Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 30
Текст из файла (страница 30)
.,векторЗначит,векторов.в<V2всехможновыбранныйЬ]_,. .,столбцампоследовательностьтакогоD.13)при..перебиратьдостигнемD.13)исистемазаранеевыбранным&2> АЪ2,кнесистемевуправляемостиполиномомЕслипере-Ъ\и.+системевзамкнутаяхарактеристическимве.т.мат-цельювидАхполной4.1,этойпроизведембудемпокапор,комбинациитопримет=Мматрицыn,=онаусловиетеоремытак,матри-СМматрицевлинейнойчторезультатевыполненорезультатамиматрицамногочленатехдовидевхнееастолбцыокажется,0.=е.видуAVl~1h\,представимиг=..фазовый—т.виду.6Г},векторовЕслихп}управляема,каноническомукЬ]_, АЪ\,.
.,предшествующих векторов.{xi,. .,=минимального{&i,. .,=еебазисныхпорядке:AVlh\,вектораВприведявыбораДляследующемстепень—приведемвидевстолбцов,хвполне{iтD.13)представимперестановкуасистемап.системуВматрицу^7Пэта=Здесьп.п,управ-Ви,D.13)+управление,чтоМимеетАх=векторное—Предположимвектор.теперьуравнениемх=Рассмотримуправлением.описываемыйпроцесс,идентифицируемость=ао\кЬ+D.14)Ъ2,изi^nизоставшихсяэто..АматрицакомбинацииМматрицыаоз^з+имеет+видм=\е1еввм2ввм3Л*/1где@\0Аиз~1Ъ3.D.14). .,можноформе:следующейalJ[_11AUl~1b1А63,линейнойвидевстолбцовв+AV2~1b2,. .,представим*\0001000*0100*001*/..•••+а^-1,з^1/3~1&з-этихпредставитьвек-Свойства4-вполнеоднакоуправляемыхкаждойуизлинейныхстационарныхэтихсвояматриц221системАналогичноразмерность.определяетсяВ:матрица/1в=0*..00*..000**010**001*..00*..\0Здеськоэффициентамиобозначены*символамиаг^8Пример4.3.отличныеот**/величины,нуляко-определяемыеD.13).формулыиз*\0ОРассмотримуправляемуюсистему,описываемуюуравнениемD.15)ВэтомхарактеристическийслучаеполиномА(А)аминимальныммногочленомявляетсяе.этомвтслучаечтонаходим,Ъ2полнойрезультатов,Ь^полученныхформуПолучив02D.15)системыможно=с3.учетомзаписатьрезуль-каноническуюпоходной=^системыприведениядлясистемые.форме,каноническойкст.векторнымуправлени-4.1.результатобратнойвидепреобразованиемспособтеоремев20утвержденияНеобходимыйуправляема\6доказательствууправлением аналогичногоуправлениеАВ}Тогда-4-81практическийк4.2,примера/0=изполучаетсявернемсяrank{?>,базиса.качестве=системы:fzA?2hОнаврешенииприуправляемойбратьмож:ноАЬ2=выполняется:здесьуправляемостиЬ]_, Abi,степени(Л-2)(Л-4),=вычислениямиВекторывид2.=НепосредственнымиУсловиеимеетвторойполиномф(Х)т.Аматрицы(А-2J(А-4),=получимсвязикоординате,ивКх=адвазатемСначалаэтапа.чтобытакое,воспользуемсяпостроимуправ-быласистемазамкнутаятеоремой4.1.222Гл.Итак,пустьполнойнаблюдаемость,Управляемость,5.D.13)уравнениивАматрицыВиудовлетворяютусловиюуправляемостиА™'1гапк{Б,.
.,Случай,когдавТеоремавыполняется4.2.длясчитать,rank{^,D.13)чточтосистемаивектораD.13)системалюбого••Arn~1bi}•,не{щ,. .,=вполнечтотакая,нииг}.т.е.выполня-Вматрицыпосто-существуетсистема(A-+zBKi)zЬгЩ+управляема.Доказательство.Длячтоследует,Мматрицевстолбцов.независимыхРвозьмемопределенности{Б,=ПустьнеособеннуюАт~1В}АВ,. .,будутэтогИз1.=D.14),векторыбазенаD.16)условиялинейнопсуществуютнеза-которыхпостроимматрицу{Ьъ=AUl~1bub2j. .,. .,Обозначим,далее,построимматрицуAU2~1b2jчерезSчтоматрицыоГ^О,-е2,=п.D.17)гразмерностиlи3—{(WA^i+^2+^3единичной1v^—Покажем,хп.гразмерности=А»3-гЬз},b3,. .столбецг-йе^ь>1-е3,0^~0}D.18)К\матрицаSP~X=удовлетворяетусловиямтеоремы.Вт.самомКхЬхе.--. .,BKJhсрангомуправляема.(АОтсюда-А^-ЧгКг)(АВ=-следовательно,bxВКХ)^Вег-Ьх=(A—АЬ2,+отмечены..
.,слагаемые,пред-векторов.BKi)b\,. .,равенb2 +=предшествующих{buматрицыAv^+..символоми,. .,находимкомбинациюР-е2,=Кравенстврангматрицыв.=чтоследует,KxA^~4xв,=(А-ВAbuлинейнуюобразом,К\матрицы=этихсобойТаким=ВК^+ЧгчастяхправыхпредставляющиеопределенияКХА^-2ЬХK1AUl~1b3. .,-е3=(Асовпадает0,={АВизделе,K1AUl~1b2вполнеn,=управляемауправляема,biстолбцаненулевогоKiматрицавполнеп.D.16)=Ъ^ такой,компонентеПустьВ}D.16).условиеТогдапостояннаябудемвзятойотдельностолбецестьПоэтомуоднойпоВматрицерассмотрен.ужеиидентифицируемость(Ап.Поэтому—BKi)U3bi}системасовпа-хгСвойства4-вполнеТеоремаф(Х)ф(Х)является+-•+7n-i^n~1•К\Пусть4.2.теореме(А-=Построимпока—выбрать(А4.1).теоремуоВКг)Ьъ-чтоКК±=R,+(А=тВК\—4.4.ПустьМинимальныйсистемасвязьвтеоре-видеКх=D.17)заданамногочленПоэтомувыполненыВзаданныйимеетхарактеристиче-уравнением\оТогда0матрицыD.17)О1\/1\/0\10\оможноv\bi=v^=^з==01?а/о\0ТакимК\SP~X===А(А—1)(Атакже—D.18)оo^ОО10>имеетвидS.образом,1(0-11-110),11(\и2U2из>)1=/000100\о10() (х2\,2),3.равенЬ2=,матрица5=1следовательно,^(А)D.19)взять={bub2,b3},что{В,АВ,А2В}=/«Л4.3.i)\о)\оочевидно,видМтеоремыматрицы/1имеетслучаеРанг3.=условиякачествеР=этомвтследовательно,А-ВКг=мож:но(см.тп}обратнуюполучаемbim)x—{mi,.
.,=Ли,п,=полином.Примери,дока-—Rx,=теоремеВК^'Ч^-строкиD.13),системазамкнутаяv(t)глепредыдущейпохвыбораитакую,характеристическийкак(А. .,счетполагаяК\х,—о..уравнениязаПоэтому,v(t)=Такмногочленпроизвольнымкоторойсуществованиеu{t)постоянные.характеристическийтотакая,=неопределенныегапк{ЬькаждогоКматрицауравненияматрица,оrriiсуществуетВК)х.—управлениеRдлятоуправляема,^nполиномомДоказательство.ввполне+характеристическимхдоказаноD.13)система7o+7i^=систем223линейныхстационарныхЕсли4.3.полиномачтоуправляемыхD.20)224Гл.иrankjfri,{АBKi)b\,—наблюдаемость,Управляемость,5.{АBKiJbi}—Это3.=идентифицируемостьчтоозначает,системаD.21)вполнечтобыПоэтомууправляема.обратнуюполучитьсвязьD.22)которойсоответствуетсистемазамкнутая@)-сзаданнымхарактеристическимD.23)(kuk2,h)полиномом,воспользоватьсянужнотеоре-4.1.теоремойПусть,замкнутойчтобытребуется,например,D.23)системыбылф(Х)Корнями^(А)уравненияДля=А3=04Л2+D.23)6Л+Aiявляютсясистемыприведенияполиномомхарактеристическимзамк-многочлен4.D.24)+А2—2,==1 +—формеканоническойкАзг,будем—1=г.—пользоватьсяобозначениями/1.IА=\10-1[0Ъ=10,1—11/\0;det(XEТогдаиА)—минимальный=a3A3+многочленВыполняемa2A2aiA++совпадаетпреобразованиегдеa0,а0det(Ai^с—1,=—а\2,=а2—3,=а31,=А).координат:следовательно,и,D.25)0-1ВD.21)системарезультатепреобразуетсяквидуD.26)обратнуюВведемопределяютсягде7гТаким~~коэффициентыобразом,D.22),связь(см.формуламивдоказательство=5,4.1)D.24):полиномак\которойтеоремык^=щ4,=-bzi/сз7о=-7,4z2=акоэффициентыкг4, 7iуправление-7z3.D.27)ki7г-1=—6,о>%-ъ—72=D.22)определяютi—1, 2, 3,4.принимаетвидАсимптотические5.идентификаторы225ПодставляязамкнутойэтоуправлениепеременныхвD.25)преобразованияпомощьюполучимуравненияzi,Z2-,z3\О1О0-4СD.26),уравненийсистемувсистемыО1-4-6этузапишемсистемуфазовыхисходныхвхпеременных/хг\(\-15-2-6(хх\D.28)АналогичноопределяемилСовокупность—Чтл—D.29)||=определяетзамкнутую-72-10обратную\-16\ х20D.28)связьсис-в(xi/ \х3/0систему9Q^определяют0-1котораякоординатах:1 вто(A—'и2сзаданнымхарактеристическимD.24).полиномомАсимптотические5.соначнемстационарнойнаиеевходвизаиE.1),\хизвестнымЗначенияЛинейнаяизвестнотого,функциизначениеОнополучаетсяхвекторадинамическаяназываетсях\\еп—результатевx(t)=этойвсистеме0—>идентификаторомприинтересныхрешениемзадач,Мыидентификаторы.Ограничимсязадачисисте-оо.—>практическитакиеанализировать.займемсяtкоторыйвыходомсистема,асимптотическиммножествонаходитьболеетемименноКроме—векторы.t.времени0.E-1)t >определению.5.1.еслиn,ситакжемоментх,Существуеттребуетсякоторыхu(t).с*ж,=bСчитаетсясистемы.подлежатсигналсистемы=являетсясигналухпповедениемОпределениеявляетсяЬи,+конкретныйнаблюдениянеизвестныАх=системакогдаслучая,скалярныйподаетсяразмерностивоздействиекаждыйвходноеy(t)матрица—простогоИзучениесигналом.входнымскалярнымнаиболеесхАЗдесьидентификаторыИдентификатор5.1.идентификатороваисходныхв9тоА-D.20)управленийD.19):системеD.27)управлениеприбудемнеописывать,ихтеоретическимилишькото-решениипостроенияавопросами,идентифм-асимптотическогокатора.всюЯсно,информацию,динамическаянаблюдаемыхА,матрицучтоивE.1).величинахкоторуюмыдолженописыватьсяисигналимеемиu(t)=ву—оE.1).системеу=долженуравнениис*(х—х).учитыватьонотносительноуравнениемВо-вторых,необходимоВо-первых,идентификаторатакогопостроенииприсистемаучитывающимвиде,чтовходитьвследуетучестькакх,этоуравнениерассогласованиедина-учитывавтомжевГл.226Такимобразом,выходомееможнозаписать?ВпервомвыполнениеобеспечитьсистемыE.2)E.1)системевуравнениясделатьE.1)системысвеласьE.3)уравнениябылоТеоремаE.1).системасидентификаторАобеспе-хх=х,—тосвидевидентификатораI такого,чтобысис-тривиальноерешениеустойчивым.заданаидентифицируемаялинейнаяидентифика-собственныхнаборомочевидно,числа,стационарнаяасимптотическийеепостроитьзаданным{комплексные/с*—положивасимптотическогоможнопроизвольночтобытак,(А-1с*)х.E.3)вектораПустьТогдассю.—>идентификатораасимптотически5.1.tпеременной,=определениюсистемойc*x.E.2)=выбратьприуравнениепостроенияк0—>заменуполучимзадачарезультате/ нужноx{t)\—&Вyвектор\ x{t)условияЕслиучетомl(y-y)+bu(t),+этойуравнениилинейнойявляетсявидев(A-lc*)x=идентифицируемостьидентификаторпосколькутож,наблюдаемость,Управляемость,5.входитьмогутЛпнаборAi,.
.,чиселвэтотматрицытолькосопряженными).попарноТакДоказательство.двойственностипринципакакzвполнеПоэтомууправляема.параА*матрицE.1)системаидентифицируема,тоимеютсиcvE.4)+Еп(см.видОA*z=пространствев/ОО10010\-а0(р(р)А.матрицырп=В+базис,существуетan-ipО..\/,0\О..О++..А00характеристический—с*строкаиПустьтеперьВстепени.0cpi0рп=соответствии(Зрп~1-\-+..4.1теоремойс=-an-J1..матри--1О..многочлентак:запишутсяс*ОО=-а2матрицаОкоторомв0-аn~1базисеэтомсилуD.8))сгдевсистема+(Зпвсистемепроизвольный—E.4)п-ймногочленвыбратьможнорегу-регуляторvчтобытакой,системаz(р(р)имеласвоимтойпожегдещтотеоремаДля^,числакакэтого,определяющиеизследуетI,векторследуетправилуРг-1=коэффициентыА*матрицы(A-cl*)zE.6)многочленом.4.1,теоремыk—=характеристическимдоказательствабрать-l*zE.5)=—доказана.~OLi-l,г1, 2,=характеристическогоcl*лА—1с*имеют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
