Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Полученный>хтраекторииважнейшиеиспользованииточке|fc*|внутрь=уравнению2следует,изУстойчивость8.МногиеGначалаустойчивымасимптотическитого,исходящаяпримереCполученосилув—отудалятьсяэтойрассмотренномвцепочкитограницыбольшом4 ++-——второеG,внеограниченнонеравенствам>свойствуказанныхМ(хо,2упопавхпервому2хэтойиз(см.согласно+неравенствоGобластиможетвусловиюG.25),левойеедостаточноизначит,ж2JA+ж2J1+ж2+C>хпри2ххотвправочтотого,удовлетворялисистемытраекториивсе/с*инечтобынеобходимо,этогодляG.27).неравенствуследуетнеравенствоккоэффициентыпротиворечит2.ТочкакакG.25)системытраекториитакнаружу,угловыечтоM[x(t),y(t)]точкакривуюкакойсутьprioriничемнезадачизависимости.дру-ВовсякомУстойчивость8.почтоочевидно,случаепервоначальную,тоуказываются"То,10).чтозадачиизвестныхможетиаусловиях,сомненийвысказанныхПусть8.1.сеж3,+улинейнаяестьД(р)уравнениеау3,(8.2)р2=Поэтому—*•=уравнения+—х=системаР2новойрешениеприответдаватьнапер-обыкновеннопоследниедостаточныенеподт-основания,следующийПримеруеслитолькодляподтверждает=приближению125первомухгдег/,=1+у0=не—х=зависитимееттривиальноеот=характеристическоемнимыелинейнойрешениеееисе,чистопростыехвидСоответствующаяпостоянная.некоторая—имеютдвижениявозмущенногоакорниpiустойчиво,системыг,=нонеасимптотически.ДляV(x,y)Ляпунова-(х2=ЛяпуноватеоремамЕслионототривиального?/4)+согласноиТаким(8.4)образом,(8.4)системынеустойчиво,аустойчивость0<апринеустойчи-илиисключительноопределяетсяеечленами.РассмотренныйвсегдапримерответдаетнаПоэтомусистемы.цельювопросможнометодыответа(8.1)уравнениисистемамАТеорема@t^<тривиальное| х|сю,стакжеуказатьприближе-случай,значенияН)^и(8.3)условие(А)pjF(t,функцияачасти,решениеапервогоуравнениярассмотримсобственныевсевещественныеобластисистемнелиней-устойчивостикогдавуравне-Аимеютпостоянной.являетсяЕсли8.1.отрицательныеобвопрос.СначалаЛяпунова.матрицакогдаисходнойрешенияприближения,первогосистем,ненелинейныханализкоторыхпоставленныйнаТеоремы8.1.тривиальноговыполнениипосудитьприближенияпервогоестественнымнелинейныхдаютсистемаустойчивостиприисследованиянеобусловий,системнелинейныхчтопоказывает,представляетсяполученияприближенияа(х4=функциювозьмемвыводы.системырешениерешениянелинейнымибудемVиметьследующиеустойчиво.(8.4)системыТогдатривиальноеасимптотическинеустойчивостьу2).+получаем0,>анелинейнойисходнойисследованияматрицыx)выполняетсяобла-внепрерывна?,поравномернотоуравненияхAx=F{t,x)(8.4)+устойчиво.асимптотическиОбозначимДоказательство.y(t,x)черезлинейногорешениеурав-уравненияУудовлетворяющееначальномуусловию2/@,Его,<можноочевидно,0,<—атох)представить\ eAt\^Ау,(8.5)=вNe~at,гдеNх.(8.6)y(t,x)=виде^Ne~at\ x\\ y(t,x)\\eAtx.=ТакKepj(A)как<Поэтомупостоянная.некоторая—?>0.(8.7)прифункциюРассмотрим/»ОV{x)=10)ЛяпуновА.М.Собраниесочинений./\ y{t,x)\\2JoТ.2.dt.—M.:Изд-воАНСССР,1956.—С.126Гл.ВОсновы2.(8.7)неравенствсилуy(t,x)функциянесобственныйпредставимаТаксходится.интеграл(8.6),видевустойчивоститеориифунк-както/»ООV(x)Qгде/=симметричная—x*eA4eAtxJodtматрица,x*Qx=(Qx,=ж),(8.8)формулойопределяемая/>ОО/Q=V(x)Следовательно,относительно| ж|приV@)какформуквадратичнуюсимметричнойматрицей,отно-V(х)причемО>0.=Аматрицанепосредственносxi,.

.,xn^ОиТаксобойпредставляет—переменныхeA4eAtdt.Joследуетy(t,y(r,x))топостоянна,(8.6).изy(t=г,ж),+чтонепос-ПоэтомуЛООЛООЛООV[y(t,x)]=\ y(T,y(t,x))\\2dT=JoJoJtОтсюдачтонаходим,\ y(tполнаяT,x)\\2dT=+\ y(s,x)\\2ds.Vфункциипроизводнаясилув(8.5)уравненияравнаV/J-l\rl+\\У\laiait=0)\\\)Jt)t=0Hly(^)ll2L=o=ВычислимтеперьэтуVПервоеполную(grad=слагаемоеправойвТакF(t,функциякакx)малогопроизвольногнастолькомалым,чтобыдругойе(8.4)хотяtV(х)>0>t0видеV(x)(8.11)по<е1/2,>| х|<обS.СV(x)Поэтому0.=на-находим,приЛяпуноватеореме(8.11)иВыбирая| ж| 2/2V@)имеем7.2)(8.10)из2е||E|—то5.(8.11)<—?,почто2б;| <2||)| ж| 2.1соотношениеЛяпуноваучивравномерно0 такие,>Поэтому-неравенствои| ж|и-A=toи2Qx.=| ж| 2определенной,пол-Поэтому,представить(8.5)Sпри2?||Q|(теоремаможноусловиюсоотношениямустойчивостиасимптоти-тривиальноерешениеуравнениязначенийpj(А)матрицыАустойчиво.одновпосположительнойвещественной@областиt,тособственныхсредиЕсли8.2.бынепрерывнаравномерное\\х\справедливоасимптотическиТеоремаимеется<собой(8.5).V(x),F(t,x)).(8.10)указатьвыполнялосьотрицательноасимптотической(gradудовлетворяет+согласностороны,являетсяVgrad-|N|2<такомприпроизводнуюможноИмеемпредставляетчтополучаемV(x)следует,чточто(8.8)изтого,равенствауравнения0>\ F(t,x)\\Кромеэтого+(8-9)V(x),F(t,x)).линейного-|N|2=(9.4).уравнениясилуполучим,V(x)длявсилу(grad+частиV(8.9),равенствавV(x),Ax)функциипроизводнуюучитываяпроизводную-lNl2-=тривиальное^t<сю,решение| х|ачастью,^Н)уравненияифункция(8.3)условие(8.4)неустойчиво.выполняетсяимеет-F(t,x)Устойчивость8.поприближениюпервомуНеДоказательство.Repj(A)SПустьтреугольному0,>Л={&г/с},числотакое,ТогдаизЬг&гДебытьможет0—выбрано0что<<аО(p(t,y)(8.3)условия{КерЛА)}.такое,Вдалее,—(8.2)уравненииеоположительноесделаемзаменуeatSy.=(8.12)[t,y),(8.13)=чтоследует,\ F(t,x)\\чтоПусть,числоаe~atS~1F(t,eatSy).=Изположительноеполучимугдетреуголь-рп..причемх(8.4)почтиО..малым.угодноminкт.-О..р2^^&и||12||^?о,ПРИскольп.

.,Аматрицу0О,0=1, 2,=гдеЛ=Вчтосчитать,i0,<приводящаяБ,+(рхаможноRepm+i(A)m;. .,матрица,S~1ASе.т.общности,нарушая1, 2,неособенная—виду,j=127е\\х\<\ <p(t,y)\\любогодля| ж|приh(e),e-^WS-^WSW<0>е<t\ y\найтиможноeWS-'W=h(e)число>Тогда0.>\ S\\ y\ ,еслиat—„обозначенияВводязаписатьвfiPi(A)=следующейвиде|\ s-а,—c~l(e).(8.14)чтонаходим,(8.13)уравнениеможноуравнений:системык=2п^,к=3коэффициентычислами.Поэтому,которойквообщеоказаться,могутпереходякомплексноу),комплекснымиговоря,сопряженным(8.15)величинам,числазапишемновуюуравнений:системуух=У2=Дхг/ik=2n-^2^1y)iФункциявТаклюбойначалаокрестностикакd.|9координатпринимаетполож:ительныезначения.О128Гл.товОсновы2.полнаяVфункциипроизводная(8.15)уравненийсилуввидеустойчивоститеории(8.16ипредставимап—тys\22Е-„,\IL.I|2Л/_,|s=lq=lp(t,гдеу)малая—Есливеличинаmin(Re/is=V(y)РешаяV(y(t))\ y\ 2p(t,y)-какизSтеперьвыбран^0>/3V(y).чтоV(y@))если2V(y)чтоследует,^0,>\ у\ 2,тоэтонеравенствоеслисправедливо,выпол-малоепроизвольно—такможноe~atкак0—>Ц^Ц1^)числоуказатьtпри(8.12),преобразованиеИспользуячислоичто| ?/(т)||век-V(y@))>0.(8.18)(8.17)неравенствуe~°LT\\S\ ~1h(eIположительноечтобытак,согласнои,>у.2V(y@))eCt.(8-17)>\ у\ <6,Тогда\ y\ 2иполучаем(8.14).Пустьг/@)-V(y)чтонапомнить,неравенствовектор(9.18)находим,функцииопределенияуместновыполняется>неравенство,\ y\ 2ЗдесьизтоУ(у@))е^г.>ТакC=tотносительноравномерноRe/ig),—дифференциальноеэтотоепорядкаCположитьотсюда^получаемIle^S1^)!!<такое,тоо.—>| х(г)||[е"*!^!!<'"следовательно,ПриэтомсогласнопервымN0I1Тактоизрешениякак5(8.19)иимеем\ S\ 6.<выбратьможномалым,произвольнонеустойчивостьследуеттривиальногореше-(8.4).АнализпосвященыобщихВажнейшаяособенностьегораспространяютсяисостоитобщийнасформулированоабудем,нечтопредполагать,A(t)матрицаtoпривидеудовлетворяетсюипо-8.2распро-8.3.теоремыпримера.условиям:иоо;tб)F(t,x)функциядифференцируемапомалаяположительнаяжвобластипостоянная;^tпонепрерывна(tot<оо,| х|идважды^/г),дифференци-непрерывногдеh—некотораяt.временианализомлишьt <<является8.1функциявограничимся(8.1)немвтеоремнижеуравнениенепрерывнаАматрицанепрерывная—(8.4).уравнениемвыводыАкогдаутверждениечтотом,по-теоремыописываетсянекоторыеслучай,приводитьБудемвчтооказывается,Соответствующеедоказательствокоторыйпроцессу,Однакопостоянной.Доказанныесистем.нестационарныхнестационарномуа)| у@)||числонеравенствуравнения8.2.апоследнихдвух| 5|<фиксировано,е(8.18)изнеравенствамдостаточноЕеУстойчивость8.в)по1 такие,>т^tot<иоо,что\ x\ ^h.(8.20)\ F(t,x)\\^i,(t)\ x\ m,Здесьф(г),функцияположительнаянепрерывнаясуществуютчислоприближению129первому| А(?)||величинаформулепоопределяетсяU(t)\ =maxk=l(критерий6.3ТеоремаперечисленнымЛяпунова).а)-в),условиямxs^2=Если(8.1)уравнениеуравненийсистемаask(t)xk,sудовлетворяетприближенияпервого1, 2,=n,.

.,k=lправильная11),атоотрицательны,еепоказателихарактеристическиетривиальноехрешениегol^в=1, 2,=(8.1)уравнения. .,п,отри-асимптотическиустойчиво.ПримерПусть8.2.хtp(t,x,y)гдеу,=у=функцияe_ftпох2? притривиальногоэтуу2-\этойрешенияЕслиТакимai=—приближения4.4определениютеперь,СогласноопределениюD.19),)См.жеj[yL(t)](8.21)уравненияли4.54.5.системыявляютсяhm^—^рассматриваемомдлясостоитэтогопримереэлементаодного(8.21)всогласноа=1.—правильной.проверитьнужно-1.решенияПоэтомурешение.из(8.21)системаИмеем=первоговтороевектор-решений.этих=имеетявляетсяввидпоказательпоказателькотороеопределениеимеет2у.-этой-1,=спектрПроверимравенства-х=характеристическийТот1.устойчивостииметьпоказатели—^——-1образом,равенобвопросбудемтохарактеристическиеhm=решитьрешениямитеперьj[xL(t)]дифференцируемая0(8.1),первогонезависимымиВычислим2/),(8.21)ж,непрерывноI/2Требуетсявидеулинейно(/?(?,+0.—>всистемаДвумяфункциидваждыи+системы.записатьсистемуСоответствующая22/]+чтотакая,по[x-X2равномерноуравнениямиiнепрерывная—похиуописываетсяпроцесссправедливостьимеетвидра-130Гл.Основы2.-21lim-2=-tt^ooТакJo/[1устойчивоститеориие1—dt.e* +1както(8.21)систематеоремаудовлетворяетху=Втомкогдаслучае,Аневозмущенноговыполнениесистемы(АЕслитопоказателейнепосредственныйцелейэтихЛяпунов.Ониустойчиво,созданынонесамойспециальныеразделпоэтом(см.первомуслучаи)присистемытребует-случае8.1).примерДляA.M.разработалкоторых(критическиеправиль-решениеВсистемыосновыважнейшийсоставляютсистемасимптотически.методы,реше-былаонатривиальноенелинейнойнеста-характеристиче-чтобынелинейныхкогдавыпол-итривиальногоасимптотическойдляеще,случай,0=являетсяотрицательностиустойчивостианализА)—приближенияКрометребуетсярассматривалиприближенияпервоготребуетсянемыстационарвеществен-(XEdetустойчивостисистемы,проблемыанализереше-невозмущен-недостаточноуженой12).Приеетривиальноеиотрицательностьпервогоуравнениеасимптотическойсистемы.линейнойприближениючастиПоэтому1.=являетсядостаточнаприближенияпервогонелинейнойустойчивоститиустойчивостиуравненияжеA(t)),=уравненияхарактеристическихдляхарактеристического(8.3).нестационарнымправойв1=приближенияпервогоасимптотическойуравнениепостоянна),корнейусловиярешениясистеменелинейнойдвижениячастейвещественныхij (t)(8.21)приустойчиво.асимптотически(матрицастационарнымрассматриваемойк0=слагаемое(8.20)условиюприменимарешениеНелинейноеправильной.является(8.21)системыобщейЛятеорииустойчивости.) Другиев1967.книге:Демидовичотносящиесярезультаты,Б.П.Лекциикпоматематическойэтойпроблеме,подробнотеориирассмотрены,устойчивости.—например,М.:Наука,ГЛАВАОсновыустойчивоститеорииУстойчивость1.Впредыдущейсистемссистемнекоторыепозамкнутуюустойчивоститеперьихзамкнутойсистему,связи.Бу-системы.которойповедениеанализукобратнойпринципуопределительрассматриватьобщейвопросыПрименимработающихуправления,управлениясвободы.Характеристический1.1.Будемсистемрассмотреныстепенейчисломсистемзамкнутыхзамкнутыхглавеконечнымзамкнутых3описываетсяурав-уравнениями<r],W\(D)гдеиW2(D)устройствауправляющегосоответственно,Mi(D)ЗдесьисистемыД(р)формулойD.13)ДДр)W(p)функцияД(р)Mi(p)det[E+M~1(D)Ni(D),Dсизгл.1,гкоэффизамкнутойзаписатьM2(p).A.2)det1,2,=чтоучитывая,и=представимапередаточ-видевW1(p)W2(p),=записать_гдечерезобразом,Fi (p)всеобозначенаматрицаW(p),матрицы=р,каж:дойиззнаменателемкоторыхAi(p)A2(p).Поэтомуdet(EК(р)где+W2(p)W1(p))—дробно-рациональная=det(Eфункцияот№'"»хт—размерностьматрицыW(p).W[p))+р:=1 +K(p),A.3)(p).дробно-ра-являютсяговоря,уMiматрицыдлявообщеотносительноДо(р)полиномF2(p)N2(p)F1(p)N1(p)присоединеннаяэлементыфункциямидробно-рациональнымиявляетсятiматричнымиможноW1(p)W2(p)]управ-иопределительсистемыW(p)можноWi(D)detM^(p),=разомкнутойуправления=относительнохарактеристическийdet=обозначенияВводяполиномы—собъектапричемчерезсоответствиивпередаточнаяMi(D)Обозначаякоэффициентами.W2{D)y,A.1)=функциипередаточные—aТаким1,2.132Гл.ТаккакявляетсявсоответствиивA.2)формулойсL(p)функциютополиномом,изсистемзамкнутыхДо(р)AпроизведениеA.4)соотношенияК(р))+можнояв-представитьвидеЦр)M(jp)гдеобразом,полином.A.2)изМ(р)[А0(р)Г+\A.5)=собойпредставляетТакимA.3)иполучаемд(р)A.4)учитываяили,ВитогеA.2)которыечтоимеютсяустойчивоститакихНайквиста.A.1),Случайсистемы,передаточныхфункцийСначалаобъектаКромечтобудемнижестепени0=замкнутойсобразом,К(р)1 +функцияпеременногоК(р)Дляр.СЕслипараметрар,—то,условийзамкнутыйгдеР—числообласти,часовойстрелкиегоаограниченнойобходе).уравчасти.A.4)степеньхарактеристическийчтоследует,замкнутая0=частями.замкнутойNсистемы—охватываемая1числоввыполненииприрассматри-функ-которыхкомплексногополуплоскостиКоши,контуром(область,W{p))чтотем,полюсоврасположенныйтеоремеполюсов,A.2),исключениемконтур,сввидвоспользуемсязавсюду,согласноимеет+левойвэтихполученияаналитическойявляетсякорниформулычтотого,условий,лишьнулиуправ-ичточастиизустойчивостиотысканиюкимеетправойвещественнымиобвопросслучаеуправленияозначает,вещественныеТогдаdet(E=отрицательнымисводитсяпере-уравнение1 +лишьсвойствахустройства.(объектвсистемыеслиоотрицательныечтопо-спецификуучитываяЭтолишьзнаменателя.устойчива,корниимеютсполучитьуправляющегосистемыпредполагать,Д(р)будетТакимзвеньязамкнутойможнорешениеустойчивы.Аг(р)итого,определительрассматриваемомустой-устойчивыхустойчивостиОднако,информациюИ^(р)иасимптотически0ееиспользоватьW\(p)=числителяимееткото-обзадачобМихайлова.илипредположим,Ai(p)чтоестественноустройство)системаA.7),иасимптотическизадачиотметим,ГурвицакритерияуравненийA.6)исследованииприанализуквсегопреждезамкнутойуправляющееA.2),намиПереходясистемы.помощьюзамкнутойполиномасистем.звеньевсистемыМ(р).A.7)+представления:использованыКритерий1.2.различныхбудутА0(р)=характеристическогодлятридальнейшемвад],A.6)++){m-iА0(р)=оказывается,системыдо(р)[1=A.5),иА(р)приУстойчивость3.вфункцияфункцииправойперемен1 -\-К(р)К(р).па-полуплоскостиимеемJ^L-dpК(р)P-N,A.8)=+нулей,С; обходконтуром,пофункцияимееткоторыеСконтурудолжнаделаетсяоставаться1 +К(р)ходупосправаУстойчивость1.системзамкнутыхВыполнивконформноеВiPN, 1/гГгдеотображениеВеличинасоответствуетС,контураКотображениемК(р).К(р)=1 +аобходакомплексной,проведенныйотобразимпреобразуетсяСконтуркнавидуК+направлениеявляетсярадиус-вектор,К(р),=A.8)формулаитоге2тгг—КпреобразованиеК.плоскостькомплексную133управленияизнаиопределяетсяКплоскости(—1,0)точкиГконтураейК(р).точкувсоответ-Учитывая,чтополучаемdKdln(l=-K)+|1din=К\+idarg(l++К)поэтомуиК\,+Aarg(lгдеК)+областипоТакзамкнутомуАг(р)иследовательно,РположитьконтуравнутриA.9)изNе.равенкогдаСнайтиW(p)]расположеннымТочкамрдействительныеирвещественнойотносительноотносительноа—г/3К@)До(р),ирр,A.9)иК(р)ходунужно(—1,0),точкивокругчасовойпричемстрелки,положительнымитакжеуравнесRрадиусасюточки(аКосиОбходуказанонаконтурарисунке.функциювещественныеточкенаточкаплоско-дей-такжеаточекпарер=а+г/3Рис.относительног/3)иК(аСконтуруосиплос-насоответствуют+цен-распо-симметричныедействительнойдействительнойсдиаметром,имеютi^(oo),отрицакачествевопределяющие=итоA.10)считаются3.1.1.).A.5)),исоответствуютосиеедействительнойдействительная0=точки=(рис.A.4)ПоэтомуК.плоскостискакисоответствуетрпосначалаLосиформулыкоэффициенты.плоскостиСтолькокорнистрелке,М(р)(см.K)которыхприимеетвместечасовойПолиномыК(р)1-\-К(р)полуокружностькоординатмнимойнаподелается+1 +контурчастями,правуюначалевA.8)формулахвектораусловия,0=вещественнымицентромпеременной2тггвекторачтобывозьмемГ,предположе-часов.—отрицательнымиAarg(lзамкнутыйстрелкиdet[EуравнениеобходечтооборотовсоответствующегоходуТеперьпоПоэтому=полныхописываетроборотыSчислуточкаПонулю.полуплоскостиввытекает,-Nт.правойвГ.равенприконтуравнутриA.9)нулейимеютТогда0.=аналитическойравенстваК1 +радиус-вектораявляетсячастинеиК\+правойвAi(p)11InинтегралпредположениюаргументаГ.контуруфункциякаквторойприращение—A.9)контур—г/3).соответствуетГ (рис.Значит,3.1.2).отно-симметричномутакже3.1.1симметричныйаГл.134КогдаточкаГг,сконцамиiR—iR,доиК@).точкевоттоK(iR)(рис.1)).3.1.2RПрисю—>точкаОна<ппричембесконечноbopmудаленнойК.перейдетГдвсюпо-правуюдробно-рацио-являетсяприиоРис.когдаот—сюточкичерез(рис.описываетсядоКточкувосиОнаНайквиста.началосоответствуетрпроходящуюизмененииО,стягиваетсявещественнойгодографомконцомТаким+сю.Сохватываетвсюполуплоскость1 -\-функциинулейколичествоимеющих0,=иЭтаа3.1.3Rep>0=предельном0,формуласлу-A.10)ве-положительнуючасть.вещественнуюОтсюдаследующийвытекаетКритерийНайквистаA.1),уравнениема1.Ai(p))Нарисункерезультат.Пустьсистемазамкнутаяуравненияэталиния=штриховая.detMi(p)=0,г=1,2,иназы-криваяНайквиставРис.Г\линияК(оо)вектораобразом,К(р),координат(сю)К@)3.1.3).3.1.2контуропределяет.=плоскостипределевотносительноK(iu),+K(Rei<fi)кривую,симметричнуюназываетсяbip171'1+точкеЛиниязамкнутуювчае,охватываетК(р)K(R)точкевПоэтому7П.плоскости1 +осьпределеГдлиниюнепрерывнуюаори=limе.полуокружностиописываетпредположениюЭтанепременнофункциейК(р)т.вK(iR).ионазначенияконецнепре-K(—iR)вещественнуюСПор.iR,доописываеткоторуювсеКпересекаетполуокружностьК,оси,1 +—iRоткоординатыпробегаетрвекторапеременнойполуплоскостьдробно-рациональнойосиплоскостивимеютЕсликонецK(—iR).и1,0)—вещественнойотносительнопересекаетС(системзамкнутыхмнимойзначенияточкикоторойконцысимметричналиниявсеизпроведенноголиниюнепрерывнуюпробегаетрК,1 +вектораУстойчивость3.описываетсяурав-Устойчивость1.имеюттолькокорниТогдадлясотрицательнымиустойчивостидостаточно, чтобыНайквистаПримеротдостаточ-иоборотовчислоравновекторанулю.A.1),видасистемуустройствауправляющегоисюбылозамкнутуюобъектанеобходимодосю—(—1,0)точкиРассмотрим1.1.функциипередаточныеиовокругA.1)системывеличиныК{гио)1 +частями.вещественнымизамкнутойизмененииприуправления135системзамкнутыхкоторойупере-форму-определяютсяформуламиТогдасоответствиивсобозначениямивведеннымибудем2рЗначит,Ао(р)уравнениер\которые,исследоватьчтобытогоимеет—1,=имеюточевидно,Для0—Р2г,рз2)'+*,—части.измененииприотиои(ио)=требуетсяНайквиста,критериемК{гио)—1вещественныеК{гио)—сюисследо-Полагая+сю.доiv(uo),+что2)находим,мИ(^1)(а;4+Кроме0.ix(cj)limcl;^±oocl;^±oocl;^±ooкоторых(ix(cj),v(cj))(о;)иг>(а;)1, v{uo)>lim=:;"<0приио—>0>иои0,=U[Uj)координатначалуккривой,поперемещается|о;|при4)'+равенстваlim=1)(^+0<приближаясьчто,следует,(с2очевиднытого,°°<=чтоследует,<cjпри4)'+формулэтих0>точка"И=Изv(cj)из1 +—отрицательныефункции=2р+корни=воспользоватьсяповедение+A.3))31)(р2(р(см.иметь+укоторойК(—г)приосьпределев±оо,точ-являетсяикасательной.Далее,осьvлегкочтонаходим,толькопересекаетсямаксимальноенаходятсяиЗначит,годографвекторНайквистаПроводяизмененииотио—сюстрелками).минимальноеиз+имеетэтотсю(векторСледовательно,1,0)нахо-которыхнаK(iuo),точкевэтогорассматриваемаячточасовойходунаповоротазамкнутая3.1.4.рис.находим,поповорачивается(направлениенулюК@),являетсявблизиизображенныйвид,—(г),Киv(uo).значенияточкии{ио)значениемточкахдвухНайквистадоравныйугол,максимальнымвПроизме-принастрелкирисункеотмеченосистемаасимптотическистрел-устойчива.Пример1.2.содержатьРассмотримпараметрыq) Построениепомощьюзамкнутуюпакетакоторойэлементысистему,:НайквистагодографовсТ?^и№>компьютеретеперьиMaple.p+q"адвэтомипоследующихпримерахвыполненынаГл.136Устойчивость3.системзамкнутыхСледовательно,К{р)К{гио)Полагаяи(и)=Тио6iv(u),+{4Tq+(Tp-l)(p=чтонаходим,7T)uo4q-4-+m-q)ДалеенекоторыеТПусть1,=aqсо6о6ixi(cj)ФункцииНайквиста,4cj4+^i(cj)инанаправление—сюдоК@)(—1.5,0).=КСтрелки1 +ИзэтогогодографгодографеэтомK(iuo)указы-изменениипричтовидно,рисунка11)-определяютнавектораIOcj2+плоскостиконцаперемещенияпричемсю,чcj(cj43.1.5.рис.2]-случаи.б.+6)ио2-иметь:комплекснойвпредставленныйуказываютбудем31cj27q-6)частныеТогда-6Т^-6)интересные3.=BГ+-рассмотрим1.q)+отujделаетвектор(-1,0)Рис.оборотполныйодинСледовательно,околоТПустьвb,q=(точкисистемазамкнутая2.Рис.3.1.41,0)почасовойходуСледова-стрелки.неустойчива.случаеТогда—0.8.=этом—3.1.5получаем8-179cj5+16*+Эти=функциисю—1виооколострелкиотпримеры3.1.4).изэтихэтомНесколькооднойизслучаеввнеилиВсамопересекается.причемСониооборотаполныхдвана(—1,0),точкивозрастаниемделаетслучаесложнеетакихточексложнеечтопоказывают,контуравнутририс.@,0).+сюдоиз3.1.6.рис.сопри=поворачиваетсяпоичасовойходу(—1,0).точкиРассмотренные(—1,0)проведенныйточке—сюизображенныйНайквиста,К{гш),+заканчиваетсяизменениипригодографописываютНайквистаВекторего,подсчитыватьоборотовточкалиэтотнеконтур(рис.3.1.3самопересекается,контур(рис.числолежитнагляднаяесли(—1,0)том,когдапросто,достаточнокартинаситуация,являетсяовопросрешается3.1.6ирис.вектораипри-3.1.7).Найквиста,ВкаждомтакУстойчивость1.каконнетольконов137управленияповорачивается,обращатьсяможетконтурасистемзамкнутыхиоднойвПодобнаянуль.източеккон-самопересеченияописываетсяситуацияследующемвпримере.ПримерРассмотрим1.3.замкнутую1{р}ВэтомK(jp)случаесримеет1J'+K(iou)(и)иГрафикповоротакотораяпределе,возвращаетсяВНайквистаотсистемачтоиточкойпредставленныйсамопересеченияконецточке(—1,0),послетакогонаходитсянуль(—1,0)точкипере-Найквис-векторосипересечениеконецпроис-поворотауголи,этомоколовещественнойнулюразнагодографчтотакоеполный(—1,0).точкуЗначит,исходитОднаковектораочереднойвоборотовкоторойчторавен—том,впересеченияОчевидно,точкисделал(1,0)1,0).—коорди-длиначерез(отизэтомпроходитсправаначалевПри+сю.—>состоитось.(—1,0).3.1.7точкиситуациивещественнуювектораследовательно,замкну-устойчива.асимптотически) Отметим,егоНайквистав(вокруг!)оипо-направление+оо.довектораприпроисходитэтойразточкиоколо—сюпересечениявекторвновьсправаприближенночтопослеосьКаждыйНайквистакогданулю,иопересекаетэтогоконецособенностьвещественнуюпроисходитотujнапредставленобычно,какизмененииосиизмененияК(ги).функциями,этимиположениеравнойГлавная1 +2635cj4)-указывают,сю,—жеслучаевекторазамкнутая=товещественной(—1,0).2744cj2+Рис.совинтервале1323cj6-3.1.6рассматриваемомпересекает+прикогдапересечение2'+24а;4определяетсяНайквистастановитсядважды3361cj4+годографенаРис.и32ои2+СтрелкиВ2р+16векторакоординат1340cj2-0.2cj(-324=кривой,3.1.73).рис.р21—находим0.2B016v(u)=т^=iv(u),+=11.2рвиди(ои)=которойуW2(p)~К{р)Полагаясистему,р-1точкигодографасамопересеченияотражаетрисунокможетбытьлишь(—1,0).скачественноевещественнойосьюсодержаниенайденытогопри-факта,Гл.138НайквистаКритерий1.3.дальнейшемвидаухарактеристическоеПоэтомуеслиустройство)ризодногиозначенииСконтурапоскорнину-веществен-будемслучае,СCrR=числоКонформноеCrRNаполюсов,замкнутыйКкратнымполюсом.Еслиточкаэтойокрестностирточки0=(f(p)где—ставитТогда,какотПриявляетсярможнолинииотоб-свойстваэтомточкаК(р)тополюс,области.замкнутойК.того,3.1.8,рисзатемненнойсоответствиевплоскости0=простымилипредставитьокрест-вЛоранарядааналитическаяобой-3.1.8).наэтойвточкеврфункция,0=A.11)ip@)=0,,постоянная,(рис.полукольцолежащихК(р)=простой—видев).

Характеристики

Список файлов книги