Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 20
Текст из файла (страница 20)
.,1}.=Г(Ах=Гхдляболееформамивведем=Ляпуноваисследованиядлянейтральныхслучаее./т.функцийоказываютсяудобнасистем,этомвидуe*z.C.2)каноническимитакжевобщему=систем,Лурье,переменныес*ж,C.1)=болееsпостроениемпользоватьсяzиf(s),спредложеннаяних,сгк=нелинейныхеслииз/(сг),+связанныенаглядными,Каноническиегдеизисходитьприведеныприведеныспециальных—Будем=Рп+\Убытьмогут=конструкции,рассматриваемых/задачЛяпунова.регулированияzсобственнотакихрешенияA.8))хкоторыеДляуравнения.автоматическогообластьстроитьзатруднительнопараметров.методомвторымКаноническая3.1.помощьюеепользоватьсяуравненияегопространствев1\рп+!у+первое/(<т)].+уравнениеC.1)вимелоканоническуюформуzтоВГматрицуподчинитьнужноГматрицухарактеристическоговыбратьможночтобытак,0ГR=величинуа°у/0А)=вид.C.5)pj..с*х=имела—0\..»\0теперьRматрица(рЕdetуравнения/PiПреобразуемIf(a),C.4)+условиямкорнейпростыхслучаеRz=^с^ж^.=СогласноC.3)формулеимеемaПоэтому,(пвводя+1)-мерный=c*T-\z+ивектор=Iy).{zi,.
.,zn,г/},можнозаписатьп+1C-6)Добавляяк)значенияпростымpiСистемаC.4)уравнениюнулевымкромекорнемодногоуравненияоднойпоpj,изуравнение,нейтральнойназываетсяА,матрицывтороеимеютпеременной,{рЕ—А)=0.можноесливещественныеотрицательныеdetC.1)записатьвсесобственныечасти,значе-ар^являетсяО154Гл.Устойчивость3.системзамкнутыхгдеДалее,соответствиивВводясполученнымобозначения,соответствующиеаВитогеполучаемпервуюи/гдеРиединичный—C.7)).Вpn+iа&Рэтиуравненияf{&)jоC.1)уравнений7Ч=матрица0,=системекформуавектор,получаем/3*u-rf(a).=(а),If+когдаслучаеприходимканоническую=C.6)изуравнениемf3*u=г/(<т),C.8)-(см.диагональнойявляетсяпринимаютC.5)ивидпzRz=/ (сг),+у=Т*^—®fi Zi}=C-9)г/(с),—г=1игде{z\.
.,=характеристическоеC.1)самомделе,pi)ni,••(pгде{zi,. .=0и{zi,. .&—АявляютсяформуканоническуюC*u-rf(<r),C.10)=постоянныеавекторы,Р—постоянная10000N..MJ\0корнемпринимаютz2/(cr),авсеостальныекорнивид+P\z2=in. .,Z,кратности•/(сг),+pnzn=q2f(cr),+z3у•=,zn,y}.ВЗ.1.C.10),уравненияхкак,впрочем,вспомогательнойявляетсяуинеивC.1)уравненияхфазовоехарактеризуетсистемы.ПоэтомуC.10)вместоможноz(вилирЕимеют\(PiявляетсяC.10)переменнаясостояние7*^,=—0..р\уравненияЗамечаниеC.2),иj..0+=C.1)crгqif(<r),ихарак-которойеслитогдекорни,каноническая=частности,простые,C,q,в0ВЕслитоматрицыуравненияqf(<r),+(МхRкратныеделителямиТогдаPu=,zn,y},C.5),видаматрицаимеетэлементарнымиps)ns-—uzАC.5).формулойопределяетсяусложняется.пусть•,RматрицаматрицыуравненияВ—ауравнениеформа(рг/},zn,когдаслучае,zpn+i=Rz+пользоватьсяRz==qf(a),+0)уравнениями&rf{a)C.11)f3*z-=уравнениямиqf(a),у=п/(а),&=^7Л+7п+12ЛC-12)г=1ПервоеуравнениевC.11),очевидно,следуетизC.10)(берутсялишьурав-функцийПрименение3.нения,содержащиетеперьдваЛяпунова155компонентпроизводныепоследнихппzi,C.10)изуравненияи).вектораzn.
.,Запишемвидевг=1г=1Продифференцируемпеременнойгде7гдеcj{7ь---,7п}-рп+1как0,рп+1уrf(a)—в=величина.(см.выводэтомуравненийнеобходимымдвухнеслучаеC.8)),уравненияпервыхявляетсяизсистемы.Замкнутаясистемаопи-управления1C.13)..Т2постоянныекоторыхпостоянныеа,удовлетворяетGЕ,Iиаф=UиявляютсяЕф+G-\-ф-/х,—iобъектхарактеризуютпараметрамиарегулирования,f(a)Функциярегулятора.удовлет-условиям/(сг)Этаin+iy,уравнениямиавдлятозаписиБулгакова).задачаскалярная0—формойрегулируемой(перваяПримерs/3n+i/3*и=+(см.C.1)),/(сг)aиной&вторымвоспользуемсяqf(a))++следовательно,поведенияописываетсяу=являютсяСоотношениезатемT(Rz=вектор,аC.12)описаниядляin+iyпостоянный=уравненияC.10).+Такнекоторый—ЕслитоТ*=аних,:у°=изпервоеисключениязадачаисследоваласьстабилизацииВведемкурсаО=|сг|<сг*;приerf (а)многимиавторами\а\присвязиви>а*.C.14)разработкойс(кораблейобъектовдвижущихся0>системысамолетов).обозначенияUгIT21Ъ2=-г-v/rл/ггТогдаC.13)уравненияможноГ\гдеУстановившеесяобозначенафчерезсистемысогласно=Г}2,=V2/W,==О-=0,определяетсяb2r]2условиям+нормальнойЬ2Г]2+п2<^Р2^2/(сг)0,C.14),\т\погц=0,получаем<—?сг=^=переменнойуравнений=pi?7iо,Установив-т.+решенийконтинуумГ72?,-решением=C.1)):П2^,+PlVl(см.формефункциипроизводнаясостояние7/2Отсюда,Ш^взаписатьP2V2—6посто-156Гл.Устойчивость3.которыеустойчивость.наисследоватьнужноЗаписываяобъектауравнениясистемзамкнутыхрегулированиявидевг)Ау=Ъу,+находим,чтоА=аследовательно,авторойр2Такимкроме(см./?iC.13)Pi/b2jтогоиP2Vi/1*2-+Р2=кореньЭтиявляетсяpiнулевым,однойпопеременнойонах\?,=п^=ж1,—pn+iприводитсякЬ^щ=2Теорема3.2.Лурье.абсолютнойзадачаманализомимеютсуче-формуканоническую(рЕА)—отрицательнымивещественнымичасть(он0=поC.1)либопростой),C.8),системуkKepj/(сг),J2к=1к=1pi,.
.,psвещественные—числа,Всоответствииссчитаютсяэтим7i1,+п. .,Pf()ps+i,. .,pn+ixn+i—•••комплекснымикомплекснопопарно—различнымиизодного(рЕнейтральность0=со-которыхдолжнарктакже•переменные•xs+i,постоянныеpi,. .,. .,—ркхарактеристическогоегоуравнев(чтонульозначает7ъ•устойчивость•А,,7п+ъ••,/^п+ъ•C.1).системы(см.(А)классу•параграф2,условияF(a1,u1,. .,an+1,un+1)asсопряженные—любые=авещественные,числа.Таккакas+i,.
.,^а)-в)—г——щик,C.18)an+i—любыеПР^ФункцияПустьJп+1ai,. .,pn+i1,C.17)+пB.3)).формулыxsxi,. .,переменныеи,7n+i•обращение=параметровабсолютнаяпринадлежатьапеременной).однойпоопределениигарантируетсяf(a)1, 2,=корнейвА?>ВсевозможнымC.1)состоит>условиюjсчитаемсистемыЗадача•сопряженными.вещественныхА)—•удовлетворяющимииRepjX),det•7s+i,попарнопредполагаютсядля$2?и7s?/3s+i,. .,/Зп+ъвещественными,уравнениявещественнуючисла.сопряженные. .,отрицатель-виде1, 2,=снулевую0.<вкп+1п+1C.16)J2Огдеуравнениеимеетнихзапишем+координатетолькокорниостальныхукоторую-pkUk=изодинаоднойпоимеетканали-характеристическоесистемычастями,ЛяпуноваограничимсянейтральныхипредположениюАматрицыобязательноРассмотримсистем,устойчивыхчтоозначает,функцийприменениерегулируемыхсобственноЭтоdetпопарноC.9).<f- Отсюда+0=видуполучаемуравненияРассматриваяустойчивостиклассалишьсистем.гдекро-и,когдаслучаю,C.9).виданоодин0.<соответствуетпреобразованиемформулойчтофакта,дается=е.т.Ь^нейтральнаC.15)неособеннымC.15)=62),какформаЬ'—такнормальнаяуравненийгдер(р=системаПоэтомуC.1)).преобразованиеучетомА)—отрицательным,образом,еетого,Такое(рЕdet—ЬПкомплексныепослефункцийПрименение3.Ляпунова1571Г00=+PiтоC.18)формуквадратичнуюJoPk/ехр{-(^можнопредставить/[^<цще«*У<И.C.19)F=JoПодынтегральноеслагаемыелишьприфункцияC.18)положительнаяопределенностьпопарноC.19)всопряженныенулевыхзначенияхявляетсяположительнопеременных.вui,.
.,.,комплексныесла-tвсехпринульСледовательно,un_|_i.Очевиднаопределенной.могутфунк-такжеположитель-формыsп1.ибовещественно,обращатьсяиквадратичнойФ(и\,видевi=1выражениенемвPk)t}dt,+Un+i)=22-^iUiZ^+Ck-sUkUk+1,i=l/c=s+lAiгдеСкиТак/Поэтому/(сг)функцияf(<j)d<j>0Jo«/очисла9).положительные—какпринадлежит\а\при(А),классусг*>/ифункция_/(сг)l4^7положительнотоdcr0=|<т|при<сг*./(cr)dcrопределенная.Составимэтомеесначалаполнуюпопроизводнуючтопредположим,временивыполненосилувC.17).условиеC.16).уравненийТогдаПри—ГГк=1к=з+1пп+1п+1г+Отметим,ик[~РгЩ+/(сг)]}/(сг)+^-Pfc^/c^/(сг)-C.20).чтоп+1/2пхг,/с=14=1п+1п+1Q>iQ>kЕПоэтому,Uk.прибавитьесликправойчастиA1.22)равенствавыражениег=1азатемвычесть)произведениемсомножитеЭтотуутверж:дениекомплекснопарылей.жевеличину,тополучимнепосредственносопряженныхизследуетвеличини,того,следовательно,чтоявляетсяu^u^^iравноквадратупроизве-модулей158Гл.Устойчивость3.dVCk-s(pk+системзамкнутыхPk+l)ukUk+l-k=lk=s+l•n+1x2n+1)k=l'k=lJ^/(a)Afe/?fe+2Vr+^?2afc+afeП+1ПриэтомболеедляэтогокомпактнойравенстваC.21)Изеслизаписичтоследует,выполняютсяпроизводнаячастибудетчерезопределенной,отрицательносоотношенияАк+РкСа+Aj+а2у^^/с+XIслучаеполная~/_^РкАкик+Р/симеетпроизводная1, 2,=s,.
.,C22)0,="Ргк=0,л+р*_^=12\A*Gs+a:+а.^2—2а/с+г=1этомправойвсоответственно——п+1ВслагаемогопоследнегообозначеныCn-SCi,. .,величиныСе1, 2,=...П,1.+S—вид,лгsп+1Гп+1=~тгCk-S(pk2_^—-к=1к=з+1C.22)СоотношениеА\,. .,положительныекомплексноAs,сопряженныеобразомсодержитGi,. .,as+i,. .,тозадать,относительновещественныеC.22)соотношениянеизвестныхинтересоватьпервуюпостоянныхкритерийлишькомплекс-каким-либочиселгруппуможноположитель-попарноиasai,. .,Еслиan+i.этипостоянные:неопределенныеCn+i_s,Вai,.
.,an+i.разрешимостиуравнениядальнейшембудетнасуравнений,этихобра-какрассматриватьанесамире-ихрешения.Допустим,числачтокритерийэтотбытьможетвыраженвформенекоторогонеравенствFk(pu(формапринимают. .,частныйрассмотримиРп+иАи. .,ФнеАв,случай,входитвСиА\когдафункциюCn_s). .,=V).ЛяпуноваAs=..к0,>Тогда=1,2,. .,C.23)=С\=Cn-S=..A1.26)уравнения=прини-видп+1РкакритерийC.23)+2y/rak2afe+У^уравненийэтихразрешимостик=0,———1, 2,=можно. .,записатьнеравенствЬ. .,/3n+i,0,.
.,0)>0,?=1,2,. .C.25)п+1,C.24)ввиденера-0функцийПрименение3.ЕслиЛяпунова159C.16)системыпараметрыположительносуществуетфункцияVполнаякоторойпроизводнаяF=по/+C.25),неравенствамудовлетворяютопределеннаявременису-da,C.26)f(a)JoтоЛяпуноваотрицательноопределеннаяимеетивид,2г=1ПредположимC.26),условиямчтотеперь,можноА®,. .,числауказать/?]_,. .,всехпри/3n+i,А®,удовлетворяющихС^,. .,услови-C^+iчтотакие,производ-производныеdFk=dFk{p1,.
.,pn+1,A1,. .,Aa,C1,. .,Cn-a)дРкдСтдСтограниченыпри0^Cm^C^,O^Aj^A?,ТогдавjA1.26)условиямалыхприk\,2,. .,s,=l,2,. .,=m=l,. .,n-s.AjположительныхСтимож:нозаписатьвидекm>0,jПоэтомутоесливсюдуабсолютнойвыполнениемТеоремасоответствуютЕсливan+i,сC.9)C.16),иэтимговоритьгарантируемойвы-C.24)ai,. .,аas,тоan+i,системаpsкомплексносоот-сопряженкомплекснопопарнооднобыхотяpi,. .,попарносоответствуютpn+iимеетзначениямвещественнымчисла,as+i,. .,вывод.уравненийсистемаps+i,. .,числаследующийкоторомвещественныезначениямсопряженныеугодносоответствииЛяпуноварешенияполучаемЛурье.ai,. .,сопряженнымскольC.25).непосредственнорешениефункциютривиальногонеравенстваОтсюдаВмалы,угоднобудутC.23).критериярассматриватьустойчивостискольC.25),критерияизбудемдальнейшемноположительны,основаниивытекающимрезультатам,квCm+iнаполученныеблизкиобА\,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
