Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 49

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 49)

,ur}=Q(t)B(t),Q(t),R(t)aматрицы,Напомним,параметр.(неотрицательной),(неотрицательна)положительнавектора/Jt0иположительнойназываетсяуправ-функционалположительный—программирооптимальногоto<t<T,C.1)B{t)u,++{жь.. ,жта}=рассматри-динамическогозадачслужит=можноуравнениемA{t)x=оптимальностиI[u]чтоесли-поло-матрицафор-квадратичнаялюбогодляR(t)—отличногоотнуляа,ДопустимымиСпредставлениябудемуправлениямифункцииQприложенийописываетсяхкритериемобоснованиеегорегуляторовлинейно-квадратичныхкоторыйэвриприме-получитьэтогоконструированиирешениемнекийОднако3).плодотворныхсизложенкакудаетсяпослекогдаслучае,которомуправлении.лишьметоднаиболееизуровне,анализаинабес-терпяттомврассматриватьследуетматематическогокакитомоптимальномпрограммированиярассматриватьформаегообзадачстрогогодинамическогоМСледовательно,решенияМ(х°)точкев——^получаетсянаБеллмана,приемпроцессовдТи——^результатОВ.уравненияэвристическийоптимальныхтеориипроизводныеАналогичныйразрыв.точкаобщейдТобразом,бесконечныйаОсновы7.иu(t),=ОднакоЕТ.этихдальнейшемвпредставляетсявивидеЕслиОнаэтоu(t,=будетподставитьлинейнымпочтопредполагать,иполученноеначальноме.т.явнаяуказанапредставля-управлениеA(t)x=C.1),уравнениевB(t)u(t,+=зависимостивu(t,x).Однаковимеетуравнениеполучимуравнениеж),C.3)нелинейнымилифункцияхчтотем,характеризуетсяпредставле-x).управлениехкотороенелинейнаформаинаякоординат,областизамкнутойилиинтересоватьфазовыхотуправлениянепрерывныекусочнооткрытойвбудетнасуправлений.допустимыхзависимостьлюбыесчитатьзначенияпринимающиеотлюбомслучаеединственноелинейнатого,илибудеммырешениепредпозаданномприусловииx(to)=x°.C.4)Тотфакт,состоитвu[t,x(t)]C.3),КошичтобынайтилюбомприБолтянскийпрограммирования//х°вВ.Г.x)достигаетнарассматриваетсябудемзаписыватьиуправлениеC.2)функционал)динамическоготом,u(t,C.4),управлениезадачирешениизначениячто=своегосоответствующемu(t,x)емуu\t,x(t)\.видевЗадачачтотакое,наименьшегофункциинавозможногозначе-C.4).условииДостаточныеИзв.АНусловияСССР.оптимальностиСер.иматем.—1964.обоснование—методаТ.28,№3.динами—С.481-514.Задача3.обЭтазадачазадачейобявляетсяважныепроблемам,поконструированиирезультатыфакт,тотОнИмрегуляторов.наиболеепожалуй,исследованийчтотесноонаеевсталаееза-получе-Однакорешении.источникомпримыкающимназвалбылиженемногочисленныхобзадачеканалитическомрегуляторов.Применение3.1.СформулированнаядинамическогообзадачарассмотренныхаотноситсяуправленииПоэтому1.S[t,x]выводитьA.11)u(t,x)управлениенеедля(см.результатомоптимальноеизадач,классукбудемнеготовымвоспользуемсяБеллманаСформулиро-программирования.оптимальномпараграфевБеллмана,рас-уравнениеA.12)).иФунк-бытьдолжнысвязаныБеллманауравнениемminlx*=-—Btи,А.М.Летовым.сформулированаконструированииважнымФункциябылавпервыеи,менеерегуляторов365конструированиианалитическомпервыеполученыаналитическомuenкромеQ(t)xСначаладостигаетсвоегодостигаетВыражение,поФ(и)=/3u*R(t)u(+)Ви—,\ВхобщностинарушаядФ(и)какивтойжеточке,всемв/3 V=I*-^*-^C.6),которойвRikUiUkУУ+дости-дальнейшихрассуждений,bjkuk.—*-^k=lточкеАу,_BxjJRматрицуможноBSФфункцииминимума=0,Buvвыполненоvстационарностиусловие1, 2,==.

.,г,тоВхгде0—Отсюданулевойвектор.следует,что1ВЧuПодставляяпрост-уравнениивПоэтомусимметричной.Таксосовпадаетскобкахпеременной47i,k=lj=lНеQобластьквадратныхвфункцияминимумасчитатьусловиекогдастоящееминимумаC.5)to<t<T,,\=x^T)Fx(T).C.6)случай,рассмотримЕг.Bu\+дополнительноеS[T,x]пространством\—,Ax+выполнятьсядолжнотого,Cu*R(t)u+|_\BxJнайденноезначение=--R-\t)B4t)-.C.7)ивуравнениеC.5),получим*)?•C-8)счи-366Гл.Основы7.Такимобразом,нелинейноеискатьпредложилсK(t)C.9)гдеИзподлежащаяПодставляяполагая\k(t)Так=какx*K(t)x,|^матрицуK(t)этоK(t)KA(t)+A*(t)K^ K(t)B(t)R-\t)B*(t)K(t)C.9)C.11)должнаудовлетворятьдолжноТакимC.12L).формулC.7)Темзаписансправавсематрицу,C.9)иC.13)элементыоC.2),определенныйуравненияко-допустимыхОднакофункциякакихS[t,x]длябудем,C.13)управлениеБолееавтеориейуравнения—М.:Физматлит,экс-условиюудовлетворятьочевидностьючтоследует,C.7)ичтоследует,C.8).искомаяC.9).видечтодоказать,следуетуправлениедоказательствоздесьчтоутверждением,являетсяреше-единственнуюдолжнонеТакоелишьуправ-функционалимимеетсоотношенияоптимальным.ограничимсясРиккати.сзадачидействительноподробноУравненияиОтсюдапредставимаявляетсячтонеобходимомувыполнятьсярешенияполученноеонсоображенийбытьдействительнонеC.6).должныполногопомощьюсоответствующихпеременнойдополнительныхдолжнаПоэтомуиудовлетворятьусловиюточкеизнидолжнаисуравнениючтотом,поэтомуизначениеБеллманазадачу,Очевидно,управленияхсоответствующееэкстремальнойввыпуклым,точкатоудовлетворяющегоубедитьсяоптимальным.являетсяЭтае.т.C.11),Кошизадачуэтууправления,Остаетсяявляетсяминимума.экстремума,урав-управлениепостроениинарешение-^-R-^^B^^K^x.C.13)=решен.C.1),Значит,имеемрешитьоптимальноедействительнорешенияхK(t)удалосьполучаемвопросC.6).матрицыспособомполностью)0,C.11)F.C.12)=определениядлякаким-либосамымБеллмана,А.И.от-условиюu(t,x)Егоровтож,=Здесьусловиюудовлетворятьобразом,ЕслиприводитьQ(t)Риккати.квадратную0.=уравнение+уравнениемxвекторедифференциальноеК(Т)C.13)любомприсобойQ(t)]+^ KB(t)R*(t)B*(t)K-C.8)уравнениевиметьнулями.ФункцияуравнениювэтойC.10)ибудемматричноепредставляетявляютсяC.9)выполнятьсяматричным0, которыйсимволточкуматрица.K*(t)x.C.10)+изполучаем+K{t)x=симметричной,должноназываетсякотороеуправлениесимметричнаяпроизводные-равенствоКееиA*(t)K(t)+матрицыуравненияположительнаяSK(t)A(t)+относительнокоторойнели-предло-=x*K(t)x,C.9)определениюфункциюзатемж*имееммыполучаем^их]А.М.ЛетовформыквадратичнойвидевS[t,x]—S[t,C.6).условиемзадачипроцессовБеллманадополнительнымэтойрешениеоптимальныхтеориифункцииопределениядляC.8)уравнениеобщейонопри-существуетиоптимальным.Риккатиможно2001.ознакомитьсяпокниге:Его-Задача3.обаналитическомПримерОнтокаразмератого,этомнамоткипроцессеуменьшать/х(?)черезувеличе-J(t).инерциинеобходимоприкатушки.которыймощности,усилителяТогдатока.моментнамоткивращениянапряжениепостоянногодвигателемсоСкоростьИз-заеескоростискоростьугловуюпостоян-проволока.возрастаетпостояннойпро-Двигательпостоянной.поддерживаетсяподдержаниядля7.3.1.рис.наматываетсякоторуюнамоткидлянакатушкувОбозначимуправляетнанакатушкиКромепредназначенныймеханизм,катушку,проволоки367регуляторовпредставленныйсхематическивращает?намоткиувеличенияРассмотрим3.1.проволоки5).постоянногоконструированииполучимуправля-уравнениеC.14)Здесьакоэффициент—входнымпропорциональностиеескоростьювращениятого,междулинейнойирадиусомВводяновуюC.15)иПредположим,вращенияможночтокатушкиобразом,переписатьвидевСзависимость==JиустановитьзаизменилсяRнаRdR.RdRинтегрированиясR3dR,Послеэтихзадаче)1977.иСм.:Квакернаак-+dR,+dJпоэтом650гдемоментhjR3dR.=системой,при(о-СоответствующаяравнаСиванР.Линейные—еслира-изменяетсякатушкиинтегрированияпереходимполучаемнепосредственнокнамоткискоростьэтомуоптимальныеинтегри-Однакопостоянная.Послекоторомиме-ПослеинерциизамечанийX.,с.ht,тоЯ4@)]-управленияпостояннойподдерживаетсяR2@)RПоэтомупостоянна.пропорциональности.предварительныхтакогонамоткискоростькоэффициент—доаh[R4(t)+как=RотJ@)такR2(t)получаем7.3.1сторо-Рис.другойсгдевозрастает=этомпропорциональноcdt,величинукатушкиПринамо-dt,=Rtt)зави-проволоки,объем,жек атутмож-dR.величинупропорционаленрадиусТогдавременирадиускатушку,Тотhaобразом.объемаувеличениенамотаннойнапо-отdtвремянаны,(поддерживаетсяconst.следующимПустьj(t)вра-скоростьСомеждуC.16)=такимлинейнаяпроволокипостоянной:скоростьрегулируетсячтонамоткиМир,оче-существуетR{t)tu{t).C.15)=сJ(t)иугловойпеременнуюC.14)уравненияна?(?)намоткискоростью<(*)имеемдвигателяR(t),катушкисвязьочевиднаяможномощностьюмеждуКроменапряжением.поддержи-значениюсистемыза-номинальнаяуправления.—М.:368Гл.?o(t)C.16):величинасистемыаже?(?)переменнойноминальнаяВОсновы7.входнаяобщейоптимальныхтеориисогласноопределяетсявторомуизуравнению^Ц,C.17)/хо(?)переменнаяпроцессовизнаходитсяпервоготойуравнениясистемы:соответствииC.17)формулойсотсюдаполучаемdy(t)обозначенияВводяможнополучить?(t)=?o(t),-u(t)динамикиуравнения=Критерием/io(?)?-рассматриваемогоv(t)((t)=(o,-процесса"^оптимальности/i(t)Jit)функционалвозьмем[v2(t)+f3u2(t)]dt.Здесьtot\имоменты—уравнениеКромеимеетЭтоусловияпоминимумапослеуравнениеиисключенияэтогоэтомслучаеизправойчастиищемиfdS\2aC.18)уравненияпеременнойнего\2уравненияo.=переменной_9S__(r{tlРешениеВпроцесса.условиеs[tuy]Изокончанияивидвыполнятьсядолжнотого,началавремениБеллманапринимаетполучаемвидOSipвидевS[t,y}=K(t)y2.C.20)Следовательно,Риккатиуравнениеэтомвимеетпримеревид¦Интересующеенасэтогорешениедолжноуравненияначально-удовлетворятьначальному условиюK(h)Знаяможноконкретныйполучитьвиданалитическими=R(t)функцийилиичисленными0.C.22)J(t),C.21),задачирешениеметодами,азатемC.22)спо-Задача3.обаналитическомC.20)формулмощьюрегуляторов369конструированииC.19)иприближенноеполучитьоптимальноеуправле-управление.Оптимальные3.2.действующимиописываемыйсистемахсдействующи-постоянноуправляемыйрассматриватьописывае-процесс,уравнениемхA(t)x=КритериемоптимальностизадачивместоdSГ(dS\x*Q(t)xдополнительнымпрежнимпомощьюусловияполучимуравнениеCu*RuIрешенииприC.4).—,ИсключаясипеременнуюC.7).формулупрежнююполучимПоэтомуБеллмана:+условиемминимума,Кри-системе.вC.2)).уравнение+[\axивозмущенияфункционалжеследующееmin=atto<t<T,внешниетотполучим—(/(?),+характеризуетберемC.5)B(t)u+f(t)вектор-функциягдесвпроцессыБудемвозмущениями.C.8)Вместопо-(i9Udi)'t)diТакимобразом,соптимальноговычислениямC.8),формыарешениеобщемK(t),матрицакоэффициентыg(t)векторx*K(t)xgТакAg+C.6),уравнениеr(t)ж,находим,C.23)ичтоr(t)иопределе-коэффиКматрицаg(t)ФункцииподлежатприравниваядолжнадолжныудовлеопределятьсяОтсюдадолжна{9i(t)j••i9n(t)}относительноудовлетворятьвизиC.24)=0.C.25)начальному0.C.26)=C.25),C.26).трудностьвC.11).g(t)фактор-функцииУравнениеопределенияРиккатиC.25)ПослеK(t),определенияуправление=-±R=x*K(t)x+находимg*(t)x.поформулеC.7):=линейнофункциипостроенииполучаемоптимальноеu(t,x)дляосновнаяS[t,x]этогоrудовлетворятьг(Т)в,Кошиуравненияформулыазадачупоэтомурешении=0,=имеемд,состоитr(t)чтоследует,•0,=тод(Т)Послеr(t),C.24)+2Kf--[-KB*R-1Bg+C.24)функциякакусловиюr(t)содержа-квадратичнойвидевуравненийиз—нефункциявC.11).Риккатиg*(t)xскалярнаяистепеняхуравнениюслагаемого,C.23)+C.24)одинаковыхприудовлетворятьx]=функциюПодставляяопределению.Наличиеуравнениярешениюквычислени-видеS[t,гдесводитсяпоследующимиC.7).формулепоболеевC.6)условиемискатьвынуждаетзадачаслучаедополнительнымуправления/(?),содержащего<3-23)рассматриваемомвC.23)уравненияпо-C.24)g(t)и370Гл.АналогичнымобразомC.1)системы(p(t)гдеЗадача3.3.которой,A(t)x=систе-дляv(t)]+Cu*R(t)u}dt,-A(t),пхгитхпуправляемуюB(t)u,+обычно,какyB(t)чтопредполагается,отрезке0<?<Т,C.27)непрерывные-КроменасистемуC(t)x,=C(t)исоответственно.наблюдаемасистема<p(t)]*Q(t)[x(t)-когдаслучае,функционалРассмотримслежения.хпхп,{[x(t)процессоввектор-функция.заданная—/томвберется+оптимальныхтеориизадачарешаетсяx*(T)Fx(T)=общейоптимальностикритериемI[u]вОсновы7.чтопредполагать,(см.[0,Т]времениразмерностейматрицыбудемтого,эта3),параграф5,гл.е.т.матрица[М(Т)=W*(T,t)C*(t)C(t)W(T,t)dtJoположительной.являетсяОбозначимизвне,иz(t)=будембудетy(t)—z(t)черезегозаконвектор,собойКритериемизменениявыходомжелаемымпредставлятьC.27).системыm-мерный—называтьбудемпроцессаe(t)вектор=следящейфункцио-ошибкуилирассогласование,качествазаданкоторогоТогдасистемы.рассматриватьфункционалI[u]которомвFэтомфиксированныйв-j0QиQ(t)иэтотфункционал[e*Q(t)ef3u*R(t)u]+dt,нанепрерывнымиавремени,можетиz(t)=всеприниматьe(t)вместо-Raнеотрицательными,считаютсяe(t)будем/предполагаютсяR(t)моментПодставляя+22матрицыПриположительна.-e*Fe=егоположи-отрезке[0,Т],значенияизТ—Ег.значениеC(t)x,иметь1[и)[z(T)=/{[z(t)JoРешаемC(T)x(T)]sF[z(T)--C(t)x(t)]Q(t)[z(t)-+C.28)C(t)x(t)]+f3u*(t)R(t)u(t)}dt.функционалаэтогоминимизациизадачуС(Т)х(Т))-методомдинамическогопро-программирования.Выписываем=-—соответствующееminj[z-Беллмана:уравнениеC(t)x]*F[z-C(t)x)+/3u*R(t)uf+—J(A(t)x+\.B(t)u)C.29)ПриэтомS[t,функцияS[T,x]Сначалаизусловияx]долж:наудовлетворять[z(T)=начальномуC(T)x]*F[z(T)-правойминимумауравнения1ВЧu=--R-\t)B*{t)C(T)x].C.30)-частиусловию—.C.31)C.29)получаемЗадача3.обПоэтому,аналитическомисключая-РешениеR(R),g(t)ищемитакже,r(t)получимкакиАК+гкромеА*+[А*+z*Qz-относительнослучае,неизвестныхуравненияКC*QC+KBR~1B*K,C.32)-KBR^B^g-+C*Qz,C.33)^-g*CBR-1B*C*g.C.34)-S[t,x]функциятого,A(t)xC.24).предыдущем+gкак,(^—j+видеввиметьдифференциальныеКТакбудемC(t)x]-уравненияитогеC.29),уравненияC(t)x]*Q(t)[z(t)-этогоВизи[z(t)=—регуляторов371конструированиидолжнаудовлетворятьC.30),условиютоимеемK(T)g(T)r(T)C.32)УравнениеПоэтомувыше.C.35),можноC.36),условиемаИтак,управленияK(t)C.24)u(t,x)первыйвзглядчтовспомнить,врассматриваемомуПоэтомуестественнойнепосредственнопараграфе1являетсяиз5 пригл.через1изкакдлятребуется.управление,git)}.C.38)Однакорешена.хвектораследует{xi,.

Характеристики

Список файлов книги