Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 28
Текст из файла (страница 28)
.,т=—Лагранжа-Сильвестраполиномаинтерполяционногоа&(?),амногочлена,1,—мат-А.матрицыC.8)ИзC.9)иполучаемm-lк=0обеУмножаяполученныйчастирезультатсоотношенияполученногоаД?)набудемТ,0 доотпределахвинтегрируяиполучен-иметьгтгп-ок^гyj(t)гдеj-я—0,=компонента. .,m-I,вектораy(t),a1,. .,г,=Cjj-я—строка(ui.Uk)C.10)соотношения(ceo,+CjXао)^ж0(аш_ьl,=2,можнозаписатьв-\-.
.(ao,am_i)cjAm~-\-a^CjAx0(am_i,виде+^-i)^^^(am_i,+..=(ceo,2/j),x=Аотличенкоэффициентовизоткакон,CjArn~1x°являетсяполученныхурав-ГрамаопределителемСледовательно,am_i.сео,. .,единственноеCjX°,. .притакнуля,функцийнезависимыхимеет(am-i,yj),. .,r.Определительуравненийе.т.Ui(t)uk(t)dt.Jooti)CjAx+/=={ jС,матрицыобозначенияВведемТогдаjлинейноC.11)уравненийсистемарешениет—1т—1сзхо=YlSik(otk,yj),с^771-1^0.
.,=^Smk(ak,yj),11, 2,=г.. .,fc=0fc=0C.12)ОбозначаяC.12)соотношениям(с*,(а, Ъ)черезж°>=можно7,ьскалярноепридать•••,произведениеавекторовиизi^n,соот-вид(А*^-1^,*0)=J7,-ш,=1, 2,. .,где?тг—1ьк(ак,Уз)>Ъ3=1,••-,?,г=1, 2,. .,ш.C.14)г,C.13)208Гл.Согласнос*определениюС*(cj,. .,=ТакимстолбцывсевходятскалярныеC.13).соотношенийТеореманаблюдаемана^чтоq3.2.Дляпредполагать,чтобыC.13)xo)изВыделяя(sPn,.
.,jPnjC.15)матрицалинейноили,достаточно,равныйранг,(sPl,xo)получимОбо-п.S.матрицев=Выде-7PS•••форме,скалярнойf х\наблюда-вполнеиимеетуравнения,вбыластолбцынезависимыесоответствующие=C.8)необходимоТ,^будемзадачах.п.равенПустьt^соотноше-дальнейшемпрактическихC.7),0частиВmr.=всистемабылsPnsPl,. .,черезqбываетвремениДоказательство.ОбозначимравнообычночтобыC.15)матрицыА*™-1^).левыеочевидно,этоотрезкеранг(А*т-гс1,. .,определяющиетогопроизвольномзаписать(С*,А*С*,.
.,А*т-1С*)C.15)какп,можноиматрицыстолбцов,этихС*,=произведения,ЧислоидентифицируемостьматрицыА*™-1^. .,5=встолбецj-й—<),образом,наблюдаемость,Управляемость,5.s^xl++sftxl+..7P1,=C.16)Таккакоднозначноопределяютсялюбыхпричтолинейно7Pl,компонентычерезполучаем,5Pri5Pl,. .,векторыразрешима•системаЧисла••?•е.т.C.16)система•?7Priодно-однозначно(см.y(t)наблюдениянаблюдаема,вполне7Plопре-C.14)).Вусловийдостаточностьитогетеоре-доказана.теоремыПредположимskчерезчтотеперь,C.15)матрицыfc-й—системастолбецчтотого,силуS.<Тогдарможно=ranks'что<рангОбозначимп.9)записать(s1,.
.,s«).=ненулевойсуществуетп,Докажем,чтопротивное,матрицырнаблюдаема.вполнеДопустимп.равен5В/УРп•,вектораг/^тонезависимы,•векторж0,удовлетворяющийегочерезусловию(sk,x°)=0,чтоили,тожетоэтойсистемысистемаskматрицыSдругой)Какипрежде,=0,=0.которойрангравенОбозначимрх°.матрицычтоследует,jпредполагаем,S*,столбцами=r=согласностороны,44+..решение.являютсяC.17)+матрицаненулевоеCjAkx°=0,Сs\x%+являетсяимеетсоотношенийизl,. .,g,C.17)=самое,sja;?МатрицейПоэтомустолбцыfcl,2,fc. .,C.8)соотношениямчтоq=mr^п.=0,1,иC.9)..т-имеем1.C.18)(рТакп).<какНаблюдаемость3.идентифицируемостьисистем209линейныхга-1к=0инат.е.C.18)основаниисуществуетy{t)наблюдениявектортождественноjоо,Это1, 2,=г,. .,которогополнойдляпротиворечитзаэтимиусловийизвидновнешнимиуправляемостиЗдесьсоотношениями.сходнымиопределяютсяпризнакамикроетсяза-содержательная.ПустьданыОднасистемы.двехА,СБ,Dиwv,уимеютzпхп^пхг,рхпирхгуравнениямиzB*v=размерности2.1Du,C.19)+размерностейC*w+уравнениямиСх=описываетсяA*v=теоремекогдатогда,иописываетсянихВи,+системаvСогласноизматрицыВтораявекторыАх=постоянные—соответственно.где<C.16),нулю.Каконичтопокажем,закономерностьгдеt^системыравендвойственности.Принципнаблюдаемости,условиймы00,=состояниесистемы.3.3.иначальноененулевоенаблюдаемостиyj{t)чтополучаем,n,C.19)системасоответственно.гиpD*w,C.20)+вполнетогдауправляемаитолькоматрица.
,Ат-1В)C.21)имеетравныйранг,тогдатолькоиСп.другойтогда,равныйтакжеранг,НаоснованииC.20)системыравныйп,идлядостаточно,условияминаблюдаемавполнечтобырезультатравиC.19)системыдляC.19)системыранг,необходимоC.20)системыдляЭтотимелап.управляемостинаблюдаемостиC.20).C.21)равныйранг,полнойнаблюдаемостиуправляемой,вполнеимела3.2.теоремыполнойдляматрицабыласистеманаблюдаемостиизследуетчтодостаточно,C.22)системысовпадаютсобычноформулируетсясов-наоборот,и,полнойусловиямиввидепринципа.следующегодвойственности.ПринципДля{вполнеуправляемойC.20)3.4.былаA(t),наблюдаемой),{вполнеИдентифицируемость.B{t)итогоПустьC.1)C{t)C.6)и(т.е.прионичтобыпрежнихпредполагаютсяC.19)системанеобходимонаблюдаемавполнесоотношениямиматрицутверждениенаходим,условияполнойуправляемостисистемаэтаматрицаполнойусловияиобразом,ссовпадаютЭтотеоремчтобычтобыТакимженеобходимотогосистемаА*™-1^)C.22)А*С*,.
.,п.техжематрица(С*,имеетэтастороны,когдаибылачтобыдостаточно,вполнесисте-управляема).системауправляемаяописываетсяотносительнопредположенияхнепрерывными).мат-210Гл.Задачейx(t)видентификациимоментy(t)Сгt\=tпри^точкиубедиться,Вt.—Поэтомувышеидентификациичтотого,(?]_, х),ПаруC.6)чтов10)C.1),системыне[0,ti].C.6)tИзДля3.3.частности,внеидентифицируемо.идентифицируемой,заядру11)(?i,x°)событиенеобходимонеидентифицируемым,принадлежалчтобытогоесли/C.1),системечтобых°векторC.6)Доказательство.ТогдаW*(tJoДостаточность.N.соответствиивсэтослеваравенствоопределениемнах°Пустьядра=х°,принадлежитядруимеемматрицыв.х°получаемN(ti)x°0 и,=следователь-следовательно,*/x°V*(t,ti)C*(t)C(t)W(t,ti)x0^Jo0,=е.JoОтсюдаf1\ C(t)W(t,t1)x0\\2dtC(t)W(t,h)x°W(?,какs)tпри10)Здесьивдалее) Напомним,удовлетворяющих уравнению=в.=<t<tx.C.24)решенийматрицасистемыA(t)x,W(t,ti)x°функциянулевой—ядромчтоАхто5,0прифундаментальная—=0=хнормальная0.=чтонаходим,Такбылопринад-C.23)N(ti)x°т.нисобы-исключениемматрицыN(t1)=Умножаявдостаточно,иявляетсярешением,удовлетворяю-вектор.матрицыАназываетсямножество?]_,когдатогда,определения,(?i,#)событие^систе-втолькоиэтогоt^(?i,x)Событиеt\.<называтьбудемнеидентифицируемым,является0событиетогдаE?/(?),векторвосстанавливается^x(t)),внеихв).Теоремаматрицыж,ис-наблюдения.акоторомуti,C.6)C.1),(?i,x)(?i,tвсехприсистемусобытиепоможнозначимостьрассмотримзадачисобытием,неидентифицируемымдляЛинейнуюсобытиячерезназывается=следует,одноu(t),i/(t,системмырешенииназыватьзаменусистемы.большуюзадач,вЧто-произвестилинейнойдляучитываяприкладныхбудемC.6)линейныхОднако,полученообозначатьбудемC.1),y(t,ti,x,u(t))выходнойинаблюдении.оитакжевышеуправлению(?i,x),C.1)наблюдениирешенииЕп,Ехгдесоответствующийсистемезадачейссходнаметоды.вотсостоянияu(t)управленииидентифицируемостиисследованиизависимостиобуравненияхозадачуизложенныепроблемонавполучимприиспользоватьданнымпозрениядостаточноитогеопределениязадачуназыватьT^t\=идентифицируемостьt\.математическойэтомвбудемtвременивеличинеЧтобынаблюдаемость,Управляемость,5.векторов,удовлетворяю-матри-Наблюдаемость3.начальномущимвж0, в)?]_,0,Пусть=Необходимость.справедливоах°.=этоПоэтомуравенство(?]_, ж0)событиеозначает,что(?i,x°)событиеC.35)можнозаписатьнеидентифицируемо.неидентифицируемо,е.т.справед-равенствоy(Mi,zo,0)@, ti).t GвсехприТогдаизf1\ C(t)W(t,t1)x0\\2dt=х°чтоследует,N(ti)x°iV^).Следствиеидентифицируемой,0,=Для3.1.0=равенства/"oJo ^rf*ядрусистем211линейныхx(t\)условиюy(t,видеидентифицируемостьиаэточтобытогонеобходимочтоозначает,х°векторлинейнаяпринадлежитC.1),системачтобыдостаточно,иx°*N(t1)x0=рангяд-C.6)иден-былаC.23)матрицыбылп.равенДоказательствоядроэтогоN(ti)матрицыеекогдатогда,ИрангуправляемостивидаА,идентифицируемойВсвязьСимеждучтотого,в тогда=толькоиАх=постоянныеВщ+усистемырангуправ-стационарныхлишьСх,C.25)=Согласноматрицы.полнойусловиямианализомограничиваясьхгдехп.проанализируем—изследуетэлементаединственногоидентифицируемости,исистемизравензаключениевнепосредственноутверждениясостоитизследствию3.3теоремыуматрицыrti/Jo=e^^-^C+Ce^-^dtC.26)п.равенСдругойсистемастороны,xвполнетогдауправляематолькоиправен(см.Еслитом,(см.матрицыТаккакC.26)матрицыC.28)итосовпадают,спра-C.27)системачтоучесть,C.25)Системакогдавполнеполнойусловиетогдаидентифицируемауправляема.C.27)системыуправляемостисостоитвчтогапк{С*,2.1),теоремуТеореманеобходимостепеньранге-Л^г-г1)С*СеЛ^-г1)(ИC.28)Joдвойственности.тогда,толькокогдаутверждение.Принципи1.4).теоремуследующееC*vC.27)+тогда,/Ф=справедливо-A*x=3.4.иминимальноготосправедливоДлятогоА*т-гС*}А*С*,.
.,следующеечтобымногочленаутверждение.C.24)системачтобыдостаточно,выполнялосьматрицыпC.29)=былаусловиеА.идентифицируемой,C.29),гдет—сте-212Гл.Наблюдатели3.5.которойвнаблюдаемость,Управляемость,5.полногоРассмотримпорядка.наблюдениявекторимеетC(t)гдематрицаСистемуn-гоизх@)=Теорема3.5.СистемасистемыC.1),C.30)F(t)A(t)=K(t)этогоtусловияC.32),системы?C.1),0>C.30),всехпридопу-^[A(t)=C.34)изe(t)Поэтомуесливремени@обладаетдругойустойчивоестороны,свойствошибкиповедениеПримервращающаясяеговремяаантенны,уравнением—второгочтообъекта.положениеJ6+ВВточку.=т(?),двиплоскостиобъектэтотдвижениевоэлектродвигателем.навгдеработырежимантенныгдеJэлекположениеугловое—ДвижениеЪвасимпто-плоскостицентреотслеживатьвоздействииt ^to,6*i(t),снаблюдателя.должнатакомотасимптотическоеуправления.приводитсяв приасимптотиче-одновременнов—>зависимостивдвижениякоторая—овопросe(t)K(t)C(t).определяетозначает,задачу=A(t)определяетсяприинтервалечтодвижениеЭтоx(t)=следовать,свойствомматериальнуювпорядкавосстановления.C.33)следующую0(t)ошибкойматрицывозмущенногокоторомx(t)будетневозмущенноесобойугловоеусло-тождествовосстановленияK(t)C(t).e(t)—заключается0\выполняютсяполубесконечномнаC.33)Антеннаприв=х],C.35)называтьантенна,электродвигателя,x(t)—x(t)равенстваеслисобойнаблюдателяРассмотримдвижения.H(t)]u(t).C.34)-изсвойствамиA(t)управления[B(t)-заошибкапредставляющийвсеполучаемнаоборот,влечетуравнениялюбого3.1.находитсяЗадачаизвосстановленияобъект,движетсяC.31)чторассматриватьнеустойчивоесвойствамиB(t)u(t).C.33)+естественноматрицыасимптотическимивуравнениеили+K(t)C(t)][x-=обладаетнеиследует,ИисключительноСжех@)—тоопределяетсясю,[A(t)=C.1)сю),илинаблюдательрезультатечтоуравнение<K(t)yF(t)xC.32).x(t)—x(t)=t<C.1)-следуетх@)Величинууравненийследует,равенствопоэтому0.+G(t)C(t)]x-u{t)всехтоK{t)C{t)]xнепосредственнодляH(t)=B(t),C.32)Вматрица.-[A(t)уравненияtoK(t),=порядкаполногокогдатогда,тольконепрерывнаях-хописатьдляx(?),наблюдателемявляетсяиИзжепритех=видх-х=асимптотически?(?)G(t)Доказательство.—>порядкаC.31)имеетхтом,tH(t)uC.31)+чтоследует,K(t)C(t),-порядкаt >G(t)y+тогдапроизвольная—полногоиследовательно,и,u(t).дляИзпполногох@)условиядопустимыхгдеF(t)x=наблюдателемназыватьеслих{У1,.
.,ут}еЕт.=порядкахбудемC.1),системуC(t)x,C.30)=тразмерностиутеперьвидy(t)—идентифицируемостьможно—моментопи-инерцииНаблюдаемость3.всехвязкогосчитать/m(t)трения,фазовыеВводяапеременныеb/J,=Cх\где{ж1,ж2}.C.30),=C.1),ТакимПостоянныетребованийквосстановленияеэтой/с2иx(t)=—есликорниизвремясостоитнихe(t)объекта).восстанов-даетКС)—Например,(онок\случаек^-,fci)A+fci,элемен-+давидетакимкакже,выбиратьсябудутнера-ограниченияпримерноочевидно,ak\.тоиналожитьбытьдолжно(а+налишьбольше.имелоВыполняяЛ2=ограниченияиА—КСматрицычастями.det(Aпроцессаэтомтребоошибка0.C.37)=вещественнымичтоC.37)переходногожесткихви-котороедополнительныхчтобытом,вуравнениепотребоватьВвсвойствомнаходим,МожнозаписатьC.33),изисходяопределениюотрицательнымиусловиенеравенства.C.27)уравнениемхарактеристическоевычисления,Поэтомуперемеще-угловоеC.36),описываетсяПервоеобладалачтобысявляетсясистемусистемыподлежатx{t)нужно,толькоэлементарныеболееприограничениях.Наблюдатели3.6.анализепониженногоC.1),системыменьшейсистемы.стакогоОсновойпорядка.пониженногопорядкачтотеперь,наблюдателиНаблюдателипостроитьпониженногонаблюдателяпостроенииможнонаблюдаемойразмерностиПокажемпорядка.C.30)наблюдателяминазываютсяоуравне-видевк\наблюдателю.этогоуканоническоеполучимA,0)ж,=limи0,=иметьдляпредставитьнах^переменнойобразом,будемтоНаблюдательможноДлягдее.т.2/видев.=наблюдаемойчтов антенны,хбудемZ/x(?),=l/J.=Предположим,перемещениеm(t)е.т.антенныдвижениягде/х(?),постоянная.заданнаяуравнениекоэффици-—которыйдвигателем,напряжениювходномуЪантенну,развиваемыймомент,пропорциональным—включаяконструкции,—систем213линейныхэлементоввращающихсякоэффициентидентифицируемостьитипаназы-постановкидляслужатследующиевектораy(t)приразмерностью,задачисоображе-соображения.ИзмерениялинейныхкомпонентC.30)соотношенийПоэтому дляполногоотносительног/2(?)?дляопределения••••>Ут{^)пx(t)восстановленияxi,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
