Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 16
Текст из файла (страница 16)
.,=хп}v(u)первоеv(u)<ои2В0=получаем=т0^з5О,=находимусловие0,ипоэтомувтороеполучаемпространстве/с,параметровобластьопределяютнелинейныхустойчивостинекоторая—tпоиееа0решениемкакуравнениеitItxDx,началавозмущенногоэлемент=/Д?,ж),г1,2,Очевидно,G.1)=и,значит,движения.Еп.Крометого,цилиндре[to, oo),G.2)в=ввкоординатаргументам.уравнениянулевойопределенаx(t)являетсяe,G.1)=—f(t,x)компонентыостальнымf(t,6)Еп,функцияокрестностьпопроизводныеf(t,x),в=системвида=вектор—чтонепрерывнарассматриватьвидfe,+ри(и)уравненияT^XTiT^).уравнениепредполагать,Dx+уравненийуравнениемУстойчивостьZгдеси-дляимеетгдеОтсюдаустойчивостиxбудемположи-системы.Будемгдеуравнениес-TiT2cj3).корниИзнеравенство+условия7.хшз)Т2).<+выполняться<Т2)р2+iv(u),=u(lчтоопределяетсяousк+том,\Jkj(T\=каквремени.иио2(Ti+и(ш)v(u)=в<ТгТ2р3=Т2)ио2ио\нужносуммар-устойчивостикоторойусловияпостоянные~+=uj2должноусловие(р)состоятчередуютсяположительныйПолучитьД(го;)устойчивости0=^2иИмеемткорнейполиномД^iчислаизвестенF.5)характеристический5гдетом,веще-Есликоличествооичастью.6.2.системы,такжеэтогонаходимотметить,уместнорассматриваявещественнойПРИМЕР2 6то,га,положительнойсF.5).птг/2,<относительно2.6.5).судитьположительнойнахождениязависимостьсуммарныйРискорнейуравненийкорни(рис.0здесьF.2)использоватьа=можнополиномавещественнойv@)Михайловаунеобпересека-iv(ui),+то-части,изложенномуккривойсколькои{ио)=причемдополнениеповдлятопоследовательночередоваться,чтопредставленныйчастью,вещественныекриваяВ/(го;),=Михайловаплоскостидолжны0=wвещественнойотрицательныекомплексной0,=имеличтобыквадрантовпполиномнулевойскорнидостаточно,иЕсли2.корнейимеетЕп,ип,.
.,чтовэтомонацилиндреимеютограниченныефункция0G.3)этоуравнениеможнорассмат-Устойчивость1.Всистем113нелинейныхтомфункциякогдаслучае,Ееавтономной.уравнение/7.1.Функцияпрактическирешить№ВопрособрешаетсягдеDx.GТогдаустойчивоустановитьхx(t)=найтиудаетсяпользоватьсянавторогокоторыхисследуетсяV(?,х),определенная0)<приТакимобразом,G.2)можетвсехвыполнятьсянесуществуетW(x)^t^0)<всюдувПоложительноto.ВV(t,x)—),принимаетавцилинд-V(t,x)равенство0=мо-9.=VG.2),точкикромеV(t,x)=х9,=отрицательноиназываетсяопределенной),х) ^ W(x)V(t,чтотакая,определенныеW(x)качествеПримерпо-еслиV(?,исуществу-(V(t,0>в)0=х)^всехприфункцииопределенныеВ7.1.\а\1,<пространствеявляетсяV(t,х2приу2+>х2>Понятию0,aу)х,у2-2\а\у)х,=0\х\ \у\лишьфункцияПредположим,Всобойпредставляютичтоочевидно,tпараметра=с.монотонноС(х2+у2)Aх2+у2t,>W(x),\а\)-можно0>вtэтаобласти,поверхностьфх0)>9виW(9)с=сограниченной2.7.1).Тогдазначенияпа-поверхностьюможет,0.начало(рис.любогодля=пространствеокружающиевозрастанииV(t,x)уровнянагляднуюположительно—при(сс=поверхности,при0>датьV(t,x)W(x)W(x)уровняW(x)=0.=пустьгдерасполагатьсяпараметракакфункцииделе,непересекающиесяповерхностьцеликомизменениемповерхностифункцияуcosтаксамомрасширяющиесякаждаябудетV(t,x)ичтокоординат>приинтерпретацию.определеннаяи2аху-определеннойположительногеометрическуюу2+хопределенной,+V(t,?,х2V(t,x).inf=переменных=положительнох,у)W(x)братьможноиногдаV(t,гдеW(x)О^знакоопределейными.называютсяЕп(знакох)V(t,если=9.=отрицательнообластиVфункцияобласти,функция(илиW(x)помощьюЛяпунова.этойилиЗнакопостояннаяопределеннойфункциянепрерывнаяполучилсскалярнаязнакопостояннойфункция(+хметодфункции,V(t,0)причемпри7.2.ЭтотназываетсязнакатолькоОпределениезадачиводноголишьположительноG.2),приходитсяустойчивостиоб устойчиво-функциямизнакопостояннаязначениярешенияфункций.называютсяцилиндревфункциюПоэтомунепрерывнаязнакоотрицательной)e Z,(t,x)устано-ОднакоусловийвспомогательныеДействительнаяили(V(t,x)G.1),7.1.(знакоположительнойцилиндреЛяпунова,асистемаОпределение=вспомогательныхметоданазваниеметодпредложиланализепозволяетслучаях.получениядляЛяпуновоснованныйустойчивости,решениепоказателямиA.M.G.1).системыx(t)G.3).решенияисключительныхвпракти-удаетсях°,тривиальноелишьдви-уравнениеусловии=анализкосвеннымиавто-невозмущенногоэтоначальномнепосредственныйнеустойчивоилиустойчивостиеслиж(*0)х°называютвид6.G.4)=просто,произвольномпри?, системуотимеетf(x),=Ляпунова.G.1))уравнениязависитдвиженияxдвиженияневозмущенноговообщеговоря,Гл.114Основы2.Однакодеформироваться.находитсяобласти,вW(x)бесконечноначинаях0—>5(е)>всех?,0?, х)не2.7.1зависитследствиеэтого7.2.положительнох2г/)любойI/20G.1),вкакрассматриватьрешенияправуюполнуюуравненияследует,предел.тоонаэтойнера-ж2i/2+^0имеембес-имеетt ограниченапоW(t,x)всвоихсостоит,xn(t)),гаргументоврешение1, 2,=G.1),еслииследующем.внекоторое—полнойявляетсяуравненийсилуп..
.,G.1)).x(t)уравненияПодставляях=иметьdV(t,x(t))dt,dV(t,x(t))fo(t,xi(t),. .dtтоифункцияДругоеУ(?,х,г/)функцияdV(t,x(t))какE<удовлетворяетфункцияdtТакуказать| х|предел,привформулыdV(t,x(t))Jtуравнениястремитсячастностиравномерночтоxn(?)}будемdV(t,x(t))0>функция{xi(?),. .,=tПоэтомусоставленной?,поэтойчастиx(t)fi(t,xi(t),. .V(t,x(t)),функциюх)h.^всехпридифференцируемая=привысший| х|сю,I/2).+говорить,V(t,x)правойXi(t)ТогдаБудемнепрерывно=V(?,координат.функциих<Следовательно,Она,очевидно,?.попредел.началаСмыслевмалыйto2(х2<равномерновысший7.4.Пусть<0,—>следующем.иV(t,x,y)<окрестности—можноопределеннаявысшиймалыйопределенной-^>Определениепроизводной?, x)определениябесконечновида0хto-вимеетх)>име-Функция+малыйбесконечноV(?,чтобесконечнообластиепо-х)приtпоравномернолюбогоположительноимеетх)t°>дляэтогоеслисостоитV(?,ПРИМЕРнеравенствамонанекоторойвявляетсятоопределенияфункцияЕслиограниченах,?,отизV(t,чтонекотороготакое,V(?,пределto, функциявысшийпревосходящихИзРис.tие.т.чтоговорить,функцияснулю,ккоординат.Будемопределеннаямалыйнахо-времяповерхностью7.3.положительнопривсеначалоОпределениеесли,онаограниченнойохватываетис,=имеетустойчивоститеориицепочкеx(t)равенствформулы,частьG.1)tпопроизвольнойVрешениеW(?,х),V(?,x),функцииточкеПолагаяgradпроизвольноеопределяющейпроизводнуюв—=IQy^—,.
.,^—[ дххдхпхQyЕ,xn(t)).Еп.можновычисленнуюуравнерассматвдольвУстойчивость7.нелинейныхW(t,x)функциюможнопредставить/силууравненийв=Vи+/*(*,—utобозначеназвездочкойфункциинеТеоремыЛяпунованеобA.M.обобщенияСначалаТеоремаспособомтеорем,былиавторамиЛя-функциисоставляюткоторыеПервыедвижения.изосновубылинихдоказаныобобще-разнообразныеполученытеорем.овопросдостаточныхG.1)движенияопределеннаячтотакая,составленнаявсилуV(t,x),ималыйвысшийG.3)этогоявляетсязнака,бесконечнопредел,тообластитривиальное(\\x\S?:сфераDXJопределяющейтакаяе)S?сферыпроизвольныйВW(x)указатьпроизвольноеt<S>г,т.е.функции,гдеt\—нанекоторый0чтотакое,x(t)=<гпри?,G.5)<^точкиаИмеем=atх<5в=<Так<еусловиюостаетсякакS?внутриS<ехивыполняетсяповедениеможноВозьмемг.удовлетворяющееоо.ИзучимV(t,x(t)).| х|приx(t)| ж(?)||времени.Пустьграни.сю).окрестностивG.1),траекторияt <нижней(to,интерваленеравенствомоменттопредел,0,G.6)>а=V(?, x)V(r,х)что?то^своейуравненияПокажем,| х(?)||<W{x*)времених(рис.2.7.2).непрерывные?]_,0решение| ж(г)||всех>высшийчтодостигает=функцииSчисломалыйприW(x)моментположительно—0.функциянепрерывностисилуV(t,x)какW(x),>0=inf\ х\ =е—ТакбесконечноW(x)W(9)>=2.7.2G.2).функцияV(t,x)V(t,9)гнастоль-Рис.принадлежитдопускающаянепрерывнаяповерхности0>е<цилиндрфункция,существуетНарешениеПустьчтоопределеннаяма-устойчиво.уравнениямало,знакопо-допускающейтаксисеипротивоположногоДоказательство.копределсоставлен-G.1),уравнениядо-высшийпроизводная,полнаяфункциейзнакопостояннойпо-V(t,x),малыйееуравнениясуществуетфункциябесконечнодопускающаядляЕслиЛяпунова.положительно<видустойчивости.возмущенногоаимеетиуказаннымрядрассмотримусловияхсtотчастности,всоставленнаяпроизводная,f*(x)gradV(x).устойчивостиэтихЕсли,полнаяВведенныеДругимидополненияитозависит=Ляпунова.сформулироватьЛяпуноваЛяпуновым.теории?,оттакжеV(t,x),транспонирования.зависятG.4),позволяютж) gradоперацияявноW(x)7.2.видевdVW(t,x)где115системприфункцииприx(t)=т<v(t)—t<=116Гл.Основы2.ЗдесьвзятонеравенствоVфункциипроизводнаянеравенствоотдогпобудемei,полнаятеоремыусловиюпроиз-Интегрируяотрицательной.постояннопределахвчтотого,силувявляетсяустойчивоститеорииполученноеиметьV(t1,x(ti))^V(T,x(r))<a.G.7)Если| х|?,=бывтосогласномоментt\времениx(t)G.6)решениеG.5)соотношениямидостигалосферыповерхностибывыполнялосьнеравенствоV{tl,x(tl))>W{x*)=a.G.8)G.7)Неравенствачтоозначает,е.тривиальное7.1.Еслит.т,Замечаниенесколькоисключаютнетраекторияt >всехприG.8)иG.4)уравненияW(x),постоянноотрицательной.которойпроизводнаяВэтомВдостаточночастномтеоремаслучаеуравне-функцииопределеннойэтогосилуявляетсяуравнениядопускает?не-решенияположительнов<теоремытривиальногосуществования| х(?)||устойчиво.формулировкатоавтономна,устойчивостипротиворечиепоэтомуиG.1)уравнениясистемаДлядостаточнополнаясферыдостигатьрешениеупрощается.ПолученноеS?,друга.другможетпростуюпосто-интер-геометрическуюинтерпретацию.выбереммалойх°точкух{т)условиюОнах°.=проходитначалаокрестностипроведемих°точкус=V(x)2.7.2).(рис.проведемиЕппространствахкривуюV(х°)Положимчерезкоординатинтегральнуюж(?),=вы-удовлетворяющуюповерхностьуровняс.G.9)=u(t)ПолагаяV(x(t)),=чтонаходим,^7(^X0,Z(x)гдепостоянно—интегральнойподвигаясьG.9)уровняна7.3.ПустьуравненияхфункциикачествеG.9),поверхностьюсе.т.системы,поверхностиуров-лежиткоторыхx(t)траекториязамкнутойввсена-времяобласти.этойПримерВизкаждаяявляетсяточкапереходитьлишьуровня,фазоваяtвозрастаниемможетповерхностьограниченнойвскривой,другуюобласти,находитсячтоозначает,u(t)Следовательно,функция.отрицательнаяЭтоневозрастающей.-х3у2-х2у3,=уЛяпуноваимеютдвижениявозмущенноговидх3у2-х2у3.G.10)=функциювозьмемV(x,y)=l-{x2+y2).Она,являетсяочевидно,производнуюCLVгЭтаизх=[-ж Vобращаетсях=0иу=о9х-вВ0.нульостальныхV]находим,41Г+вЧУееполнуючто[х3у2началеточках99419х2у3]-=9-х2у2координат,аплоскостихОуГ[х2также991+у2].каждойнаонапринимаетзначения.Таким1,образом,иСледующаяустойчивости.ууфункцияпрямыхотрицательныеЛяпуноваG.10),уравненийо+хх=—Вычисляяопределенной.положительносилувпоэтомуV(x,y)функциятривиальноетеоремарешениедаетдостаточныеудовлетворяетусловияасимптотическойЛяпу-теоремыусловиямG.10)уравненияявляетсяустойчивым.устойчи-Устойчивость7.систем117нелинейныхТеоремамалыйбесконечнопредел,бесконечноG.1)уравнениямалыйявляетсяИзЛяпуноватеоремыздесьВозьмемустойчиво.x(t)условиюопределимТогдачтопервойусловия=гдетпроиз-—времени,v(t)функциидляпри-V(t,x(t))=dVjtMt))=функцияэтаследовательно,будем0кatдругойрешениеG.2)).иметьатривиальноена-ж0,момент(см.to>ттотак-х°)худовлетворяющеефиксированныйпричемвопределенная,G.1)решение=бес-составленнаяследует,(to,точкуG.1)),х(т)уравненияначальномупроизвольныйG.1)которой,теоремыв уравнения=их),Поэто-произвольнуюG.2)цилиндреэтойусловийвыполняются.решениеж(?)Поэтому тривиальноеV(?,устойчивым.асимптотическиДоказательство.=полнаядвижениядопускающаявозмущенногофункцияпроизводнаяU(t, x) отрицательновысшийпредел,функцияестьуравнения,допускающаятакжеуравненияопределеннаявысшийэтогосилувдл«яEfc/шЛяпунова.положительносуществуетубываетмонотонносТакt.возрастаниемскак,стороны,вв*G.11)U(t,x(t))гдеограниченаотрицательно—снизуv(t)limПокажем,чтоВчислосамомбыудовлетворялонеаCгде2.7.3).ненуля.0бытоx(t)решениеt >Эточисло.область,всехприU(t,x(t))чтоозначает,| х|сферойограниченнуюфункцият=принимаетI>ибо0,U(t,x)функцияхприПоэтомув.=изИзобозначениеотрицательноG.11)[Jотсюдаа>0,иследовалочтонаходим,=G.14),определеннаячтопредположения,U(s,x(s))ds.тчтополучаем,V(t,x(t))=V(T,x(T))-l(t-T)прифункцияt >V(t,x(t))т.ЭтоCотри--I.G.14)=V(t,x(t))-V(r,x(r))Учитывая0,т<?<оо,G.13)положительноевлишьнульG.13).неравенство>ПустьчтовапрималоеswpU(t,x(t))Очевидно,а.G.12)неравенствопопадаетзначения.обращается>се=больше>/3>Следовательно,отрицательныебытьдостаточноx(t)(рис.ограни-условиюнекотороетраекторияMv(t)выполнялось\ x(t)\—v(t)функциятопредел=можетбыеслиделе,функция,определеннаянижнийконечныйимеетинеравенствопринимаетпоказывает,отрицательныечтозначения,прибольшомдостаточночтопротиворечитtусловиюфунк-118Гл.Основы2.(Vтеоремыпротиворечиеположительно—G.12)соотношениивv(t)limТакногоV(t,x)функциякакx(t)limТем0.=решенияЕсли7.2.зависятG.4),видот0.=тоотсюдаполучаемустойчивостьтривиаль-автономнауравнениеасимптотическойидостаточныеусловия8.2,теоремевозмущенногоVфункциикоторойвдви-устойчивостиUиявноневремени.7.4.обвопросПустьуравненияустойчивостиобщегоанализомпримениммыследовательно,и,определенная,системато-2х=+у,увторуюлегкосистемыможнопостроить.ВозьмемЛяпунова.теоремуэтойрешенияЕгорешения.вид-х-у.G.15)=тривиальногоееимеютдвижениявозмущенногохответитьпротиворе-нулюасимптотическаяаналогичнойПримерНаравноG.1).теоремой,даютсяПолученноеаV(t,x(t))lim=доказанауравненияимеетчислоположительносамымЗамечаниедвиженияфункция).определеннаячтодоказывает,устойчивоститеорииможноотве-ОднакоздесьфункциюУ(х,у)=1-{х2+у2)ивычислимееполнуюпроизводную—ТакимееdViобразом,полнаях(-2х=V(x,y)функцияпроизводнаярешениеТеоремапредел,чтоеемалойпроизвольнотогожечтознака,иПоэтомуV(t,бесконечнож),тоуравне-V(t,функцияможеттривиальноевысшийэтогосилусамакоординатсу-малыйвэтомприре-движениявозмущенногоиатривиальноесоставленнаяначалаокрестности.определенной,допускающаяпроизводная,функциейполнаязнакоопределеннойiу-положительноуравненияV(t,x),Ляпуноватакая,значениядляЕслиЛяпунова.являетсяуравнения,-2х=определенной.устойчиво.асимптотическифункцияу)-являетсяотрицательноG.15)системысуществуету(-х+-у)x)x(t)решениевзначе-принимать0=уравнениянеустойчиво.Доказательство.положительноДляфункция,определеннаяV(t,x)v(t,o)гдецилиндреh—постоянная,G.2),бесконечнодопускаетпостоянноесуществуетчислоt >причтотакая,непрерывнаямалый—0>t0,| х|шар\ x\<hполностью^пределМ(Ао)\ x\h,поло-—ф 0,.>хпри0такое,,лежитвТакфункция.знакоопределеннаявысшийVчтосчитать,е.т.o,[<ЛЬ)причемW(x)aW(x)>=будемопределенности—>0,то>toтакой,цилинд-V(t,x)какAqлюбогодляh<что\V(t,x)\^M,G.17)гдеt >Пустьусловиямt0| ж|иSтеоремы,—<малоеАо.число,существуетудовлетворяющеемоментSнеравенствувременигAq.<чтоСогласноV(г,х°)=Устойчивость7.0,>а=нелинейныхимея| ж01|гдев5.<Черезх°точкуг>(?)положимВпроведеминтегральнуюхкривуюх(?),=чтовиду,т(т\и119системV(t,=V(t,x(t))G.16)ж0)V(r,>выполнятьсяl rfY^IIfiG<181x(t)).соотношенийсилуro—функцияПокажем,0.>се=v(t)монотонночтопривозрастает,поэтомуиtнекоторомt\=>будеттнеравенство\ x(ti)\ВтосамомхрешениеТакx(t)=V(t,x)какC0>быбесконечноCчтотакая,продолжаемовысшиймалыйчтоследует,Aq<е.т.пределtпри| х|приtвсехпривправо,0,-^>т,оо.—>тоизпостоян-существует| #(?)Н^| х|неравенствобесконечноG.17)Ао.G.19)>выполнялосьбылоимеетнеравенствапостояннаябыеслиделе,^^°ПРИвG.16),^^°*^Пусть^Ч7Тогда,inf=первоеучитываяV(t,иметь0.х)^неравенство^ >ПРИ7^оV>0будемследовательно,и,/'t >приТакto,чтокакчислоG.18)соотношенийпротиворечитлюбое,0>G.19)иG.17).с'неравенствуEАоафиксировано,чтозаключаем,тотривиальноенаоснованиирешениесоотно-G.1)уравнениянеустойчиво.ЗамечаниеV(t,функцияВ7.3.x)былаПримердоказанной7.5.Пустьуравненияфункциикачестве=х2V=времяу2.2{х2-\-у2J.—какЕеТеоремаполнаяG.1)Красовского.ЗдесьдляЕслинайтиможнопроизводнаяв1)этогосилуV>0К;V=наних.движенияусловиям:0кизV@)чтотакую,удовлетворяет2)привелинекоторыевозмущенногоV{x)уравнениявнеустойчивымавторовотметимуравненияфункциюнепрерывнуютривиальноедругихЛяпунова.Ляпу-теоремыасимптотическиисследованияпостояннонеустойчиво.которыхустойчивым,теоремнивышевыполнениивре-принима-G.20)системывидетовопределенно,ниприявляетсяобобщениямразличнымG.4)условия,вкоординатДоказанныеМногочисленныенеустойчивым.является=представиманачалаЛяпунова.V{x,y)определенной,решениетеоремуравнениянеи2.7A)G.20)окрестноститривиальноедостаточныелишьрешениеилихотязначения,(рис.положительнолюбойввиду3.G.20)уравненийявляетсяV(x,y)Обобщения-х2у-функциюсилувПоэтомудаюту=возьмемочевидно,функцияположительной.7.3.ху2,+производнаяОна,принимает положительныеЛяпуновах3=имеютдвижениявозмущенногоЛяпуноваполнаясамафунк-знакоопределенной.хВчтобытребуется,нетеоремеК;=0,иееГл.120где<Кмногообразие—иоо,еслиокрестностичтотакие,доказательствовтеоремыгеометрическойV0>X!с2.7.5G.4),уравнениякоординат.чтобытоготраекторииуравненияуравнениеV(x)0)=принимаетвсехточекпротивномж,недолжнаце-содержитначинаетсяудалениеЧтобынеуказатьцелыхсодержитVатраек-постоянно—неV(x)которыхприкто0,=отри-тольконачалевмно-определяетвнечтокак0,=целыевтра-G.4)LЕбудет(У, gradточкиСК.ЕхэтойнанаходитсяПоэтомуненулевым.G.4)уравненияпроизведениепро-представляетизуравненияфазовомФ(х)gradвектортраекторийскалярноеэтомприсодержитисходящийМточкиуравне-получаемоеповерхностьтоLVскоростие.таковых.вектор,целыхтом,Еслимногообразиетраекториятраекто-(т.КсодержитповерхностицелыемногообразияG.4).Ф(х)КсодержитуравнениепредставитьфазоваявекторнеилитоможнонепринадлежностиусловиемногообразиюФ(х))неН.Г.Четаевутождествен-нулю.обобщениеДругоезаключаетсяоноЧетаева.координатпроизводнаяVVПример>0,втоего7.6.уравненияV(ж),ЛяпунованачалаокрестностиобластипринадлежитдляЕслифункциюнайтиможноЛяпуноватеоремыКрасовскийзаклю-существуетэтогосилутривиальноеПустьН.Н.Некоторыевобласть,гдеVтеории0,>малойивоесливсехимеютдвижениявозмущенногозадачиугодноскольполточкахнеустойчиво.решениеуравнениякоторойположительнауравненияG.4)движениявозмущенногодля=1959.иследующем.вТеоремагиз,траектоонавскорезначенияуравнениеоноуравнениемэтойеслиповерхности,равноM(x{t))тофункция,тождество,случаеКеслистороны,состоитотанализ.ввестивнормальныйтождественноточ-удалятьсякоординат.нулевыевзаданнуюКфазовая=t.сноваКвоз-будет(ононачаласодержитнепосредственночастности,пространстве,другойонадостаточнообращаетсяВтраектории.собойотследующийустановить,G.4),уравнениеВе.К,V(x(t))К.многообразиеДляполнаят.наиМПоэтомумногообразиеопределеннаяфункция,Совокупностьвозрастаниеммногообразиеположительно—схтраекторииx(t)траекторий)выполнимлишьэтомточкаэтокоторыхограничимсяприt.попадетточкивыполненииприидвижущаясяx(t)целыхатраекториипокинутьотрицательнаярешениеточка0,>координаттраекторииРис.будем,увеличениемM(x{t))точкаЕслиVтривиальноеначальная—V(x°)x(t),началаПустьтоокрест-2.7.5).х°возрастает0траекторийО,>t <^toпрималойпроизвольноне(рис.=условия,VнихПусть>0априводитьинтерпретациейх2Vтраекторийцелыхточкиуказатьустойчивоститеориинеустойчиво9).G.4)Строгоеееможнокоординатначалауравнениясодержащихнеточек,этомприОсновы2.видху2устойчивостиG.21)движения.—М.:Физмат-Устойчивость7.Вфункциикачествеху2=хиV(x,y)Вычисляем=полнуюЛяпуновау2V(x,y)—0>иVЭта2х(х2=Vгденеустойчиво.совскогонеТеоремаееполнаяокрестностиначалагдеКG.4)определеннуюпроизводнаякоординатVдляКра-уравнениянайтиможноV(x)функциюв^-7.6по--^истакую,этогосилуудовлетворяетуравнениявокрест-условиямt^<VК,внетосю,0=К,G.22)насодержащихнеточек,toприпримеретеоремЕслидвижениямногообразиеG.4)уравненияэтомвнеустойчивости.V<0—условияуравненийчтоКрасовского.ложителъноипо-всерешениеусловиямовозмущенногочтовыполнены0>хправойвудовлетворяетЛяпуноваи0,>гдеуравне-приТривиальноеОтметим,Линиямиобласти,на2х3.=положительнаЧетаева.Vсилув4у3ху2-у4.—Вычисля-Следовательно,у.полуплоскости,функция2уъ)+значенияхтеоремы2.7.6).Vфункциих2=разбиваетсякоординат(рис.0<производнаялюбыхG.21)началаокрестностьV(x,y)функциювозьмемпроизводнуюG.21):уравненийсистем121нелинейныхтраекторийцелыхтривиальноеуравне-устойчиворешениеасимптоти-асимптотически.Пример7.7.Рассмотримуравненияхифункциюопределенной,веепричемVвидеV(x,y)Ляпунова—{х=определенной,тополнаяуу2).+ТаккакОнаявляетсясилувVпроизводнаявторойвоспользоватьсяу3G.23)-ху-=производнаяу2J.—3?Д—(х2=движениявозмущенного+-х=положительноопре-уравненийG.23)являетсяотрицательнонеЛяпуноватеоремойпредставимаопре-непредставляетсявозможным.ПопытаемсяприменитьприравниваянулюНафазовойвыполняетсянапроизводнуюпервоеКОчевидно,G.23)уравненийСледовательно,([/,скалярноеФ)gradтраекторий=—Допредполагалось,сих-\-ху2ирешениепорчтоу)G.23)тривиальноерассматривалисьначальное{-х=+3?Дф 0,выполняютсявсеG.23)системынетождественноКравнонеКрасовского.теоремыусловиянуцелыхсодержитустойчиво.асимптотическиберетсяточкиу3}.-устойчивостиx(to)фазовойвидеgradФ)многообразиеаUскорости-ху([/,-\-у4вопросывозмущениеВекторвпроизведениех-\-Зу2системыПоэтому2у}.—лиG.23).представитьU(x,нулю:{1,=парабо-этойдействительнопроверить,системыможноВнепараболу.ОстаетсятраекторийФ(х,у)gradчтосистемыпри-0.=определяетG.22).целыху2—Кусловиенетх=многообразиеплоскостинайденномнайдем,V:Ф(х,у)параболыКМножествоКрасовского.теоремувизшарамалом,| х|т.^Ае.достаточнопредпо-122Гл.Основы2.малогорадиусаЛяпуновапозволяетгА.=ОднакоиспользованныйболееполучитьвышеобщиеустойчивоститеорииЛя-функцийаппаратОдинрезультаты.изсостоитнихвследующем.ТеоремавозмущенногодвиженияфункциюV(x),Барбашина-Красовского.G.4)удовлетворяющуюпроизводнаядвумусловиямсодержащихвсехрешениеПреждеG.4)чемРечь\ x\функ-VК—t <^toприустойчиворассмотрениювстривиальноецелом.Приимеютотме-примера,этойиспользованием7.24.условиязначениеприточек,тооо,иллюстративногосвязанноерешающеегдеК,науравнениякудовлетворяетмногообразиеуравнений0=оо,G.24)—>этихсилуасимптотическиобстоятельство,необходимостиоидетвозмущенно-определеннуюприК,внепереходитьЛяпуноватеоремы0<траекторийцелыхважноеодновVуравненияотметимоо—>которойхнеуравненияположительноусловиюV(x)полнаядляЕслинайтиможнотеоремы.второйдоказательствесвойствадватео-знакоопределенныхV(х):функций1)вокрестности2)изтого,началакоординатV(х)поверхностис=являютсязамкну-замкнутыми;Причто(хотяввыполнено,томожетначальныйразомкнутымимогутубывать,следствиемПример7.8.ТакимG.24)образом,авыпол-достаточзначениярезультатеx(t)траекторииG.24)условиетеоремы,неприМточкадоказательстваявляетсянеестественнымG.4).системек| х| .большихзамкнутыеВзначениямодулюусловиес,=изображающаяучитывать,поеслиV(x)координат.методикитребованиемПоэтомуповерхностиприначалукбольшиеприниматьанеобходимоцеломввремени).будут0.—>устойчивостимогутчтооказаться,стремитьсяявляетсяхмомент| х| ,V(х)малыхфункциибудетобвектора| х|чтоследует,задачиxiбы0,—>рассмотрениикоординатыдостаточноV(х)чтоПустьуравненияимеютдвижениявозмущенноговид2ж.2х2уВозьмемфункциюЛяпунова.хо.Ееполнаяпроизводнаянаследовательно,и,тривиальноерешениеположительноопределенная,вцелом.основанииG.25)системыаДокажемтеперь,ДляэтогосилувVG.25)теоремыЛяпунова7.2нерешениерассмотримявляетсяасимптотическиповерхность\/ [XU)—I——1 +X2тув—Qвидечтонаходим,(функияопределенной).отрицательноэтопредставимаустойчивоасимптотическиявляетсячтоуравненийVтривиальположитель-устойчивымнеявля-Устойчивость7.нелинейных123системGV1<с2=Рис.относительнорешаяили,чтонаходим,г/,УОтсюдазамкнутыми,асприследует,1>чтоРассмотрим=0при<(рис.теперьV(х)1 поверхности<сразомкнутыми—2.7.7будутс=замкнуты-2.7.7).кривую1У=инайдемкоэффициентугловойкасательнойкdy2x==-у--J7-.—о\2-G.25)уравнения=принимаютвид4,—2\2A+х2)УA+Х2JОтсюдавточкахк*=^ахСравниваяэтовыраж:ениекоэффициенткасательной2х=—{4 +kmнайдетсядостаточнобольшоедляк*1=—кположительноенеравенствох>а.-4\к*\<кG.27)прих2) 2Jкоэффициентомсж^ооЗначит,сис-траекториикG.26):,.выполняться4 +A+Х2угловойкривойнаходимG.25)системыкривой:)X~~г2х2хэтойкСьХAДифференциальныеG.26)Y^x^</с,получаем11.числоатакое,чтобудет124Гл.Основы2.РассмотримобластьтеперьG,гдегу>22.7.6)^—^,G.28)+2/3/A+/32JсоотношениюудовлетворяетХ2(рис.неравенствамиопределяемуюх>C^а,устойчивоститеорииОна4.<обладаетследующимисвойствами.1.ИзображающаяпересечьизнутрипересеченияG,M[x(t),y(t)]удаляетсяизвремя2х/Aх2J+4,<аПервое=^AG.28)),G.28).неравенствоИзаг/о)находитсявдольобластитривиальноесвязанныепочтовопрособустойчивостиСмыслсостоиттом,(8.2)(8.1).уравнениясправедливости такогоудовлетворительныеА.техибоскоторойона(ихделоможет0внерачтодоказывает,G.25)неявляетсясистемЦхЦвремяможет,-,приводитсянаходитьсяответынавремясчиталось,вопро-уравненияиЖуковский)Е.решениятривиальногоуказанныйздесь(заменаприемособенноуравненияхтакогоaупрощениярассматриваемойвсправедливо-вупрощения,дифференциальныхзаменерешенияусомнилсясущественныениН.тривиального"Конечно,кпомощью0.(8.3)разделялпервымвноситвнаСнелинейного(неустойчивости)(неустойчивость)этом:основаныприближения.иприправомерностьнебудетпоследнимуравненияA(t)y,(8.2)в)долгоекоэффициентыНоточкаG.25)согласноДлительное=-(8.2))величины.оправдывается,F(t,прикогдаслучаях,=бытьуравнениемначальнаясистемылинеаризованногоЛяпунов,заметив(8.1)постоянныеМ.справедливоF(t,x)(8.1)+устойчивостиустойчивостьследуетеслирешенияA(t)x=Цк^измнения,уравнениядругою,чтоGнелинейныхдатьчтотакова,утвержденийэтихвуравнениявx)об-определенияприближениюпервогосвойствамиF(t,функция0.>областисистемыуравненийУеслиG.25)1+ж2результаттривиальногоопределяетсявсистем.xполностьюоснованиичтоибопервомуудаетсянелинейныхповедениемнаЭтонеравенсистемытраекторияисследованиязачастуюс2.7.6).целом.вметодымоделивопросы,(рис.Cвыполняется>решениесоответствующихлинейной|fc|,>области2чтонеекоординат,0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
