Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

.,r.=что0Т,A.1)t <<0.пространстваегоi,jQ,которыйотображаетпоформулеv(t)Адсосовпадаетэлемен-Q(t)u(t).=всемпростран-причем(Qu,u)=Неравенство0,непрерывная—qij(t),оператортогочто?2@,| а|>определяетэлементыв>Ег,ЕаQ(t)пустьиэлементамисмысле,a*Q(t)aлюбогопространствомтакихпримерыразнообразныхихС.Г.книгених.Примердляивышеразнообразныеважныизодинэнергетическихнайтиможнодальнейшемэлементыдействующийесли:положительным,Наука,гильбертовыхпримерыдальнейшем,вОниДругиеоператоров.Какв/=i=1Лебега.смыслевоператоров.Скаляр-квадратами.г\ u\ 2i=1Joкоторыесвоимиформуламиy2ui(t)vi(t)dt,понимаетсяинтегралсоопределяютсягрТJoидентифицируемостьсуммируемынемврТ(u,v)=гдекоторыхг,произведениенаблюдаемость,Управляемость,5.A.2)Т°J°A.2)[v*(t)Q(t)u(t)dt,u*(t)Q(t)u(t)dt>0.изследуетМихлинС.Г.A.1).Вариационныеметодывматематическойфизике.—М.:Управляемость1.линейныхТакимобразом,Qоператорэнергетическоеемусистем187нестационарныхявляетсяСоответствующееположительным.Hqпространствосостоитu(t),вектор—функцийизко-длякоторыхи*(t)Q(t)u(t)/огдевпонимаетсяинтегралHqЛебега.смыслев<оо,Скалярноепроизведениенормаиформуламиопределяются[u,v]=Такdtкак[и]2u*(t)Q(t)v(t)dt,JoJoQ(t)матрицатонепрерывна,/=u*(t)Q(t)u(t)dt.постояннаясуществуетчтотакая,с\рТгТu*(t)Q(t)u(t)/оJoОтсюда,частности,впринадлежит/изипринадлежностиОднимизэквивалентнопространствуHqтого,L^O,чтоследует,гильбертовых^)?при-указатьи^°этомвL^O,Еипространств,слу-T).котороесвойство,являетсяглавах,хzНЕширокосле-определяемоеоднозначноеМ.ПриДоказательствочитателяВтороеегонамучебникунасРисса.гильбертовомиограниченныйН,однозначнокоторойБудемxсоответственно,B(t)f{t)фиксированноечисло.гдеA(t)и——=пространствамфункционалопределенныйf,видевфункционалом/.управляемуюB(t)u++матрицыфункцияипредставимуравнениемf(t),A.3)празмерностиизL^O,Т),пове-систему,дифференциальнымнепрерывныезаданнаязаинтересованногооднозначнорассматриватьA(t)xМ,исполь-практическом(щх),=линейнымЕследующем.вопределяетсяописываетсяу| ^| 2-+отсылаясостоитЛинейныйлюбогогдеz,анализу.интерес,пространстведлятоy +=гильбертовымкособыйУправляемость.1.2.поведениеНЕееприфункциональномупоf(x)элементдает\ y\ 2=будем,относящеесядляТеореманенездесьН',вх\ x\ 2чтоничегоприводитьутверждение,представляющеевсемочевидно,этомтеоремыПоэтомуклюбомуподпространствопредставлениеполное—существуетортогональноиспользовании.МЕслиЛеви.элементагдекрометакжеиможнотеоремой.Теореманаэлементu*{t)Q{t)u{t)db,пространствупоследующихвследующейa/свойствосновныхиспользуетсяT0Если,Hq.u*(t)u(t)dt^JJбудетHqпространствоdt.L^OjT),Еиu*(t)u(t)чтотакую,сослучаееслипространствус0точтоследует,энергетическомупостоянную/dt^C!Т—произвольное,хпипхгносоот-фик-188Гл.Определениеиесли0хвмоментВэтомнеегоэтогоограничениянаиззаданногоL, diОднакогдеуправляемостиhiииоднойсвойством,чтосизперевеститойиодногочастных^^щЬ^гL^1, 2,=г,.

.,полнойпонятиясутьтакжеуравнениямитемееможсостоя-заданноеполнойпонятиеопределяетсяобладаетуправлениядругое,вуправляемо-A.3)системауправляемостидлязадачамикраевымиилидляпроизводных./(?),ФункциявходящаявводядвиженияуравнениевПоэтому,управления.что-| u|шарадопустимогоразностнымивзаданногоуправляемаясостоянияобразомуравненийограни-потребоваться,ецслучаезаданногоописываемыхтакихдополнительныеизсоответствующегоАналогичнымза-свойстваможетчастности,Вполнеже.помощьюуправлениереальныхпостоянные.другомвнаВвнутренниезначенияуказанныетом,вх2.=параллелепипедазаранее—исистем,вводитьпрямоугольногоостаетсясостояние.недостаточно,принималоуправлениеж1,=L^O,T).необходимостиВКошизадачиограниченияибоуправления.допустимоеиликдопустимыех(Т)от-управлениеж@)Т,<пространствуприводятнауказатьx(t)t<никакиеуказываютсяоказатьсязачастую0условиюпринадлежностиможетможнорешение/(?),удовлетворяетопределениикромесистемТ=Епизчто+управляемойвполнеж2итакое,ж1, ж2)B(t)u(t,+tL?@,T)изидентифицируемостьназываетсяж1векторовТ,<A(t)x=ж^ж2),задачахможноt<времении(?,чтобылюбыхдляЦ^ж1,^2),=A.3)Система1.1.[О, Т],отрезкенаблюдаемость,Управляемость,5.новуюнесистемы,зависитотпеременнуюy(t)=x-<p(t),A.4)изA.3)уравнения(p(t)функциюA.4)получаемф(г)чтобытак,A.3)уравнениеф+уA(t)y=A(t)(p(t)=преобразуетсякB(t)u<р@)+f(t),+A(t)cp+0,=f(t).+Выбираячтонаходим,заменойвидуA.5)Поэтому,исследоватьнеполучаемыхуправляемостиВозвращаясьдлякпрежнимx=результатов,обозначениямфазовыхееизвестно,A(t)xB(t)u,+можнорешениерассмотримW(?,s)матрица—удовлетворялоКоших@)=х1.в/видеW(t,s)B(s)u(s)ds,zуравнения=A(t)z.Длятогочтобыэтоусловиюх(Т)необходимопеременных,0<?<T,представитьJoгдеисследо-A.5).системыКошизадачуКакобщностиограничиваяобзадачуможноидостаточно,чтобы/JoуправлениеW(T,s)B(s)u(s)dsгдеc=x2-W(T,0)x1.=ж2,u(t)удовлетворяло=c,A.6)условиюрешение1.УправляемостьлинейныхТакимобразом,тогдауправляемаиu(t,управлениеЭтотматрицыТогдаЭтисоотношениеA.6)равенстванаhi(t),.

.,вектор-функцииДля1.1.управляемойбудемвиде1, 2,=п.A.7). .,называтьчтобытого[0,Т],отрезкеhn(t)былимоментныминеобходимосоотношения-ПустьмоментнымнаA.3)х2иЕпизвполнеh*(t)u(t)dtiCi=1, 2,=u(t),2)е.[0,Т]науправляемауправлениет.вполневектор-функ-отрезке.существуетA.7),соотношениямэтомбыла0=чтобыдостаточно,исистемах1f(t)принезависимымилюбыхдляA.3)системалинейноДоказательство.следовательно,удовлетворяющеевы-моментами.—ТеоремагCi/ц(?)г-й—с.в=дальнейшемвqзаписатьпрове-Длястолбецуправляемости.вектораh*(t)u(t)dtуказатьлегкоПустькомпонентаможноуправля-можнополучитьполнойобозначения.г-я—вполнеЕпизЛевитеоремыследующиеci0=сA.6).условиявведемf(t)привекторапомощьюдостаточныеB*(t)W*(T,t);числалюбогоусловиюсиJo/осоотношениями, адляпозволяетнеобходимыеусловийэтихвыводас),A.3)системакогдатогда,удовлетворяющеерезультатпроверяемыечтополучаем,толькосистем189нестационарныхи,удов-п..

.,оОбозначимMhчерезh(t)которогоконечномерноепредставимыL^O,изподпространствоТ),элементывидевпh(t)J2^hi(t),A.8)=г=1гдеапcei,. .,u(t)ЛевиИзможнопредставить_L Mh,ty(t)чтотого,соответствиивv(t)=w(t),+сv(t)теоремойw(t)M^,G_LM^.чтоследует,h*(t)w(t)dtv(t)функциячтоu(t)видев/oУчитывая,Тогдапостоянные.произвольные—iO,=1, 2,=представимаn.. .,A.8),видевполучаемп?<=1, 2,п.A.9). .,к=1Такимобразом,ЕпимуправлениеA.8)cei,. .,сеп,которыелюбыхq.ВA.8)управленияизu(t)чтонебудем.М^,наA.9)u(t)зависитчтоАотЭтаневозможноdetх1их2.в|(/ц,ОднакоA.7),h^)\исилуимеетх2этотприпро-нуля.доказательствеприпроекцияЛеви.теоремыотфактрешениеотсутствуетотличентопостоянныхпомощьюсистемах1некоторых=соответствующеесA.9).привыбраныпроизвольносоотношениямопределяетсясистемыслучаесистемы) Очевидно,моментнымнаходятсях2исуществуетиМ^науправленияпротивномопределительпроизвольны)удовлетворяющееэтогох1есливыводу:ктакжеqu(t),проекцияподчеркиватьприходим(следовательно,изПоэтомуАПосколькутеоремыГл.190являетсятеперь/i (t),.

.,hn(t)акогдатогда,Докажемвектор-функциипроизвольно,толькоичастьвторуюлинейнотеоремы.такжемоментнымМ^Предположим,х1A.7),такразрешима,из1^@,пространстваТ),расстоянииищматематическихотамаятникаточкимомент-решение,котороеv(t)функцияA.8),гдеai,изап. .,простран-приложеныI соединеныдлины(рис.5.1.1).подвесакоторые1X2,произвольная—hn(t). .,топричемформулевектор-функцияпоhi(t),[0,Т],имеютот-линейноМ^.Два1.2.силамиw(t)ортогональнаяПримернаA.9),системыАсистемаA.10),видеводно-определительотрезкеA.7)соотношенияопределяетсянаходятсяееопре-длясистемаГраманапредставимо5.1.1Этаап.еслинезависиманыеРис.соотношенияA.8)какобразом,линейноL^O^T).вопределитель(каквектор-функций).нуляТакимтA.10)ai,. .,независимыхтвидевуравненийсистемуотu(t),искатьфункциюпостоянныходнозначнопроизволь-управлениеизэтуполучаемотличенвектор-функ-выбраныподпространствоПодставляяопределенияотw(t)±Mh,конечномерноеA.7),отличенчтох2ибудемv(t)eMh,вышеонТогдасоотношениямвведенное—тонезависимы.произвольны.u(t)=v(t)+w(t),гдепустьиci,.

.,cnудовлетворяющее/i ,. .,/in,линейнонезависимы,моментызначит,идентифицируемостьвектор-функцийэтифункцииГрамаопределителемтогданулянаблюдаемость,Управляемость,5.Маятникимаятниковымкпружинойуправляютсядвумясгрузаммассойткаж-каждый.Уравнениясистемыдвиженияимеют-ка2(в1-в2)-=Дляприведем=в\—проблемыформеисследованияее#2,стандартнойкХ4=#з>этойуправляемостиКоши.ПолагаяA.11)уравненийизвидх\системыв\=сначала#2?+^при=х\получаемA.12)гдек17МатрицаКошиэтойоо=т,/'системыkt—ks'mkt+=—-mqlmlимеетcosW(t)2к2а2ор1"rngl2видktsin—к0ktcos000=0\000ptcos—p1sinsin-ptpptcospt)Управляемость1.линейныхЕслиA.12)уравненийсистемусистем191нестационарныхзаписатьООО—гСледовательно,/ц(?)вектор-функции(г\--sinktТаккаквполнетеперьуправляютсяt^-,ли-систе-поэтомуhilt)линейноявляетсяIi2(t)зависимыПредположимчтотеперь,0,hs(t)привыполнениисисте-направленнымиВэтом2гслучае/14@—sinpt,=отрезкесистемаВТогда{0,=Длясилой.однойвсегоуправляется0.A.11)системаA.13).условия=Эти—2rcospt.=Значит,времени.U2(t)чтосчитать,же{0,0,0,-2г}любомнабудемопределенностипротивоположноигрузам.=управляемойвполне=равными=тойуправлениямаятниковымдвум=U2=двумякследовательно,функции^иA.11)U,A-13)системевВневектор-функцииэтивариантычтоприложеннымии,.t^t\времениU\маятникисилами,rcosktтовозможныедругиеПредположим,маятников.е.т.\различны,отрезкевидуправляема.РассмотримсистемойлюбомнаA.11)система/сирчиславещественныенезависимыиметь—rcosktI=7Jktvsin/c/линейно(j.\1/i2mzy-имеютслучае\,г'будемтогэтомвк\A.5),видевО0, —г}—г,сле-и,следовательно,hi(t)/vPЭтаитогобуравненияусловийЭтоможноприведенномуполнойматрицыB*(t)W*(T,от/i (?),.

Характеристики

Список файлов книги