Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

.,rjm}СостояниеиххарактеризуетпослутеориивавтоматическогоА.Лефшиц,ре-работыЛетов,М.форма.намногихА.ав-И.Лурье,разомкнутойприРассматриваемаяВектор3.2.1.рис.объектасостояниевозмущенноесистемыrjцепиуравнениемV=регулирования.дифференциальнымлинейнымописываетсясистемнормальнаясхемойструктурнойпредставлена=С.систем,которыесодержательныеЗубов,И.управлениядр.).иУравнения2.1.систематипатом,висследованийодноговесьмате-объектами.методов,иплодотворныханализомкоторомурольреальнымиидейновыхвесьмаиограничимсямырегулирования,А.источникомбытьспециальныханализукдолжнаиуправлениюкотсрешающуюрегулированияустойчивостивсесистеме,системаиграетотношениемногочисленныхустойчивости.Здесьавторовобстоятельствотеориивтакаяговоря,автоматическоготеориипримененияосновойпослужиливозникающиеИначенулю.кустойчивой.значительнаяобъекта,чтобыобразом,такимработыстремилисьасимптотическичто145системсконструированарежимавремениВ.нелинейныхспециальныхг=г4=к=1гдеdikпостоянные.—Будемеслихарактеристическоговсе(здесьa,ik)коэффициентоввещественныеимеютножененейтральнойсобственноонасвязисчтоцепьтозамкнута,этомприописываетсянаописываетсягдепеременныхбыхотязамкнутойrjсистемыонагруппвектораодинвведенаотносится.регулирующийвлияетскалярным?.параметромлинейной,остаетсянаходим,уравнениемгБудемустойчивостисистемаf)векторимеетнаконец,классификацияхарактеризоватьзамыканииИrj.0=ней-называетсяперечисленныхизменениебудемкоторогообизвещественнойсистемаТакаязадачикакойктоД(р)частью.того,0,состоянияуравнениерешенияотчто321нулевойсpj>возмущенногоrjеслиметодыповедениеПредполагая,гдекорниRep/которыхувещественнойтем,Еслионар/,векторазависяторган,рисимеетуравнениенеустойчива,существенночтоэтоположительнойскоренькоэффици-координатампоО=веществен-корнейимеетА)—матрица—отрицательныеЕсличасти.частью,det(pE=Ахарактеристи-ркД(р)Асобственносистемакорниуравненияматрицывчтоговорить,устойчива,=далее{ri,.

.,rm}=такжеr?,B.1)+непредполагаетсячтопредполагать,Ar)движениевозмущенноеотзависящимрегуляторавремени.описы-уравнениемУ2,?, ?Wииа.S,Однаковообщеявляютсяговоря,обычнодопускается,функциямиизвестнымичтодлядостаточнопеременширокогоклассаГл.146органоврегулирующихВ частности,V2SиифункцияВкакB.2)уравненииАргументсилу.создаваемыйсогласнопринятомуиспользуетсязадачевегоследующееаргументаа.обобщеннуюдействующуюуправляющийсуммарныйзаконувидрегулирующегоотхарактеризуетсобойпринимаетпереходазависимостивfi(a)функциявыражаетаскоростьдругоевмашина,B.2)уравнениеописываетговорят,положенияодногогидравлическаятогдаинеотрицательными.иявляетсянулю,системзамкнутыхпостояннымиорганомравными/*(сг),изсчитатьрегулирующимпринимаютсяорганаможноихкогдаУстойчивость3.созда-сигнал,регулирования.Вобщем0,рассматривае-случаевыражение:тг=1гдестci,. .,рассматриваемаяисистемаqВпостоянные.—системойназываетсяОбычночастномпрямогоq=регулирования.fi(a)функциячтопредполагается,когдаслучае,удовлетворяетследующимус-условиям:а)/i(cr)б)crfi(a)в)интегралы0=|сг|при0><|сг|присг*;>сг*;//f1(a)daJJ0J-oofi(cr)daрасходится.ЭтимВусловиям,а)свойствамичастности,вбудемв), принадлежитдальнейшем—fi(cr)функцияудовлетворяетМногочисленныеустойчивостисвязанысанализомиг)свя-регулированияслучая,/i(cr)функциякогдакромеудовлетворяет,устой-поисследованиясистемзамкнутыхещеa.перечисленными(А).классуоLisign=обладающаяфункция,чтоговорить,перечисленныхвыше,условию:постоянныесуществуютhи<аНтакие,чтоО ^Рис.Этому3.2.2ЛИhаОу(рис.линияуПодводяитог,приходимсистемыуглемеждупрямымиуоо.нагляднуюВинтерпретацию.в=haплоскосиуНа=Поэтомуввозможныережимыеерегулятору,общемслучаеэтаописываютсяB.1)—B.3)еесистемойсусловиямпостоянны-а)-в)нелинейна.системаустановившегосязамк-движениевозмущенноеуравненийудовлетворяющей/i(cr),функциейиг).чтозаключению,совокупностьюкоэффициентамиВсекописываетсявозможно,поддерживатьзаключенадать<3.2.2).замкнутойпостояннымиfi(cr)=—сюможноусловиюгеометрическуюплоскостиН,состояния,которыеалгебраическихнадлежитуравненийи,Устойчивость2.нелинейныхспециальных147системтЕ-+kГг0,=г1, 2,=.

.,ш,к=1г=1ЭтипространствепеременныхтакаяКаждаявсеопределяютуравненияпроцессусистемыуправленияфазовомвB.1)уравненийисходныхтеоретическисоответствуетзамкнутойвпокоя?7ш?^771,. .,МточкаточкивозможномуB.3).-Каж-установившемусясистеме.РассмотримвспомогательнуюуравненийсистемутЕ<0,=г1, 2,=т,. .,к=1B.4)тг=1VЕслиееопределительаиDотличеноттонуля,всеточкипокояэтогоB.4)Врешений.имеетединственнуюимеетдискретное3.Онаимеетнепрерывныйустойчивостипокоянеединственнымчтовозможно,исключенооночтотакже,точекопре-решениемЕслиа.Dжезамкнутой0,=семействомногопараметрическоерассматриваемойре-B.1)—B.3)системыпокоя.точкуточекрассмотренвзамечательныет.е.еевпосвященнойисследованийлитературе,Припокоя.Однакоздесьточкапокоякогдаслучая,покоя.результатыточекметоды6).покоя.точекконтинуумслучаевизолированной,рассматриваемойT]iдостаточно=..пробле-разработаныэтоминте-анализомограничимсямымалойсистемампо=rjn^=нетокрестностилишьa==0явля-точекдругихсистемы.A.M.,Летовнапример:1962;Не•множествомножествоописаныпростого) См.,ГИТТЛ,.

.,ш,Однако•илисоответствующихнаиболееявляетсяэтихспециальныеинтересныесгде1, 2,уравнения•однодля1.Онатипа,<Т2>разрешима:ситуации.2.Онатакогопроблемеслучаеиз<тьиметьследующиеКаждыйгконтинуальноеможетлюбомвозможны/Зсг,однозначно=решение.покоябудетсистемаdim•решенияединственноеточкиуравнениято^аг(т,=путемиметьдискретные•B.4)уравнений=находятсяможеткотороеопределит•=системащиа\2А.Х.,ГелихсостояниемУстойчивостьГ.А.,Леоновравновесия.нелинейныхВ.А.Якубович—М.:Наука,систем.регулируемыхУстойчивость1978.нелинейных—системМ.:148Гл.СначалацельюприведемсистемувводимновуюназываемойтаккIпостоянныегдепереписатьиподлежатррl/рВеличинуВводяобозначениянаходим,чторберемобразом,вместопе-сполучена+-2/,УВиетта.формулучетомB.2)1р0.<получаем+Рт+2У=системуЛМ-у^обозначения:следующие{гI,.

.,г)т,€},=Repm+20,<Рт+\?,=V2(\\рруравненияаг,ш+1=Гг,am+i)m+i^cm+i{^}Щ»=обозначенияхаш+1,г-pm+i,=/Иполучаем6-^,=^ЛИ,=искомую0,=г={0,. .,=с1, 2,ш,. .,0,1/р},{сь.. ,ст}.=формунормальнуюисходныхуравне-B.1)-B.3)dx—ПриможноуравненияB.5)вСэтихB.2)уравнение+LизисходяравенствгруппаТакимуравненийэтойр?,+Тогда)рRepm+iх1?=определению.±(w-lV -vAy+\s-Wl-+y—ВведемСформе.нормальнойвидевВтораясистемзамкнутыхпеременнуюуВУстойчивость3.этомЪу,+yобладаетfi(cr).функцииприсущи+Pm+iy=/(<т)функциячтоочевидно,быликоторые=АхВf(<r),атемичастномс*х.B.6)=а)-г),свойствамижеSкогдаслучае,=0,ко-получаем-J=рт+1=0,аA0.8)системавид7)принимаетхИменноэтуавтоматическогообщуюсистемуf(a),=) Уравнениятакого(см.уравнения=типаАхyи=вышерассмотреныB.1)B.2)c*x.B.7)=сустойчивостиЪу,+aА.И.Лурье,изучалрегулирования.хуправленияyпроблемисследованиесистемЪу,+впервыесистемуматематическоеАх=вовторойработкоторогоспециальныхПозжеонf(a),aприглаве).общемввел=началосьзамкнутыхврассмотрениеболееc*x.B.8)анализенелинейныхсистемУстойчивость2.Этаболеесистемасистемамсистем149нелинейныхспециальныхудобнаанализадляотвечаетиреальноси-существующимрегулирования.Тотфакт,доказатьчтоB.8)системаdболееявляетсяИзобразом.следующимобщей,чемB.6)уравненийB.6),системаможночтоследует,хdxdtzdtВведемновуюскалярную{xi,.

.,=переменнуюхт}.±i,. .,xmjТогдаАгдепостоянная—матрицасистемаимеетсВэтогоSV2=Ах=dtнепосредственно2т-мерныеПоэтомуПолу-векторы.анализеприможномногихограничиватьсярас-записатьf(a),a=задачобОднойизслу-B.3).-привестикоторыйвиду,частномc*x-qy.=позволяютспециальномуввидевB.1)уравненийчтоотметим,можнорассуждениякЗадачасЛурье.анализомкаждуюявляетсяустойчивостидостаточносистемзамкнутыхНайтиЛурье.B.6)системакоторыхустойчивасвесьмавыборанеобходимыеB.7)4.5)условия,B.8))илиотеебыасимптотическиначальногоа)-г))условиямвыполненииприбыланезависимоудовлетворяющейе.связан-задач,достаточныеиопределение(т.допустимойсодержательныхявляется(соответственно(см.целомвнаиболеесистемзамкнутыхЗадачаиc*x,нелинейностями.2.2.связанныхyизисследованиядляЪу,изложенныеB.1)-B.3)видаудобнымспецифичными+следуетобразом,систему=получим=анализаB.6)уравнениеdxТаким—B.6),системыпредварительного0,=—ЭтосиB.8).ихвекторB.8).заключениекогдаслучае,вид,aЪ2т,чтоповедениемуравненийрассмотрениемжеB.6)f(&),=порядкатотсвязанныхвопросов,yфазовыйирш+\у—системыЪу,+у=вместоАх=—Полученнаяусостоянияхарактеристики/ИОграничимсяПриещеэтойанализомэтомдополнениевзадачиB.6)выше/(<т)определенаподробно.добавимменееа)-в)предположениямнепрерывнаичтовпределеIоо—>функцииопределяющиеусловия,прибудемКрометого,корнихарактеристическогочасти.считать,значенияха.что^аОчевидно,всехприI такая,постояннаяО <вещественныекритерийиспользуярассмотримдва.1)Функция2)СуществуетвсеB.7)иуказаннымкB.8),системыдляСистемыНайквиста.устойчивостиуравнения/.B.9)2)условиеэквивалентноусловиюб)(см.(А)).классачто<системаB.8))матрицысобственноАустойчива,имеютотрицательныет.е.Гл.150ЗаписываяB.8)уравненияА)х-ачтонаходим,х(ED=уf(a),=сгЬу.А)—Ъу,==системзамкнутыхформеоператорнойв(EDУстойчивость3.dtПолагаяW(D)затем—с*(ED=—16,А)получаемаНаконец,обозначаяА, будемматрицы-W(D)y.B.10)=A(D)черезхарактеристическийW(D)M(D)гдеB.10)формулыфункциюпередаточнуюследует,схемаописываетB.11)меньшега.W(D)чтоможносхемазамкнутуюуправляемуюцепьсистему,обратнойсвязиэлемент,асигналэтойнасхеме[1втомчастном+hW(D)]a/(<т)когдаслучае,=W(D)z(t)B.11)отсюдаТаким/(<т)приегоA(D)критерию+длячтобыприточки(—1//г,0)изображеннойсистемы,0,=представитьhW(p)]вимеютчтобытого,/(<т)исовплоскостиот—сюhaделалсистемазамкнутаясогласнодостаточно,доИ7,=ве-отрицательныелишьпринеобходимоизменениивиде=0.предполож:ениюустойчивой,източки.hM(D)]a+можнопоПоэтомуНайквиста,проведенныйэтойА(р)асимптотическивидуравнениемуравнениечасти.вещественныебылазамкнутойописываютсяA(p)[lНулипринимает¦z(t).hM(D)+колебанияha=характеристическоеполиномаB.12)z(t).M(D)[A(D)аB.12)W(D)z(t),=уравнениеW(D)hW(D)==собственныеобразом,3.2.3,рис.чтополучаем:анавидеилиаУчитываясисте-движенияW(D)f(a)/кг,=Соответствующеевследует,+3.2.3о"Рис.z(t)обозна-W{D)[z(t)-f{a)\.=Отсюданели-черезвходе.записатьaнакоторойввключенуравнениеможносистемыпере-изображенакоторойнелинейныйобозначенкакрассматриватьструктурнаявиматри-M(D)=которогосистеме,вЭта3.2.3.рис.степеньполином,—Изопределительиметь+оонулькрите-\jhвектороборотов-\-W(iui),вокруг2.УстойчивостьнелинейныхспециальныхПоэтому/(<т)функцияфункцияпредположениюПринадлежащаяклассуhaтогодографможноуказатьI/ft*будетначаломвнаходиться(—I/ft*,Чтобынеftпересекал<координатсю,запретнойзапретнуюв(—сю,зонойнезонуопределеннаяскольпри(рис.большом,угодноновектораЕслиIжеСамо—>тосю,началокоор-/(<т)функциярассматриваетсяпофунк-годограф2.10.5).(—оо,0).интервалибовходит,любойпричтобына-обходнеустой-исистемазамкнутаядостаточно,—1//)являетсяточкасчтосторону,устойчиваиполуотрезокиft*,=3.2.4,рис.чтотакое,радиус-векторажетуасимптотическиI, необходимо^которойвftнаB.13),покогдабылаftгдеобходпроисходитьЗначит,системаftcr,=W(iu)О <эта/(<т)функцииизображенныйвид,условиюветви,О)годографа.ветвииметьудовлетворяющеебудетПринадле--1/1.B.13)<будетвнутриточкенаружнойнеустойчива.ft*,=B.9).условиюусловию-I/ft<W(iui)вектораftудовлетворяетудовлетворяет-ооЕсли151системftcr,=ft.ограниченномImWhReWРис.ТакимРис.3.2.4образом,ТеоремаЕсли2.1.системыпрямоговуравненияхследующийполученрезультат.движениявозмущенногозамкнутойси-B.8):регулирования1)функцияЛурьезадачирешениив3.2.5f{a)f{a)линейной,являетсягдеftcr,=ftпроизвольная—постоянная]2)естественныесобственныхчастизначенияАматрицыотрица-отрицательны,тотривиальноелюбомftпересекаетпритогдаипрежнихпересекалОпределениеB.9)иW(iui)B.8)A0.11).условиюнепересекалустойчивостиустойчивостидаетдлятотакойнепере-устойчивостичтобытривиальноеотклонении7.1теоремасистемыабсолютнойсю,достаточно,функцииначальномвышеустойчивостиудовлетворяющей=приW(iu)векторагодографвекторакоторойрешениеf{a),х@),х=удовлетворяющейусло-абсолютноназывается(О, Z].углеДоказаннаяB.8),любойприлюбомпривIжеиСистема2.1.устойчивоустойчивойЕслигодограф(—оо,0).полуосиасимптотическиусловию1//).устойчивоасимптотическикогданеобходимоусловиях,несистемытогда,только(—сю,полуотрезокW(iu)этойрешение(О, I]GприсистемыдостаточныелинейнойB.8).условияфункциичтобытребование,Поэтому(—сю,,полуосидаетлюбой1//),являетсяДостаточныеасимптотической/(с)необходимымусловия=годографудо-вектораусловиемабсолютнойha,абсо-устой-в152Гл.абсолютноУстойчивость3.ТеоремаВ.-М.Попова.устойчивойвчислоq,приДлячтобытого(О, I] достаточно,угледлякоторомAReДоказательствоэтойвыполнялосьiquj)W(iuo)+былаконечноеусловиеl/l+0.B.14)>будем,неприводитьабсолют-такоесуществовалоиитеоремыB.8)системачтобызначенийвсехсистемзамкнутыхаограничимсядвумязамечаниями.ЗамечаниеB.10)Условие2.1.системылинейнойЭтотсистемы.W(iuo)ReвозможностьAReтехвлишьохватаэтого(IнеReW(iu),Х(ио)=X—-qY++1/1На—qYрезXt,*—,чточтобы=черезлюбойвB.14)точ-правееИны-Попова.чтоозначает,бытьдолженгодо-расположенсоображе-геометрическихчтоследует,Поповатеоремусфор-можноэтойправеекакисобственныечтобы(—1//,0)абсолютнокомплексногобылогодографвыбратьпрямую,W(iuo)векторабылпрямой.формулировке,значениябылоплоскостиможночтобытак,аналитическойввiqu!mW(iu)+B.8)системырешениедостаточно,точкурасположенвсевидеть,Попова.прямойтривиальное@,1],ReW(iou)углеW*этом,че-НетруднорасположеннойпрямойназываемойX—образом.впроходящуюпрямуюпроходитвыполняетсяприведенныхследующимпеременногопроведем3.2.6).W(iuj)видочевидно,XOY,векторасоображенийПриB.14)О) (рис.принимает0.>иикоторая,условиеправеевесь(—1//,прямой,3.2.6ИзтогоB.14)всехдляXOY0,=словами,годографДля0.=формули-условиеи0плоскостиусловиеИнымиустойчивымW(iuo)ImгдегеометрическуюполуплоскостиэтойсформулироватьдатьY(oj)=cjlmW(icj).qY(ui),1/1 >точку'кеРис.величиныограничениеточках,вможновозмож-предотвратитьопределяеттолькоПоповаХ(ш)=iquo)W(iuo)+азначениеобозначениявведемReТогда0,>ииТеореме2.2.Для0)).всехдля(нужно0=длянаограничениеW(iuo)B.14)ImУсловиеНайквистакритериянакладываетгде(—1//,iquo)W(iuo)Замечаниеформулировку.критерийнелинейнойустойчивоститребованийотточках,точки+абсолютнойотличаетсяпринципиальноАматрицычтопредполагать,нужноимеютвещественныеотрицательныечасти.КакПоповатеоремавидим,достаточныеуказываяусловиятойисследованияпутьдаетчастичноелишьабсолютнойжеосновываетсязадачизадачирешениеустойчивостинав@,1].углепримененииЛурье,ДругойметодавторогоЛяпунова.КакбылозамкнутойрешаетсятеоретическихпоказаносистемысравнительновсЛяпуновапараграфе,предыдущемчисленнымизаданнымипростоисследованияхфункцийПрименение3.применениемвозможностиобвопросзначениямикритерияустойчивостипараметровре-ОднакоНайквиста.критерияэтогоеевесьмаограничены.втео-3.ПрименениеВчастности,функцийрядевустойчивостиЛяпунова153целесообразносслучаевсистемыформасистемы(см.формесвоювАх=Ьу,+очередьАналитическиеуMzпростымииуравнений.Перваяlu,+устойчивыхuчтотого,нормальнойкасистем,единичныйвектор,учитываяC.1),уравненияzЕслиурав-собствен-переменной8)./г/,C.3)+Дифференцируяэтосоотношениеполучаемby)+чтобыпотребовать,этиходнойпопро-формулой{1,.

Характеристики

Список файлов книги