.

.,ои,значит,овопростом,w(t),составляющаяудовлетворяет(9.12),соотношениямнымконкретноелисводитсятому,кp(t)управлениеудовлетворяетимлимомент-егосоставля-ибо/ооТакимобразом,Лемма9.1.моментнымсправедливоДляследующеечтобытогоp(t)управление(9.12),соотношениямудовлетворяласоотношениямутверждение.иw(t)проекция?2@,T)Eнеобходимоудовлетворялочтобыдостаточно,этогоуправления(9.12),тоэтимподпрост-наН\.подпространствоЕслифункциютеперьП=1изН\подставитьсоотношенияалгебраическихлинейныхсистемумоментныевбесконечнуюполучимуравнений(X)? ^опп=1Вводя+ЛтАпAe-(xm+xn)T}_mCm;==i,2,. .(9.15)матрицумiM—\°°\-gmgn(л)иавекторызаписатьв{ai,.

Характеристики

Список файлов книги