Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 15
Текст из файла (страница 15)
.jPsвсе—корниdet(XEуравнениякоэффициентами.матричнымиспостояннуюс(е)=А)—Поэтомуиз\ y(t)\Отсюдабудемfе^^-^\\В(т)\\Jtoсоответствиис\\у°\\у°\<\ у(т)\\е^+е>'dr\ В(т)\\получаем|(а?ехрe)(t+to)+c?+dt].\ B(t)\как-±—limтобольшомдостаточнопри[Т\ B(t)\ dt=Т(е)=| г/(?)||поэтомуЧислонеравенство абылое2г+справедливоСледствие2гд?+\а\y(t)\0—>Линейное5.1.to)—настолько*>Т(е),? >причтобымалым,? —>при=0,неравенствоприехРПоэтому0.<с\\Уо\\выбрано^| Б@||lim\ B(t)\ dt<s(t-t0)иуказать\ y(r)\\dr.Грануолла-Беллманалеммойс\ y(t)\Такполиномможночтоследует,fве—приJoиto)—иметь\ у°\\се^^-^+с<(pu(taчтотакую,E.19)неравенства0,=выбранномприо)иустойчивоститеориивыполнялосьТеоремаоо.суравнение(e).iнеравенст-доказана.коэффициен-полиномиальнымикоэффициентамиyгдеустойчиво,Ak,kесли1, 2,=все(A0+A1t=m,. .,корни+Amtm)y,E.20).
.+постоянные—(A.EdetуравненияAm)—0=имеютотрицательныечасти.вещественныеВведемДоказательство.замену—^?m+1Тогдаустой-асимптотическиматрицы,E.20)уравнениеможнозаписать=г.E.21)видевгдеВПоэтомууравненияуравнениеE.20)(г)—>0принепосредственноE.20)т—>следуеттакжеасимптотическиоо,устойчивостьасимптотическаяиизтеоремыустойчивоСогласно5.4.приt—>уравнезаменеоо.E.21)Критерии6.устойчивости107Критерии6.Будемрассматриватьустойчивостиобвопросустойчивоститривиальногорешенияурав-уравненияхАкоторомвпараграфе 2,постоянная—ответнаэтотвВг/3.+устойчиворассматриваемаяэлементыматрицыбырасполагалисьограниченийтакихнезначенийпараметровКритерий6.1.уравнениепутемОбластьуказатьустойчи-остаетсяустойчивости.ис-приудаетсясистемакоторыхвД(р)Использованиер.такимтого,системы,Гурвица.ограниченияполиномахарактеристическоеБолеерассмат-указатькорниплоскостирешатьустойчивость.назадача,всекомплекснойлежатуравнениячтобытом,васимптотиче-Основнаякоторыхосипозволяетсистемыисследованииграницыустойчивой.состоитмнимойлевее(F.1)р.выполнениикорнейплоскостиэтогокорнипараметрапараграфе,А, принастоящемвтогда,напарагра-враспределениемкомплекснойуравнениявсекогдакомплексногополуплоскостиА)—решениетолькои(рЕdet=тривиальноетогдалевойнаД(р)частности,показаноопределяетсяуравненияа=асимптотическиКакп.порядкаполностьювопросхарактеристическогорАх,F.1)=матрицаРассмотримполи-полиномf(p)который,неочевидно,ТеоремаkпричемF.2)всега,>а3>0,по>0,pjТогда3Так/@)как=то=лишьотрицательнойсположительны.iCj,j±F.2)0.>j1,F.2)>пкорни—otj=полиномакорни0, /3jимееткоэффициентыегоПусть.
.,0,>anкорня.нулевогото—anpn,+..полиномчастью,Доказательство.1, 2,=+aipимеетЕсли6.1.вещественной+ao=. .,/,1, 2,=кратностейиGjVi+k~7ь—соответственно,Skчтоочевидно,1к=1согласноВиеттатеоремеа0аи,следовательно,ап"П3=1к=10.>Далее,/(Р)=ПanJ=lfc=lОтсюдаа\чтоследует,>0,п20,. .,>всеапЗамечание6.1.0.>коэффициентыТеоремаЕслип2,=F.2)полиномаположительны,т.доказана.тоявляютсятеоремыусловиядостаточ-идостаточными.4.1ТеоремавыполнениивообщечастивширокоерешенииприменениелишьнеобходимыекорнейуравненияПоэтомучасти.вещественныеприменениеговоря,вещественныекоторыхотрицательныеболеедает,обвопросовполучилонаустойчивоститакусловия,f(p)можетиметьдляназываемыйпри=лишь0имеютвыпол-отри-ограниченноеуравненияF.1).критерийГурвица.Гораздое.Гл.108Чтобысформулировать,еговведемОсновы2.устойчивоститеорииГурвица,матрицуфор-определяемуюформулой'аха00Гп\О..а$п4а3=О..аза2d\О..0,>апФ 0,а0\«2п-1вкоторойчтоао,ат0,=апai,.
.,Критерийимели>ткогдаДляГ20,Доказательствоaozn=f(p)уравнения0=тойэтомсчитается,корниf(p)уравнениянеобходимоO=име-достаточно,иа2ахГ30,>а30сделаемсделатьanр0,=соответствоватьг,=Поэтому(Repjpj(RezjZj,0)<Гурвицакритериивпреобразуетсяонокорнюкореньограничимсязамечание.токаждомуиаважноеоднозамену+..будем,неприводить+кратности.F.3)а5сначала=0а0а3=0)<уравнениявместонеравенствбратьможноПримерИспользуя6.1.коэффициентовгq,корнии5,слишьГ20,>an_i=Ва3будет0ж:еа0f(p)a\zn~1+=ахутвержденияуравненииcp(z)y?(z)F.3)всечасти,Однакопримера.ввиду=этогоанализомЕслиПринеравенстваГ1=а1>лишьчтобытоговещественныевыполнялисьf(p).полинома0.<тиотрицательныечтобыкпГурвица.толькокоэффициенты—=Гурвица,критерийкоторыхприА(р)уравнениесоответствиисГурвицакритериемр3+коэффи-значения+^р2+гр50=имеетчастями.вещественнымиотрицательнымитеукажем=чтонаходим,выполнятьсядолжнынеравенстват.е.выделяютплоскоститрехкотораяq0=попадает(т.толькоsсикорнейимеетграницеееобласти,вграницы,01>sскоординатамигейА(р),хотяплос-угиперболическимженекорень,этойвнеточкаА(р)попа-корнибыхотякоторогоодинsиимеетлежащейЕслибыrg,А(р)полиномакорнинихиТочке,часть.Среди0)>полиномчастями.вещественнуювыделя-координатныхиейполиномчасти.rq.неравенства0точкасоответствующие<sчастьюЕслисоответствуетчасть.00полученныесоответствующийположительнуюто0qr>0,sикоторой2.6.1).товещественныевещественнаяrвещественнымиобласти,отрицательныенулеваячасть,(рис.rq=S1положительнойотрицательнымиобластиs>0,q,г>0,qпеременныхеетуэтойвнутрь1ограниченае.параболоидомSнеравенствапространствеобласть,г0,>гвыполнятьсядолжныВ0,>sизодинлежитвсеимеютукоторогонаот-Критерии6.ИспользуяможнополученныйрешатьеслихарактеристическийпривестиегоE.2)видупроверитьиГурвицакритерийПрисистемыпроектированииуправленияувозможностьварьированиядобитьсяулучшенияОпределениеAi,{Ai,.
.,(рЕА&}имеетЕслиAi,что+вомногих/Зу=кобластинайтиегоG,этозаключенную2аC—Такиевычислениястановятсяобгипер-G,Gторас-ГурвицаРис.связаноF.3),делатькритерийасточнее,системзнакиэтихси-порядоквысокогоВтакиепорядкаэтомпредпо-случаекоторогоанализукнеобходимостьюеслилегко,для2.6.2находитьсравнительноОднакообременительными.Михайлова,слишкомоказываетсяCиплоско-ветвяминеравенствахневысок.систем.Gустойчива.вычисленияиспользо-конкретныхакритериясравнительноможно2аC).—Васимптотическиопределителиопределителей.-\-1(а,/3)использованиепредпочтительнеепара-а0.>двумяесливГурвицаопределяетПоэтому,ПрактическоеF.1)Екотрицатель-неравенствосистемарассматриваемаясистемыполином/Зх—=параметрымежду2.6.2).вычислять=частями,мож-2р—имеютесли1аО/3усистемы1)(р2—корнинеравенству(рис.пара-Апространствевпараметров(рчасти,переменныхау,этой=чтоудовлетворяютгиперболы+—х=пространствеД(р)видунаходим,плоскостиF.1)критерийустойчивостиобластьустой-случаяххвz,—вещественныеобластькотвекторавещественнымиотрицательнымиполиномпривестиОтсюдазависитзначенийхарактеристическийкоторыхприпостроенииC.
Характеристическийотрицательныеобластьтосистемыуравненийzах,F.1)уравнениивА),стребуетсянапример,системы—уАA(Ai, . .,Ек,=толькопрактическомустойчивостисистемыхарактеристик.устойчивостиОказывается,приконкретныеустойчивостиXk-. .,Пусть,множе-заданноговыбиратьсвойстваматрицаАкорниобластьюназываетсяиспользоватьеее.2.6.1извозможностьсохраненииприпространствевА)—параметровесть6.1.т.значенияприниматьмогутнихдругихА/с,Рис.за-чтобы. .,всепроектировщикаупараметров,неоказываютсяизсамымзначенияпараметровF.1)АНекоторыеТемпараметровсистемевматрицызаданными.возмож-рядаПоэтомуэлементыуправестьпроектировщикасистемы.множества.позволя-большее.нечтополучитьможноэлемен-достаточноF.3).Однакоиэтогополином,кнеравенстваdetвсеДлясоставить=устойчивостиизвестныА.матрицыпозволяетрезультат,обвопросF.1),системыэлементы109устойчивостимыпере-ипереходим.гдегМихайлова.Критерий6.2.=\/-~Т-ТогдафункцияВw=/(го;),F.2)формуле0^и<положимсю,вапкомплексной=1,плоскостир=га;,Гл.поwiv+и=опишетДляМихайлова.wпредставлениямифункции,ф(ио)/(га;)аТаккаки=ее—аргумент.(со)iv(uo)+полином—pi,.
.,pnкратные,т.каждыйе.корень-D(o;)гдедвумямодуль—рп),F.4)-средиформулеэтойвеезаписать(га;/(р),полиномакорни~~можноpi). .-Михай-пользоватьсяD(uj)e%^u\=топ,(га;=(годографом)будемwистепени/(га;)гдефункцииэтойанализаустойчивоститеориикривойназываетсякотораякривую,дальнейшегоОсновы2.которыхбытьмогутстолькоупоминаетсякрат-икаковараз,егократность.Полагаягиоpv—Dv(uo)={г^^До;)},ехр/(го;)чтонаходим,D(oo)el^(UJ\=гдеD(u)Теоремаио^Нf(p)полиномwдо0отоогдесткорнейчислоихучетомВэтой+имеет•iM-+•чисто/(го;)=•корней,мнимыхходапротивстрелкиF.2)полиномаF.5)-(гс-2т),положительнойсвещественнойчастьюкратности.теоремеособоеобратитьследуетвниманиеначтоопредположениеf(p)полиномчистонекорней.мнимыхf(p)Такимеетегопопарног/3—(—акорнямг/3)Еслитг/2составит+часовойтг/2стрелки,+7тг/2—наПривидеэтом+а—F.4)fi(iuo)г/3).
Приположение(—а—г/3),+2(рис.рг(^)осьпервоговектораповоротпроисходит=векто-Аивещественнуюповорота7-—разложенииAiгио=проекцияугол0.>начальноеточкамир\(ио)егополныйто—р%2.6.4).еслиСрзна2.6.3).го;=—остаетсяприио—>оопротив^/2+7=0,т.иопротивееповекторае.7—часовойэтогоповоротауголходуповернетсяАналогично2тг/2.=встрелкивекторапротив2тг/2.тоF.5),итг/2+7вещественным,увеличением>+этого2тг/2,—являетсяF.5),произведениютг/2уголповоротразложенииврзсоответствующийстрелкиполныйсоставиткореньгио(рис.второгострелкиЕслиосиа0,>—часовойбиному<fi(ioo),акогдасоставитхода7,0,авекторчасовойходаслучае,векторов0==парасоответствующихгC)(гио—р\—стрелки.Значит,противиз—ава—определим?>2>Однакоповорачивается.неизменной.ходакаждыйиоувеличениемр\Cв(гиоо;соответствующихПусть+ г/3представить2.6.3=икорни=парусомножителейРис.—р2иТогдаможноСикорнейтакиха<окомплексныесопряженны.—акаккоэффи-вещественныетокоэффициенты,=том,иметьдолженДоказательство.векторов,точасовойравен=—V>iH=невектораненулевогоизменениипри^Н,..Efc/ш6.2.поворотауголАН=гиоприэтотхода,векторесли=которыйвектор,0поворачивается0.<рзсоответствуетвещественнойнарасположенпоПриэтомегоходупроекциячасовойнаКритерии6.устойчивости111осьвещественнуюстановитсяПоэтомуеслиочередь0 доотэтихсю(пСледовательно,вектора,F.4),—ттг/2доказать.а"лосьЗдеськаккорнюмнимойпредмни-Рис.видар^г/3=мнимойПри/(го;)разложениив(оогоси.доказанной/3),—множителиопределяетэтотоопростейшиенакотороеизменениитеоремыКритерийF.2),вектор,всевекторраспоостаетсявремянаходаиичасовойкритерийооможнорассмотримwэтогоптг/2.имеетМихайловаДляпустьчистомнимыхвсегданачинается{и(ш),пересекаетположительнуюкорней,0.Затемобразом,причемнаматываетсяходамнимойоси,иосv@)=>ио^002на0,аначалоприкриваякоординат=е.0 доМихайловаи(ио\)ио=отрица->ио^и(ооз)увеличениемv(oo)исобойиоиметь0.=представляетсбудемоо\полиномовнули0.=пересекаетнекоторомсюдляМихайловаполучаемполучаемот(разумеется,годографио\=век-ииувеличениемМихайловааналогичноооувеличением=е.годографстрелкит.годографт.стрелкивещественнымС0.>иооси,иоувеличенииследовательно,часовойзначениичастьи,и(и)чтонекоторомприF.3)0,=часовойходаявляетсяоси.противикривуюпротиввещественнойповорачиваетсяприv@)считать,вещественнойчастьповороттонадальнейшемотрицательнуюегоии(оо)v(u).(годограф)компонентамиописываетоополиномбудемv(uu)}системы),Приполныйс0 допредположениюопределенностиустойчивойчередуются,поF.2)применениемобразом.векторото;этомприкаксiv(uj),F.6)+wизмененииприТаки{ио)=ГурвицасистемавидевплоскостивектораиТакимпротивкритериясвязанныеследующимf(iuj)=комплекснойвv{uo2)от-чтобыптт/2когдаслучае,упрощения,получитьфункциюw=скорниуголудобнеетомвНекоторыеМихайлова,ЗаписываявекторнаА)—достаточно,ичастоособеннозадач,размерность.критерияне{pEdet=лишьповорачивалсяоказываетсяконкретныхвысокуюравенимелнеобходимоД(го;)векторустойчивостирешенииКонецМихайлова,корней,мнимыхчастями,до0отД(р)полиномстрелки.ЭтотимеетчтобытогочистовещественнымиизмененииприимеющийследуетДля1.неотрицательнымипринепосредственноМихайловасистемыкоторая2.6.4оси.Изи-р3выражениенаРз^гкпринципиаль-соответствоватьрасположенныйэтихгчтоявляетсятакпринципиальным,будетизпо-чистоотсутствиикорнейитребова-иотметить,обКаждомут)тг/2——чтоуместнопредположениемых(п2т)тг/2,—веществен-биномов.поли-определяемого(прз—т)тг/2.уголсоставляет=положительнойствсехРз—полныйповоротагиовекторизмененииповоротаугловсоставитполиномомсю—>соответствуетПрисуммавекторовкорнейтразложениив{гио —рк)-видавекториосвоювимеетсоответствуетимиоприоси.F.2)полиномтобиномовпределевещественнойортогональнымвещественной частью,Впостоянной.остаетсяоти(оо)че-спираль,0досю.При112Гл.Основы2.этомустойчивойдляописывающегосистемыгодограф,Следовательно,поворотауголбытьдолжен{и(ои),у(ои)}вектораописываю-птг/2.равнымМихайловакритерийустойчивоститеориисформулироватьможноследующимобразом.КритерийМихайловаF.6),виденечтобытоговсенеобходимопересекалаегои(и)v(u)wДлячастью.фуголи(и)Условияu{uj)к=(Ti-@корень0.>кустойчивостиТаккакКореньустойчивостиТ\ и Т2рассматриваемойполученные(Tiрассматривать{xi,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
