Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

.,функцийсистемыотличенЕслинуля.?),тоучесть,легкопоказать,hn(t)что/цчтоопределительДляУсловиеявляетсятеорему1.3можно[Joеег-мГрамаE*(t)W*(T,t)W(T,t)E(t)dt.A.14)сформулироватьследующимpt.По-решенииобразом.урав-получе-/i (t),. .,s).матрицыФ=cosееКоши.чтоозначает,векторприметодомW(t,rA.13).чтоформефункцииКошиматрицулишь—времени.отметить,находитьнужноиспользуяотрезкеизложеннымканоническойк=условияследуетсистемуправляемостисделать,ГрамаПоэтомуанализу,приводитьлюбомнавыполнениипридинамическихh±{i)—sinpt,=независимауправляемаследуетнезависимостиопределителемвполнеуправляемостидвиженияполученияhs(t)—rcoskt,линейноA.11)Подводявопроса=функцийсистемасистемаПоэтомуfi2(t)kt,——sin=hn(t).линейнойопределительстолбцомявляетсямат-опре-192Гл.Теорема1.2.Управляемость,Длятого[О, Т[,наотрезкематрицыA.14)был1.3.Областьтесночтобыотт.спонятиембудемифункцииспомощьюu{t)ЕLд.)т.?2@,котороеТ),азадачи,эт00t^начальнымDuизобычнонеко-описыва-функ-являютсядопустимымибытьможетТ,^(физическим,математическиеслимножествосконкретнымНапример,т0u(t),функцииопределяетсясодержаниемA.5)=0.A.15)считатьобычнонеравенств.заданонеравенствомпостоянная.некоторая—ВОноDu.множестваописываетсятео-вопросовдостижимости,уравнением3/@)инженернымважныхрядаобластиописываемыйпроцесс,управленияминекоторогонеособой.управляемости.рассматриватьДопустимымиматри-быламатрицарешениипонятиеуправляемойвполнеопределительэтаПриусловиемгдечтобыиграетбылачтобые.достижимости.связаноA.3)системануля,рольидентифицируемостьдостаточно,ибольшуюБудемнаблюдаемость,необходимоотличенуправлениятеории5.будемдальнейшемDuчтопредполагать,удовлетворяетследующимусло-условиям.Во-первых,непрерывноеуy(t)=u(t)A.15):функциякаждаярешениеA.5),задачиfty(t)=Во-вторых,f(hi)=Joлинейныйопределяетot\h\-\-нормированномуA.5)которых/чтоA.15)когдаслучае,A.16)длясистемыТеорема1.3.Du,E0T,^Еп,Еуt^сформулироватьиуравнениемудлячтотакое,вf(t,y,u).=томслу-Однакообластисвойствозамечательноедоказатьсистемывсеху.нелинейнымможно:нормиро-условиюможноописываетсялинейной=L^линеалеуправляемойудовлетворяетопределениепроцессналинейномуХ^.u(t)управлениеаналогичноезаданныймножествоУ(Т)Ясно,Еназываетсяфункцияему/,n,A.17).

.,достижимостисуществуетсоответствующая1, 2,=полномуследовательно,условиемизкаждогогфункционали,непрерыв-соотношениямиdt,Множеством1.2.начальнымопределяетнекоторомуХ^ОпределениесK(t)<t)принадлежащемпространствуDuEограниченныйanhnj+..u(t)/однозначноW(t,s)B(s)u(s)ds.A.16)JoфункциякаждаяDuЕдости-достижимости.линейногоЕслиDuметрическогодвуму1соотношениемиA.17),и1^)у2соответствующиет.имполногоудовлетворяющееХ^,достижимостимножествоПусть—множествозамкнутоепространстватоусловиям,Доказательство.авыпуклое—указаннымизамкнутоиточкиu2(t)—изЕп,двадопустимых=уг(Т)=[JoW(T,t)B(t)u\t)dt,ввыпуклоуправления,соотношени-определяемыее.угливышег=1,2.Еп.Управляемость1.ТаклинейныхDuкакu\(t)являетсяХи1^)=A.16),формулеV\(t)=JoX)u2(t),—можноI\f JoJoдалее,чтомножестводо-замкнутость.{у71}обла-принадлежат{un(t)}последовательностьэлементовуlim=Такyn.п^ооnl,2,.

.A.18)=какук{ук1,. .,укп}еЕп,=к1,2,. .,=записатьfc-eПоэтомусоотношениеВыраж:ениячастяхнормыБанахакаждыйXhfk{fk}f(hi){иj}Du.фактeЭтотанализачитатель) См.,-С.может117.hn(t),Хана-навсепрост-сохранимпрежниечтотого,/предела{ик}/справедли-последователь-выбратьможноподпо-h*(t)u(t)dt,слабойсвойстваиспользованиемрассматриваетсяучебномвкурсеПоэтомуимеяопустим,сКрасовскипнапример:116,мытеоремеИзслабогоматематиков".теоремыСогласнопродолжитьh*(t)ukj(t)dt=с"прикладныхдлядоказательствазаинтересованный/JoJoнекоторое/i (?),.

.,чтотакую,j^°°функциона-функцийоперацию,этупоследовательностидоказываетсямножества,можнозначенияЭтиyiизlimУг=| ufc| x*=Выполнив=чтоподпоследовательностьhi(t).Ahсуществованиечтокакфункцияхфункционалов.следуетпоказать,u(t)| /fc|продолженныхдлятакого,Остаетсяfk. .,п.рассматриватьнаоболочкенормы.A.19),равенствопоследовательностиэтих1, 2,=можноформулойфункционаловсохранениемобозначенияформулвидевглинейнойнаизсзаписатьфункционаловопределяютсяпространствоможноэтихопределенып.A.19)1,2,.

.,=K(t)uk(t)dt,Joограниченныхфункционалы, очевидно,ихA.18)f=правыхвлинейныхг/с—>ооизУг1968.W(T,t)B(t)u2(t)dt.означает,W(T,t)B(t)un(t)dt,Joуг=Ишук,стиЭтоегосуществует{У1,. .,Уп}еЕп,=можногдесогласнои,чтотаких,Усправедливоfпоследовательностие.т.Пусть,ауправлениеDu(l-X)X)y2—теперьсходящейсяэлементыA+Докажемуп=[тоочевидно,чтопринадлежит+Xy1=выпукло.DuтакжеW(T,t)B(t)u1(t)dty\(T)достижимости,из1,<=Следовательно,ПустьА<записать=области0W(T,t)B(t)ux(t)dtдостижимоститомножеством,выпуклымA+систем193нестационарныхвН.Н.поТеорияуправлениячастьзаключительнуючтовиду,ознакомитьсянимбикомпактно-функциональногоприжеланиидо-заинтере-литературе3).специальнойдвижением.—М.:Наука,194Гл.Критерии1.4.полнойможноусловия,перевестирассмотренииинойНассистемы.Внет.илиперевестиэтомж2.внасх1уп-системаможножелательнох2иуправляемаинтересует,Следовательно,принес-всостояниявполнеинтересоватьслучаех1Однакорассматриватьконечноеинеконкретномизсистемуприходитсяпол-управляемуюсостояние.заданноевопросначальноеможетпорезультатыкоторыхзаранееэтотЗаданыплоскости.управляемойлюбоеввышевыполненииприсистемконкретныхнесколькоидентифицируемостьИзложенныеуправляемости.даютуправляемостисистемунаблюдаемость,Управляемость,5.нельзяилипере-критерийиметьуправ-управляемости.Будемрассматриватьсистемуxвкоторой=A(t)матрицыиA(t)x+B(t)непрерывны.zW(?,гдеs)Кошиматрица—ВведемМатрицузамену,положивпараграф1W(to,t)x,A.21)=уравненияУКоши0<?<T,A.20)B(t)u,можноA(t)y.A.22)=представить(см.видев2)гл.W(t,s)=Y(t)Y-\s),Y(t)A.21)гдеизлинейноматрица—находим,ххW(t,to)z=dW^)z=учетомA.20)уравненияA(t)W(t,ПервыеслагаемыеуничтожаютсяииzТеорема1.4.z1состояния"тогдаиправойto=вкогдаПриB(t)u.+соотношенияпереводиткотороеz2z2вектор—взаимноzW(to,t)B(t).A.23)=состояние/приtz1лежит=A.23)системуtoti,T,^t\<областивсуществует,значенийизсо-ли-одноэтомуправлений,изz—любоерешениеB^BUfidt.A.24)Jt0единственный),поформулевидуравненияДоказательство.значенийимеетBl(t)z,A.25)=<P0(h,t0)zобластиперевод,этотосуществляющихu{t)u(t)A(t)xполученногоB^t)Фо(*ь*о)=обязательноto)z.преобразованиялинейногогдеW(t,+относительно:u(t),0^to)z=частяхВг^)щ=тогда,толькоto)zуравнениеУправлениеtприA(t)W(t,=W(t,+получаеммыПоэтомуполучаемto)zлевойвto)iотсюдаA.22).уравненияследовательно,и,щ^+atСрешенийнезависимыхчтоz2-z1.A.26)=Достаточность.A.24).оператораПустьТогдаудовлетворяющийA.25),уравнениюB1(t)u(t)dt=векторсуществуетполучим/Jtoz2векторA.27).Определивz1—zнаходится(необязательуправлениевУправляемость1.линейныхСледовательно,изСzz(ti)ве.z2состояниеtПустьz1состоянияполученныйпереводитстоящийоператорабудемего.

.,ur(t)}Нпроизвольныйv(t),функцийпредставитьгдеEr,ag(t)_LсогласноЯ,=-\-[t)zjdz2zгдепроиз-—u°(t)управлениеможноиO.=z2-z\z1—областипринадлежитзначенийпре-доказана.управляемости).х1состоянияu*(t),Управлениеtприto=когдатогда,толькообластипринадлежитподпрост-B*(t)z,=g[t))[l.zo)=вектор(критерийизтогдасуществует=получаемТеорема1.5A.20)u(i)выделимЛеви,теореме[t)A.28)иФ(?о,?].).Теоремазначениее.т.A.24),формулесистемуL^o^i)v(t)видеГ B*(t)B(t)dtz°преобразованиякакфункцийВвТогда,A.27)соотношенийсогласносистемуинтегрируяиz1.A.27)r-мерныхJt0и,переводящеерассмотримB*(t)g(t)dtИзв0(х°,х1)векторпереводящеех2состояние=tприх1=t\,су-W(ti,t2)x°—преобразованиязначений(tbt)]dt.A.29)Болеех*еслитого,решение—уравненияМ)хтоu*(t)задаетсяДоказательство.матрицыкBi(t)=(см.0{х\х1),A.30)A.23)A.23)),и-B*(t)B(t)x*.A.31)A.21),преобразованиеПрименяявиду=формулойu*(t)приводимto=B(t)u(t)dt,представимыхЕг.z2-Еп.ueчтоtпривидевz°какг[=пространствоизz\A.23)равенства,L^b^o)евклидововекторсостоянияуравнениев=этогопространствоподпространствоdtчастиL(u)визТакследует,иметьлевойвотображающегоz1.—равенстваi/°(t),ПодставляяB(t)u°(t)Интеграл,этогоуправлениеz2.результат,линейногоz{t\)=изсистемусуществуетсостояниевA.26),тоt\.=Необходимость.из<Po{ti,to)zполучаемA.25)приГ=Jtoуравненияуправлениеиметьz1-отсюдаизт.будемz(h)=A.24)определяетсяz2,=z(t0)-формулыучетомвекторA.23)уравненияz(h)систем195нестационарныхприменяем1.4.теоремуA.24)преобразование'W(to,t)B(t)B*(t)W*(tt)dt,можноСогласноA.20)системуопределениюпредставитьпри-матриввиде196Гл.онаследовательно,и,Остаетсячтопоказать,егоA.31)A.20),A.29):переводитФо(?ъ?о)находим,W(t,s)B(s)B*(s)W*(t0,^(^1^о)-—изсистемуКошиформулепоидентифицируемостьматрицейссовпадаетуправлениеуравнениевнаблюдаемость,Управляемость,5.вх\Оста-Подставляях^-чтоptix(t)W(t,s)Матрицаx(t)\xljrW(t,t0)=W~1(t1s)W(s,=?),томожнож*условиюполностьюотсюдаполучаемt\=A.30).уравненияx(t\)ПоэтомутеоремаиЖ2,=доказана.ВзаключениенаиВместеусловия.ссвязанаисоТеоремааитемдостаточнопростоподходамиизодногооснованасиспользованиемпозволяетдоказательствадо-линейныхуправляемостиболеенасинтезаобщихсоображенияхоптимальногоипе-управления,состояниязаданногоследст-управляемости.втакжедругое,заранеесостояние.заданноеРешение1.5.обратнойзадачизадачипрограммноеформеиu(t,x),=Будемt\=K(t)xх[A(t)=x(t\)условиютакогопостроениятипаt^toкогдаслучае,существуетСм.,Фобратнаяматрицанапример:Гантмахер—неособеннаятребуетсяпомощью^ti,вt.временивмоментобрат-линейнойчтотакая,управлениех\=ЕслиТеорияпсевдообратнаяпотребуетсянамквадратнаяФ.Р.за-х2.управленияФ~г.однако,выбиратьдостижимосx(t0)матрица4).Впрактике,Кошизадачи=мымоментA.20)x1=B(t)K(t)]x,+жесистемыK(t),x(t)решениетотвx(to)матрицаопределяетДлях2состоянияНасистем,управлениесистемысостояниеначальногосуществуетудовлетворяющеезадачу,u(t).=носостояние—чтоизеслисвязи,тухгдеговорить,tвремениобратнойжеиобрат-линейныхдлявидеврешатьлинейнойпомощьюдостижимостиуправлениеприходитсязачастуюсдостижимостиРассматриваясвязи.строили=обкритерий1.5достаточныеважныезадачиееалгебраическийсистемусвоианализезадачиформальное,иимеетуправотличаетсяиг,лишьзадачиСпособТеорема=отличие1.5игеометрическомрешениявполненеобходимыерешениюанализа.дляпереводящегоэтоуказаны1.1кнасистем.основойОднакотеоремA.26)rank^(to,ti)чтотом,1.1.изполучитьстационарныхслужитввытекаетуправляемостисистемакоторомслучаефункциональногоаппаратасостоиткаждаяоснованакритерияпридругомсвоими1.1этоготеоремевтом,визусловие,Оноуказанныхпосколькуследствия[to, ^i]-отрезкеусловий,отдостаточноеиуправляемачтоотметим,необходимоеиt=видевприестьx1-W(tuto)x°(t1).=решение—A.22).W(to,s)B(s)B*(s)W*(to,s)x*dsY(t)W(t,s)гдеПоэтомупредставитьГФ(*1,*о)ж*ПоY(t)Y~1(s),=уравненияA.32)формулуs)x*ds.A.32)W(t,s)видеврешенийикакJt0независимыхW(t,to)W(to,s),Так/-представималинейноматрица=t^x1W(t,=матрица,Фжематриц.——5-енеедляпрямоугольнаяилиизд.—М.:Наука,всегдаособенная2004.су-Управляемость1.линейныхквадратнаяПустьматрицаФ,матрицыразмерностейхтгхгиПрипрактическомбратьрекомендуетсястолбецкоэффициентами,матрицыматрицВиС*СФбудетСиимеетвекторы.Рассмотримнеособенная—уравненияВквадратнаяобщемчтоегохстрокииФдляСледовательно,псевдообратной1)фф~^~фможеткоэф-сизкаждаяизкаждаяявляютсяматрицыФ*.В*ВматрицлинейнымиИменноэтоопределениюстрокистолб-псевдообратнойназываютФ+матрицуФ,свойством,темФ+.черезматрицеОд-множество.обладающеекомбинациямирешениепхп.размерностьбесчисленноеФ",=мат-произвольная—иметьдолжнаXэтогорешениемФкогдаслучае,XоднообозначаютпокединственнымоказатьсятолькостолбцыиВматрицарешенийсопряженнойтоФ.=искомаяп,существуетнихматрицейXтакихслучаесредистолбцовкакФ.A.34)=матрица,матрицатразмерностиОднакоВТакуравнениеявляетсяматрицатореко-произвольныйматрицыС.ранг,ФХФФстолбцовматрицывысокийВматрицыТогданеособенной.являетсяЕсли{bik}=чтостолбцовкачествевэлементамимаксимальночтоВтакие,комбинациейлинейнойГоворят,матрицыуказанынезависимыеявляютсякоторыеуправления.г.рангаВС.A.33)=ФразложениилинейнолюбыееслипсоответственнопФзадачхтобрат-разнообразныхееинекоторыхразмерностиразложение{ckj}=решениивназы-свойстврядомалгебревэтомвтакпостроитьобладаеткотораяпримененийФсимволиможноматрицФ+,потребуетсяонаматрицы,такихважныхнекоторая—скелетноеСобратнойимеетдлярядНамФнематрицуимеетиприложениях.даноонаОднакосмысл.псевдообратнуюназываемуюобратнойматрицыитоматрица,теряетслучаесистем197нестационарныхпхпразмеростиназываютесли:ф'=2)существуютUматрицыVиФ+способПрактическийчтотакие,иФ*=Ф*У.A.35)=псевдообратнойпостроенияФ+матрицысостоитвследующем.СначалаформулетребуетсяA.33).ЗатемЛегкодействительновидеПримерскелетноеразложениенайденныхчтопроверяется,являетсяA.35).найтипомощьюФматрицыВматрициСпоформу-псевдообратнаястроитсяформулепоматрицасПриобразомтакимпостроеннаярешениемA.34)уравненияидопускаетэтом1.3.Пусть1-1Ф=|-122-301-1101матрицапредставлениеФ+действивви-198Гл.Рангэтойматрицыстолбцадванаблюдаемость,Управляемость,5.Примем2.равенФ.матрицыо\A.43)формулесогласно1)(Ф*)+2)(ф+)+3)(ФФ+)*4)(Ф+Ф)*В(гг*л-1{3/'будемНепосредственнойпсевдообратнойсвойства(ФФ+J(Ф+ФJФФ+,Ф+Ф,==ФФ+;=Ф+Ф.частности,вФA.37),1) квадратичнаяквадратнаятоматрица,этоурав-решения.приближеннымнаилучшимуравне-решениемесли:форма\ у-ФхГ=Lfc=lг=1своеговекторнаименьшегожозначенияимеетпоказываетсявэтогочтоФ+=хо;всехсредидлинувекторов,минимизиру-Фх\\.—заключениехпринаименьшую\увеличинуотметим,интересуравненияу.A.37)=точногоназываетсяхорешенииприособеннаяимеетнаибольшийуправления,матрицыилинеговоря,ВекторВпростейшиеследующиезадачахвпсевдообратнойпрямоугольная—вообщеКако1/J0(Ф+)*;=Еслиминимизирующих~устанавливаютсяФх2)Л/з_'=Ф*;приложениях,достигаетпервыематрицы:рольуравненияВматрицыиметьпроверкой=представляетуравнение,столбцовкачествевТогда0иидентифицируемостьалгебре,этотпоопределяетсясвойстванализакраткогоявляетсявекторпсевдообратнойприближеннымнаилучшимформулерешениемxq=матрицыматричногоуравненияФХгдеЕ—Возвращаясьтеорему.единичная=Е,A.38)матрица.кзадачамуправления,докажемследующуюважнуютео-Управляемость1.линейныхТеоремаЕсли1.5.A.29))формулуA.20)системапереводитизсистемучтотакова,неособеннойявляетсяФ'(to,матрица\to,t\),t Евсехприu(t,x)tсистем199нестационарныхmoi) {см.фор-управление-Б^ф-^ьф;A.39)=х1состоянияtпри=0^toвх2состояние0=приt1(t0<t1^T).=Доказательство.Длячтопоказать,представленияA.39)управлениеA.31),управленияОбозначимегоявляетсяж*u°(t,x),х°гдерешениее.т.u°(t,x)—всегокоторомвчерезэтогодоказательстварешение—Соответствующаях2при=-B*(t)W*(to,t)x°,A.40)=этомужехтраекторияуправлениюх1W(t,t0)=х1.A.41)=xQ(t)=A.20)уравненияКошиформулепотопредстав-A.30)уравненияуравненияопределяетсячтоформойположимФ(Ьиг0)х°или,достаточноутвержденияинойлишьx°(t)самое,W(to,s)B(s)B*(s)W*(to,s)x°ds-W(t,to)[x1=A.42)<!>(t,to)x0].—Имеемгдеft!Учитывая,W(to,t)чтоформулуA.42)W(to,s)W(s,t),=Ф(^,^о)следовательно,и,можнох°+решение—W(to,t)<P(ti,t)W*(to,t).форму-ПоэтомувидевчтополучаемФ(^^о)=записатьУчитывая,W(to,s)B(s)B*(s)W*(to,s)ds.A.41),уравненияокончательнополучаемформулуxo(t)=^(tbt)W*(to,t)x°,A.43)траекториюопределяющуютеперьВычислимвчтостановитсяследуетA.39)управлениеA.39),уравнениеA.39)Замечание1.1.особенной,то,братьиЕслиэтойнаA.40)=Ф(?]_,?)матрицаматрицубратьu(t,x)A.38).Вычис-ПодставляяфункциюОтсюдаследует,приполностью=Ф+(?]_,?),-B*(t№+(tut)x.A.44)tзначенияхформулет.A.43)доказана.каких-тосоответствующейвпсевдообратнуюуправлении—B*(t)W*(to,t)x°.Теоремасовпадают.естественно,притраектории.ixo(t,x°(t))получаемуправленияA.20)уравненияе.вместостановит-ФвместоA.39)(?]_,?)следует0.200Гл.х°ЕслирассмотренномнаФ+(?ь?)сФматрицыформулуПоэтомугдематрицей(см.A.45)A.33))Ф(?ь?)можнозаписатьA.43)управлениеL(ti,t)A.40).с1.4.из—рассматриватьх23?отвремя1приtпри=—=?оu(t,x)ВэтомW(t,to)случае1,=2^t*t^ : t ^$;з,J 4.системыизпомощьюобратнойвместоматрицыA.29)Отсюда*"легколяемана^-увоспользуемсяприближениеПоэтомурешениянаходим,Jti)0Дляt^онаопределяетIb2(f)dtпри3<t<4.t^^4,хо-управ-1.6теоремойстроимфункциичто3вполнеПоэтомучто/ [it10 приЗначит,4.^определениятем,b2(t)dt.=проверяется,отрезке/уравнения_ска-получимсистеманельзя.A.44).2ние=Ф(?ьчтоследует,какпользоватьсяриссо-всвязифункциюь?)тя,ж1состояния-K(t)x.A.47)=скалярнуюtх2.О,=4c?i=поэтомуирис.хнеуправ-4,A.46)5.1.2)<этой?доJA.45)чтоозначает,состояниевявля-1 ^ : t ^переводе0=^3приозадачуза0несистему:t<(см.приtнеуправляемую00Будемх1формулойопределяетсяLуправлениеещесостоянияb(t)u,=0состояниеимеемскелетноеМатрицапоэтомуиследующуюb(t)A.36))определяютвидеврезультатсистемуРассмотримb(t)функцияуправле-B(tut)C(tut).=полученныйпереводит(см.СиC*(ti,t)(CC*)~1C(ti,t).=хгдех2.A.20)матрицыБпреобразования,ОднаконеПримеррассмот-в-B*(t)L(tut)W(t0,t)x°,=тождественногосовпадаетисостояниевуравнениягдеобозначениевведеноA.43)псевдообратнойu(t,x(t))являетсякакх1состояния-B'(t)<P+(ti,t)W(to,t)x°.A.45)=определениемC*{t1,t){CC*)-1{BB*)-1B*{t1,t),разложениеизвидсоответствии=A.40),уравнениерешенииемупринимаетидентифицируемостьсистемуu(t,x(t))Втопереводитслучае,соответствующемA.44)управлениеA.41),уравнениятеоремевОднакорешение—наблюдаемость,Управляемость,5.управле-Ф(?]_,?)наилучшеевос-Управляемость2.линейныхТакимобразом,систем201стационарныхA.44)управление0при{0этомвимеетслучаеt<ПодставляяэтоуправлениехтраекториюемуA.46),можноx(t)Еслих1(-Kxit)(-JlиВификсированныйДоказаннаядаеттеоремысвязанокоторые1.6.теоремойсистемПустьуправляемыйразмерностейихппипроизвольный,—хпгбунонеобходимыеформулирует1.1нанеобходимостьюстолбцамиB.1),системыполнойовопросB.1),Однакозаранеедостаточныеэтом/i (?),.

Характеристики

Список файлов книги