Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 23
Текст из файла (страница 23)
.,вB.1);еечтосчитать,——постояннаякусочноуравненийпостроенииможног1тВбу-ситуацияявляетсяколебаниясистемойописываетсяобщности,нарушаяАналогичнаялинеаризации.рассматриватьсуществованииНеодинхарактеристикойкогдакотораяуправления,из4.2.2).будемИтак,4.2.1решенияРис.длягармоническойслучае,(рис.функцияирассмотриммыследо-периодиче-методыЗдесьименнов/О"Пуанкарепостроенияиныезадачи.аних,урав-апараметром,длярешений.НеобходимыэтойеетеоремуКрыловаметодf к7)характеризо-использоватьследовательно,нелинейной.пря-представитьмалымнекоторымПриглавы.бытьможетха-Аимееткусковнелинейностьпредыдущей/(<т)остаетсяслучаеневозможнодвижениявидеэтомвc*x,B.1)=4.2.1)рис.B.1)/(<т)системаaпараграфнапример,тозаf(a),=функциячто(см.,/(<т)линейна,yпоследнийпредполагается,Еслиby,+посвященобычнокусочнонелинейнойперваяиегокаждыйТогдасистемы.элементом,необ-видаанализугдесостояниявкГлавнаясвязи.воздействиеотобъектаизприводятобратнойпринципунелинейнымоказатьсясостоящаяэтомбудетсоответствую-системамиуправляющеезависимостивможетчтотом,—периодическихпоуправлениевыбираетсясистемапериодалинеаризациилинейнымиуправлениявустройствопаранели-решениеотгармоническойзадачиособенностьсодержатраз-приближения.2.необходимостивозмущениям.малыйпериодическоеотличающийсямалопериод,сначальнымсистемыздесьспособомуказаннымимеетсистема,нелинейной.систе-реальнойавтоколебанияеерассматриваемыепервоговремениисходнойколебанияиметьразличнымпостроенноесоответствующейсистемыуправляющееможетсоответствующиекаждоепараметр,нелинейнойемусистемареальнаячастотами,различнымирешениеавтоколебаниями.называютсяЯсно,периодическоеСоответствующиеемупредельнымназываетсясистемазамкнутойсистемево-рассмотримрешений.периодическихприведенаквидуbf(Xl),B.2)+{&i,.
.,frn}хп}.—постоянныйвектор,axi—174Гл.Периодические4-Г'.".'ВыборB.3)системы^^~^^~таность~^Г^материаломОднакообщихБудемпредполагать,летворяетНаспериодическоеинтересуетчтопериодическихсистем.вf (AфункцияФурье.Тогдарядcut)sinбудет/удовA=Значит,можносинусоидальномупред-законуut.B.4)sinпериодической,также0.B.3)>B.2).пох\функциячтосистемыизменяетсях\реше-нелинейныхJусловиюрешениепеременнаяОдна-эффектив-af(a)предположить,спараграфа.отысканииприсвязьдостаточноболеерешенийвнагляд-некотораяпредыдущегоэффективным4.2.2Fдостаточнаяявляетсяметодчтотем,лишьустанавливаетсяиобъек-качествевдостигаетсяслучае^системобусловленисследованияэтомРис.нелинейныхрешенияееиможноразложитьПустьОО/ (Aчтобы,Потребуем,ut)sin=hкроме2^2(апB.3),условияB.4),можноbnnut).sinещег/>) #sinучитывая+выполнялось/оТогда,nujtcosn=iравенство0-=записать.чj(Asmut)Ъ\а\+—rX\=ААиdx\—Vвысшиегармоники,atгде1=—кИгнорируя/Г57Г1Гf(AJo27Гвысшиеф)sinЬ\фйф,sinвместогармоники,=—Jo/B.2)уравнениярассматриваемурав-уравнениеdxhh(A,u)^=БжкотороеиспользуетсяПриуравненияB.2)которыхуравнениеB.5)сводитсякТакимеетпериодическоеАопределениюиЛ(Л)Д(го;)можнодляопределенияАиииз=Лги=B.5).ввиде=X(A,u)+iY(A,u),уравненийсистему=0,Y(A,u)частотойсчтоусловия,0 системыполучаемХ(А,и)АрешениепредставитьA(iu)тоиаппроксими-решенийпериодическихнайтичтобытом,вуравнениякакрешения,существованиясостоиттеперьdxxB.2).уравнениявопросовзадачаhai(A,u)^^^'B'5)+периодическогорешениерешениихарактеристического^^1построениядляпериодическоеаппроксимирующего+=0.являетсяииуравне-такие,и.приТакаякорнемкото-задачахарак-Метод2.линеаризации175гармоническойОпределивизB.4)формулуиЕеприближения.решениеВначемвсегоПривэтойтеориипостроенныхПримерРассмотрим2.1.гдеDТребуетсягармоническойсходимостипостро-B.2).системырешениюавтоматическогосистемукро-управле-уравненийF(y)yi~k2y2,l)Dy2+F(y),=ksigny,=hiTi,—,ClCавтоколебанияисследоватьОна,приближений,доказательстводифференцированияоператор—находитсяследующих(T2D=автоматиче-системы.построениизамкнутуюсистемойвлучшеобычнопомощьюпериодическомукспециалистовнелинейнойтакжеприближенийописываетсякотораяуправления,имеетсяпроцедурымнениюнелинейныхеерешенияприограниченияхлинеаризациясзадачприкладныхобразомтакимПоисследованияэффективнойоказываетсятого,жесткихбо-анализеприменеегармоническаяпериодическоголинеари-линеаризацией.используетсяпривводились.задачирешенииприближениекромездеськоторыесуществусистем.первоеонирегулирования,соответствуетавтоматическихате,автоматическогоспособТакойгармоническойB.2),уравнениепериодическогоB.2).называетсяформуприбли-впервогоприближениепервоерегулированиячемзначенияихсистемууравненийB.2)уравнений,областикакавтоматическоготеорииподставивиискомуюсистемыуравненияобщихнелинейности,ujиполучаеммырассматриваетсянелинейнойнелинейноголинеаризацииболееB.5),исходнойрешенияАуравненийэтихуравнениевиэтойкпостоянные.—системыметодомгармониче-линеаризации.Сначалаприведемсистемупеременныех\привести=кг/,х2к%зу2,=виду=—т~•A.21).СТогдасистемуэтойцельюновыевведемB.6)уравненийпе-можновидук2dtTLdx2dxs11Такимобразом,система/приведена-1/Тгк-(кг-\-к2)/ТгVТаккаклишьобщейсхемеF(x)функцияслагаемыевгармоники=кsignAх\=торазложениеsinвышеF(Asinuot)=первой,F\Asinut)полагаемлинеаризацииout.синусами:тг-1/т2x\.гармоническойметодеF(Asinut)ИгнорируяF(x\)=нечетна,сОЬ=О)\оо-1/т2f{x\)Согласногде\1(-к2001В=\содержитB.2),видуп=0отсюдаполучаем~—-х\.ттАврядФурьесодер-176Гл.Периодические4-Поэтомулинейнаясистема,+(fei+ххB.7),системесоответствующая-^atнелинейныхрешенияk2)x2+Tifc2z3+системимеетвидО,=—--ж3=0,B.8)at4fcОчевидно,связаначтоизложеннаяприводитьнепосредственносамомсистемукнелинеаризацииB.2).видуЕеможносвя-применятьB.6).системекВгармоническойпроцедуранеобходимостьюс0+полагаяделе,уAsinut,B.9)=чтонаходим,п/лn•F(Asmcjt)Ak=Л1•^4/с•smutsign,=sinBn2_^——+l)cjt•n=lОграничиваясьнизшимигармоникамиF(Asinu;t)Следовательно,(TiDОна,что1)У1+очевидно,имеетотысканиятакогоB.10).ЕговеличинаqЧтобыfe22/2).B.10)-ТТЛнайти=ухусловия,выполнениипричастотойското-причема;,такое,характеристическоеТ2)р2+Txk2kqp+формулойримелаiu=+q+4/с/(тгА)=/c2)/c2a=называетсяисрешениекорнем0,гармониче-.Р(г/).периодическоебыло(fciхарактеристикойсусиленияси-уравнениевидевопределяетсяB.10)Asincjt.=выпишем(Ti+числок2у2-представитьсистемачтобынеобходимо,^(^=решениерешенияможнокоэффициентомгармоническимли-B.8).периодическоеТхТ2р3гдеl)Dy2+чтобытом,вусистемыгармоническойметодом2.9согласноДля(T2DсистемеB.10)системак2у2).-полученная-ку2,=состоиттеперьполучаемвидэквивалентнаЗадачакоторыхсистема,имеетразложении,—тB/1=линейнаяB.6),излинеаризацииэтомвАк(D),уравненияе.т.частотойчтобыо;,необхо-выполнялосьравенствогдеXопределения=(fci+fe)fe2aАисо-(Ti+T2)cj2,получаемУA=+уравненийсистему1зB-11)Изпервогоуравненияэтойсистемынаходимо(fci+fc)fc2Txkxkq)^-Т{Т2иъ.Поэтомудля3.Вынужденныеколебанияи,следовательно,второеti/c2/c^)(Ti+i(T2fciАтг(Т!+Т-2)ТакАкакиоичтоалгебраическимk-\-тоB.10)условиеТ^к\видчастотыипе-существованияимеетАамплитудыпримеримеетсистема,периодическоеио—Т\кПри0.>чистоопределяютсяпериодическоенекоторойявляетсярешениепериодическоготакжеовопроссуществует.вопросыпринципиальэтоусловияхпериодиперио-соответствующегоНесистемы.болееЭтипредставляеткакихпринелинейнойпостроениилинеаризацией,аппроксимациейисходнойрешениянеговоря,выяснить,выпол-пригармоническойвообщетеперьусловий,отысканиеполученнаярешение,Остаетсятрудностей.чтопоказывает,линейнаякоторыхприближенийвобщейточныхисследуютсяменееважнымявляетсятакогоеслирешения,методатеориигармониче-линеаризации4).гармонической3.колебанияВынужденныеМетод3.1.поведениеПуанкаре.ЗдесьфункцииFiспериодическоепа)..гтемженелинейных1=Предполагается2систем,поаприfit=ихпxi,.
.,переменнойпочтотакже,п.C.1)..условиямA.4),уравненияхв2тг.колебанияизучатьудовлетворяютпериодомсистемуравнениямифункциисоответствующиепериодическиенелинейныхБудемописываетсякоторыхd^=FAtx10эта/х,оничтоипериоди-системаимеетрешениехгтогоже2тг,периодаТеоремачтофункциииудовлетворяющееуказанныхXi(t,=аналитическое../i,V^-z/,C.1)системаимеетре-срг(О)=+например:автоматических•1,=2,C.2)решение,«n,/i)n,C-3).
.,Е.систем.\±,cen,/i)И.Пальтов—М.:Наука,n,C.4). .,0,=значенийеслиизэтогопа-необходимыхиC.3)функцийП.,1, 2,малыхпри-Xi@,ai,. .Попов=достаточнопериодичности•гauдляjiвусловийЖгBтг,аъ.2условиямобращающеесядостаточных/i),cen,относительно) См.,.условияхai,. .,начальным=Z,F^.Прих€@)ф1,—2тгх^параметра,1Ч^гУ1)!—Пуанкаре.периодарешениенелинейныхоk\системывеличиныРассмотренныйи0.=путем.выполнениионоk)k2q+положительными,линейнойоказывается,принципиальныхTiT2(fci-T\k)—бытьдолжнырешенияэтомТ2)+даетчтонаходим,периодическогоB.11)системыуравнениеAОтсюдасистем177нелинейныхП.1963.=Приближенные0,г=1, 2,методы.
.,n,исследованияC.5)178Гл.Периодические4-определитьможноначальныедлякоторыестепенямподстановкиввхг(fn(t),гдеVi(t)=(fi2(t),•/х0=wn(t)C.5)имеюткоторыхИзai,. .,функциональныйгcei=cen=/x=..0,гОднакоап=степенямнекакимеятакмож-функ-если*>C.7),ата),. .нуля.лишьведетчастьДляC.3).решенииточкиокрестностивC.3).величинизвестномприсебярешенияа\прилинейныхапчленовначальныхaio(t)fji+=..этогоа\=знатьнужно..лишьC.3)функцийразложенияXi@)посте-периодичностинеa^.Xi(t)функцийнахождениеособыхпредставляетC.8)разложенийчасти+коэффици-толькоостанутсядляC.2),. .,C.8)+линейныеtpi(t)видрешениябудуткоторогоИзтрудностей.совпадатьнелиней-длясоотношения<=(ргBтг)условииC.7)Ноимеютусловияain(t)an+..определителевC.4)периодичностиC.1)+разложений.условиях-a,i(f)cei+0=этихСледовательно,у?г(О)—=0,г1, 2,=ип,. .,произвольномбудет/хсле-чтоследовать,Ы2тт)-(fik(t)функцииеслибудетпредставлять^*fe@)будут0,=того,Подставивустановленав1, 2,уравнениясамогоформаC.1)кщ. .,=последним1, 2,.
.тоусловиям,C.1),уравненийC.6)рядобладающеевсемиПуанкаре.теоремойпостроениекак=решениеустанавливаемымиПрактическоегудовлетворятьпериодическоесвойствами,трудностей.C.5)изуравненийсвойствами,случаеотонточного<Pi(t)==условияминелинейной системыпосле0,=апсНо/х. .,п,вышесоставитьэтиххъприэтомвотличенможно0,ai,. .,какбудетO=относительноприприп.. .,указаннымиустановить,=линейнуюкоэффициентыап2тг.что1, 2,чтоследует,определительможнотакпериодаопределительЭтот..послеn,C.6). .,ai,.
.,1, 2,=следует,=Удлявсехдля(fi(t)=обладающиеanj1, 2,функцииа*,=функцийнеявныхтеориинайтиC.3)видиметь=степе-уравненияваг-можноi. .,решениенулевоепериодичностисилув+\±^порешениеслучаебудетаппериодические<^Bтг)-<^@)изэтомai,. .,ti?ipi2(t)+обращаютсяониВ0.=непрерывные•C.5)при/хиз+—•Уравнениякакпринульнайденныхнегопараметрарядывразлагаются/хсистемфункциикакапai,. .,значениймалыхобращаютсяи/хзначениядостаточнонелинейныхрешенияпериодическогорешения,функциирешениянеC.6),представляетсравниваемC.1)уравненийособыхкоэффициентытрудно-3.Вынужденныеприодинаковыхколебаниястепеняхвыполнениитогоифункцииcpi(t)Пример3.1.жекнеБудемравноискатьцеломуПодставивэтотЭто(fk(t)повы-принайдутсярядвсемудовлетворяет(см.видевчаститео-условиямC.6))C.9)уравненияслева/хдифференциальныеfix3,C.9)+уравнениеуравненияip(t)2обестепеняходинаковыхhsint=ищем=врешениеk2x+егоx(t)приитогекоторыхпоследовательнопериодическоечислу.РешениеПуанкаре.изпериодичностиd2xгдеуравнений,условияВуравнений.полученныхcpik(t).и—утеоремычастяхдифференциальныходноговсеобеихв/iрекуррентныхрядполучимсистем179нелинейныхсправа,икоэффициентысравнивиполучимcp(t)определениядляиуравнения(з.ю)dt2Решениемпервогоcp(t)АПостоянныезаписатьВи2ктгчтоA(V0(см.найтивозможности1)-Очевидно,определителем\A=лэтойC.11)рассматриваемомC.10)этотслучае2/стгккакВпериодическая0,=пои1)самымАпериодическимC.11)0.=определитевозможно-условиемпостоянныхрешением12/стгsin2/стгsinнепредположениюискомым—=—=темявляетсябудет-иВ,спериодомкоторыхпри2/стгcosявляется—изуравненияАСледовательно,будетчислом.целымпервого0,C.12)1C.10)никакихсодержащая) Уравнениевторой=периодичес-функцияhsint,неВ2тг.определительcosА2ктгявляетсязначенияизможнокоторыеB(cos+котороготакиеуравненият^.2Ьгsinсистемынулюуравненийhsint+периодичности,-Aнеравенство7ktsinC.5)):О,=^условийиз2ЬгsinВ+(см.определительпервоготак7ktcosопределяемВ+C.7)),изрешение/образом5)следующимA(cosявляетсяуравненияпорядок.C.9)Поэтомупроизвольныхвторойимеетусловие(ЗЛЗ)параметров.порядок,периодичностииэквивалентнаяC.5)системаемусостоитиздвухвидасоотношений.C.1)имеетч180Гл.ПодставивэтоможнокотороеворешениепривестикЕгообщее(fi(t)ЭтоА\=решениездесьдве4(/c2-lK(/c2-9)'4(/c2-lLА\постоянныежеоднороднымиУсловиеВ\.иперио-C.5)уравнениямиснерав-C.12).здесьи0,=уравнение,3/i3sin?/i3sin3?+произвольныевыражаетсяВ\иsinktтемиСледовательно,0получимвидевB\+определителемнулю=ktсодержитпериодичностинеравнымзаписатьcosC.10),изуравнениесистемоh31можнорешениевтороенелинейныхрешениявидуd2ifiА\Периодические4-периодическоерешение(fi(t)дляполучитсяприбудетонои3/i3sin?/i3sin3?4(/с2ТемспособомжеопределяютсяпериодичностиУсловияаименновкачестведляC.11).очевидно,h sinОсобыйОносоответствие.чтосказать,системойнелинейнойизобстоитВ0.=имеетнелинейнойместо/х0=определенноеблизкорешениевовтороекоприразличияприлинейнойвторому/хнелинейнойсистемой,такчтозамемаломдостаточноприМожно0.—>междулинейной/хобразом,критерийam_|_i,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
