Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

.,4.(8.17)соотношений(8.14)и348Гл.(p(to,T)ЗдесьРешениеАгдеминимальное—определительнастоящегополучаем,задачуТ)Тактои2-=как1) toТ1,>еще2) toТ1,>РассмотримПусть,жетуhiСледовательно,вТh3=Таккаквыполненымоментныхh^иопределениювектор?о)х°.W(T,—сПоэтомуC2,"жесткое"моментыto)xlточкиТ1,моментныевременирешаетсяtotoизвестнымиТнефиксированы,способами.=1,. .,4,всвж1=—видеto)xl(8.20)егоможнокакхарактеризоватьиконечныйначальныйнесколькомомен-Оноиное.рассматриваемогосвязываетПоэтомупроцесса.продолжительностьаДляуправления.иизвестнаспроцессапостроить(8.15)соотношенияипредставитьвОстается2.>формулойзадаетсяопределяетусловие^toимеемзадачаэтоС4}(8.20)—гс4.(8.19)системыТлинейнодвелишьусловиюПоэтомусостояниеограничениятоограничениямоментыТ.иодном8.1)q,х\-х1-(Тх\-х\.(8.21)==продолжительностьизаданы,нахожденияТакаянаСодержаниех1ж0,учетомэтомtoсодержитограничениевремени.точкиеслинерешения.впостоянныеможнох\-х\(8.21)=С3,(8.19)х\-х\-(ТУсловиетос2равенстваtoиметьпримервыбратьиh^.hiподчиняться{ci,=не(D.(8.18)h4==можнодолжныci=c3,Поможет(см.будутэто(8.18),(8.15)онаслучаеh2соотношениясоотношенияхзадачейпеременныхбыстродействияэтом/12, h$Пусть/i ,(8.7),10.1):управляемой.(Т.

~f),=системеТ;<примерявляетсязадачаоптимальномВ2.(см.изменениячтоявляется>вектор-функции.независимыхtoсистемыПолученнаяобластьобне1,^toнапример,1)что:такие,условийизследует,задачу(8.7)системаТ),<сформулиро-управляемостикоторойОтсюдатеперькогдаслучаев,Тиодно2.^взамкнутой.являетсяtoполнойслучайилиtoможно.выполняться2>записать(причемвеличинынайтиmin=элемента,можнобыстродействиипрограммирования,неизto-дополнениеПоэтомупеременныеТребуетсяТдолжнонелинейногокакрассматриваеммытогокромеТ3)Тиоптимальномобразом.следующим2) <p(t0,иобалгебраическоестолбца.j-roи(8.14).извидев—строкиtoтеперьчтоA&jaк-йуправленияJпредставитьсистемы,Рассматриваясформулироватьможнопересеченииоптимальногофункционалазначение(8.17)системы—задачиПростейшие6.его(8.14).ограничениелишьразностьПриT—to.ГЛАВАОсновыобщейВпредыдущейуправлении,послевоенногоВместевремениметодоввторойкПервыйизнихсоответствующийБеллиан)Р.Еговаэффективным,е.этоипроблемы,этоймаксимума.системах,математи-обоснованиемспособовчисленныхточногоприближенногоисмаксимумаотносящихсяподксамогоначаласформулирован-различнымсобойобосно-процессовобыкновеннымитакжемаксиму-корректнооптимальныхописатьазадачам,принципапредставлялисследованияможноЛ.С.Понт-руководствомназваниеполучилиметодкоторыхСССРрезультаты,исследованияматематическийповедениевматематиковтеорем,методыПринциппосколькупринципиальныематематическимкорректнымгруппойоднотипныхсоответствующиеобоснованныйматематиков,иразрабатывалосьнаправлениевидеегообла-впрограммирова-сторонывозникалиспро-работающихдинамическомуксоииспользованиидинамическоепоэтомуиначаласвязи,системы.специалистов,интересобратнойвидезадач.Полученныевсамогоиприкладныхсформулированныесэффек-достаточновзадачах,аналитическихДругоесостояниясредисвязанныеразработкойрягина.функцияприкладныхповышенныйегорешенияполучаетсяАйзеке,программирования.оказалосьобычнопопулярнымОднакопроявленматематическиекаквсталопрактическомприконкретныхважноприложений.динамического(Р.СШАвзадачуправлениеоченьбылметодааоптимальности,принциперазрабатывалсязадачнаходитсянаукибазируютсятеорииуправлении.решениярешениинели-ихарактеристикематематическойэтойназываемомназваниеуправлениеЭтообластитакоптимальноепрограммированиепрограммированиюоптимальномполучилиприменениет.обналинейныхпоирезультатыоснованпосле-обоснованныхдлясозданыдостиженийзадачамтехникевтипабылиОсновныеуп-алгеб-решениюнаучноподобноговажнейшихметодсводитсяпрогрессметодывека.оптимальномкразработкизадаччисловХХ-гоподходахдвухстремительныйТакиевошлиполовинытемсложныхуправления.ученыхинымобзадачиспособомилинеобходимостикболеесистемрядаспривелрешениянелинейныхнатемкоторыхпроцессовпростейшиерассмотреныуравнений.алгебраическихоптимальныхтеорииглаверешение7систе-вдифференциальнымиуравнениями.Главнаячтопринципаониисследованиямиматематическихкорректныхуправлении.создателейзаслугасвоимиТеорияаппаратинауки,обогащаясьметодовоптимальныхвсделализначительноймеревсеновымирешениивпроцессовсталаидеямиразвиватьсяиобзадачметодами.какоптимальномуправматематическийветвьвприменениепопулярнымнеобходимыйполучиласостоитвидимо,максимума,необычайноматематическойтом,350Гл.Заключаянебольшойэтотприближённыхрольоговоритьнаправленийобчтотом,прикладнойэтовремяНеуправлении.направлениеспециальныххуправляющийзамкнутой){xi,.

.,хп}QобластиуправлениювекторВектор-функцияКачество//(?,определеновбудемпроцессахрешение1,гл.которомдостигаетза-илидопустимыетакомууправле-Коших°.=будем[G(t,x,u)dt,A.2)накоторомJt0FGиназыватьпонепрерывныПроцесс,снизу.наименьшегоуправ-—процессом.функционаломфункцииограниченыи{/i,.

.,/n}(x(t),u(t))характеризоватьскалярныеаргументовип}изадачиx(t0)пару{ixi,. .,=каждомуx(t)=u(t)),х,I[to,u]=F(x(T))+вуправ-(открытой=чтотакими,=инекоторойизпредполагаютсяхЕп,взначенияединственноеэтоПустьto<t<T,A.1)фазовый—ЕТ.Сu(t)=соответствуетКакпотребовалазадачБеллмана.f(t,x,u),=принимающийиееуравнениемпараметр,управлениязадачполнодостаточноспецификаУравнениеоптимальности.xкоторомнаправ-решениемпрограммированиеописываетсяпроцесс=смыслизодноосветитьчтоДинамическоеПринцип1.1.сформировалосьприближеннымвозможностилишь,Исимеетнаверное,методов.1.управляемыйимеяотметимтеории,разработкисважнуюуправлении.и,ужесвязанноематематики,оптимальномчрезвычайнооптимальномразнообразнынастоящеепроцессовотметитьобзадачдостаточновоптимальныхтеорииследуетрешениивобластиэтойвобщейобзор,методовИсследованиявОсновы7.возможногобудемзначения,всехсовокупностиназыватьсвоихA.2)функционалдости-оптимальнымпро-процессом.ПринципвОптимальныйоптимальности.A.1)системеtвремениоптимальнымобладает^toг,=поТ,<т(x(t),u(t)),независимоотж(т),толькочемследуетотметить,следуетдоказать.наблюденийнадЕгодолженрассматриватьсяво-вторых,ЭтотТ,<Т',остаетсяопти-теориипостулатнезадачисследованииВопераций.счастности,теоремы,точкикОнкоторуюполученныйматематиказренияЭтово-первых.процессам,управляемымболеенаблю-изуправления.толькоуправления.другихифакт,иотноситсярешений.принятиисостояниеоптимальности,типакактеориивпринципаутверждениемпроцессами,вигрэтогорассматриватьисследованиипереведенах(т).являетсякакпритеориинепостулатпоследовательномA.1)использованиюнужнорассматриваютсяв<tмоментаG(t,x,u)dtсостоянияпротекающимиАзадачонfсистемаэтогокчтореальноиспользуетсяобразомотпереходитьонкоторые<тJТкакимтого,зависитПреждепроизвольногоt <критериюI[t,u]=F(x(T))+идлячтопроцесс(x(t),u(t)),toпроцесссвойством,темуниверсалениоснованныхоптимизации,импользуютсянаприрешениииспо-Динамическое1.программирование351ДляиспользованияпрактическогорассматриваемойздесьзадачеS[t,x]ИзэтогоСдругойwGOопределения,Беллманаf G(r,x(r),u(r))dr\.A.3)частности,врассматри-вфункциюназываемую\fI(/x(T))+.Imin=оптимальностипринципатакопределимчтоследует,S[T,x]=F(x(T)).A.4)стороны,S[t,x]изнепосредственноопределенияГft+5tГ1<^ F{x{T))min=где—>0otченноеS[t,Etприх)В0.можно(t)enсоответствиисx(t),u(t))StoEt)+соответствиивможноS[t,Пох){G(t,min=Поэтому,0->приПредположимгдеx(t5t,+°2(l"-fa)rИзSt)]ч0O(Et)S[t5[t++A.1),fe(t),x(t5t,5t)]}.A.5)+соответствующееупчтонаходим,+r^их]Oi((ft),A.6)x(t)0, r2A.7)+=можноfe(t)]«2дифференцируеманепрерывноТогда5t,+A.6)x(t)=5[?,функциячтоприсоотношений++уравнения5t)=/(*,x(*),u(*))(ft+аргументов.=соотно-последнее0.своих+/+o(St)+x(t-^далее,всехсовокупностиS[t5tполу-+(см.A.3))решение—±(t)Et=оптимальностиопределениемu(t))Stполагаяfe(t)o^Stf/Stx(t),x(t)u(t).o(bt)\,видевпредположениюуправлениюгдеспереписать+принципом<^^Л4F{x{T))minследовательно,G{r.x{r),u{r))dr=видев•Wenсоотношение\+записать| l G(t,min=F(x(T))+^соотношениеdr\G{r,x{r),u{r))dr+G{r,x{r),u{r))\G(t,x(t),u(t)Mtmin+/+^*Jt+5tJt<f<Tи,получаем=S[t,=позаписатьx(t)}+l+получаем,гдеобозначенооз—величинаскалярноетогопроизведениежечтопорядка,векторовис>2,zиачерезwиз(x,w),.Бп.какобычно,A.8)обо-352Гл.Основы7.ЕслитеперьA.8)и_ds[t,x(t)]st=непроцессовзависитотmin,операциитоизчтоследует,(G(tI\ ilWi^p+/^l)/(tia;WiM(tm.natu(t)enоптимальныхтеорииS[t,x\функциячтоучесть,A.5)соотношенийобщейoxA.9)обеПоделивSt(см.этогоВеличина0.—>частиA.5))соотношениязависит04обладаетStотитогеизЗдесьax(t)tрешениясоответствующегопроизвольныйфазовойu(t)?[?,иисходилипроцессеопределилиполученосоотношениенеобходимыеПустьобРешаемправойминимумаСчасти(х°(t),иэтойи0(t))сначалацельюВуравнения.итогеA.1)функциюопределимПодставляяеев=dt\\котороенуж:ноПредположим,чтополучим9S\\-7Г-J JdxсрешатьтакоеYA.12)—уравнения,Лn(+G[t,x,u[t,x,ds-—частьправуюu(t,x,=+,начальногоучетом\dxуравнение-,A.4).условиянайденорешениеS(dS=S[t,x].иимскритериемявляетсяпроцесс.иопределимнеоднозначную)инеоб-оптимальный—этомбылоопределяетуравнениядлярешениеБеллмана.уравнениеБеллманауправленииимеетнаикоторойформе.следующейвБеллманауравненияотносительноуравнениеоптимальномA.2)сонеизвест-оптимальным,S[t,x(t)],ПоэтомуоптимальностизадачаПоэтомувыводеявляетсяБеллманаA.10).оптимальноститочкуотносительноПри(x(t),u(t))процессфункциюусловияпро-вначальнуюпроизвольно.уравненияБеллмана.чтотого,братьБеллмана.уравненияизтого,выбиратьвидесоответ-можноКромеt.в[to, Т],отрезкавремени,ж]уравнениемАнализ1.2.измоментрешенияивполучимвремениэтотвможнопереписатьназываетсякотороемыможнофункцийчисле0—>значениетомвтраекторииA.10)соотношениеНачальноевремени,оптимальнойнеизвестныхu(t).момент<5tмоментA.1)Поэтому0.—>приопределением0.->приуравненияуправлению8tпределукспри8tпределев0принемвсоответствиив—>фиксированныйпроизвольный—значение—0->A.9)соотношения\8х\otперейдем8хНочтоoA8t,8x)-^V—'В8х.исвойством,тем8t,наизусловия(возможно,Динамическое1.(ОноA.12),программирование353можетнеединственным.)оказаться(опятьполучимже,ПодставляяuЕсливообщеполучим,говоря,(x(t),u(t)).будет(ж°(?),процесспониматьvP(t))Здесьтакжебудутбудемнемыауравнения,входитобсуждатьегометодывсегоОтметимотличающуюегобылоиспользованоотоптимальнойнаОднако,какS[t,функцияпоказываетx]анализможети*).эффективнымособыйметодомтакимТемнедопустимые\щ\областииуправления1.

Критерием^u(t)Gограниченная—Такимвfi=uiXi-\-X2iположитьГdS\Ul\^i[atЫК1и(см.требуетсянайтиего,< ,x,и)+<G(t[oxi0x2mm=—-арешение,Дляэтим(см.ме-A.13)),уравнениямиг^2,U2(t)}значенияпринимаютлишьфункционалG(t,xux2)dt,повсемслучае^2?=явля-получаемыесостоянийвозьмемрассматриваемом/2можетуправления.=непрерывнаяснизу,образом,чтоописывается{ui(t),[свойствомонауправлении.факт,фазовых?2,%2=функэтимоптимального+уравненияA.6)).оптимальномоптимальностиI[u]=гдеобпроцесс=выводапроцессетраекториитотUiXiОтмеотличаю-существеннопрограммированиесинтеза=различныхсложна.примеров,задачуправляемыйвопросоврешенииоптимальнойфункциямиПусть1.1.этихдовольнодинамическоезадачарешаетсяпутемследуетуравне-дифференцируемости(см.

Характеристики

Список файлов книги