Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 57
Текст из файла (страница 57)
.,и*}=Воспользуемсяфункцияеслиk=li=l(p(t)Гронуолла-Беллмана,леммойтеперьудовлетворяетcp(t)неравенству<p(t)f(tOdtf(t)гдеfc >0,>0Ми0,>+^M,ТаккакпотопредположениюдопустимымифункциинепрерывныеRпостоянная>0ес-иt>t0,1f(t)dt\.кусочнокоторой,согласно0иявляютсяуправлениямиu(t)=сразрывамипривсехпервогокусочторода,существуетчтотакая,u(t)|^R(tot E5i,to—+62).k=lПоэтомуизG.48)неравенства\6*Xi(t)\получаемpt^kN!^toг=1исогласнопYl\&*Xi(t)\dtбудемГрануолла-Беллманалемме+nN2RE1г=1иметьг=1Полагаяе=6162,Q=kRN2ekNl(yT~to\окончательнополучаемг=1ВоспользуемсядваждытеперьнепрерывноLпостояннаятакая,G.46).формуламидифференцируемапоТаккакН(г,ф,х,и)функцияхпеременнымии,тосуществуетчто), u(t))дШ,k=lПоэтому\щ\гдеQ2—постоянная,определяемая^RLxne2,\г]2\<неравенством06*x(t),u(t)L2(G.49)Принцип7.максимума423ТогдаизG.45)неравенствG.49)ибудемS*S[u(t)]иигдеВоспользуемся(см.теперьгG.50)следует,ДляВизслучаеотмечалось,7.1.бытьирассмотренныйизпредположениюследовательно,и,u(t))]dt.5S[u(t)]приращениячастипоследнеготерминальногора-G.30)чтоВслучае.нобезформулировкудоказаннаязадачупотребуетсянамоптимально-критериидоказательства.нанелиможеттеоремадальнейшемосновываясьвосстановить,свестиберетсянелинейномприотме-управленияможнооптимальностиочевидно,последнемегосисте-когдаф(€),х(€),правойкритериеммаксимума,можно0=знакфункционалаэтомприведеммыдоказательствозадачПоэтомупринципЗдесьТогдадоказана.когдавH(t,-вобсужденииG.31).rjсистемыполностьюуправлении,использованаSu(t))+линейнойминимизациифункционалчтостоящегоПризадачеоптимальномнелинейныйпослучай,следует,u(t)случаевтеоремаЗамечаниекG.43)выражения,самымчто0,>йог—каквидф(€),х(€),чтознакомТемоптимальности.[H(t,-следует,совеличи-теперьрассмотретьимеетформулJt0равенства.невозможно,малойпроизвольно1такостаетсяонакогдаанализаГТ=Отсюдаобе.т.SS[u(t)]G.45)).неравенствоЭтодоказательствалинейна,совпадает0.<братьВыберемможнооптимально.завершенияэтомеформулеввыполнялось5*S[U(t)]u(t)G.28)ие),G.50)-величину#2ичтобычтоуправлениесистема#i,малой,настолькочтотем,величинопределениевеличину-53еA<постоянная.определенная—иметьтолькоПринадобностичтодоказаннойтеореме.(принципТеоремаu{t)управлениеимаксимума).соответствующееоптимальнымипо1) функцииG.31),функционалуij (t)u(t),вектор-функцииДлятакой,x(t)дополнительнымивыполнялось7.2.G.45),управлениеизменялосьВнаитогебылиоп-ненулевойсуществованиечто:ij (t)исвязаныG.2)уравнениямиу,гполучилидФ(х(Т))=,условиеЗамечаниеиспользовалиуправ-G.3)=1, 2,иn,.
.,условиямиф{Т)2)допустимоеG.2),задачинеобходимоV> =17ичтобытогоx(t)решениеемуПридоказательстведопустимуювариациюгk=lп;. .,u(t)максимумаспециальныммыиспользо-u(t)варьированием:навеличинууправлениявеличиной„1, 2,принципаизполученное=G.32).максимумапроизвольнуюмалуюгй(?),маломкоторуюотрезкехарактеризоваливремени.424Гл.Основы7.Сгдене—G.45)оценкамио(е)/е2гдеотзависящаяG.49)иВеличиныеприиа\можноМногиенаобтребуетсяненаиболеечтообщейрамкахвпринципаберегутакоготипаусловийкоторыйпараграфетребуетсяподвижнымиграницамиэтомсоптимальности,чтобытого,онакоторых/гдеЕп,пространствеаточекпо-оптималь-Еп,называтьвгиперповерхностьюэтойгиперповерхности.уравнением—прост-уравнению0,(8.1)=будем(8.1)евклидовомудовлетворяющихпрост-Точкукоторойвбудемособойназыватьgradf(x)Гиперповерхность,функцияf(x)особых(8.1)Miотнуля.еслиМf(x)вточкеортогональнаявекторуобразом,уравнениеповерхности,ко-визf(x°),этойимеетследовательно,урав-определяемоемножест-имапai,.
.,отличенгиперплоскостью.векторназываютгиперплоскостиаес-Минеточках(нормальнымчастности,Гиперплоскость,gradлинейна,6, токоэффициентовназываетсянормальюВгладкой,называетсявсех=одинМ\М.ЕMi.гиперплоскостибыхотяназываетсяхf(x)-\-апхпмножествослучаево+..а\Х\вид(8.1),уравнениемдифференцируемафункцияесличастности,gradВекторгиперповерхностинормальюопределяемаяэтомточкинеособыми.непрерывногладким,Вагиперповерхности,называютсяпринимаетбудетмножествоточкойф 0,Вточек.уравнениеТакимвгиперплоскостиизхсоотношениеусловийрешается.функция,скалярная—сзадачунеобходимыхнабориММножествоаппарат,сформулироватьполныйуказатьиfix)ире-иформевматематическийправильноГиперповерхности8.1.еслидругомзачастуюоптимальностисоответствующийизлагаетсядляпомощьюпространстве.которыхнамаксимума.Вж,анаи-указатьифинишаточкуисследуются,необходимыхтеорииноипере-Здесьвремя.управления,одномзадачикратчайшеезаоптимальногонастартаточкуОказывается,решаютсязакондругойнафазовоготребуетсязадача:служитьрекикоторыхмножествамзаданнымможетбереганайтиподходящуюберегу.управляемыхнеоб-кконцысистем,некоторымодногоприводятуправлениипримеромтолькоипервоговариациямиоптимальномпринадлежатсназываютихграницамитраекториилодкеоценка-o(e),+подвижнымизадачиПростейшимпереправитьсяисприкладныепространства.свидевS.Задачиаa2e2+вычислитьрассматриватьфиксированы,несоответствиивпредставить=a1eфункционала8.необходимостиПоэтомуможнопроцессов0.—>а2порядковвторогооптимальныхтеориипостоянная.5*S[u(t)]S*S[u(t)]величину0—>еобщейа=вектором)an}{ai,.
.,проходящаякасательнойможночерезгиперпоявляетсянор-х°точкугиперплоскостью.записатьввидеЕМЗадачи8.подвижнымисграницами425МкMi,. .,Пустьгладкие—гиперповерхностиЕп,взаданныеуравнени-уравнениямиОбозначим(пМчерезк)-мерной—Еп,вgrad/i(ar),линейнонезависимылинейны,вое.т.имеютвсехеслиМ.изхЕсли,этомпривекторыа\ненулевыми+a,knxnМ1(пназываются(8.1),уравнением(п—Liапроходящаячерезназываетсях°Следовательно,многообразиюМ.ЕПересечениеоткрытаяУсловияе.т.точкиж0,когдаонэтона-уравне-касатель-принадлежитвсемортогоналенразрывавекто-MiКритериемврода.u(t),=моменттемслужитфункционалГонанепрерывноРассматриваемаяи=u(t),несостояниезаданногоЕвх°Mi,причемсоответственно.miазадан,чтоипосовокупноститом,чтобыфазовуюсостояниях1незаранеегладкости,переводитточкамиfo(x,u)dt,(8.6)Jt0состоитзадачакоторое-ку-С/, смногообразиявгладкиенепересекающиесяиEr,UСсчитаютсязначенияuiqt\временитребованиямдифференцируемажеeUуправлениямиразмерностейоптимальностикотором{txi,.
.,M=принимающиетакже1[и]=удовлетворяетwДопустимымииЕппространствеf(x,u),(8.5)={/i,. .,/n},=функцииЗаданырассматри-уравнениемобласть.замкнутаяпервогои/?п,Будемоптимальности.описываемыйGнепрерывныезаданноеж°;точкеопределяемуютогда,задачи.иликусочнозаранеевизтолькоипроцесс,{жь.. ,*„}=управлениеМО,=Li,. .,Lfcмногообра-гиперплоскостейкисходящийтогдауправляемыйгдехе.урав-fi(x)поверхностигиперплоскость,xт.определяемаяэтойкк)-мерную—вектор,Постановка8.2.рассматриватьвмно-гипер-(8.3).векторамMq(8.4)^гуравнег=1касательномугиперповерхность,многообразием(псобойпредставляетявляют-Одномерныегиперплоскостькасательныммногообразиегладкаяточкуа&п}системойгиперплоскостью.касательная—{a&i,. .,=определяемоелиниями./с)-мерная—а&. .,топрямымиМПустьain},к)-мерной—bk,=независимыми,называетсягиперплоскости{оц,.
.,=линейноимножество(8.2)уравнения. . .!'.(8.4).'.¦.'. .являютсячастности,ввид-..игладкойназываетсявекторыgrad/fe(a;)(8.3). .,точкахОноМ&.Mi,. .,множествпересечениегиперповерхностьюMqтак,ввсехудовле-(8.4)такжефункционалсвоих/,аргументов.допустимоенайтинекоторое,чтобыи)вектор-функциисистемыточкуЕ/о(х,функциякомпонентыуправлеизнекоторого,незаранее(8.6)призаэтом426Гл.наименьшеепринималвырождаетсядругойнеобходимыедаетu{t)ах1х(t)х1x(t\).=тограницам,Очевидно,u(t)каконоявляетсяконечнымих°чтоx1x(to)=x°,u(t)управлениефиксированнымипришлиВподвижнымиx(t\).ЭтиточкиMqгиперповерхностямпоMiи1,. .,питочтотакие,aMiзаданагиперповерх-Значит,<^(х),гМогмак-х(to)точекпринадлежатьгиперповерхность<^(ж)=0,мыпринципасоответственно.функциивыводуопределениядляmiсо-максимума.условийдолжныпредположениюсистемутакомупринципаинформацияразмерностей7П1,—Ксзадачирешенииполную"полноты"длядифференцируемыенепрерывнодаютусловияобсуждениипридополнительнаяпринципуПривеличин.границаминеобходимамаксимумаудовлетворятьнеизвестныхпараграфесдолжныэтивсехпредыдущемзадачеx(t)траекторииопределениядляв=граниначальнымоптимальности.условиюконцамисоотношенийjих(to),x(ti)=x1.(8.7)траекторияинеобходимомукакмаксимумасуществуют=подвижнымификсированнымисзадачевсзадачевих°черезх°чтополагаем,Mi.Eуправлениеоптимальныме.т.значениямиЗначит,играницами,Обозначимтраектории,Mo,Еоптимальное—подвижнымитраектория.этойзадачуобразом.сзадачевзадачахрешатьнужноследующимоптимальнавявырождаконечнойивышееслирассуждатьточкизадачаточки.вуправлениеконечнуюиТакможноемуначальнуюатоэтарассмотренныхвЗначит,оптимальное—вырождаютсяоптимальности.соответствующая—чтоначальноймаксимумаграницами,ПустьMiипринципусловияподвижнымиЯсно,процессовфиксированнымисMqстороны,оптимальныхтеориизначение.задачумногообразияеслиСобщейвозможноевышерассмотреннуювточками,сОсновы7.1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
