Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 29
Текст из файла (страница 29)
.Ограничимсяyi(t),ещенужнокомпонентпвектора—тлинейных,хп.анализомзадачистационарнойдлях=Ах+ВщC.38)системыдаютнамx(t).соотношенийтПоэто-ли-214Гл.наблюдаемость,Управляемость,5.уА,гдеВСипостоянные—Введемновыйразмерностейтого,будемвекторр{г/т+1,. .,=Сподобраначтобытак,уп},неособенной.ТогдаможнообозначитьЕслисоот-га.=положивматрица=записатьLiy=можноССх,C.40)=Ciбылапхгитпхппхп,rankчтопредполагать,ргдеСх,C.39)=матрицыКромесоответственно.идентифицируемостьчерезфазовуюрL2p.C.41)+наблюдателяпеременнуювекторатор,записатьхВсоответствиис=C.38)уравнениемрC.41),соотношениеучитываяи,рВэтомЕслипараграфа)настоящегочастьправую(см.САЬ2р=испопытатьсясоответствииПоэтомудополнительной информациисоотношениеуСх—неC.39)сC.39)у=у—Длянесет.учетом6,=еесуур,учетомСх=CL\y=+никакой—имеемCL2p.соотноше-C.41).соотношенияи[унатодополнитель-продифференцируемполученияC.38)уравнениякакполучаемслагаемоеидляCL2p.-C.41)ип.5K(t)C.42)слагаемоетакдает,CLxyу-=формуламисдобавитьневоз-(см.наблюдателяуравнениеничегоу-СхВрассужденияминужноэтовнешниххарактеристикамипостроитьОднакоСВи.+предыдущимидополнительноC.33)).СВи+являютсяиианалогииуравненияC.28)получаемСАЬ1У+употеперьC.40)имеемпеременныеуравнениивозмущений.+изС Ах=L2p.C.42)LxyВбудемитогеиметьуивкачествеЕслиq=Это=С[АЬ2рввести+ALXК[у+qСВи,+=рКу,—САЬ2у-тоиз-СВиуравнениеужесостояниеТакимсодержитпоследнегоПрименительнообразом.в2р].уравненияполучаемC.43)[E-K\CBu.переменнойпроизводную-у,ивосстанавли-соотношениемопределяетсяобразом,CAL-+неаследующимВи]+переменнуюCALxyвозьмем[E-K\CAL2q+[CA(L2K-L1)-KCA(L1-L2K)]yвосстанавливаемоерасширяется.+наблюдателяуравнениярCAL2p==L2q(t)+рассматриваемом(Li+системенаблюдателяпонятиеслучаекL2K)y(t).C.44)C.1),C.30)онотеперьнесколькоопределяетсяСх]вСвойства4-вполнеуправляемыхсистем215линейныхстационарныхСистема\z(t)наблюдателемявляетсячтотакое,НетрудноСвойства4.чтовидеть,C.38),системыдляC.39)илинейногопредставленияпространствоцелесообразнофактыизсвойствиевклидовопрост-Однакоалгебры.высшейкурсауп-алгебрылинейнойоднонеобходимуювводяисистемисследованииотображающегоизвестнынапомнить,ихto>наблюдателемявляетсяПринекоторыефактыtприлинейныхматрицы.оператора,Этидругое.вC.44)x(t)=смысле.потребуютсянамz(t)C.41)системыдостационарныхоператорысистемуправляемыхэтомвначальногокаждогодляравенствуC.43),управляемыхЛинейные4.1.еслисостояниексистемаименновполнеC.30),приводитgo=M(t)u+начальноесуществуетq@)равенствоu(t).всехC.1),C.1)системыL(t)y+системых@)состоянияK(t)q=терминологиюздесьсоответству-иобозначения.соответствующиеОбозначимэтихЛчерезлинейныйвыбраныпространствахЕпотображающийоператор,{ei,.
.,базисыеп}{Д,. .,иЕш.в/ш},тоЕсливочевидно,чтотЛр—/7>.7•Г771Т)—к=1и,преобразованиелинейноеследовательно,определяетматрицу/аиЛа22"^-LI_аП2\aniобычнокотораяЕематрицейназываетсястолбцыявляютсяЛоператоракоординатами{е^}базисахвAei,векторов. .,Аепотносительноегокоординаты{/&}•и{Л}.базисаПустьхЛ,отображении{Л}базисаТакимпроизвольный—{е^},базисет.е.т.е.ху=элемент+х\е\Ах.другойЛоператорвообщеопределяется,особыйуправляемостиЕпотображаетЕпви,{е^}интересг/i,. .,иввотоб-приуотносительноА,какбазисекаждомпомощьюпареправило,когдаАматрицыбазисовдругихПриматрицей.случай,другойвхут.смычтопредставляетследовательно,{/&},Очевидно,говоря,образувектораматрицукоординатывхп—черезушопределяетЛ.оператор,хпАх.=полностьюбазисызадавопределимxi,.
.г/i,. .,уxi,. .,стороны,однозначнохпеп.формулеоператоркоординатиОбозначимкоординатыпообразом,Епиз+..ТогдавычисляютсяпреобразованияС=анализеэтотпроблемЛоператоротоб-квадратнойопределяетсяматрицей.АПустьизЕп,а—матрица,определяемаяоператоромвекторыЪ, АЪ,. .,Aq~4D.1)Л,Ъ—некоторыйвектор216Гл.линейнонезависимыпостоянныесуществуютиидентифицируемостьao,ai,. .J2a<2,ceg-i,^12)?®чтотакие,АЧЦелесообразноа^хА^Ч+(qслучайберемихбазисе.этомп).=Покоординатыкоординатамибазисеэтомвкоторогокоординатыпоследнегоиметь{0,0,. .,1}.видАпЪ,векторадоАп~1Ь.коор-Ап~1Ъ,вектораЧтобывыписатькоор-Гамильтона-Кэлли,теоремойвоспользуемсявбудут6, АЬ,.
.,вплотьд.мыЛАналогично0}.0,. .,т.п.иматрицыбазисеви<qоператораэтой{0,1,0}когдаинезависимыматрицузаписанные{0, 0,1,. .,п=столбцамикоординатыбудутбудутqлинейнопостроитьАпЬ,. .,имеетА2ЪвекторакоординатыпринципуА2Ь,АЬ,векторовАЪВекторвыше0.D.2)=когдаАп~1Ь. .,можносео6+случая:6, АЬ,ТогдауказанномуахАЬ+..дваВекторыбазиса.качествев+отдельнорассмотреть1-йунаблюдаемость,Управляемость,5.которойсогласноАпвгдехарактеристическогоИзсматрица—A:матрицыD.3)формулыкоординатамиец={—ao,—будутАматрицавхарактеристи-am_iAm~1+а\АЪ——в,D.3)=коэффициентг-йАп=aofr—а0Е+—А)—АтЪАП6векторасцА+..det(XEчтоследует,образом,+элементами,нулевымиполиномаТакимап-гА71-1+—..+an-iAn~1bJиan_i}.ai,.
.,—+ао-поэтомуА71^}{6, АЬ,. .,базисеспециальнома\\+..имеетвид/000О14.1.Рангматрицыравен2.ПустьПоэтомув..ЪХарактеристическийпоэтому,а\=формулуЗдесьЕ—единичная-а2D.4)-ап-заданыЕ2АЪ{1,2}.многочлензаписывая—7.О\пространствевАА2=D.3)в-7Аможноавектор(матрица),взятьвекторывзаписатьввиде2,-А2видематрица,можно{8,Щ.D.5)=матрицыD(X)и-а0-aiбазисебазиса=001..некоторомкачествев..0\fdПример..1—7А—2Ев,=сматрица—имеемнулевымиao=элемен-элементами.) Здесьнулями.идалееподвпонимаетсявсекомпонентыкоторогоявляются—2,Свойства4-вполнеуправляемыхСледовательно,исоответствиивЪвектораЧастоимеетвполне{Zi,.
.,базисиспользуетсягдеai,ап. .,D(\)det(\E=NМатрица=а2АЪа3АЬ++ап\п=D.6)преобразованияD.6)базисевимеетновомU2....0представлениисоответствиив+а\АЪ=а2АЪД1^-^п—1О/Авввиде+{0,. .,столбецПервыйапАпЪ)—Кэлли,—0,1}.базисе.+..=этоммат-а^Ъимеем—Таким+а3А2ЬУУ^п—2^nобразом,воanAn-1b-\\-=h-aiZn={1,0,. .,0, -a^l,—2m?второмбазисеспециальном{Zi,. .,Zn}Аматрицавидимеет/ОО^4=Еп,. .,(qслучайиихcn_g.можноn).<дополнитьТогдасистема010\—ао2-й10О..\О..D.8)Оci,1.=находимА12вапа0,0D<7)ОГамильтонатеоремойсАналогично(aob=+&п\anЪполучаема\\+..О"п—1..матрицыAliи,~25'D.6)видпредставлениепредставлениевматрицыаап+а3anЪ++полиномаимеет(п\Вычислим....a^iA™+а2Вектор++характеристическогоА)—базисавместоформуламиопределяемыйп1Ъ«2^>=коэффициенты—АматрицысистемуправляемыхZn},1гZ2представлениевидисследованиядляD.4)формулойсD.5)базисевсистем217линейныхстационарныхВ0—а\этомслучаедовекторовбазиса1..—а2—ап-\)..D.1)векторывыбором6, АЪ,небазисомявляютсявекторовсоответствующих.
.,Aq~1h,с\,. .,cn_gявляетсяиме-Гл.218базисомЕп.вAqb,. .,D.2),равенствоАМатрицуАЬ,будутстолбцамито*векторамci,обычнымстроимAcn-q.. .,001001Таккакспособом.00000........о**—а\***0-а2*******-aq-i00оо..ао,ai,матрицы,соответствующиекоэффициентами4.2.урав-Пусть-3{1,0,0}.=Рангматрицы{Ъ,АЪ,А2Ъ}2равенкаки,легко=проверить,1-Ъ+-АЪ--А2ЪПоэтомубазисакачествевЪсА2ЪАс=Ас=—4:Ь-\-2АЬ-\-2с,{—4,2.2}.т.Поэтомуввновомбазисе6,АСистема4.2.соописываетсяА2ЪАснаходимбазисе6, АЬ,АЪ,векторы{0,0,1}.с=векторДалеее.независимые{3,-1,-1},=D.9)равенством{—8,6,0}.=линейновзятьАЪD.9)в.=48можно{1,0,0},=соответствиипредставлениессбазисеновомв={2,-2,0}АсвекторАматрицаимеети,имеетимеетпред-следовательно,представлениевид=скалярнымПустьуправлением.управляемыйпро-уравнениемхсо*являютсяaq-\.
.,*..VэлементыненулевыеЧислаcn-q.3полнойстолб-*-по01..отмечены. .,ПримерпроцессЕесправедливослучаеD.2).уравненияВэтомв=\огдебазисеэтомвАс\,идентифицируемостьполучаемАсимволомнаблюдаемость,Управляемость,5.скалярными.управлениемуправляемостиrank{6,=ПредположимАЪ,. .,Ах+D.10)Ьичтотакже,АП~1Ъ}=п.выполняетсяусловиеСвойства4-вполнеТогда(см.управляемыхD.6)базисев2zD.10)уравнениепараграфтакжеизец1000010этоматрица Nс0с—U2(р(Х)АпполиномахлинейнаяТогда+kвекторсуществует^р(Х)своимD.10)7овполнепроизвольный—матри-уп-многочленкп}(А=приведенакчтосистемаЪк*)х—общностинарушаяD.11)видуиuзамкнутойуравнениетакой,полиномом.Несистема{fci,.
.,характеристическимДоказательство.Тогда71А+Дости-гдесистема+..=хчтоAn~1b}Nz,стационарная7n-iAn~1+А.матрицы{6, АЬ,. .,=коэффициентами.вещественнымиимеет\11/D.7).Пусть=D.11)0-ап_..преобразования4.1.и010формулойТеорема/форме0характеристическогопомощьюканонической+zопределяетсяуправляема\=коэффициентг-й—взаписать0—а\гдеможно219систем2)гл.0Достигаетсялинейныхстационарных=крассуждений,нейсчитать,связь-k*z.D.12)D.11),системыможнообратнаяприменяетсяD.12)можно1записатьввиде\00z.о\—аоо.&П—\rvn/—..Полагаягполучаем.
.,п,уравнение7оДля1, 2,=этогообратнойможнохарактеристическогоD.12)преобразоватьуравнения.в•чтобыиимеласозаранеемыбудемимчтоозначает,системуона(р(Х).являетсячастности,управляемуютак,•принципиальным,Он,дальнейшем.вполне•полиномомявляетсярезультатвсвязи—72характеристическимуравненияПолученныйпользоваться—7iсскалярнымзаданныеширокооб-помощьюуправлениемкорнихаракте-220Гл.Система4.3.управляемыйнаблюдаемость,Управляемость,5.свекторнымигде{ixi,. .,иг}также,равныйранг,Аматрицы^гтиСначалакоторыйU2=кВДляv\чтобылинейная<v\тоn,столбцыприсоединятьлинейнойкомбинацииЕсливсех-\-v\системеперебораЕпполучимто-\- ь>2v\вплотьпроцесспродолжаем,Ъ%^зп=положитьвоспользоватьсяобратнуюсвязи62,будемпредставимначинаят.д.своимпоследовательнокоторыйсввыбраннойкПредположим,чтонезависимойвидеЪ\.присоединяяисвязьимеламногочлен.AVlb\AV2линейноиможнообратнойвекторов,векторов+предшествуюможновыбратьэтойдопредыдущихп,ввекто-витогесистемойтако-векторовявляетсяЪълюбойТогдатакомВбазисехлюбойСделаемвиде.АщЬкAVx~xh,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
