Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 31
Текст из файла (страница 31)
.,П,E.7)полиномаодинитотжематрицыхарактеристическийА*.Такполином,какАсимптотические5.идентификаторы227Пример±iиРассмотрим5.1.2xi=чтор\р2=+E.2),форме8р+5х2+Ар2=A=(lВыписываем3xi=Iе.т.онаf)>с{1,2},=двойственную+352+52451=собственные/3216.=E.4):552+^*2^,+(см.формеканоническойкопределяемхарактеристииметьдолжна/31=8,системуV,ееприводимиЬ}своим/о=25151{Zi,=иметь2х2,+xi=вектордолжна16,+угде1с*—и,видаЗдесь—4.=E.1)системуматрицаср(р)полиномомчислах2втребования,изхарактеристическим4х2,+идентификаторегопостроимисходяуправляемую<Л(=44.1).примерE'8)С={1'2}'5/'Врезультатеполучаемг)=(°гдеиaiа2записанногокоэффициенты-Следовательно,принимаетиполиномахарактеристическогоdet(pEвидевА*)—ai—7,=р2=a2+—2,=преобразованиеиE.8)системаВприводитсяканоническойкэтомкоторойуравненииза-координатпринима-1\Такимобразом,I2построенияоперации,1218,=W'¦E.3)в/-16нам±Лх2)~/-16\9/28кимеетвидОднакодля-32; \х2у8(р^ (Xl\-32вернутьсясоответствующиеслучае+уравнение_вид/VявляетсявыписатьнужноE.10)9/2^9/2идентификаторапринимаетВыполниврассматриваемомполиномом/2^2?—E.7):случаеE.9).-16характеристическимэтомуравнениив^-32уравнение—l\Z\-?следуетх=]-16\v15.впреобразованиеиспользуяE.5))соотношениям=оE.3)получимПоэтому(см.E.6)системауравненияпеременным,связьE.4))уравнениесогласноопределяютсязамкнутаяiисходным(см.обратнуюиz2jДляформеiNиспользуемпостоянныеhЕгоА*,матрицыa2.вид'ов+aip,fl8\4)E.2):..,@построенияисход-228Гл.наблюдаемость,Управляемость,5.Асимптотический5.2.Рассмотримидентификаторуправляемуювкоторойхпостоянныезадачукромеи,Задача|хВсостоитх\\епtпри—>этомВиL[y(t)+такчтоозначает,какивтстепень—E.12){С*,иобразом,такимE.16)хрчтобытакой,чтопредполагается,исход-двойственностиэтоозна-5.2.можноуправляемойсистемы=—Lsтакую,РассмотримLматрицыE.15),условиечтобытакой,совпадаетАматрицE.14),согласночтобызамкнутаядлятолинейнойсисте-E.12),идентификатор—заданнымсLCи4.2,теоремеА*—можноха-полиномомвоспользоватьсядостаточнотеоремытем,C*L*чтопостроитьхаасовпадают,дляобратнуюсистема=характеристический5.2.уравне-устойчивым.5заданныйопределениюккоторогоэтойврассогласования(A-LC*))x.E.16)асимптотическийполиномыВводяидентификатора:=выполненодоказательстваА*.относительноасимптотическиЕслип,E.15)=матрицывыходоммногочленхарактеристическиеА*™-1*?*}уравнениепостроитьхарактеристическийДляC*vE.14)+.
.,сводитсябылоТеоремаE.11)A*s=получимсистемыЗадача,Примерпслучае,многочленаE.13),заменууравнениеимелаCx(t).E.12)размерностипринципуА*С\?vвидевх.E.13)—предыдущемминимальногосостояниемсвязьж=СогласноrankсистемыE.11)берутсяy(t)Lсисте-выходые.т.междуCx(t)],иза-системывыходом=rсистемауправляема,уравненияподаютсякоторогоxnn,рассмотримидентификатора-sгдевходагдеоо,же,входхпразмерностиодногоматрицыидентифицируема.системаимеютуравненияотысканиив0—>ПриРас-входами.междухисходнаямногимиСх,E.11)=случаемна+Сисообразом,Ах=УрассогласованияТакимх—А,аналогиисигналтого,идентификатора.иВщ+идентификатора,построенияE.11)системыАх=матрицыПосоответственно.псосистемухридентифицируемость(A*-C*L>E.17)полином.управляемуюсистемуE.18)Асимптотические5.идентификаторы229Построимидентификаторасимптотическийхарактеристическимполиномом<р(р)ЕгоявляютсянулямиВpiE.12)уравненииР3=—2,=р24р2+=гполиномомбытьдолжныАматрицыВыписываемвсистема5-13E.17){ЪЪАЪЪЪ2}E.18)матрицабылхарактеристическим//A0\(^)E.20)04.3примереможноивоспользоватьсячтоотметим,получен-rank{?>,здесьAB}=брать1300-10=имеет\-2можно-10уа<р(р)чтобывсего/=i-—^32у2-3-1ПреждематрицыР1—hтак,врезультатами.качестве=E.14):рассмотренатам4.E.19)+рзLC.—системуЭтахарактеристи-случаяподобраны3полученнымиирассматриваемогодляУ31Z^fcчисла6р+1 +—(hiгдеE.12),типаявляетсякоторого(у\вид12,=v21)=000ч010Поэтому0000-10Определяя"частичную"связьприводимк'*Л/3-3выбираемv\viгде/i,имела/2своим^здолж:ны/1\/зЛЬ2+) \ss)0U.E.22)0\0)видевбыть\2-24Управление«"»виду5иформулепо4X-!S)(;)^bE.20)системуобратную=—hsi—I2S2чтобытакими,/3^3?E.23)—системаср(р)полиномомхарактеристическимE.22)(см.сE.19)).обозначенияВводя3А=2-3-15-14-20/1\/',Ъ=Ь=0,А(р)=управлениемE.23)3и230Гл.наблюдаемость,Управляемость,5.идентифицируемостьчтонаходим,rankifr,А(р).А2Ъ\АЪ,+азр=rank=._,\0++aip«2Р,-1УE-24)7ao?гдеа3ВсилусвязьпоСначалаа2E.24)условиястроимчто[Ь,=топриводимжеE.22)систему0гдесцао,Такими\/9lN\ q2|) \q3/6|+замкнутой4.1.(см.4.1поE.19),E.25).формулами—24^i=системыеекгправилуе.т.7о=4,доказатель-71~ai-iЪ-i=6,—I_0\переменныхх<р(р),функцияи52si,s3этоуравнениевид'25-9обратнаясвязьE.27)=\18запишется5-2s24о-B4,-16,12)у ЦУ1-11-20\/sAвидев/0vi1-2-3Следовательно,Vi=-1251вид_4_бявляетсяисходныхимеет°0_4полиномомхарактеристическимE.19).—l°,\«з/В12^з,E.27)E.26),E.27)16^2+управления^этомобратнуютеоремыобразом,уравнениеПриПоэтому| ы,E.26)0теоремойскг выбираемполиномаviего1-22определяютсяа20причем——10соответствиив/с2<?2&з<?37коэффициенты—7г\20строим—kiqi=1, 2, 3,формулойдоказательствеформе/0=связьдоказательство)viа-20.E.25)=управляема.приканоническойкKq3jОбратнуючислаа0самое,«2аE.22)22,=А2Ь]АЬ,/qA=aiвполнеизложеннойметодике,Ks3jг-8,=системапреобразованиемs2или,1,=+2б52-16S3..E.28)определяемаяпринимает72=4,Задача6.синтезаИзE.21)формулдляуправленийограниченныхE.22)иавтономныхобратнуюполучаем231системсвязьисходнойдлясистемыE.20)уравнений12скотораяобратнойэтойпомощью-3616связиприводится12-26E.17)системассовпадаетимеет1заданнымОпределивобразомтакимискомыйхарактеристическийееиLматрицыЗадачасинтезагде0полиномA—CL,иидентификаторасимптотический6.E.28),E.19).видполиномомE.17),виду160СамакможеммыпостроитьE.12)формевуправленийограниченныхтеперьE.17)системысовпа-автономныхдлясистемОбщие6.1.Пустьтеоремы.управляемыйxхгдефазовыйn-мерный—М.множестваподмножествоВ=определяемаяточкехозадачаследующаяихуравнениеми[х]=f(x,u[x\)Q(x\),=множестваизуправлениямно-подмно-ограниченное—управления.МЕичтотакое,траекториявначинающаясязаконечноепроизволь-переходитвремявх\.точкуQ[x\)системах),Множестволинейныхвобщности,0.
Предлагаемыйнарушаях\=управление[х],илибобудемf(x,u)F.1)уравнения13)к-Впараграфеэтом1979.-Т.109A51),ограниченных№<излагаетсякраткосинтезазадачирешению48.рлюбой^Цх^Цвыполняетсяf(x2,u2)\\-начточтотом,0(х),функциейуправкоторуюуправляемости.на^нару-дальнейшем),внекоторойсчто0условиямделатьНенем.восновываетсязадачифункциейДопустим,будем(например,Еппространствомобластьюисвязываетсяназывать6.1.мырешениязадачу,i)подход(этометодвсемодносвязнойявляетсясчитатьрешающееТеоремасосовпадаетлибоможнодальнейшемудовлетворяющихфункциисб.векторМчтоуправлениенекоторогоr-мерный—предполагать,СтавитсяЕг.построитьx{t),ибудемпространствапроизвольнойвуравне-f(x,u)F.1)=вектор,дальнейшемТребуетсяхописываетсяпроцесс13)уравнением{(xi,ui),элементовпаре^Ещpi,М,=(х2,М2)},для1,2,вектор-ЛипшицаусловиеL(p,p1){\\x1г-x2\\+содержаниеработы:управленийвзадаче| uiКоробовуправляемости-u2||}.В.И.Общий/под-Матем.232Гл.далее,Пусть,1)в(х)2)в(х)в(х)причемней,вза3)существует0} 14) справедлива>идентифицируемостьуправляемоститогдаО=всюдунепрерывнадифференцируемасфункциясуществует0,>наблюдаемость,Управляемость,5.итогда,толькобытьисключением,и[х]управлениетакая,хобластирассматриваемойвв(х)когдаичтотакое,хобластивдиф-непрерывноточкиможет,что:О;=О;=Q{х=в(х):^с,оценкапВв—ЛОг^К-/^1-1/^*),F.2)°Хгг=1гдеC0,>асправедлива0>фиксированные—0<| xi|<рТогдавфункцииуправленияоценка| u[xi]гдедляапостоянные,<глpiданноеотнатраектории,Q,гх[х]=переводитсначаласоставленнойоценкусилувначинаетсяточкипроизводнойдлях\похдвиженияуравненияточкевудовлетворяющихОчевидно,любойизсистемувремякотораяуправлений,-х2\\,2.1,=Получим#(ж),L2(p,pi)\ x1<гизаДоказательство.функциивремених^управлениекоординатначало-и[х2}\\GQGхоизоднимпорождаетсяивреме-f(x,u[x\)=теоремы.условиямчтог=1гучитываяили,какчастисправедливокоординатлежалазалежащих>радиусомТогдаобластивЗначит,Q—C/а,дляНелюбогое.т.может)чтоS(s),S(s),общности,нарушая?QсправедливонеLi(?,po)(lлюбых+можноле-жонераточекдвухL2(?,po))\\x2их\-xi| .[0,Т].Такоереше-условиюизследуетчерезсчитать,неравенствоцентромточкаЛипшицаинтервалененулевомсавыполнятьсяусловиеудовлетворяетпройдяG,должнодлянаправленаее,е.т.соотношенияхтраекторияпокинутьхэтихоберазделив5(ро)областьвыполнятьсянато,шарсебевтеоремы<0,>открытыйсодержалбудетивчтобыусловийсилу| х|приполучимтак,построитьнеравенство^0>роединственнымВтороене—можнорешениеонаро-/(xi,u(xi))||оказывается0(хо)и0>a61~1/a(x(t)),шарав\ f(x2,u(x2))решение9(х)замкнутого\ xo\\.<е0еипределаминеравенство-pe1~1/a(x(t)).<нанеравенстватеперьначале9{x{t))неравенствопоследнегоВыберемвF.2),условиеТаквнутрьобластиначалокоординат.что| ж|постоянная^pi-Qсвыбрана(см.чтотого,иF.4))дальнейшемвтакимобразом,х2,Задача6.синтезаобеПроинтегрировавдляуправленийограниченныхчастиавтономныхF.3)неравенства233системотпределахвдонулят,получим-т.а F.4)ОбозначимТ(е)черезх{т)остается{r}sup=поS(e).сферывневсемТогдаТ(г)Более| х(Т(б:))||того,продолжитьТ(е).величинынулюДалее,таккромеТ(е)сверху,| ж(?)||limтого,Рассмотримсуществует0.ТемтеперьначальнымQобластих@)попаласамымТеорема(р(х)функцияудовлетворяет2.Существуетбытьвсюдунепрерывнаточкив)^@)г)прии<| х|<р<вектор-роL(p)\\xi<x2\\.~толькоусловиям:хпри0;=дифференцируеманепрерывнозаисключением,0;=0;=Q{хсправедливогдеQ,Gхв(х):=ограничено),Qмножествохусловия.0приудовлетворяющая0=усло-облас-некоторойЛипшица0(х),в(х)причемможет,чтотакое,^2)||-достаточныеховремя.условиюфункция0,^даетточкиследующие0>роH^(^i)а)в(х)б)0(х)доказана.теоремалюбойконечноевыполненычислополностьюиззаПусть6.2.кф)F.5)=системыкоординат1.СуществуетвеестремлениипритеоремаСледующаяxq.этойначаловпро-определениюсистему=траекторияпротиворечитвозрастаетнеуправляемуюусловиемчтобытого,условияможнорешениепределхсполучаемслучаечтомонотонното=противномввремени,какточкакоторыхприт,неравенства^'"(хо).какотрезокограниченаии,большийнаещезначениямпоследнего<так?,=темиз^0}>сс,(числосчтотаково,множе-неравенствог=1гпринекотором0а,<фасю.Тогда:1)есливтооо,2)если)ИЛ,аЭтот1960.оо15);рассмотренmotприТ{х$),времени=случайQЕхомоментхтраекторияточкенекоторыйМ.:<апроизвольнойx(t)limt^ooвкниге:причем===x(t)0,F.5),уравненияоканчиваетсяТ{х$)начинающаясяв^точкех\=0в—01^а(хо);0.БеллманР.Динамическоепрограммирование.—234Гл.Длядоказательствапервогопроизводнойпохтраекториих(?),=наблюдаемость,Управляемость,5.временивыходящейтеоремыфункцииизточкив(х)Доказательство6.2.ЗадачаРассмотримтеперьавтономнымограниченногоприкладнойопускаябудемссинтезазадачиописываетсяпроцессгде\и\чтоэтаАd,матрица—этоткоторуютерминАх=управкраткостидляПустьточен.недостаточноиЪи,+хпразмерностиЪп,n-мерный—преобразованиемневырожденнымИзвестно,вектор.(см.координат4.2пунктглавы)ziсвекторприводится(c,Ai-1x),=кО,=гpj—принятьправуюсводитсяк1, 2,п.
.,(с, Ап~гЬ)1,-г1, 2,=1,=полиномапоследнегоисследованиюзауравненияznZi+ъновоеА.матрицыуправлениетоv,Еслизадачасистемыуправляемости=1,п-. .,характеристическогочасть=iv,=1, 2,п. .,1,-областиограниченнойЫтеперь=Zi+ъ=коэффициенты^Если. .,п,F.6)1, 2,=видуiЗдесьгусловийизопределяется(с, А*~гЬ)впри-искомогопостроенияуравнениемсистеманастоящейгдечистоограничимсяуправления,хотях^котораяуправляемости,этомсхемуодномерногоодномерной,называтьав-ограниченно-доказательства.соответствующиеНачнемсистеме.линейнымкзадачуПриОпишемзадачи.линейнойотысканиярешающегорешениятеоре-результатовпроцедурапараграфа.началевсторонойуправления,предлагаетсяуправления,сформулированадлятраекто-будем.неввышеполученныхЗдесьнадоказательствомприводитьуправленияприменениесинтезированногобылассовпадаеттеоремыодномерногосистемам.F.5)-^1/«(ж(*)).<частисинтезачтозаметить,уравнениянеравенстводословновторойсилуввыполняетсяхо,доказательство6.1.достаточноутвержденияот0(x(t))Последующееидентифицируемостьd2,d2<di^\pk\,г<наложитьна=vуправление1, 2,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
