Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

.,к=1правильной,называетсяучетомкратности)A(t)ихматрицыеслисовпадает{dik(t)},=е.т.Пусть,А.SpсистемыЛяпунова.изложенаМ.:—1966.5.УстойчивостьфункциямипериодическимисправедливосвW@)D.19)линейнойдлядр.иТеорияtсЛяпуно-системРас-коэффициентами.периодическимиэлементывремениправильныхипоказателейоднимитемАматрицыец&жеявляютсяперио-Т,периодомт.е.справед-равенстволюбогомоментаW(t)ПустьрешениемD.19)соотношениилинейныхкоторомA{tдляхарактери-показателейБ.Ф.системыD.2),уравнениеТогда,корнямивравенствоспециальныхЛинейные5.1.РассмотримчастьправаяхарактеристическихБылоекниге:Наука,свыполняется.теорияваВиеттатеоремевсегдаполная0,системыкоэффициенты.постоянныесовпадают=правильнойдляSp A(t)dt.D.19)имеетА]—согласноДостаточносистем[XEdetПоэтомустационарной/показателитоп,учемат-следахарактеристические=показателиуравненияравнаD.18)характеристическиехарактеристическогоп&lim=системанапример,ееп1а1+..значениясреднего—+п\Uj,?'очевидно,пределома1,.

.,а&(споказателейхарактеристическихнижнимесликратностейсоответственноеесуммас=E,aтогоxk(t)—жеКошиматрицауравненияк-йT)=A{t)E.1)t.времени—+столбецD.2),уравненияэтойматрицы,нормальнаякоторый,приочевидно,t=является0,т.е.100Гл.—J±[l)X=К[I),1,—Z,устойчивоститеории...П,,следовательно,и,dxk(tВОсновы2.силуE.1)условияуравненияD.2).такие,чтоT)+_kПоэтомуW(tе.Г)+ПолагаяW(t)uk,=является{ио\к,=k1, 2,=••решением^nfc}?•,курав-1, 2,=п,. .,п,E.2). .,гдеE.2)равенствевT)+W(t)fi,=такжеиоквекторысуществуютxk(tт.xk(t-\-T)вектор-функцияt0,=хц{Т)чтонаходим,х12(Т)Ых22(Т)xln(T)Х2п(Т)....=щт)хпп(Т))ЭтаважнейшуюрольпериодическойИзE.3),тогоэтойD.2),X(tусловиемможноПзаписатьдругойРобозначениеЭто+W^^W^=Х-^О),неособеннаяW(t)сперио-Обо-матрица.иС=P^X^ifyXit=пустьматрицуосновнаяХ^^Х^E.3).Т).+W(t)=Х(?)Х-1@).обозна-ВводяГ)Р,+Ст.е.Счтотакая,G, опреПоэтомуматрицаусловиюРматрицасуществуетфундаментальнуюаналогичнымПчточто—свояимеетРПР'1.=нормальнуюформуCi—всеЖорданаклеткакорни=diag{C1)..

,Cfe})E.4)размерностиpi,. .называются—\Т npjjс. .,вчтоReтомсмысле,pi.Числа/с,E.5)8)решенийсистемыуравне-A(t).матрицейвидеть,системы1, 2,,рп}.показателямипериодической) Нетрудно=корнюсоответствующаяm^,diag{pi,. .=jхарактеристическимиD.2)xrriiСтопростые,,рп1нестационарнойиграетD.2)уравнения,отГ),+=уравненийонаниже,характеристическогосоотношениенаходим,QчтоX(t)C,=CгдепоказаноуравнениясоответствуетТ)верноозначает,жордановуЕслиустойчивостиотличнуюейтостороны,=обматрицы.X(t)черезуравненияопределяемаяеекорнимногочленжекакследует,все,р&обозначитьСчастности,вpi,.

.минимальныйЕслибудети,A(t).формулычереззадачирешениивматрицейОбозначим—основной,называетсяматрица<x/являетсявпоказателемхарактеристическимкакомонбылопределенвпредыдущемрешенияпараграфе.Устойчивость5.ТаккаккаждаяBk}j. .,можноCj,=jпериодическойB(t)матрицейэквивалентными, еслипериодическойВ=S(t)называютсяэквивалентны-преобразованиеS(t)xE.8)=Т,периодапереводящееE.2)уравнениеурав-вE.7).ЛеммасуществуютрешенийнезависимыхD.2)Уравнения5.1.когдаслучае,#(?)Ф(?).иОчевидно,E.7)т)+s(t=Следовательно,+т)Ф(ь+Т)УиТогда#"(?)Т)*Sr(t)матрицакаж:дое=леммаэквивалент-Счерезее&(t)положимрешенийнезависимых=урав-т)Ф(ь)с+в(г)Ф(г)с=&(t)c.=общуюосновнуюD.2)E.7)иматрицу.однойсE.9).Из(t)тойи#(?=периодическойявляетсярешенийматрицыосновнойматри-<P~1(t)<P(t+Г)Ф"^(^++с)TГ),Т.периодомфундаментальнойсвоейопределяетсяжеполучаемних#(?)#-*(?)следовательно,и,#(*)С,E.9)=фундаментальныедверавенства\Р(Ь)Ф~1Т)+матрицейе.т.Так=какрешений,доказана.ТеоремаD.2)Уравнение5.1.эквивалентнопериодическойсA(t)матрицейпериодаТуравнениюУкоторомопределяетсяВматрицаматрицаD.2),уравнениярешенийD.2),X(t)C.XОтсюда,Покажем,чтоопределяетсяматрицейПокажемсначала,=определяющаяE.8)S(t)чтоS(t)X(t)—фундаментальнаяимеетX~x(tуравнения=eBtX-\t).E.11)периодТ.С+E.4).матрицаE.4),E.2)основная—формуматрицучтоследует,преобразованиегдежордановуосновнуючастности,вE.6),нормальнуюПустьуравненияBy,E.10)=соотношениемимеющаяДоказательство.=E.7)ОбозначимE.3)${t){tсуществуютуравненийуравнениетоФ{Ь)С,=справедливы#-*(?)#(?+=s(t=имеютчто=т)+E.7)итеперь,Ф(?)матрицей С.томнезависи-матрицей.D.2),линейнотолькоравенстваD.2)уравненияДопустим=илинейноосновнойE.1).матрица—справедливыФ{ЬXуравнениятом&(t)=иv{t)(tе.&(t)чтоYпреобразованиемсчтожеуравнениясоответствиивитойирешенийматрица—матрицууравненияоднойсвФ(?)=Предположим,Ф(г)основную=эквивалентныXуравненийэтихпустьиE.7)иматрицыДоказательство.эквивалентны,вТпериоданеособенноематрицейуравнениет.мат-матрицуB(t)yE.7)жеуснайтиможноВводяуравнениеи=тоголинейноесуществует.

.,С.E.6)=D.2)Уравнение5.1.Усток.=записатьеТВОпределениенеособенной,1, 2,являетсягeTBjчтотакие,{?>ьdiag=СматрицаB\,. .,Bkматрицысистем101линейныхспециальныхТ)=вт.C~1X~1(t).уравнениее.реше-X(tE.10)+Т)опре-=102Гл.ВсамомсилуS(tделе,Г)+E.6)уравненияeB^T^-\t=+S(tE.8)получимпреобразованиеИспользуяГ)+е^Ф^)=Г)етеВТС^Ф'1^).=Отсюдав#(?).=введеннойсустойчивоститеориипериодическойбу-матрицей,иметьбудему^—X~\t)xat=eBtX~\t)x+ИзX-^^Xit)чтотого,ЕслиE.2),уравненияX(t)е.=E.12)изСледовательно,X(t)A(t)X(t),чтот.Е,тоуE.9)соотношенийсилувПолученныйусловиямТеоремаЕсли5.2.D.2)части,Еслихотяположительнуючтотребовалосьисравнительнодоказать.формулируемымпростоD.2)уравнениярассматривае-втоэтобыодинЕслиD.2)неустойчивыммножителирвKepjPj,—тоD.2)иОтсюдаD.2)уравненияеекорнямипоказателяминайтиплинейноS(t)x(t),\ x{t)\=M\\x{t)\ ,x(t)иy(t)иможнопосто-указатьустойчивостьматрицейхарактеризуютсяе.т.уравне-Mi| i/(?)||.<асимптотическаяуравнения),результатпоказывает,уравненияD.2)неус-иВ(точнее,пока-характеристическимичтовсеэтоманализекорнивоТемвсемнеееpjменееE.5).ctjсуравненияОчевидно,наиболь-чторешенийотысканиемособенности,имеетзадачаосновнуюхарактеристическогосвязанынай-следуетсоставитьследуетнимпоказателихарактеристическиетрудностиПозадачирешенияA(t)матрицейрешений.найтипрактическогодляпериодическойсегонужновычислитьD.2).E.8)периодическойявляетсярешениядляy(t)полностьюнезависимыхЗатемматрицу.множите-кратныеA(t).ПолученныйустойчивостиE.11)матрица<характеристическогоматрицыобкакустойчивость,чтоследует,неустойчивостьустойчивым,илили-уравнении.\ y(t)\чтотакие,нулевыве-либопростыепреобразованиюформулойсвязанныхMiтого,сположительнымибытьхарактеристическомсогласноE.10),иМпостоянныеуравнениеТакДоказательство.неособенной,уравненийвсможетотположи-показателипоказателейнетзависимости0,=имеетнеустойчиво.характеристическиеночастями,вещественнымиустойчиво.уравнениеимеетчастями,товещест-показателейтоуравне-отрицательныехарактеристическихчасть,уравнениеимеютасимптотическиизвещественнымилибоA(t)уравнениеE.5)показателихарактеристическиематрицейвещественнуюнулевымиуравненияСледо-иметьBy,=устойчивостивсепериодическойсвещественныеиуравне-случае.уравнениянаибольшиеукобзадачирешенииврассматриваемомимеемприводитрезультатрешенийBeBtX-\t)x,=E.11)ипоэтомуи-X~1(t)A(t).=будемсоотношенияО,=матрицаХ^)получаемE.12)X(t)X(t)+фундаментальная—eBtX~1(t)A(t)x.+X^flXO)имеемпоследнегои=eBt(t)X-\t)x+=учесть,e^X-1^)^+BeBtX-\t)x=иОсновы2.которыеуравне-упрощаютпро-этупроцедуру.Деловпостояннойлинейнотом,матрицейнезависимыечторешениядляВрешения,необзадачитребуетсязнанияопределяющиеустойчивостиосновнуюE.10)уравнениязначенийточныхotj.матрицу,Кроменужностого,знать5.УстойчивостьлишьдлязначенийtвозможностиизконечногоуравненийанализеприПример(p(t)где/с1, 2,=периодом(hhиопределеннуюuo\/а/г=строимкорень—матрицут=Поэтомуr,(fc<l)T,+постоянные,будемтвсевозможныеприниматьрас-значенияchuotchuotрешений,независимыхОчевидно,0.=sh—uouotТ,оп-что.Л2полинома? <^трешенийah—Далее0.=E.13),системынормальнуюможноW(tW(T),—Z ch(cosZ shr),771=на}t\-LZ sh<<^} ^-Lг.V^^-Lвнем^tП^'—hчуm)(cost—>г—оТ+г:матри-основнуюt0,=чтонаходим,получаемZ shZ chcosпо-W(t).lim•окончательноaможно=<определяющееПолагаяттгZ chsin—ТТ<W(r)гдеполуинтервалE.15)m—Z shsin—m)Z chsin+mmcjt.этойуравнениер2егоVформулойау771VТ,^t^тt^E.2),уравнение0 ^771sinг)—полуинтервалтIt/-Lгсavyд—КсоответствиивнафункциюW(?)S1,=cosuo(TХарактеристическоеW(t)выписатьТ)+иI(tuocosuo(t-r)Ф(?,т)И^(т),эту(уsm—а-r)=IТеперьг)—функциипродолжимследовательно,линейноtashv_аWit)формулеАналогично=a)uo(tcosпродолжение:W(t):пополучитьи,^tтположительныеФ(^,г),\Z+характеристическогоКошиI[а~гдекТформулойопределяемая+может—=припри..О^t<kTнормальнуюи\VQкТматрицу0/Га\матрицуприкоторыйнепрерывнуюt >приtфункция,@,Т).Построимприсистемыip{t)x\,E.13)=Тзаданные—параметр,интервалагдеX2широкиедифференциаль-D.2).устойчивостиa^2,j-ftа.

.,какрассматриватьизспериодическая^~гдеоб=открываетрешенияуравнениязадачух\ЭтометодовустойчивостьнаРассмотрим5.1.—@,Т).интервалаприближенныхиспользованиядифференциальныхсистем103линейныхспециальныхкорнями—2рявляютсяcosимеетматрицыZ ch771р1'21+==cosвид0,Z chm±уcos2Zch2m—1.104Гл.Отсюдачтонаходим,корнейхарактеристическийнеустойчива.илир\пор2еслиЕслижевыполненоE.5),pi,2=re%lf'•ВотвеличинызависимостипоказателейслучаеможнопредставитьсистемаE.13)Именног.онанаконец,характеристическоенаобвопросзависитотТа;,имеетуравнениеответикорниир\различныхслучаеявляютсяр2характеристиче-видевхарак-этомвизодинuj\^устойчива(hir±i(/?),———неустойчиваилиза-ввещественнойзнакчастисоответствуетэтомусистемыскоторой—постояннаяэтомслучаекратныйилиэтогоот-иприво-случаяB(t)A-\-=называютпорядкафункциинепрерывныеи,кромеu(t)того,положительнаяt GиИзt0выполненоf(t)dtE.16)^cexpJtoE.15)"(*)Значит,j.,+<Jlf(t)u(t)dt"ч^уи{</чследует,г,'^f(t)dt.E.17)какf(t)u(t)dtj=f(t)u(t),обечастиE.17),неравенства/ f(t)u(t)dt]InJtoiследуетE.16).получаем-Inс</(*).<t <оо,неравенствотонеравенстваcнепосредственнорас-матри-А.матрице[to, сю).Доказательство.интегрируя/(?),Если0.^кf(t)u(t)dt,E.15)постоянная,u(t)всехu(t)Пусть^ 0, f(t)f—Будемнепрерывная—довесок"матрицей.постояннойпочтиB(t)an,нестационарныйГрануолла-Беллмана.Леммаматрицей.B(t))y,E.14)+матрица"малыйматрица, характеризующаяприанализпостояннойпочтиy=(AАсE.13)±1,=впростойкорнюДальнейшийхарактериср\Р2видасистемугдекореньсистемыкратномуQ.матрицыТогда1.=кратныйнеустойчивостиилиЛинейные5.2.C(t)m\chвещественныйодинделитель| cos/чтобудем.нерассматриватьОтсюдатоопределяеттаковы,густойчивоститого,элементарныйприводитьто,тоемуи\^-Пусть,Так1,>E.13)1,<двасоответствуюткоторыеэтомm\I chm\I chсистемаи| cosИм| cosсоответствующийаположителен,устойчивоститеориичтотаковы,тнеравенствопоказателягдеиединицы,E.5)сопряженными.характеристическихТа;,большемодулюпоказателькомплексновОсновы2.чтоМатрицу—непре-Устойчивость5.ТеоремаПусть5.3.систем105линейныхспециальныхустойчивоуравнениехпостояннойсАматрицейиАхE.18)=B(t)матрицаудовлетворяетусловию| B(t)| dt<oo.ТогдаE.14)уравнениеустойчиво.таксисеДоказательство.W(t)ПустьE.18).уравненияТогдаy(t)изE.14)уравнениярешенийматрицаполучаемIW(t-to)y(to)+=фундаментальная—W(t-T)B(T)y(T)dTследовательно,и,\ y(t)\Так\ W{t<как| г/(*о)||E.18)уравнениекпостояннаясуществуетto)||-такая,| W(?)||tЕсли5.4.устойчиво—>сю,товещественныеJtoJVE.18)непрерывнаяограниченасу-иПоэтомуto-[°г°°°\explkk\\y(to)\\уравнениеE.14)уравненияdetтаксисеусловий(XEJtoJ\ B(t)\ dtL—0,>0=асимпто-\ B(t)\чтотакова,^0приустойчиво.теоремыА)АматрицейB(t)чтоследует,имеюткорнихарактеривеществен-отрицательныелишьобозначениевводяепостояннойасимптотическиИзуказатьсматрицааможноI <\ B(r)\\drуравнениеиПоэтому,части./кДоказательство.характеристическогопри^доказать.Теоремаасимптотическиtdr.имеемVтребовалосьW(t)матрицакrt\/(Г\fи\ у{т)\\kJ*\\B(T)\\ \Y(T)\\dT,+Iчтоt)B{t)\-то^Грануоллв-Беллманалеммысилув\ W{tустойчиво,что\ y(t)\ <k\\y(to)\\иf+настолькоRep^,max=чтобымалое,выполнялось+анеравенство2?<0.+ТаккакемE.14)уравнения—фундаментальнаяE.18),уравненияполучаем=и,решенийматрицаeAty°+Jo[ eA^B(s)y(s)dsследовательно,JoКакизвестно,матрицуеЛ^~г°^Гможноv=\\ eA(t-s)\\\ B(s)\\представитьds.E.19)\ y(s)\\ввидетоиз106Гл.гдесОсновы2.pij.

Характеристики

Список файлов книги