Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 53
Текст из файла (страница 53)
.,иллюстрирующихслучаепостоянно.значение,формуПоэтомус1, 2,=стабилизацииформыфункциейуправление•примера,первом7.4.1).рис.•оптимальнойквадратичнойвиде1\ипостоянноевобзадачситуациях.вВодварассмотримрешенияопределяетсягПримеры5.вышесоответствиивх?,формулойдается. ,Xn,z)=,ж^,г°),1y/z-x-yуравненийдаетф2=z2интеграл—2у=с2.[bAjнужнонайтиуравненийдва390Гл.Основы7.Дляещеполученияуравненийкомбинациюодногообщейоптимальныхтеориисоставляеминтегралапроцессовкомбина-интегрируемуюE.3):системыdzdydx—dy—'1y/z-x-yОтсюдаинтегралполучаемг/>1ПодставляяD.51))х~^l-—с2.E.5)=E.4)%VZф2,=ХE.5)иОтсюдазначение=тф\.соответствииПодставляяф^вместозначенияихНепосредственной2y^+ж-проверкойопределяетуправляемый±1оптимальностикритерием-2zE.1),=E.5),z{x,y):окончательно0.=чтоформулаэтадействи-E.2).описываетсяпроцесс?2,%2=4y+убедиться,задачиПусть5.2.уJ-иzрешениевидрешениеполучаемE.4)интеграловможнорешениеПримераизE.2)иискомоеопределяющую(удействительноD.53)имеютФ2-=формуламисформулу,получаемполучаемD.52))D.62)изuiiJ2,Ш(Ф1,Ф2)в0,=(см.получаемфункциислучае.Поэтомууф2рассматриваемомв-x-yинтегралыzСледовательно,2y/z+г/полученныев(см.систему==уравнениями+U,%2—функционалслужит/»ООiГГ7/LaJ]_—J0ДопустимыеD.30),Формула/|2Х2*,,*ограничению|гх|оптимальноеуправление,определяющая1.^этомвслучаевид1,—и(х)t сг(х),=еслиа(х)если|<т(х)|1,еслиОбозначими[х)\из(Т2\xlподчиненыуправленияпринимает/^(рис.7.5.1).Вва(х)где=1.плоскостипеременныхобластиэтой1,^>аобластьLчерез11.^функцияих\#2,V(х)ЛяпуновавкоторойопределяетсяуравненияЭтомудолжнауравнениюбыть'г[_=0.*\дХ1'дх2/вобластиформаквадратичнаяудовлетворяетположительной,/вычислениямистандартнымиит/Следовательно,l(dV\2dV\fdV12_|_/_|_\2(К\=-х\D.31),находим,котораячтоf\Lи(х)вида-х2.E.7)Примеры5.391и(х)Управления±1,=определяющие-Ж1-ж2Выписываемтеперьзамкнутойкаждой(xi,x2)точкеE.10)линийвкаждойфазовойточке—х\=имеютздесьтойдлявиджеобластиL2х2.E.9)—справедливоdx2исистемых2х2,=L,±1.E.8)=уравнениях\Вобластиграницыравенство_замкнутойтраекторииE.9)системывыполняетсяравенствоdx22х2-\-x\dx\x2Значит,еслиточкалежиттраекторииdx2однойнах2Поэтомуфазоваякасаетсялиниймеждуобластью,являетсяфункцияЛяпуноваE.6),формойуправлениенейвнезаключен-полоса,E.9),квадратичнойоптимальноевсяиоптимальнаяявляетсяE.9)системытраекторияE.8),линиямикоторойвтоХ\dx\заключеннаяE.8),линийизяв-аоптималь-формулепоопределяетсяE.7).ОстаетсяVz(x)продолжитьзарешать(см.уравнениеДлядополнительным(-х2решим=1 при+1.—х2этого(рис.JVi5.5.1),общийнайтиследует7.5.1±1.E.10)=областидляДля+х1Рис.LполосыКошизадачуи0=границахх\=D.34))и±наVсоответствующейуправлениюре-нужноD.33)условиемСначалаэтогоуравнениядх\ох2сфункциюнепрерывноL.слояграницысоответствуюсистемыинтегралуравненийг1Л/dV rlnr*-,г\пг*ъdxoОтсюдалегконаходимпервыйодинф1Дляполучениялинейныхкомбинаций=интеграл:+х\ж2дробей,следующийвходящихпервый.2=——V+х2составим+x\х\Х2+-(+линей-изуравнениеE.11):уравненийсистемуdVсистемыинтегралх1|1интегралав2x\dx\ПоэтомуIn—первогоследующегоE.11)1+х2'х2х2E.11)можно=записатьс2.ввиде392Гл.Основы7.Значенияфункцийобозначимчерезф\ииф2.ф\ф2общей+х\прих2оптимальныхтеории=1—7и1^=процессов(см.1+E.10))условиеПоэтому13Полагаявоизвторомопределяющеерешениеф2соотношенийэтихVVi,=удовлетворяющее11T/iф2==-I-I Ti—соотношение,получаемTo-I-I-I-TT-I-Tiопре-E.11)условиюTo——33определеннуювобластиJVq,областиАналогичноN\.примыкающуюLпоVфункциюопределимобластиклинии-\-xiх2—1=Vo(xi,X2)=в:1\32^33НепосредственнойE.12)функциипроверкойVi(xi,x2)сявляетсянепрерывнымЧтобыдействительнопоубедитьсяокончательнофунк-склеиваниеобластиграницамсоответствующимчтотом,вфункциейоптимальной13VпроизводнойчтоLгладким.иявляетсяубедиться,можноVo(xi,x2)ифункцияпостроеннаяЛяпунова,действизначениепроверитьследует-——.2дх2ИмеемdV\(xi=——^ж2Таким-(xi=——образом,х2J+ж2J+подводя1 >+2,1 <-2,можноитоги,+xiпри+xiпризаписать1,>ж2-1.<х2оптимальноеуправлениевформе{+1,при—х\—х2,5.3.ПустьуправляемыйХ\с>1,<-1.уравнениями12)описываетсяЩ=оптимальностикритериемJo*Оптимальноеуправлениеэтойвзадаче{+1,а,1,—При+х2х\процессХ2,^2=х2|ж1+ж2|<1,при-1,приПример+х\V(xi,x2)функцияэтомизопределяетсяСм.<т^1,при|сг|приа^областивнутрипример4.1.2+xi2+и12dVdV+2ж2гдеа=—-—,ох2—1.z^ЬD.30))3V1,<(рис.7.5.2),уравненияxi12)при(см.формулойопределяется2гхтг—=0.т.е.\а\^1,опре-Примеры5.393ПоложительнымэтогорешениемVz(xux2)Поэтому=областивнутриопределяетотличиеобластьотнеz—q^tоптимальную^2всейсосовпадаетвидл/3ж2.~—х\—рассмотреннойзадачи,имеетсистему#2?=y/3xl].E.12)+~xi=формаквадратичнаяуправление=замкнутую2x1x2+оптимальноеzХ\В[y/3xl-и(хъх2)ОноявляетсяуравненияL,полосойуЪх2.E.13)—заключеннойоб-здесьпримере,предыдущемвграничнымимеждупря-прямыми-х\ОнасзаполняетсторондвухE.14).прямымиопределяютсяпроцессевV3x2±1.E.14)=Двеначалапостроениякоординат,ограниченнуюОникриволинейны.границыдругиеоптимальнойфункцииЛяпуноваопреизисходяБеллманауравнения\minСначалаЭтифазовых1--^„V—**-(точкинаходимE.14).прямыхи-окрестностьнекоторуюлишьточкифазовойкасаниянаходим,E.13)системытраекторииприравниваякоэффициентыугловыеипря-прямыхИмеемтраекторий.л/3dx2(для—Х\Отсюда—4=°-E.) 15)+9xiдх2получаем(дляE.17))прямыхтраекторийE.16)).системыуравнениех\л/3+Х2котороеопределяемрешатьнужноточкидвекасания:совместносл/3)С\{—2,уравнениямиРис.Теперьрассматриваем=1ирасположеннуюобластьE.14).(рис.Вопреде-результате7.5.2).7.5.2JVi,справа—\/3)С2B,ипримыкающуюотточкикС\.Согласнополупрямойтеориих\-\вэтой394Гл.Основы7.областиоптимальнымэтомявляетсяпринимает1 ++2х2=1,—процессоваE.15)уравнениеdxiпридх2E.12).СусловиюлДх2+х1приdx\0.E.16)=-тг-удовлетворяющуюVz(xljx2)уравнений2~-тг-V2(x\^x2\=формулойопределяетсясистемых\+V2Vzиуправлениефункциюнайтинужногдеоптимальныхтеориивидх\Отсюдаобщейэтой1,E.17)=цельюобщийнаходиминтегралdx22dVХ21x\JrX<2JrlЕгоможнопредставить^1=2х1+х1ф2На\-30У-30У15ж2+л/Ъх215ж2+Разрешаяэтис1,==х\-\-границевидевЪх1ЗОУТакх\функциякакл/3^2+1=VzможноV2Учитываяф2-V?iОтсюда48л/3+±120грешениесVi=В^[2ж22л/3ж2]этоусловиеE.12),[л/34ж2-тоеезначениеналинии2л/3ж2].+форму:Ж1приможно2г5=будемитоге+2г5,E.16),E.20),уравнения5Bж11-л/Зж2.=записать45л/3±120г30+ф\переменныхвиу^2.-l)xl+=yjlE.17),условиюф\которыхвfa.E.20)+удовлетворяющее1Ъ{х\гладкое+1)ж2-Зл/32D-2x1+^2)^]проверкойиzгдеф2иопределя-замененынаф\ииметь+Непосредственнойнепрерывное+±+имеетиметьследующую±Зл/3=соотношенияпомощьюE.18).избудемж2,чтонаходим,Значит,\=придатьE.19),+ 30л/Зг2ф2определяемж2)можносоотношения:л/3ж2,-[л/3-4ж2=ил/3-видевE.17)условию10A+формулойопределяется-J'48л/3+записатьVz(lПоэтому-^i=Ус2.=где,ЗОУл/Ъх2Jх2-относительноуравнения10xix|+переменные15A+15ж?ж2+новые2ж|+2ж|+1 вводим=+Ъх\+можносклеивание+Ж1ПРИубедитьсяфункциейсв+л/Зж2>1.E.21)том,чтоэтаE.12)поотрезкуфункциялинииф25.Примеры395х\+л/3^21, примыкающемукоторой=JVi,областивопределяютсясправал/3)-С\{—2,точкекфункцияоптимальнаяV\Другиеоб-границыE.21),формулойопределяетсяуравнениемПроанализируемзаписатьэтоСогласноуравнение.E.21)формулеегоможнозапи-видев2х\Вместо6ж1ж1+переменнойЗж1+введемх\Ъх\+2ж2A+новую2ж1+2ж|K/2+переменную3.E.22)=положивz,zТогдаполученное3z4Полином,простейшие8x2z3+стоящий(z+образом,итогеб(ж^вэтом+х2\/3)B3 +этиэтотобразомх\JVo,ож^+-xxyl=3)+0.=х\,ж2,.+определитьобластиграницуфункцияос/У1 ++axiу/3).—какJVi.Эторешение—1,=решениеГраницыуравнения0,=л/3х2+xiE.12).С2C,2^—аж2+приточкекVoак2ж2-—формулойопределяетсяанализируяпростей-науравнения:2xi+х\-три+полностьюVz{x\,X2)=примыкающейполучить2ж1+определяетсяV2областинаусловиюVz{x\,X2)0.=разложить2гж2-л/1=можнох\гдел/3)Cг2-л/3+видудовлетворяющее9-опустим.мыАналогичнымимеетЗж1уравненияанализбж^+можнораспадается-Однакож^-уравнении,E.22)уравнениеАнализируя1)г2-видевполучаем+х2записать+слеваВмножители.Такимможноуравнениеопределенооблас-вобластиэтойможнополу-анализурав-уравнениедх2ПолученнымиуравненияБеллманаполосеLуравненияещеграницыдлялинииграницыОднакоЗдесьC2D2.Деловокрестностиполнотычтотом,анализакоординат,построитьV\связанныеэтимэтиC2D2определяютврешениемуравне-Следовательно,V2итапродолженияаналитические"стыковать"того,E.12).продолженияэтогоC\D\которойитребуетсяVsзарешенияжеграни-чтосамая,иприVo.исвформаМетодикаисчерпываетсятраекторииквадратичнаяокрестности.требуетсяКроменерезультатаминачалаявляетсяфункцийпостроениигромоздки.E.15).БеллманаэтойобразомтакимпродолжениядостаточнопостроенияV2сVzпонужноi-Di,линии"стыковать"aгромозд-VsссVzпостроенными—поли-396Гл.Основы7.функциямиранееV\С\Р\,являлисьНаVb.иD\P\ВпроходящаяАточкичерез±iуравненийизложеннойВ,иХ2Ж2,=икоторойви,=мывыполнитьдостаточноопускаем.ихна7.5.2рис.системойисходныхуправлениеиопределяется"стыковки"линиямиизображеннаячтоотметим,процессовтребуетсяПоэтомувычисления,заключениеоптимальныхтеориисоответствующимиD2P2'аналитическиегромоздкие7.5.2рис.С2Р21иобщейкривая,проходя-дифференциальныхпоопределяетсяизложен-методике.Динамическое6.системдляпрограммированиесраспределеннымипараметрамиПримеры,рассмотренныеуправлениялинейно-квадратичнойуправленийприводитчастныхвЗначительнопрощеуправленийдопустимыхосновныесостояттрудностисоуравнений,неменееобзадачрядаА.И.параметрами.рования,13)ограничимсяивОднаконелинейногофункционального6.1.Дифференцированиегильбертовопространство,С Н.МФункционалэтомчислаудовлетворяющихЕсли/врешениянаиболееотдельных,13)функционалов.функционал,—Sciense.точкехA.I.York:Heidelberg-NewV.27.)принелиней-из5—хо\\<5,внепрерывеннаточкечтосправедливохоточкеЕМ,лю-дляудовлетво-\f{x)хмножествееслиxgM,всехдляМ,Енеравенствокаждойввещественное—определенный0 такое,>НПустьнепрерывнымчислоxgMточкеVf(x;Egorovпростыхфактынекоторыето/(жо)|—<чтоговорят,существуетheH,h)функционалаOptimalSpringer-Vertag,дифференциаломназываетсяИзf.этогоofStbilization1975.определения,the—DistributedP.{слабымГато167-172.вдифферен-частности,следует,ParameterSystems.—(LectureNotes—inе.онМ.функционалвзадач,После-эффективность.ееbnvf{xh)iтокраевыхпараметрами.потребуютсяназываетсяf(x)функционалЕсли/а\хвпарапреграмми-анализа.неравенствунепрерывенобобщенныенамрешениивдинамическогоподтвердилисраспределеннымираспределеннымилишьслучае0 существует>еиспользоватьспроцедураанализомпримеров.любогонарастаютсистемамиисследованиямыОднакоРиккати.трудностисдооснов-случаедифференциальныхлавинообразно.системыможносистемахвмногочисленныеЗдесьэтииспользоватьпроцессыполу-значенийэтомуравненияпорядкапредложенапозволилакотораяПоследующиее.управленииЕгоровымописывающихВпрограммированиеоптимальномобластькогдарешенияпроцесс)динамическоерешений,такихпространством.(т.системыописывающихТемпрак-Кошизадачирешенияслучае,ввсемпостроениивразмерностиувеличениемзадачарешаетсярешеныобластях.другусовпадаетВозникающие"склеивании"икдругвдопустимыхбытьмогутполучениивпроизводныхпримыкающихвсостоитздесьзначенийвсегдапо-стабилизацииконструкциям.недалекосложностьуравненийполученныхгромоздкимзадачиГлавнаяпрактически.длядовольнокчтопоказывают,оптимальнойобластьюограниченнойсматематическиеобзадачевзадачеэтомприпараграфе,предыдущемвоптимальногопостроениеBerlin-Computer6.ДинамическоечтоVf(x;ah)ГатодифференциалaVf(x;=h)доказываетсятакжеследующийфакт.дифференциалГатофункционаласправедливаf(x)любыххh)Vf(x0]h)Говорят,из\t\снезависитК),Df(x\черезf(x)К).некото-точке;hэлементенулевомвсуществуетэтойвнепрерывеннадифферен-когдаслучаи,0.=hпоограниченнымфункционалом,h).f(x)ослабленномуудовлетворяет\ h\/г,1,=чтобытогонеобходимоth)+S(h)c\\th\ ,числоимелоf(x)\—<место>Лип-условию0чтотакое,постоян-гдеVf(xo;h)равенствочтобыдостаточно,иотвечает\f(xнеравенствоДля6.2.Df{xQ\1,<rусловия:линейным5 следуетотh.Теорема=хоэлементу<следующиефункционалаиhявляетсякаждомуусловия<обозначаютегослучаеh)потеэтомVf(x;функционалчтоеслипостоянная=Вточкиh)Df(x0]0представлятьh.выполненынепрерывенV/)xo;Липшица,будутпоU(xq)h)точкеЛагранжа14)h),rft;+каждойвсо.Гатоокрестностидифферен-е.т.а,существуетформулаVf(x=насПусть6.1.2)Vf(x;е.излинеен1)дифференциалТогдаf{x)дляVf(x]Теоремато-hиинтересГатодифференциалt)+точекОсобыйН,Еf(xт.числаh.Еслиоисистем397вещественногоотносительноЛегковыпуклойнекоторойраспределенныхлюбогодляоднороденвсегдаобластидлядляпрограммирование=следующиевыполнялисьусло-условия:1)функционалточкеf(x)удовлетворяетослабленномуЛипшицаусловиювжо;2)A?huthJ(x0)o(t)=f(x0,=Такимобразом,проверкиможетhi)+0,-+аf(x0-h2)+f(x0).+практическимслужитьфункционалинструментомлинейныйограниченныйГато.дифференциалЕсливdf(x;h)точкеЕхНимеетf(xгдеf(x0-конкретныйлиtприh2)+теоремаимееттого,fti+этаo(t)/t^Oгдеравенствоh)-f(x)+линейный—местоdf(x;h)+u(x,h),=непрерывныйhпофункционал,аlimфункционалdf(x]h)дифференциалом)функционалатоИзэтогоDf(x]исследованиятакжевточкех,частности,всуществует,ниже)нелинейныхопределения,h)приводимыйметодыf(x)(сильнымФрешеauo(x]h)называетсядифостаткомдифференциала.этоготодифференциаломназываетсяиобратноепример,Доказательствофункционаловнелинейныхэтоговсегда—М.:если=df(x;h),существуетDf(x;утвержденийВайнбергкниге:вh)h).Какпоказываетверно.последующихнайтиоператоров.df(x;неиможночтоследует,этомприГостехиздат,М.М.1956.одифференциалахВариационныемето-398Гл.ПримерВ6.1.хпустьиОсновы7.Нкачестве{х 1,2:2}=Е2.ЕJВозьмем1={/i ,=/12}?,параметраместо_аI 0/(?,/г)хhi/Щ.t/г)^ О,ж2/12}вычислимиf(x)означает,отЩ.ПриlimI(t,h)0,=f(th)a=фиксированномпривекзначенииединственномпринулявсех/@)чтоследует,чтоотличнаhi/величинуостальных?значенияхимеетПоэтому/г)0,=V/@;причемсуществует,/(ж)функционалчтотеперь,{/11,=Это=0.=V/@,ДокажемЕ2,пространствоточках.функции=приж|,=остальныхвh/(?,именноЖ1при\—определенияtследовательно,точке)величинаравенствои,/lчf( [XусловииприhвекторепроцессовевклидоводвумерноевекторизлишьберемоптимальныхтеорииПоложимпроизвольныйНепосредственнообщейне/г)0.=дифференциалаимеетФрешев@,0).=Согласнодифференциалэтотопределениюдолженра-удовлетворятьравенствуf(h)|h |е.т.приd/@;=/i)+o;@,Из0.^d/@;где/г)—линейнаяТеоремаследует,Df(x;h)дифференциалЕсли6.3.U(xq)окрестности/гфункция,чтоэтимао;/| /г|0^свойствомонаточкиdf(xo]тохо,h)понепрерывенисуществуетхвнекоторойdf(xo]этомприh)=Df(xo;h).=Взаключениесделаемdf(x]Дифференциалэтомэлементпользуютсяобозначениемхо,функционалаf(x).от?Hх$.f'(xo).=Учитываяf (xo)=df(xQ\K)что=Удхдхf(t,x)—заданная=К).Припользу-0,f(x)du(t,l)\описываетсяфункцияau(t,из0L2,=ар0,а—управление.=constБууравнением0<х<1,F.1)0<t<T,+функ-Беллмана.Уравнениекоторый>0.F.2)Тотх$.точкойстационарнойпроцесс,точкевусловиямиdu(t,Q)с(и,обычнофункционаланазывается+Р(*>х)+/(*>*)>Здесьсоответствиивобстоятельство,управления.управляемыйграничнымиитакой,этоградиентомоптимальногорассматриватьНЕиДиф-замечание.непрерывен,иТогданазываюткоторогодляСинтез6.2.элементидальнейшегодлялинеенопределениюзависитf'(xo)элементполезноеоднопосуществуетиэлементБудемh)Риссатеоремойспоf(x)функцииобладает.неа/г),определенияДинамическое6.КлассыуправленийдопустимыхпроблемахбытьмогутQ{02.Допустимыми?<=|р(?,Т,<0задачах<ж)|быть1}.<жМ^Здесьявляютсяопределяемыеформулойоб-изпостоянная.р(?,функцииуправлениямиp(t,x),N(t,x)точекзаданная—них.функциивсехдлятеоретическихвизизмеримыепочтиМинекоторыелишьмогутусловиюсистем399прикладныхвуправлениямиудовлетворяющиераспределенныхУкажемразличными.1.Допустимымиобластидляпрограммированиех),удовлетворяю-удовлетворяющие условиям:а) функции(p(t),измеримы;б)\(p(t)\3.ДопустимымиМ^почти[0,Т],t GвсехприМгдеуправлениямипостоянная.заданная—p(t,x),функцииявляютсякоторыхдляфункцииp2(t,x)dxJoудовлетворяютусловиям,4.ДопустимымикоторыхБеллмана.КаждоеF.2)ирешениеначальнымпроцедурако-приполученияклассаоднозначноуправлениеобобщенноеилиL/2(Q).управлений,уравне-допустимыхуправ-условие.допустимоеклассическоеусловиямичтобылишь,следующееиздопустимыхформальнаядлявыбранногонижеНужновыполнялосьпункте.функциивсеклассыдругиеизлагаемаяприменимауправлениймногиеещеуказатьпредыдущемвявляютсяуправлениямиМожноуравненияуказаннымединственноеопределяетуравненияF.1)свкритерииграничнымиусловия-условиемu@,x)=g(x).F.3)Другиеструктуройограниченияопределяться,могутВоптимальности.критерияконкретнойнапример,есличастности,структуимеетсявыра-выражениеГ Г:товыполнятьсядолжноЭтоберетсявообщетребование,ибоЗдесьфункционалклассов.емукоторомапараметр,будемоднозначноТсчитатьопределяетф(х)dxdt,ЛЛIговоря,JoJo—функцииизкоторойдопустимыхвышеперечисленныхклас-берет-оптимальностикритериемЛ[u(T,x)-i/j(x)]2dx+моментфункциязаданнаярешениевыборасвободуфункциивсевфиксированный—p2(t,x)dx.ограничиваетнезадача,ЛрТIp2(t,x)dxdt=JoJoподчиненырассматриваетсяI[u]=вх)условие/t+5tуправлений,,Joоp(t,x)u(t,x)времени,изизкраевойf3^2@,1).L2{Q).КаждоезадачиJo/ p2(t,x)dxdt,CДопустимыми—такоеF.1)-F.3),положительныйпара-управлениямиуправлениекотороеоднознач-формально400Гл.можнопостроитьвидевХ"{х)Х'@)\Этоможнорешениеfu(t,x)=функция—\2Х{х)+записатьзадачи1,<х0.[=краевой'видев[ Jo[Грина,0 <аХ@)+процессовфункциям=0,Х'A)=оптимальныхтеориисобственнымпоG{x,Z,t){g(?)dZ+JoJoGобщейФурьерядаГгдеОсновы7.G{x,Z,t-TMT,S)f{T,S)]<%dT,+F.5)формулойопределяемаяn=lв{Хп(х)}которойфункцийсобственныхполная—F.4),задачисобственныхtпобытьд(х)F.3)условиивобобщенноерешение1.Функцияu(t,x),какбратьпо^2@,1),краевойаж,тоиметьпроможетОднаконефунк-еслиможноF.1)-F.3),задачинеиследовательно,F.1)-F.3).u(t,x)задачиизможетговоря,порядкакраевойрешениемеепоследовательностьвообщевторогособствен-системасоответствующаяF.5),производныхиклассическимфункцию{Лп}1^@,1)в—Функциязначений.производнойортонормированнаяарассматриватьобладающееследующимисвойствами.F.5),формулепопостроеннаянепрерывна.СУ 1J2.Формальнопроизводная^2@,1)принадлежит——u(t,3.ФункцияГ1_x)удовлетворяетx)\t_f2u(t,x)v(t,dxинтегральномутождеству—дич^.„,~..u(t,x)—7;—т^т;—\~—dv..ч{p{tjx).любойv(t,x)функциивремени,удовлетворяющие4.</?(х)функцииИмеявфактэтотвидуобзадачирешениючтопринципкакойоноптимальностисправедливДляввобыкновеннымисэтомБеллманаUiГт[и(Т,х)(t,x)EQравенство=0.-^l)(x)]2dx+вкогдатойпроцессобозначениеJo/описыва-1\р].справедливвведемпереходимкоторыйуравнениями.уравненияF.6)O=моментыфизики,задачах,1l)dtоптимальностислучае1dxdt-\-произвольныепроцессом,критериемдифференциальнымиполученияl)v(t,математическойвышерассмотренных—dxуправленииF.1)—F.3)^2местоg(x)](p(x)—уравненийизиимеетж)оптимальномзадачейкраевойописывается[u(t,Jo/0t\Ьг@,1)G/lim^^+°кЗдесь0^ti<t2^T.условиюлюбойДля^^(Q).GЛ.ччj{tjx))v{tjx)\+u(t,дляпочтиt.всехпривычисленнаяГ11/ p2(t,x)dxdt\,F.7)JoJжеОчевидно,мере,описываетсявка-Динамическое6.tгдепроизвольный—дляпрограммированиемоментtпеременнойЕслиТакимкаждомбудетtмножественекоторомt'Полагая^2@,1).u{t' ,x)St,t +=S[t',u(t'x)]ЕслиSчтоаx)S[t=предположить,дифференцируема,u(t,то?[?,и]приначтоSu(t,x)].t дваждынепрерывнодифференциалимеетиt.конкретномопределенныйпеременнойотзначенийфункциюзадачи,находим,+функциякакфункционалкакж),St,u(t,x)+каждомприфункционал,Su(t,+область—собойкраевойсобой=Рапредставляетрешенияпредставлятьизи]u(t,x)переменнойотконкретном[0, Т],?[?,обобщенногосистем401отрезкаобразом,функционалиопределениеучестьизвремениуправлений.допустимыхраспределенныхФреше,тополучимS[t',u(t',x)]S[t,=Ф(г,+u(t,,S[t,=u{t.x)]Su(t',x);x))+oEt)Ф(?,u(?,членныйвx))дифференциал—(t,u(t,x)).точкеdS[t,u(t',x)]dS[t,u(t,x)]образом,?', ix(tx,x)}+u(t,u(t',x);\dS[t,u(t',x)]—b^5u(t,x))^i(t,=u(t,x)S[t,u(t,x)],x))=S[t,u(t,x)}d5^+^d5[t,+L/Z/Su]щt,f/(t,,где0Учитываяи]Stпри=minР(т,х)еР?>0,—>0функционалаопределениегS[t,вычис-имеем5u(t,r^u;+rIполучаем=—>=dS[t,u(t,x)]\ndt^функционалаЛагранжаФрешеформулеСогласноdtдТТаким+u]f, x))Здесьstpt+5t\C{ P2(r,Jt x)pidxS(см.dr++CприF.7)),имеемJoUlpT-^(x)Jdx[u(T,x)=mm1JtJo/Jt+st/Jopi|ж); Su),F.8)402Гл.7.rtJr5tи]ГdS\tобщейотсюдаполучаемF.8),формулуИспользуяОсновыоптимальныхтеориипроцессовг1/\.F.9)JoJТаксогласно5u(t,x)какu(t',x)=Риссатеоремеu(t,x)—^(Q)Gw(t,x)гдеZ/2@,1)почтиПодставляя^^C/JtизГ1w(t,x)[0,Т],отрезкаrtJr5tг1г1JoJo5u(t,x))тосоглас-вp2 ,p2(tdx,вычисленный(t,x),точкевпринадле-[0, Т].отрезкаdSвыражениеmnJ=/S,?всехприэтои]ГJoфункционалаградиент—dS\tизполучимdS[t,u]5u]=принадлежащийtвсехПРИF.9),уравнениеx)Idxdt+получимw(t,x)Su(t,x)dx+F.10)>.Очевидно,/чтоf1f1JoJoтождествосправедливоw(t,xMu(t,x)dx/=w(t,x)u(t,x)dx=/.1|J+oJoПредположимтакжеdS[t,u](Ртождество^{St Jtmm=t+6tw(t,x)F.6),чтотеперь,атождество,пределук(=)символ[0,Т].Возначаетже,сосредоточеннымиопределенияиспользуяF.10)предыдущееполучим^ ^+вкакэтоотсюдаЖполучаемxMt,ж)]dxбудемуравнениивышеделалосьau(t,-l)w(t,почтисправедливоеэтомвБеллманауравнениеtвсехпри|,1)F.11)изотрез-обычныйиспользоватьБеллманауравнениидлязнаксистемспараметрам.w(t,Посколькуявляется0,—>равенство,дальнейшемтакравенстваТогда,уравненияГ1<5tпри-отрезкаft+5tH^CQ)-w(t[ПереходягдеGиз/dx-уравнениемx)являетсявSфункционалаS[T,u]=S,функционалаградиентомфункциональных(см.следуетJoF.7)),f [u(T,x)-^(x)Jdx.F.12)тоуравнениеНепосредственнопроизводных.чтоS^0иF.11)изДинамическое6.Такимотысканиюобразом,SирчтобыизF.11)SПреждечемзамечаниечертахспособОднакопопервых,жеи).иВо-вторых,функционалацируемостьW^iQ).функцийЭтоделалсяанализеоптимальногоследуетвыделятьполностьюметодзадачисовпадаетТогдаизтакаяздесьобоснован.нетого,Поэтомуявляетсяоптимальным,РчастиF.11)уравненияБелл-уравнениичтоследует,-—w(t,x).F.13)F.11),Беллманауравнениявпроиз-чисел.правой=за-решениеявляютсямножествовещественныхрБолеепроводится.управлениямиследовательно,и,минимумаиздопол-лишьДальнейшеедопустимымиp(t,x)Затем,покаполучимF.14)дхдхРешениеэтогоS[t,u]=будемуравненияискатьK(t,x,s),Вычислимопределениювидев/ Jo/Jo+гдекаж-лиустановитьнепроверкаБеллманапространствомусловияисключаяЯвляетсяуправления.когдаZ/2(Q),изпозволяющийоптимальность.можнооптимальногосоптимально-помощьюприем,называемоеслучая,дляегоде-получениятаковые.вфункцииБеллманаснакоторыйвывод,Процедуруэвристическийоптимальным,претендентомпроведемпроизвольныекакуправление,Построение6.3.жесистем.дальнейшемфунк-классудинамическогопараметрами.уравнениячтолишьградиентатотсделатьпостроениеполученияпомнить,следуетвсегораспределеннымипоследующееВпроверкой.Sдифферен-толькометодаконечномерныхуправленийвыделенныхдополнительнойего"подозрительные"управления,изкаждоенеобоснованиярассматриватьиуправленияво-обоснованнойдифференцируемоститребуетсяможнодляБелл-обоснованным,процедуразадачувметодадиф-быланепринадлежностьиссосре-уравнениесчитатьобоснованиезамечанияБелманауравненияносистемэтогоприкоторымтрудностидляоснованииформезадачеS,вноситВобыкновенныминельзяэтарассматриваемойвпрограммированияНаусловий(отсутствуетсистемF.1).соптимальности.этихпоза-системдляизложеннойвусловияпричинам,конечномерныхдляпроцедуройПоэтомуважноеодноописываетсяпроцессполучениятемтаких,Беллманауравнениясоответствующейнеобходимыелишьвыводакогдауравнениями.даетпричемсделаемзадачи,процедурыпараметрами,Беллманаотыска-кF.12),условиемисследованиюссовпадаетдифференциальнымисводитсяуправлениидополнительнымксамойсосредоточеннымисистем403неотрицательным.переходитьонараспределенныхоптимальномсбылотносительноnotобзадачауравненияфункционалобщихдляпрограммирование(f(t,x)дифференциалиrj(t)—/Jo(p(t,x)[u(t,x)-i/;(x)]dxподлежащиеФреше+определениюdS[t,u;h]этогофункции.функционала.F.15)ri(t),Поопре-404Гл.Основы7.S[t,uобщейоптимальныхтеориипроцессовт^h]-S[t,u]=dS[t,u]h]+u(t,u,]h),lim+=0.Поэтому/ /dS[t,u;h]=[K(t,x,s)+K(t,s,x)][u(t,s)-i/;(x)]h(x)dsdxJoо++ичтонаходим,градиентw(t,x)=Подставляяh]u;Jo(p(x)h(x)dx,F.15)изwи№)1)F.16)иI-<pt(t,x)F.14),J^(^1)][^(t,1, s)f,o)+/+)dM^)[Kx(t,aif(t,+s,1)+1, 5)] [Ц*,[кх(г,о,з)+[u(t,s)K3(t,x)-№^+dx<p2(t,x)dx\[f(t,x)<p(t,x)-<pxS,x№(x)]dx+^J+получимK2(t,x)-aif(t,5)1)] [u(t,s,-d51^(s)]s)u(t,ф(з)}-1)+ds-кх(г,зЩ[и(г,з)-ф(з)]обозначениявведены[K1(t,x,s)=[JofK2(t,x2(t)=,x)=/K3(t,x)=ПосколькуGэтоW^iQ),тоKt(t,x,s)[K(t,x,s)+K(t,s,x)]f(t,s)ds,JoJoследует,+Kxx(t,x,s)[K(t,x,s)+K(t,s,x)]<p(s)ds.выполнятьсядолжноравенствоотсюдадлячто+Kxx(t,s,x)=—видевKi(t,x,5)¦—ipxx(t,x)-представитьуравнениев+KA^^t+Iможно-Kxx(t,s,x)o-F.15)[K(t,x,s)+K(t,s,x)][u(t,s)=i/;(s)]ds.F.16)-Kxx(t,x,s)Iw{t,x)h{x)dx/SL4P/функционалазначения*,=w(t,x)Jo\-Kt(t,x,s).u(t,x)г1формулесогласноt,гдеJo/lfi(?,a;,s),F.17)любойфункции+Динамическое6.дляпрограммированиеKx(t,(pxx(t,x)0, s)K2(t,+=x)Kx(t,I, s) + aK(t,K3(t,x)+1=—4P(px(t,Vt(t)Из0)f1fIf1/ f(t,x)(p(t,x)dxJoJ4P+условияF.12)Такимобразом,ираспределенныхJo/F.17)скакэтатого,F.15)формулыможноОднакоуправленияфункциянайдена,rj(t)F.13)F.20)F.21).дляF.16).ипостроенияоптимальногоF.18)ибоПослепомощьюЗатемуправ-F.17),онаназываетсяобоб-являетсябесконечномерныхслучайнасF.22).условияРиккати,Риккатиуравне-F.22).(p(t,x)задачазадачейкраевойполучилимыпостроениюКраеваяуравненияF.21)условиемначальногоитребуетсянеs)x,начальнымкусловийLp2(t,x)dx.г?(Т)=О.F.22)K(t,иуравнения/чтопереходимграничныхрешениематричного—JoF.18)интегро-дифференциальнойобобщением0,F.20)==функцииусловиямифункцияформулампо1)<р(Т,х)=0,краевымиполучитьacp(t,+находим,определениядляF.19),уравненияF.19)I (pxx(t,x)i/j(x)dx+0,=[K(t,x,s)+K(t,s,x)]<p(t,x)ds,1)K(T,x,s)=S(s-x),уравнение1, s)=Г1cpx(t,=систем405системуправления.РешениеРиккатизадачиищемвидевООj?U{Xi(x)}гдефункций—краевойполнаяs)хF.4).задачиЛпвобыкновенных•LULL'ifл•1п—,fолах=дифференциальныхХп-\-асе,-\-абесконечнуюполучаемси-уравнений,°°^2 Г1^=F.26),уравнениевЛХп/функчтонаходим,0,1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
