Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 35
Текст из файла (страница 35)
.,=},an,. .с{ci,. .,=Полученныйпереводящегоовопросу={&т},объектразрешимостиизможноусловиюкласспоследовательностейс.(9.16)овопрос(9.3)состоянияуравненияэтот=чтоозначает,результатудовлетворяющихОбозначим(9.15)системувидеМаp(t),},cn,. .тп=1(9.16)(9.14).ввсуществованиипоследовательностейклассечерезуправления(9.11);состояниекм-сводитсяка=Управляемость9.Замечание9.1.коэффициенттнекоторомтакжебытьдолженрешенияПоэтомужеО9.3.произведениеметодахилюбыхDaЕии)действующийнасправедливоНизплотномвНмно-равенствоО,>(т.элементенулевомтого,положительнаясуществует(Аи,Da,Обычнымиtoи)АоператорметодамиследующееА,определене.| и|при=0),Атооператором.Еипроизведесоответственно.(u,Av).=налишькромелюбогодля| и|иусловиеположительнымже,онDaрода.20).оператории?выполняетсятого,(u,v)еслидостигаетсяЕсливнекоторыескалярноечерезаддитивный)ипервогопотребуютсянамфизикисимметричным,кроменазываетсяслева{gm}пространство,обозначатьбудемкоторомдляравенствоимеет(нульуравненияуравнений(9.16)(Аи,гденепоследовательностирешения(Au,v)Если,(9.16)такиематематической(однородныйDaстбессодер-являетсяуравнениечленыгильбертовоназыватьмножествевсевсеуравненияметодоввбудемН,чтосчитать,ивещественное—Линейныйвточленнеуправляем.решениявариационныхнормуинекото-принуля.иПустьсистемывыполнено,исключенывариационныхНеслисвободныйуравнениенебудемисследованияизт-еичтовидно,соответствующийтоусловиесистемыот(9.15)уравненийнулю,этосистем261нулю,объектизотличныДляфактыравендальнейшемвсправа)нейсистемыдтследовательно,и,нульИзравенЕслибессодержательным.ипараболическихлинейных^постоянная7чтотакая,7IMIназываетсяопределенным.положительноисчислениявариационноголегкосле-доказываетсяутверждение.ТеоремаЕсли9.1.Аоператорто:положителен,1)уравнениеAuнеможетодногоболееиметь2)решениеобратно,тощеслирешение—Этафункционалом(9.18).Однакоона(9.17),недоказывает)БолееВариационныеподробносметодыэтимиметодамичтотом,основанныйнаонанаможнофункционалаболееознакомиться,физики.практическийНеобходимыерешения.основеанализадетальногопонапример,—М.:функциона-идаетиспользованиитакогополучитьматематической(9.17)уравнениемвсуществованияможносуществованияС.Г.междусостоитдостоинствоуравнениятеоремылинсвязьглавноерешенияпуть(9.17).устанавливаетЕефункционал(Au,u)-2(f,u),(9.18)=иуравнениятеорема(9.18).DaЕщЯ,(9.17)еминимизируетF(u)и/решения;(9.17)уравненияf,=Наука,1970.книге:Мих-262Гл.АоператораНа,связанногоисопределяемогоНанаблюдаемость,Управляемость,5.такнимDaопределимскалярное[u,v]Daпополнимпопонормуиследую-Н.тоНасвойстваиграютDajегоАЕсли9.2.щ,положи-элементнепринадлежит21).(9.17)тооператор,(9.18)(9.17)уравнениеЭтиН.элемен-определенныйфункционалкоторомследовательно,и,этотуравнениянанепринадлежащиесуществованияположительно—нонеЕслирешениемвложеноположителен,доказательстве(9.18).элементминимума,Аэлементы,вположи-дляпространствооператоррольединственныйОказывается,чтоэнергетическоежефункционалобобщеннымТеоремасвоегоегосуществуютрешающуюназываютсуществуетЕслиНавэлемента, минимизирующеготоАназываетсяпространствоА.операторапространствоопределен,<\/(Au,v),=гильбертовооператораисходное[и]Полученноепространствомопределенногоположительнодостигаетпространствапроизведение(Au,v),=[и].нормеэнергетическимположительновэнергетическогоформулам:следующиминазываемогообразом.следующиммножествеидентифицируемостьсу-достига-единственноеимеетрешение.ЕслиАжеоператор,положительный,—дляточтобыдостаточно,справедливоночтобытогонеопределенныйположительно(9.17)уравнениеимелоположительнаясуществовалаопе-необходиморешение,Nпостояннаядо-ичтотакая,неравенство\(f,u)\^N[u](9.19)всехТакимопределенногоDa-Еиобразом,доказательствадлятребуетсяВкогдаслучае,ТеоремаXвдляирассматриваетсяN0>Аограниченныйхиотобра-оператор,условиюТогдаобратныйсуществуетрешения(9.16)уравненияпроанализируем(9.16),уравнениеилинейныйусловияуправ-9.1теоремыиспользуя9.2.В=опре-^N\\x\ ,постоянная.СуществованиеТеперь9.4.и),нормирован-ограниченныйудовлетворящийXЕлинейномА~г.операторуправляемости.(9.17)(/,утверждение.линейный—любогонекоторая—вследующееПусть9.3.X(9.17)справедливо\ Ax\\гдеопределен-уравненияфункционалаНаметрикевуравнениеX,пространствеотображающийположительнорешенияDa-нанормированномнесуществованияограниченностьустановитьопределенногоноположительного,случаевоператоракачестве{zn}Нпространстваберем1^ последовательностейпространствоz=чтотаких,п=1)афункционалбудемМы(9.18)наособобудемнеоговоритьНА.решенииподчеркиватьуравненияявляетсяздесь,(9.17),еслиэтотрешениеuqэлементминимизируетобобщеннымилифункцио-нет,Управляемость9.Всвойствасилу(/?(ж),параболическихлинейныхf(t,x)(9.16)уравнения{vm(x)}системызамкнутостиф(х),систем263д(х)иL^классамчтотаковы,Мматрицысправедливы2тфункцийпринадлежностииэлементычастьправаяинеравенства<00,вуравнениит=1т=1ТеоремаОператор9.4.ляется,Мноположительным,Доказательство.не(9.16)положительноПустьz{zm}=h,Gm,n=lЗдесьЛтвоспользовалисьмысю^(9.20).ОчевидноДокажем,чтоусловию—>асю,Лт+всехhjGzПустьzпричем{zm}=9тУ^м2i./А.Лп2у/АтЛп,^атакж:ечтотем,удовлетворяетусло-симметричен.>0толькодостигаетсяравенствопроизвольный—1||,М2/^вТогда{^т}М(Mz,z)приMz.="/ь/"хш=1операторсвойствомобладаетонупоследовательностьчтотакже,''чтотем,7Пприа\9т9п'"ьх'1^отображаетопределенным.элементна1^изиэлементе.нулевомположимооNp(t)]Г zme^~T\=pN(t)=]Г zmex^-TKm=lm=lТогдачтоочевидно,оо^оо/ОО2]T\ p(t)-pN(t)\ 2=zl{ {J2Mnmznzm^-n,m=N+lm=N+lNприпоследовательностейИзЗначит,км,сю.—>чтотого,Н\подпространствеконцевп.2принадлежитпоследо-классупараграфа.настоящего{eXrn<yt~T^}последовательностьминимальнаподпространст-всоотношениясправедливыи{zm}последовательностьвведенномуЕооm,n=lчтоследуетМоператорДокаж:ем,чтоонпостояннойсуществуетположителен.неявляется7положительно0>такой,чтоопределеннымсправедливов1^-,неравенство(Mz,z)>7|N|2(9-21)длявсехСопределяемыхzэтойh-Gцельювозьмемэлементовпоследовательностьформулой^={О,.
.,0,1,0,. .}.N-1zNG/2?определяе-т.е.не264Гл.Ц^ЦТогдачто1 и,=кромепротиворечитИзпроизведением(9.21).теоремы[u,v]Прилишьнефакт,способа1^.НмчтоКм)метрикеСледующиекачествевплотноговсюдурешение1^^изможетговоря,непосредственноI2пространство(ко-Кмввообщекоторое,элементыпо-пространство1^единственноепространства:следуетпополненопредель-элементами.дведаюттеоремыпоследовательностеймножестваимеетвсесодержитэтогосебе(9.19)),условияпостроения(впроиз-л/(Ми,и),=в(9.16)уравнениепринадлежатьпредельнымискалярным(энергетическоесодержащеевыполненииприТотизэтом[и]пространствоМ),операторамножества.(Mu,v),=гильбертовополноеположительногоикмкласснаделивчто,следуетнормойиполучаемидентифицируемостьтого,неравенствудоказанной(конечно,наблюдаемость,Управляемость,5.с,некотороеопредставлениекоторыхпри(9.16)уравнениемно-структуреимеетрешениевКм-пространствеТеорема(9.16)уравнениепоследовательностьЕсли9.5.неимеетСогласнотогдатолькоиКпостояннаясуществует\нетоограничена,(9.16)уравнениечастьправаяимеетудовлетворяетре-условию:чтотакая,\(с,а)\Возьмем10.2теоремеегокогдатогда,Г Cm1—л/\ш[9тJКм-врешенияДоказательство.решение<^К[а]всехприh-еапоследовательностьuN,0,^0^sign{0,.
.=},0,. .сдг,N1, 2,=..7V-1Таккакприлюбомвыполняется,TV,е.т.будетдляа(с,)асколь\с=угодновыполняться\/\лг?\gNбольшогоТ0кзадачи,этойпомощьюобъектапереводерешение.выбрать^[аК]aNkэлементневыполня-такой,что>k[aNk].доказана.Спритакой)анеравенство\{c,aNk)\Теорема(с,условиеможновыполненииможнотеоремыизрезультатТемкоторыенеизответадаетменееневкаждаякоторыхнепроанализироватьсостоянияодногоонаимеютнаполезнарешения.итакихзадачвопросохотябыдостаточныеуказатьнеимееттом,атем,чтоусловия,Ясно,решения.жекогдапозволяетозадачиразличныедругоечтоимеетзадача"отсеивать"задачиКраевые10.Краевые10.задачииуправления265изадачизадачиуправленияПостановки10.1.волновогоназываютсялитературерешенияначальнымиволновогоуравнениякраевымиусловиямибудетназыватьсяQlвсTхпри0хизадачусмешаннойарода,условиямихприсTкрае-изадачейкраевойQiввол-дляусловиямиуравнениякраевымиииспользовананазыватьфинальными)/ одного=волновогодляусловиямибудемдлялитера-вбудетдальнейшем(илиначальными=задачафинальными)Взадачейкраевойобычноусловиямизадачами22).смешаннымитерминология23):следующаякраевымииЗадачиДаламбера.Методзадач.краевыхсуравненияколебаниями.упругимиКлассические(илиначальными0=хи/ разных=родов.Дляволновогоуравненияutt(x,t)-a2uxx(x,t)=0A0.1)сначальнымиусловиямии(х,илифинальными0)сформулируемПерваяфункциюu(x,t),(финальнымУсловияA0.4)ВтораякраеваяA0.2)УсловияA0.5)ТретьякраеваяA0.2)0t)t)22)[0,1]0t<наусловиямT.A0.4)Qi,t,Найтиначальнымусло-краевымиусловиямТ.A0.5)<рода.(финальными)A0.1)уравнениюусло-краевымусловиями.второгоA0.3))условиямначальными<вz/(t),=Qi,t,рода.сегментеначальнымиудовлетворяющуюНайтиусловиями.в[0,1]сегментеQi,t,начальнымусло-краевымиусловиям0t)/i(t),=ux(l,называютсяродаt)+au(l,t){i,j}сх=0иВладимировнапример:A0.3))наусловиямj-roродаB.C.Уравненияхпри<t<T.A0.6)рода.уравнению(финальным0(финальными)A0.1)начальнымиудовлетворяющуюприi/(t),=третьегоусловиямизадачаA0.2)См.,ux(l,t)сu(x,t),i-roнаусловиямизадачаt<(финальными)A0.1)A0.3))/i(t),0первогоуравнению=[0,1]u(t)=Найтиусловиями.всегментеначальнымиусловиямфункциюусловиямt)условиямискраеваяусловиямнаu(l,называютсяСмешаннаяначальным/i(t),удовлетворяющуюB.4)УсловияA0.3))задачаf3u@,-=г/л(х)A0.3)(финальными)A0.1)уравнениюназываются>аиих@,Найтиф(х)A0.2)==начальнымиусловиямu(x,t),(финальнымфункцию>0)задачи.сux@,t)Cщ(х,Т)удовлетворяющуюu(x,t),(финальнымфункциюпри<pi(x),краевыезадачагх(О,условиям=различныекраеваяA0.2)условиямщ(х,условиямии(х,Т)условиямф),=условиями.в[0,/]сегменте=I,гдеi,j=1, 2,физики.математическойQ/5t5начальи3.—1981.) См.,физики.—Поляниннапример:М.:Наука,2001.А.Д.СправочникполинейнымуравнениямкраевымматематическойМ.:Наука,266Гл.Замечаниевокраевуютретьейкраевойзадачу,краевойчастногоформулироватьсяQiпрямоугольникепервойкраевойсзадачиудовлетворяетA0.3))условиямДлянатретьейкраевойQi^t->0краевыхзадач^АналогичноIбудутзадач.дифференцируемаяназываетсяирешениемеслиусловиями,A0.2)A0.4)условиямкраевымусловиямклассическиезамкну-вклассическимначальным^хдлявторойдлязадачи.(финальными)вприводитьсярезультатыкраевыхначальнымипревращаетсябудутуказыватьсяu(x,ti)сегментеостальныхзадачакраеваянепрерывноA0.1)уравнениютретьясмешанныхДваждыфункцияТидентифицируемостьрассуждениябудутдля10.1.0=всеслучаярезультатыОпределениеаиэтомприкак0=поэтомузадачи,задачизамкнутомCПри10.1.вторуюнаблюдаемость,Управляемость,5.решенияонаудо-(финальным0дляt^Т.^анало-определяютсяобразом.аналогичнымКлассическиеопределяютсясДляпервой(x,t)припоставленныхрешениякраевойQi,t,Е0задачкраевыходнозначноопределя-Даламбера.формулыпомощьюсзадачиТ<l/а,^начальнымиu(x,t)решениеусловиямиопределяетсяобразом24):следующимx+atФ(хat)-Ф(х+at)+1х—atJt--\+Ф(х)гденаФ'(х)иji{t)ji{t)=[—/,0][0,Т],наусловиямнечетные—сегменты[1,21],/х@)функцииудовлетворяетКакB.5),непрерывноиотносительноточекх0=чтобыхэтом[—1,сегментеасегменте,функцииИзявляласьдолжнабытьдолжнабытьдва-—согласованиянаисрвыполнятьсядолжныv_{t)ифункцийпродолжениячтоu(x,t)Ф(х)^{х)/х(?)21],[—Т,Т].сегментенечетногоI вытекает,=условиям:Аналогичным0.<функцияфункциязадачи,наииtаргументахтого,длянаусловийкраевыхсоответственноследующимпринадифференцируемадифференцируемынепрерывноф(х)иA0.7)Jv_(t).дифференцируеманепрерывноначальных0=рассматриваемойрешениемдваждыji(t)иформулапоказывает<р(х)удовлетворяют/x,z/функцияиклассическимдважды0=Wt-^^V Vaa/функцийпродолженияи—Vфотно-следующиеусловия:*/@)u(x,t)Решение^Qi,t,0<_ТФ(хвторойl/а,^-<рA)=краевойz/@)=сфA)A0.8)0.v=начальнымиусловиямидля(x,t)at)+2x+att-x/at—(lIfffH/) См.,физики.-М.:1966.-С.69-72./&(z)dz-aА.Н.,Тихоновнапример:Наука,II2a—Самарскийn(z)dz-IА.А.+Уравненияax)/aIv(z)dz,математическойJEобразом:следующимФ(х+0,задачиопределяетсяat)=A0.9)физи-10.КраевыегдеФ(х)назадачиИ/(х)и[—/,0]будетнанадифференцируемыэтом[—Т,Т].Изji(t)[—/,2/],v_(t)исогласованияфункцийпродолженияеслисегментефункциисоответственно}&{х)непрерывнодиффе-непрерывноначальных(рифu(x,t)Ф(х)функцияфункциячтозадачи,насегменте,ф(х)иследует,рассматриваемойсегментечетногоиA0.9)формулыдифференцируемадифференцируемаусловийИзрешениемнепрерывно(р(х)функцийпродолжения[1,21].иклассическимдваждыуправления267четные—сегментызадачиикраевыхиотносительноточекусло-х0=хиI=чтовытекает,МО)<р'@)=u(x,t)РешениеТО <м'@)0,=/ а,^V-'(O)=третьей«/@)0,=краевойопределяется=<р'A)сзадачиг/@)0,=ф\1)=начальнымиA0.10)0.=условиямивобразом:следующимx+at(хat)—Ф(х+at)+1^x—atJ[V(z)dz-t-x/at-{l-x)/a-aооФ(х)гдесоответственно на}&(x)инекоторые—A0.11)следует,чторассматриваемойзадачи,еслисегментеn(t)Функциите[-"Т,Т].иИзнепрерывно[—/,2/],z/(?)функцияфункцияЯ/(х)0,согласованиянаu(t)иформулырассматри-этомнаФунк-сегменте.дифференцируемыусловийji(t)Издифференцируеманепрерывнокраевыхисоответствен-решениемнепрерывнофункциинафакта,тогоипродолжаютсячтонепрерыв-нанулемz/@)Выясним,=(//@)=ч>'A)точекх=A0.11Nz/@)0,=необходимо0хиI=третьегобыла/ @)0,=асрA)+условийкраевых/fy>@)-образомкакимотносительномножество^@)=^@=аШ+0,=°-=(р(х)функциипродолжитьна[—/,0]сегментычтобырода,ифункция[/,2/]u(x,t),краевойсоответствующейрешениемРф(О)-соответственноU(x,t)=*(*<*)+*(*-<*)+задачи.Tnz)dz.1.+ZizajxБудемискатьнулевымфункцииграничнымФ(х)иЯ/(х)условий,изчто—Ux(O,t)Ux(l,t)+aU(l,t)-f3U@,t)==atфункцияA0.6):условиям0,A0.12)0.A0.13)U(x,иф(х)вопределяемаяОбозначимудовлетворяетсегмен-что/i@)формулойклассическимдваждытакженачальныхвытекает,случаебудетдифференцируемабытьф(х)ниже).иопишемпродолжениянепрерывнодолжныдифференцируемыеt <(этиu{x,t)Ф(х)[/,2/]и(р(х)функцийпродолжения[—/,0]сегментыt)удовлетво-268Гл.ИзA0.12)равенства[—/,0],сегментфункцийнаас'{at)<P'{-at)+Здесьф[а1)+2а'фактом,ПолученныетемФ(х)=ф(х)и\Р(х).=дифференциальныхtl/а^чтонасег-функ-этихимеетШа1)+Ф(а1)[22а^ф(х)ипродолженияполучим0 ^при*(-at)-воспользовалисьмы(р(х)A0.12)Равенство<р(х)функцийA0.13)равенства[1,21].идентифицируемостьпродолженияполучимпомощьюсегментнаблюдаемость,Управляемость,5.вид11+1ф^Q=-at0при^I^хравенствавыполняютсяусловияперепишемввидедвухуравнений:Фг(-аЬ)рФ{-а?)-=У (at)-f3cp(at)},-at-at)I-13V(z)dz%l>(at)=jC-ооВэтихсделаемуравненияхФ'(у)соотношения/ЗФ(у)—заменуf(y)=уСи(у)В—at.=/3G(y)—ф(г)dz,результатесоотно-получаемg{y),=гдевведеныследующиеобозначения:уJооРешенияуравненийполученныхф@)ср(О)=#@)иф@)=—l^y^Ocдляимеютусловийначальныхучетомвид-уФ(у)^@)е^=Ieto+еР*\ip\z)(Зе^УJdz,A0.14)рф)}-о*(у)=ф@)J+W(z)Pil>(z)\-dz-000ИзкраевойнаA0.14)выраженийчетноезадачи,сегмент/3функцийприпродолжениеC-0 получаем,=Jкак<р(х)иds\ф(з)иф(х)образомхизA0.13)равенстваравенство,получаемкоторое+аФA+at)=[<p'(l-at)-aip(l+-at)},l+atl-at/&(z)dz^(l-at)=+/aiуравненияхA0.15)второйслучаевотносительноуравнениямдвумat)Вdz.0=[—Z, 0].ПодобнымэквивалентноA0.15)иU(z)e?zсделаемatзамену/(У)=-Введему.=иг-обозначения:следующиеУ)+<xp{i-у)},1-у1+уд(у)=фA-у)+аJф(г)dz,G(y)=Jф(г)dz.эк-задачиКраевые10.Решениязадачииуправления269дифференциальныху)+I^УФ'(Iуравнений#(г/)=сможнопредставитьу)+аФA++ФA)условийначальныхучетом=г/)</?(/)=и/(г/)^(Z)С(и^@=привидев1-уA0.16)] dz,i —2/г;/Г/*1e~az^(^)+//A0.^(s)17)аLaLJa^IIКакаи0=навторойслучаевкраевойчетноеполучаем,^(х)иA0.17)иприотносительнож=[Z,2Z].сегментРешениякраевыхзадачРешениепервойкраевойследующий<р(х)функцийпродолжениеA0.16)выраженийзадачи,изфинальныхдляусловийзадачианалогично.получаютсяфинальнымисимеетусловиямиследую-вид:Фг(хU[X,t)а(Т-t))-Фг{х+а(Т+t))-—x+a(T-t)IlaVl{z)dz+Jl{t+-)+v(t+—),J\\aa/A0.18)/x-a{T-t)~p(t)функциигде[0, 2Т];~р(Т)0=~p(t)иV(t).функцияИзpi@)v(t)ифункцииэтиФункцииФ\(х)относительнохРешениехиI==нечетные—второйламбераусловиямнасзадачипредставляетсяи[Z, 2/]функ-ичтофгA)и\Т)=(fi(x)функций[—Z, 0]краевой0,=[0,Т],навытекает,и(Т)=продолжениясегментыв^(/)0,сегменте/i(t)=удовлетворяетусловийкраевыхиц'(Т)=\Pi(х)и0фг(р)0,на~p(t)условиям:АналогичнымТ.финальных==дифференцируемынепрерывноследующимсогласованияfi(T)=0=дваждыудовлетворяютt >прии0.=A0.19)ф\(х)отно-соответственно.финальнымиформулойусловиямиДа-видеx+a(T-t))_1_JZCLx-a(T-t)TT/а—r_г/jl(z)dz+/а_i/(z)dz.t+x/at+(l-x)/aИзфинальныхсогласованияиусловийкраевыхвытекает,чтоA0.20)^i(x)Функцииотносительнох=$i(x)и0их=четные—Zнасегментыфункцийпродолжения[—Z, 0]и[Z, 2/]соответственно.y>i(x)иф\(х)относи-I270Гл.Решениетретьейформулойx+a{T-t)наблюдаемость,Управляемость,5.краевойфинальнымисзадачи(C))идентифицируемость(представляетсяусловиямиC))ZCLx-a{T-t)Tfeaf3^x/a-z)Jl(z)a-dz+f eaa(t+('-*)/«-z)v(z)aA0.21)dz.t+x/at+(l-x)/aСогласованиефинальныхi/(T)=(pi(x)Функция[Z, 2Z]схРешенияфункций[Z, 2Z]образомСоответственнымA0.9)Такимобразом,0=наZ=A0.16),[—Z, 0]снаа[Z, 2Z]ипро-соответственноA0.11).[—Z,0]гранич-относительноточкиj-roфункцииусловиемслагаемые,Фи^определяютсяфункцийграничнымпо-условиямиПродолжениясодержащиехСоответствен-рода./iиvвформу-A0.11).{1,3}задачирешениесначальнымипредстав-условиямиx+atФ(хat)-Ф(х+at)+IУ22а/x(t{3,1}задачирешениес-^)+ffal-x)/a-z)u(z)dz,A0.23)оначальнымиимеетусловиямивидx-\-atu(xt).Ф(хч=at)-\-Ф(х-\-at)-±J^^Wr(z)dzx—att-x/a-aоИззадачи{2,3}с{3,задачиФормуланачальнымисмешаннойA0.11)формулы2}Ie-a№-x/a-z^(z)dzполучаемначальнымианачальнымиA0.23)условиямикраевой=априE(t-l-^y+0 решение0A0.24)смешанной=краевойзада-смешаннойрешение—краевойусловиями.даетприCприусловиями,сазадачисмешаннойрешение=0,Jиф\(х)формулойпредставляется22)[—Z,0]сегментыфункцияначальнымиисегментэтихпреобразуютсяA0.7),{i,j}A0.9)продолженияопределяютсяихиисегментыA0.7),хрода,назадачкраевыхi-ro0='A0.17).относительноусловиемформулахZ=формулам(рифсегментжиисмешанныханалогичнополучаютсяграничным0=A0.15)формулхA0.14)формулпомощьюотносительнопомощьюнаотносительносA0ф'1A)+аф1A)=и\Т)=0.V0,=продолженасоответственнопродолженыусловий:краевыхиа{2,1}краевойA0.24)формуласначальнымипризадачи/3условиями.=0 представляет{1,2}сначаль-решение=ZзадачиКраевые10.Аналогичнымуправления271образомфинальнымисзадачзадачиирешенияполучаютсяРешениеусловиями.финальнымисмешанныхдлясмешаннойза-краевыхкраевой{1,3}задачисусловиями:ц(м)Ф^х-аР-Ы+Ф^х=аР-г))+1__x-a(T-t)Т+асмешаннойрешение(tVД-)a)J+краевой+[аeaa{t+{l-x)/a-z)V(z){3,1}задачиимеетA0.25)dz,видx+a(T-t)ZZCLJx-a{T-t)Tj-at+x/aИзкраевойпри/3{1,2}задачизадачначальнымиA0.3).РешениекраевойсзадачиТакимji(t)иu(t)иБудемС2[0,Z],пространствуЗадача2.1.С2[0,Т]пространствеНайтиволновоетосформулированнуюза[(/?i(x),'0i(x)].Задача2.2.С2[0,Т]Найтитакие,начальнымизаданныминулевые2.1tвремени=сТвыпол-[(pi(x),ij i(x)].колебанийуравнениекакструозадачу[ир[х),ф(х)]состоянияпотребуютсянамозадачапрост-взадачиеепереводепере-состояниевчастныеслучаи:покоящейсяпервоначальносостояние.заданноевиизZ].v(t)икраевойрассматриватьТзадачирешенияколебанийгашениимоменткаквременипромежутокДляострунызадачуС^О,/х(?)функциифункциямирассматриватьможнозадачи.пространст-первойвобговоритьпринадлежатиф(х)}заданнымиуравнениеструнызадачасусловияЕслиуправляющиекраевойu(x,t)[(р(х),условиямифинальныевыполнялисьТ=илитаки-условийнайденыпространствуtсибудемф\{х)ирешениядляA0.2)дальнейшемпринадлежатвременичтобытакие,ф{х)i/ji(x)моментначальнымизаданнымипространствеф{х)иВусловитойрешениесоответствующейфункциичтофункцииаТ.удовлетво-финальныхеслиусловияхгразадачифинальнымкакищетсярешена,виусловиямивремениструнызадачu(x,t),A0.2)выполнениеуправленияпериодпредполагать,функциюобеспечатзадачаколебанияминайтиначальнымиосновеследующейрешениезадачикоторыеобразом,функциипереводе{2,1}задачиВлежитусловиямизаданнымиусловиями,управлениивыполнялисьусловиями:начальнымсформулированнойкраевымиструны,смешан-краевойуправления.струныA0.1),уравнениюA0.3).A0.26)решениеполучаютсясмешаннойрешениеиграничногофинальнымииудовлетворяющуютакими0=колебаниямиуправленияинойсоответственноаприПостановки10.2.условиямA0.26)пA+1-^).+0.=граничногосA0.25)формулсмешаннойиеа№+х>а-*^(г)йгмоментдляусловиямифинальныеtвременичтобыусловия:Т=u(x,t)решения[(р(х),ф(х)}и(х,Т)=fi(t)функцииипервойвмомент0ивкраевой=0.простсзадачиtвременищ(х,Т)v(t)и=Твыпол-272Гл.ЗадачаНайти2.3.С2пространстве[О, Т]ссостоиткраевойвторойнайтиЗадачаНайти2.4.C-^OjT]пространствемоменттакие,ЭтоТвременипотребуются[</?i(x),еечастныеЗадачаНайти2.5.задачаогашенииколебанийструнывзаданноесостояние.C-^OjT]пространствемоментчтобытакие,начальнымизаданнымивыполнялисьфинальныеC-^OjT]пространствемоментначальныминулевымифинальныесусловияуправлениязадачформулируютсяфункций,3-гоипервогоРешение11.родазадачРешение11.1.Всформулированныевконцезадачу2.3,задач2.21.краевойпредыдущегорешениефинальнымиуравненийусловийкраевыхС^С^Т],колебаниямидляструныДаламберавкраевойсформулирован-управления,Сначалазадачипервойусловияхзадачирешатьрешим2.1управления2.2,задачунайдемкакза-затем—за-решенийсумму2.3.иколебаний.ГашениеусловияхзадачейусловиямиA0.2)[ир(х),ф(х)]A0.1),A0.2)и{х,Т)РассмотримA0.1),задачейначальныхкраевойобщейДлякраепространствахС2[0,Т].управлениябудемпараграфа.сфи-смешанныхвуправлениязадачипараграфеэтомпрост-взадачипространствевпространствеграничногоu(t)выполнялисьиv(t).иищетсяметодомзадачи.задачиji(t)в—Тзаключаетсяуправленияфункцияикраевой=свыпол-^i{x)\.отличиеуправляющаяусловияtкраевойаналогично,ищутсяродакраевоговторойусловияхвремениТ=0.fi(t)функциипрост-взадачиt=u(x,t)v(t)ивременитретьейпереводекраевойщ(х,Т)ии[</?]_(ж),функциямивкоторыхв2-гомоментвзаданнымиTпотрео/х(?)момент0==вретакжезадачаитретьейврешениядляусловиямиЗадачикраевыхвременичтобытакие,tнамфункцииисвыпол-промежуток2.4u(x,t)[(р(х),ф(х)]и(х,Т)условия:Найти2.6.Т=решениядляусловияминулевыеЗадачаtТ=ф^х)].зазадачирешениявремениt[</?i(x),прост-взадачивремени[(р(х),ф(х)]состоянияv(t)икраевоймоментввзадач.третьейДляслучаи:управления/i(t)функциииф(х)]крае-третьейкраевыхф\{х)\.покоящейсяпервоначальнодругихусловияхвфункциямиизотличиеусловияхu(x,t)заданнымиструнысостояниевспереводезакреплен-задачиТ=решения[</?(х),условияозадачавсмешанныхtоднимфункцию.управлениявременидляусловиямифинальныевыполнялисьсуправляющуюусловияхвнуле-финальныевыполнялисьсформулироватьлегкоисЕдинственноеструнычтобыначальнымизаданнымиоднузадачизадачипрост-взадачиструнытолькопостановокихкраевойТ=задачам.сформулируемиззадачи,условияхtv(t)икраевойipi(x)].колебаниямиСначалазадач.первойколебаниямитребуетсяУправление10.3.?)сформулированнымчтотом,в[</?i(x),/i(t)функцииивремениуправлениианалогичныконцомкраевыхобзадачТи(х,моментвидентифицируемость=решенияфункциямизаданнымиПостановкиtвременидляусловиямиусловиязакрепленныммоментчтобытакие,начальныминулевыминаблюдаемость,Управляемость,5.иуправляемыйA0.4).можноA0.4)0, щ{х,Т)и=запериодимеет0 приструныТвремениA0.7).вид=описываемыйпроцесс,колебанияУспокоить0^х^при=ВоспользуемсяI.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
