Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

.,п,видеXi=Xi(t,аъ. .,/i),ап,г=1, 2,. .,п,A.8)будет:1)аналитическимотносительноапai,. .,и\±длямалыхзначенийэтихвеличин;)уравнениями.Взадачахпостроенияпериодическихрешенийудобнеепользоватьсяскалярными1.Периодическиеизусловий2) периодическим^однуизних,\±Доказательствопрактическимисходящихся<pi(t)=+Следуетчтоотметить,гдечтосе,е.т.этазависит<р*(ТнеСлагаемые(I+каждойприДлянеa)+n)tнейA.4)уравнений(fik(t)стемt)+астоитпериодомудовлетворяютipik(t).=чтопотомуA.10)женеговоря,+частиВполучаетсяимеетA.10)решениеразложениеsin=t-\/хfitпорешениядаютсостоитвряд+периодическогоачастичныечтоГAсуммыря-решения.решенияпри-A.4)системапреоб-аизмеренияfti/i+времениЗависящаяПоэтомупараметра.+сначалаовыводрешениеискомогопериодичностирешения.=равенствазамены1+этоговажныйиспользоватьединицейэтогочастипериодическогопутемстепенямправойпериодическоетом,всистема,Тее..получаетсяприближенийОнвременипоРазложиввычислитьоT^()рядвОтсюдарекомендуетсяноваявt +/х2,.

.)(/х,представленияискомого/х).+?sincost.построенияпериод2тг/Aпериодвозрастаниемсобственномукразлагается(оt\Xi(t):вообщеipik(Ty>i(t),(l+/x)?Ляпунова.преобразуетсяберетсярешения=Xi(t),A.10),правойнепрактическогоприемитогечтотем,системырешениеприближенноA.4)Ониприменяетсяединицупостояннуюилинеожиданным,необходимостиприA.10).времениai,. .наОбщностьнулю.функцийстепенисуравненийсистемыa,/х,A.9),получим/х,неограниченночтоопределяющеепараметрафункцийT+=вsinпараметраsinрядоваA.7),параметра.степенямтом,пред-1, 2,. .,A.10)=функциипериодичностиказатьсяфункцияНапример,растутможноустраняетсяA.6))изt)+а/х,этогопо+гравнымфункцийдолженпараметрастепенямA.4)неопределенностьпериодичностьследуетправыефактотпрактивыполненииприпериодичностиотсчетаточастиравенствамЭтотограничимсясистемыфункцийпериодомA.10),неговоря,+функ-A.5).принимаетсяXi(tТA.9)п,.

.,произвольно.(свидев(/?г(?)условийизначалопериодическоевообще2,что. .,—неизвестныхвыбратьможно+системыanjтем,выше)Если/х,Однаковосстанавливаетсяпредставитьмаломнапример,ai,шлаfi2<p2i(t)найтиуравнений.числачисел+числотребуетсякоторыеречьаотметим,A.8)№ii(t)вырожденнойрешениеизвсегорешениедостаточноприпериодическоебольшебудем,неПреждепериодическое1,аналитическиерядовXi{t)ап,как=нуль.приводитьприменения.теоремывидевнулю),втеоремыееусловийпредставитьоднонайтиможноапai,. .,равнойап,обращаются0=этойаспектами. .,величиныгнапример,длякоторые/i,всехеслиа,а1,. .,ап,/х)-жД0,а1,. .,ап,/х)=0,+(положивфункцииA.6),периодомспериодичностижДТ=систем167автономныхрешения/i2/i2+.

.)•вот/хвеличинакоторойа168Гл.ТакоепредставлениефункцийОбщаядляколебаний/цкоэффициентовпредлагаемойбудем,аПоэтомуТребуется1.1.при/хсвязанавобщейсформеуравнениячdtпериодическоеврешениеуравнения^Дляперехода«собственному—?—кгкгде2тг/Т=t-\-СьХCbA.12)XCbXо=Решениеэтого^Aгдеу?(т)•J•A.15)Тогда\/l2/i2+)"Л..••),•Aftx/x++/i2/i2+..J.A.14)видеWi(r)A.13),++а/xV2(r)+^i(r),•—..••,A.15)функции,подлежащие2тг.периодфункцииПодставляя+в<р(т)имеютA.13).уравнения+..+)-\..виде/i2/i2уравнениякоторыеfti/X+ищем=+=+уравнениярешениеопределению,•/i2/i2+ft2/i+вftx/x+х{т)—,о\9записать+к,7о\1fti/i+2fe2(l^-drможно,Aar-772"at^уравнение/ц/i+решения,.,—к=at2)полагаемпериодическогоСьХиЫA=ачастота—0.A.13)=времени»=1—k2x+вA.14),уравненияJ..^=получимL/drdrкоэффициентыПриравниваячастяхуравненияэтогоЭтазаменароли.отличается^2(г)?A.11)•множителем•/хвлевыхидифференциальныерекуррентные^i(t),отстепеняходинаковыхприполучаему?(т),относительно)принципиальнойуравнения,правыхуравне-•2тг,ма-примера.dx\,V0 вырождается=ипростогорешение7о„/fc2/A.12)'^Jздесьсравнительнопериодическое+которое/i,ееприводитьпостроитьdt2погромоздкаанализомсРханалитическоепозволяетпериодичностиусловиядовольноподробнымограничимсяПримерA.1)системывыполнятьпроцедурыпреобразованиями.малоинтереснымисистемA.10).разложениив(ржсхеманелинейныхрешениясобственныхпериодавыборомнадлежащимнеПериодические4-который,очевидно,неиграетприн-Периодические1./i°Прии,получаемip(r)следовательно,Так<р(т)какнайдетсясистем169автономныхрешенияA=cosявляетсямоментБ+гsinг.периодическимвременитрешениемt\=такой,dipобщности,нарушаяобразом,можноф{т)качествевПриравниваяи,всегда0.Такимr=t0t\чтосчитать,выбираем0,=ф{т)решениеA.16)уравнениивто0.=~dr~НеA.17),уравнениячтокоэффициентыВпоэтомуиA=cos=т./х1,приполучаемследовательно,+ОбщееiА\=cos+sinг=,/(Acost,-^А2/i—Joпредставить/cos1+Условия—/можноуравненияБ1+гAhcp=этогорешение(г)(p/JoT2^sin(rsГ5)—/(^4видевcos5,ds+/cAsin5)Asms)sins—(rsin—5)ds.3)периодичностиdrdrприводятуравнениямк/»2тг-1/»2тг/2hiAcossJoкsinsds=—^Jo/»2тг-i/2/i Af (As,—kcosds,/»2тгcos2Joк/sds=—JoIf (AcosAsins,—ks)sds,cosилил2тг//(Acos—/cA5,5)sinsinsds0,=/i=/hiПервое«отбирает»изуравненийтерешенияZJ\.7TrbA.18)определяет(p(r))уравнениеЭтихусловийA.12)впереписатьсоответствиисввиде—/cAsin/(Acos5,Jqсистемыs)cosA=cosA.4),итемсамымдва,таконоrПуанкаретеоремойsds.А,постоянную1тобытьдолжнополучимсистемувторогопорядка.какеслиQ\170Гл.порождающегорешениеA.17),уравненияA.12).уравнения(частоту)Полагаяформу.обозначаяиочерезмаломдостаточноколебанийчастотусистемпериодическоедаетрешенапоправкуприближении.приближениипервомвA.18)изпервомвимеетсякоторыхуравнениесистемынелинейныхрешенияоколоВтороеколебанийудобнуюиПериодические4-Емунелинейнойможно(ча-периодболеепридатьA.18),системынайдемпри/хUJfc(lft)1 +<или/>2тгиоСтойже/к—-=степеньюточностиио2AкСледовательно,х(т,получаем/х)cos+гf(AформулыcosAiА\/х<cosA.18).произвольные—BisinrМетодомвуравненииприближения.A.16),получаяОднакоприпрактическогопервоевысокогопорядкакоторыйпростомПусть1.2.ик2х+ClCкоторое,очевидно,Есливвсемудовлетворяетформальнопракти-получениявторого,напроиллюстрируем(/?(?),функциисоднимрешениемитем<?i(?),жеэффективныйПуанкаре.теоремыразложении=<p(t)^2(^Mm(t)+••тоДля+будУт•периодом,A.19).уравненияпредложил0,A.19)=.

.A.20)+какопределеныA.20),рядвкоторомфунк-периодическиебудеточевидно,условийвыполненияметод,/xV2(t)периодическимА.Н.Кры-периодичностиодновременнод.требуетсяприближенийА.Н.Крылова,построенияусловиямсоставленномx(t)/хж3т.нарас-уравнением+—А.Н.Крыловтретьекогдасодержаниеописываетсяпроцессd2xфункцииэтогостепеняхбудетметодомпроцедуруЕгопоследу-Дляпримере.ПримервсевсевозможностиДля>,hi/i)t.—второе,пользоваться+s)dssinвычисленийприближение.упрощаетdsформула-fcDприменять,приближений.последующихи—/cAs)одинаковыхограничиваетрекомендуетсясущественнотретьего5,—системы.рекомендуетсявтороеили(tполучитьнеобходимыхЕгоsin=последовательнообъемметода.лишьболеегможнообстоятельствоиспользованияпостроитьуравне-определяютсяпоследующихэтомприАинелинейнойприэтомЭтолавинообразно.нарастатьhicosформулойрешениякоэффициентыприравниватьнужно5Г1Ляпуновапериодическогоcos/ /(AJo)fc?с/А—тaсвязаногКрылова.приближениярешения2/i—постоянные,время"Метод1.2.следующую:sds.cosпериодического-\-тIJo"Собственноепоследующие/хBiибратьs)sin1формуламиsds.cosможно—kA5,+где5)sinвидевA=/—kA5,приближениепервоеA.12)уравненияj0cosэтойвместок2=f(AспостроениемПериодические1.A.20)рядасистем171автономныхрешениястроитсяпоразложениемаломупараметруискомойквадрата/хчастотыр2Имеяточностьюввторойдостепениэти/с2/х2++..решение(включительно),/хx(t)Подставляякщ+периодическоеполучитьвидук2=A.19)уравнениясточ-находим=выраженияA.10),уравнениевбудемиметьd2(p2(t)Приравниваякоэффициентынулю(p(t),функцийотысканиядляу?2@истепеняходинаковыхпри(fi(t)следующиеполучим/х,уравнения:A.22)dt2d2(p2dt2Начальныекакусловия,иж@)Теперь-^А,=A.22)уравненийрешениевозьмемпримере,предыдущемввиде0.=должнывудовлетворятьусловиямШ.о.-аA.23)dtПоэтомупервоевофункциювтороеизуравнениеcos3ptчто=d2Vi——z—\-dtz\4ОтсюдасЧтобыпостоянную/i=выбирать-PJol\—былифункцииследовательно,hi=ЗА2/4.A3cos3Подставляяфунк-этуЗpt.имеемАЛА3J4cosptcos3pt.s)I\А33A/i—-A3]периодическимиТогда--А50=4будемcosps—cos3p5ср,У4J4чтобытак,cospt.получаемAh!и,—cospt),1+A.23)/ sinp(?cosptAh\A=f \(8эти\piусловийучетом(flit)9Л7pAhi(cos3pt4A=получим=—cp(t)дает\-p2(fidtУчитывая,A.22)A.22),изуравнениеиметьпериодом1следуетds.постоян-172Гл.Такимобразом,приближенииимеетпериодическоер2к2=ДляA.19)уравненияА3+/i(cos6приближения3ptприбли-первомвpt),cos—можноd2p2—о—1~записать2/ЗА6Р^2полученноеIимеловыбратьнужно\ЗА2Н9уравнение/г2итогепослеcp(t)преобра-некоторыхвидевI Ari2^ВфункциинайденныеподставимA.22).системыуравнениепостояннуюptcosуравнениеэтоЧтобыA=второготретьевпреобразованийрешениесистем3/iA9/4.+получения(fi(t)инелинейныхрешениявидx(t)гдеПериодические4-pt^cosopt.cosпериодическоечастотойсрешениер,чтобытак,ЗА5Следовательно,согласноиA.23)условиямчтонаходим,А5Значит,своприближениивторомA.23)условиямиx(t)ПриA=этомимеетptcosпериодическоеА3Т5АТ-\-/л2 2о(cosАрJАрJ.3P^колебанийP=fc+4^-128^V=изполучаетсяРассмотренныеточностью(cos^р^±р^^~~определяетсяQQЛ4^)cos*уравнениемр2,можноегоиможнорешитьфор-воспользоваться^Т.A.24),уравненияпримерысистемыколебанийсоответствующейеслиправойеговчастиположитьчастоту,ликолебания.такиеДлявозмущенногодвижения,периодическоерешение,окажется,взявавзатемчтовопросанужносоответствующиеиспользо-нарешениеуравнениянайденноедвиженияневозмущенногоисследоватьтривиальноеколебавыяснить,Ляпунова.выписатькачествеестественноэтогорешениятеориинеобходимосначалацельюЕсливышенелиней-свободныхчастотыПоэтомусистемы.изложеннойрезультатыС этойототличнуювырожденнойколебаниясвободныечтопоказывают,иметьмогутустойчивырешение.A.12)уравненияк.нелинейнойиспользоватьU АотносительноооО.пОокотораяА^24+вычисленияхформулойрpOжеквадратнымпрактическихприрешениеcos"~тойсявляетсяуравнениеОднакоcospt).-видчастотаЭтоточно.Gtустойчивостьявляетсяихасимптотическитривиальное2.Методустойчивым,системылинеаризации173гармоническойтосоответствующеесистемыциклом.чтокаждаяОднако,чтоучитывая,системыМетодРазнообразныеприменятьсостоитПримеромуправлениятакогокоторойтипа=Axсистемуправляю-устройства,этогомоментвсяследовательно,и,являетсяоказываетсянелинейнаяспециальнаясчетрактеристику,чтотого,изсоставленнуюОднаколиний.прямыхуравненияA.4),характеризоватьчтобыметодитомвовопрос/(<т)собственныеипрактическом=BxпостояннаякоординатаЪматрица,векторах=={xi,.

Характеристики

Список файлов книги