Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 21
Текст из файла (страница 21)
.,постоянныерезультаты,1,2,. .=Jm=ll=сопря-C.16)регулированияабсолютноустойчива.Заметим,чтоустойчивостифактрешениявыполненныме.ОставшиесякомплекснопопарноПоэтомусистемучислатеперьC.16)решениявопросаусловийA1.28)анализенейтральнаодноpi,. .,psps+i,. .сопряженнымиC.17)помощьюприведенномвсистемачиселвещественныхположительны.длянужнысустановитьтого,чтотеперь,срединеобсампредполагалосьC.17).условиеПредположимт.ДостаточноКромесуществования.ихC.24)уравнениясистемы.,рп+ъиможнопоравнокакиудовлетворяющимипредставитьоднойпрежде,видеостальныепо-предполагаютсяусловиювпеременной,анулю,C.17).По-Гл.160/(сг),=йксистемзамкнутых/(сг),+-ркик=Устойчивость3./с2,. .,=1,+пC.27)п+1п+1rf(a).~к=1Докажем,коэффициентfccr, которая,чтофункцию/(сг)условиюлинейнойerf (а)еёик=1=0>E\очевидно,находим,00+Р00А(р)Еслизаписатьчленекакэтогоравное0-к00-к0-кРЗ0.=+Р..-кРп+1-0п+1полиномпобудетполиномали-вид03-02степеням+гкРккоэффициенттор,—1,равенСогласнооказывается0000рассмотрим(А).C.27)системаимеет+Р=-01старшемР2деле,классуТогда0.>уравнениерсамомпринадлежиткчтохарактеристическоеД(р)Вотрицателен.свободнымастар-прибудетчленомчисло,определителю000А@)0егопо0ТаккаккомплексныеД@)величиначислаРп+1-к-0п+1ткполучим-fc/?ip2..
Pn+i.=являютсяpn+iкр2то..строки,ps+i,. .,C.17),бытьдолж:на-к-0зпервойэлементамусловие-к00-02Д@)выполнено00=-01Разлагая0попарноПо0->pn+i..сопряженнымииГурвицакритериювеличи-Поэтомуполож:ительной.C.28)ФункциюЛяпуноваэтомввозьмемслучаевидевsп+1п+1^Z-^_|+_Pin,^^%2Pkm„%^-^гi=2k=s+lJoПри0>е\переменныхui,.
.C.27),к2.=ЕслибудетwiвыполнитьввсеC.22)жеVпонев+п2doперемен-вычисленнаявремени,ипредыдущемC.21)формулывыражениеследующиечтовид,частиоперацииполучимпопроизводнаятотправойфункцияопределеннаяееиметьвПеременнаяусловийположительноПолнаясуммированиелишьвместобудет,un+i,cr.уравненийсэтоГf(cr)начинатьсилувНужнослучае.неск1,=авойдет.полнойвычислениюусловия:производнойV,тофункцийПрименение3.( А1+А=О,^k+/?fc+^л/гакGа-f/3s+aЛяпунова161п+1XI2а/с+-Уfc=O,fc2,. .,=1,+пп+12л/га5+а+5^2as+a+—=0,a1, 2,=1.+n. .,C.29)Первоеизпозиций,жечто1X2,••ФункциякакэтаобращаетсянеVтоПоэтому,будетнанульявляетсяТакимтраекториейC.22)ВC.28),ивзаключениевккоторых(см.Таксогласнотео-ип+\=..).0=а=0=C.27),ней-выполняютсясоотно-s.замкнутойанализарегулированиясгсистемычтотом,2,. .,=то=устойчивостисостоитвыполненногопрямогосистему^n+iФунк-сг.i?n+i,целом.впеременной,и\под-,«n+i=C.27),решениеабсолютнойусловияоднойпосоотношения1x2при=..техпеременныхui,.
.,=системыустойчивымобразом,нейтральнойе.тривиальноеасимптотически<Х2,. .функциейпеременных(т.и\полнойявляетсяпостоянныезнакоопределеннойосиБарбашина-КрасовскоготеоремееслисрассматриватьследуетфункциейвосьусловиязнакопостояннойисостальныеC.22).C.29),^n+i,•,Уаусловияиусловиямподчинить/?i,определяетнихсистемырассмотримC.2))пilk/(с),~Ь~Ркик—С—/сСгЩ^/1, 2,^...,77/,г=1вкоторойчислаpi,.
.,сопряженны,комплексныФункциючтоиReэтомвможнок1, 2,=томвбезинтеграла.то,повторяяжеC.20),видеЕсли,частно-визложенныевышепостоянныхопределениядлякомплекс-рпps+i,. .,п.братьноустойчивой,чтопоказать,. .,нужноситуациях,собственноявляетсяанеотрицательны,случаевышерассуждения,получаеми0,>ркVЛяпуноварассмотренныхвсистемачастности,различныpsпричемпо-апai,. .,уравненийсистемупV2акдляСледовательно,достаточно,чтобычтосвойством,попарноанализируяуравненийк0,=быть=1, 2,.
.,п.C.30)C.29)системыC.30),обладающееaвещественными,достаточсвойст-темапas+i,. .,попар-сопряженными.Анализабсолютнойчтопоказывают,вобщемЗдесьуравненийустойчивости.овопросC.24)оказываетсяслучаелишьпримыограничимся(кп^(иливышеустойчивостиОднакоC.30)).результарешать,следуетрешение(обозримыезатруднительнымэтихуравпо-решения5).анализом=ПолученныеобластиструктуреуравненийсистемуполучаютсядвухдолжныasСкустойчивостиуравненийрешениеai,. .,комплексно+абсолютнойсуществовалочисла3.3.результаты-Рксистемывида1,2):PlPl+P2.C.31)Р2Pl+2a2^+2+Р2C.24),состоящейвсегоиз162Гл.Устойчивость3.01ичтоТребуется/?2, чтобыеслиеслиуказатьир\жетоai,иа\обладающееa2,такжеточисла,pi,Л/?2,свойством,тембытьдолжныа2сопряженныечислаудовлетворятьрешениевещественны,комплекснор2комплексноимелиуравненияр2ир\должныкоторымусловия,этисистемзамкнутыхвещественными;чтобынужно,иа\п2былисопряженными.РазделимпервоесложимнауравнениеИтогпочленно.можноар\,J/,-1полученныеир2результатывидевCLl2Vr1М1=0,+навтороезаписать\&2VPlо\пPiH2PiP2двалинейныхP2JИЛИf^+^+^V=r2'P2J(з-32)\PlгдеГ2КвадратноеC.32)уравнение^Р2нараспадается^^=r-Vf,+PiВычитаяг-^-^>0.piC.33)=^+P2Piизтеперь-Г-^.C.34)=P2первогоC.31)системыуравненияуравнениявтороеуравнение,получим°±-Щ+2V^aiP2/Pia2)-@i+02)-0,=ИЛИ)УpiВитогесистемапеременныехчтосначала,Вместосопряженными.искомыхиг/,определивновыхпеременныхгу(PiРазделивР2)(^2-\,+хУ2)C.31).комплексноисопряженновыевведемп2нак2)х2р\пере-(кх—видГ,C.37)+г(Р1=уJ—-\.C.36)р2)-0ъC.38)+02-получимР2,—л/г=р2)г-л/г=принимают2ж2ху(Р1+гу—C.35)ил/г-Г,==гН,Pi-Р2числокявляетсяявляютсяа\PiР2C.34)C.38)уравнениеAгдел/г=2ж-02иквадратнымравенствамиуравнения-0\числасуравненийсопряженныхих+вместесистемекомплекснохВC.34)уравненийэквивалентнойоказываетсяПредположим=r(Pl-p2)+fo-Pi.C.35)p/линейныхдвухC.35)уравнениемp2f^V^)вещественным.Есливвестикх-уPi+Pi-р2=гC.39)еще=Р2однуy/l+.,QQOxпеременнуюh?z,C.40)zпоформуле3.ПрименениетоуравненияфункцийЛяпунова163C.37)C.38)и2жможнозаписатьл/г-Г,=2жвидевл/г=г2-х2Г,+в.C.41)=ЧислоявляетсяиЭтовещественным./?iчисла/?2ибытьдолжныизследуетлибоC.33),условиякомплексносогласночис-которомулибосопряженными,вещественнымиравными.ПреждечемполученыОднакоНужнопредположенияхтотжеаг,анализукчторезультатпеременнуюсамымC.43).формулойлюбых+ул/к2=будетC.42)системавещественными.±хC.39)вг/,отбро-тойопределятьсяэквивалентначислахформулуучитываяпо-lz.C.43)-вразличныхисчитатьбратьгуонисопряженными.числа±хвеличинаСледовательно,Лурьетеоремуэтичтоотметим,равенствомC.42)положительныхкомплексновместоопределитьуравненияхвC.41),являютсяеслиC.36)zуравненийр2получается,кхТемир\соотношенияхвлишьотброситьпереходитьвир\C.40)(илихотябы(piр2C.44)),фор-жеC.32)системеф р^).приПрименяяприходимктео-следующемувыводу.ЕслиC.41)уравненияотносительнотоz,РешаяимеютсистемарегулированияC.40),системуодноустойчива.чтонаходим,(yf±r),Отсюдачтоследует,абсолютнобудетустойчивойвы-приC.33))(v^Полученныеe>o.системазамкнутая(см.условийвыполненииотно-решениевещественноеабсолютнонеравенстваr)>o,+r>o.областьопределяютабсолютнойустойчивостиза-замкнутойсистемыпространствевпараметров(перваяПример(см.Булгакова3.1)C.9)примерформойканоническойоднойимеют(см.АЗдесьсистемы+величину/?]_,уравнениятойжеft/?20,=чтоА2очевидно,системыслучаезадачивоспользуемсянейтральнойпоабсолютнойусловияC.29))положитькоторая,C.13),этомвпервойЛурьетеориейрегулированиятем,воспользуемсямыдостаточно/?2анализсЛурьетеоремевидиПродолжимсоответствииви,Согласнопеременной.устойчивостиустойчивостиБулгакова).задачаPir>pivp2?для=чтоа2а2--г02полученияПервое0.удовлетворяетнаходим,+из=0.C.44)условийуравненийусловиямабсолютнойC.44)C.28).устойопределяетИзвторогоод-164Гл.Следовательно,величинабудета2Еслиформулами,воспользоватьсяC.9)системыможноспридатьУсловието/?iж:е<системыC.11).С2.ОноОноC.13),тосис-этомунеравенству(- V>а-(е——С2-самое,Щ^>0.C.45)0 означает,собойпредставляетпостояннаякоэффициентыопределяющимивид-что0.>уравненийисходныхпараметрамиеслиC2Ъ2+системзамкнутыхвещественной,Ъ\или,Устойчивость3.чтоаединственноетаккакпреждеограниченияC2<Поэтому0.всегоустойчивостичтотем,лишьнаC.45)соотношениеабсолютнойусловиепримечательнонакладывает0,>параметрывнегонесистепостоян-входит[/,Z, Е,аиТ2.ГЛАВАПериодические4нелинейныхрешениядифференциальныхПричтоуравненийПериодические1.устойчивостисистемапонелинейнойх{xi,.
.=установлено,тообвопроссистемыAxdtгдебылостационарной,являетсяЛХследующихсистемприближениюпервомуприближенияпервогоустойчивостинелинейныхавтономныхрешенияанализееслисистем,хп},"'¦¦:),A.1)собственнымирешаетсязначениямиАматрицысле-вслучаях.собственные1.ВсевещественныезначенияАматрицыимеютвеществен-отрицательныечасти.бы2.Хотясобственноеодноэтойзначениеимеетматрицыположительнуючасть.вещественнуюВпервомтривиальноеслучаерешениеуравнения§АхA.2)=atустойчивоцелом,вA.1)уравненияэтоме.т.большихпроизвольнооноустойчивоасимптотическивозмущений,начальныхаустойчиво,асимптотическиотносительнотривиальноенелинейноееслипроизрешениеуравне-F(t,x)слагаемоепритребованиюудовлетворяети.,A.з,ВопривторомтомжестемнулевуювообщеАналогичнаяимеетситуациясистемыкорнейустойчивостиимееттеориинелинейнойэтом,некактоитомвпоказанодлявхарактеристическоечистомнимыеВосистемытривиальногонокорни,всехэтихобвопрослишьокрестностинели-приближения.когдаслучае,частью.анализомниже,устойчивостипервогокритическими)решаетсязначениесобственныхобвопросимеетназываютсянеустойчивоостальныхсистемойвещественнойонисистемыПриместоположительной0,решаетсяприближенияпервогосне<pjA.2)собственноеодноачасть,Reговоря,быхотявещественнуюусловиесистемы,уравнениееслииF.функциичтовыполняетсяA.1)уравненийрешениеотносительнооказывается,имеетpjнелинейнойоо.тривиальноепредположенииАматрицызначенийt <<случаеВместеприближения.?, toпоравномерно(вслучаяхустойчивостиприближе-первогорешениянемогут166Гл.A.1),зависяткоторыеколебанияопределяютВотпараграфеэтомтакихпостроениемрешений,неилизависит(какЯсноусловийсотПериодические1.1.Будемdaх/iявноx(t=параметра,всчитаетсяt\системы(есликачествекоторогопроцессеобласти/i0=A.4)уравненияотмереапараметр,техрядов,одногоименно/i,которыерешений.выполненииусловий:следующихпомалойипериодическоекрайнейсходимостьаналитическимихпрешениеПоэтомупериодическихxi,.
.,A.4)системысоответствуетДругойобеспечитьприявляютсяпеременныхб)присистем.частипоt\.взятьчтобыбудемFiавтономныхправыезависитможнорешенияа)функцииинтерес.n,A.4)времени.существует)построенияэтинесомненный. .,ж(?,/х)=моментмалым,вСтроитьчтохрешениюоно1, 2,=того,силупроизвольный—достаточнопоявляютсяВеевремени,гдеэтойрешениеiпараметр.от/i),ti,—=Fi(x1,. .,xn,i ),числовой—зависятполучениеуравнениями1)описываемойсистемы,что'—^которыхквазилинейныхрешенияповедениерассматриватьA.1).позиций),представляетКакслучаев:двухуравнениивпост-A.3).дляпрактическихрешенийтакихсуществованияразличнысисусловиеF(t,x)функциятаксвязанныевопросы,принципиальнотеоретических,опреде-A.1).выполняетсякогдарешенияt нелинейнаярезультатызависитуравне-решенияуравнениемнекоторыепериодическихоказывается,нерассмотриммырешенияТакиеописываемыхсистемах,системнеустойчивые)иливозмущений.начальныхнелинейныхвнелинейныхрешения(устойчивыепериодическиесуществоватьуравнениявПериодические4-жточкиокрестностивырождаютсяижп]_,.
.,\±линейнуюв=fiвнекоторой0;системуk=lпериодическоеимеющуюЕслиторешениечтоокажется,его(p(t)=ТеоремаПуанкаре.а)иб)ауЕслипри\±0=периодомТ,тоеерешение,изаписанноев<р@)=удовлетворяетусло-. .,n,A.7)l,2,=начальному+решение,записатьрешениесоответствующееXi@)можноA.4)уравненийiиa(n).A.6)+<pi(t),=периодическоеТ,отпериодическоеXiсимеетотличенсистемаимеетТ.периодомA.4)будетговоря,Ti=Tусловиямсуравненийсистемавообще7\,периодхгаи1, 2,=условию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
