Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 61
Текст из файла (страница 61)
.,п,—нареше-A0.2).и(х,у)управлениеA0.1),задачевA0.2),функционалкоторомQсвоегодостигаетA0.1),задачинаименьшегоA0.2),ЕслиzxввестикритерийтоA0.1),Фfo(x,у,допустимоеаг/),. .,у)A0.2),A0.2),<P(zi@,=у),JA0.2).у)).A0.5)zn},0)Jвидевzi,. .,z(x,=0,A0.4)=zo(X,Y),=которыйсистемойзаданныхсоотноше-Jфункция.находимиЗатемсоответствующеевводимЕеможно+тг^ОФ^х,.>fi(x,,zn(X,Y)),(fr^z^X^Y),. .=емуфункциювспомогательнуюизисходяопределить..,Zn)/-mу,z,уравненияzxjzy,A0.5)и)•,zn@,у)),zo(x,можно0)записатьв,zn},Ф(г1(х,=0),. .,Jвидеzn(x,zo(X,Y).=системойзаданных0)),ОнA0.6)определенA0.1),соотношенийA0.6).иоптимальностиA0.1),задачейкраевойописываемогопроцесса,функционалвозьмем=/Jo[Хконкретное=¦этомприКритериемВыбрав¦{zo,zi,. .Jz(x,y)y)условийфункционалвектор-функциях3.zo(O,управлениеA0.1),zn(x,задачидополнительныхго(О,наu),функционалдифференцируемаяE0z0(Zi,^—^zi.
.,Zxn)zjyиzny}.записатьнепрерывноz(x,y)<2>(zi(x,=можнозада-решение—A0.4).иконкретноеzo(x,y)Jz(x,y)=соотношениямиZy,минимизироватьБеремрешениеzx,{zo,четырежды—z,z{zlyj. .,=zo(xJy)вектор-функцияхA0.2)zyфункцию=Требуется2.гдеznx},оптимальностинаопределенсоотношений{zlxj. .,новуюzoxyЗдесьзначения.={zi(x,fo(zi(x,У),. .,и(х,управлениег/),. .,zn(x,zn(x,у)}задачиY)Jzlx(xJг/),У),. .,находимA0.1),znx(xJУ))соответствующееA0.2)иdx.емувводимвспомогательнуюрешениек\Принцип10.длямаксимумасистемраспределеннымис445параметрамифункциюzo(x,Этуу)Г=fo(zi(x,Joфункциюможног/),. .,zn(x,определить,у), zlx(x,используяг/),. .,znx(x,у))dx.уравнениеdfo(x,z(x,y),zx(x,y))zOxy/_^—i=lZ%'—-—-—'—fi(x,z(x,у,у), zx(x,у), zy(x,у), и(х,A0.7)у))г=1гхидополнительныеусловия/оJфункционалТогдаzo(x,функцияхA0.1),соотношениямиг/), zi(x,A0.2)Аналогичныйможнозаписатьг/),.
.,zn(x,A0.7),иг/),A0.8)результатJвидеводнозначноОндопустимомкогданазадансоотноше-определяемыхкаждомприполучается,zo(X,Y).=и(х,у).управленииберетсяоптимальностикритериемфункционалJfo{y,=JoТакимобразом,задачаширокийдостаточноможнокругописатьсдополнительнымир{zi,. .,=A0.2).оптимальностиусловияобозначениедо-которыеусловияминеобходимыесначалаохватываетпроцессами,управленияA0.1)сформулироватьвведемзадаче,оптимальногоуравнениямичтобытогоA0.3)функционаламинимизациизадачzn,вz\x,. .,znx,Дляэтойфункциювспомогательнуюза-zny}z\y,.
.,иnH(x,y,v,p,u)Функцииvnvi,. .,^2vifi(x,y,=сопределимdz,zy,u).A0.9)d(dH(x,y,v,p,u)\уравненийпомощью(dH(x,y,v,p,u)\dx\dzixJиzz,dy\dziJziyусловийдополнительныхi)*dH(x,Y,v(x,Y),p(x,Y),u(x,Y))—^iivA0.11)viy(X,y)=—,VZixVi(X,Y)Aiгдевходящиепостоянные,—A0.11)УсловияопределяетвправуюпредположенийУ),vi(X,г/),функцииэтичасть. .,уравнений2,vn(X,2пг/),приA0.10)и(х,заданныхпроизводные/^вуравненияхобыкновенныхлинейныхvi(x,Y),A0.12)неизвестныхвместекотораявходятфункций.
.,n,A0.12)2псистемуотносительнооднозначноотносительноl,=A0.3).собойуравненийvn(x,iфункционалвпредставляютдифференциальных. .,-Ai,=су)условиямииz(x,у).ВиZiXXA0.1)общемZiyy.существованиеопре-случаеОднакоиз446Гл.Основы7.такихнепроизводныхобщейоптимальныхтеорииПоэтомугарантируется.процессовдальнейшемвпредполагается,чтоппп/•^=aijk(x,y,z)zjxzky^2bij(x,y,z)zjx+s^cik[x,y,z)zky+di(x,y,z),+j,k=lj=lk=lA0.13)функциигдеудваждыиЪц,dijk,diиCikдваждыдифференцируемынепрерывнодифференцируемынепрерывнопопоостальныхсовокупностижиаргу-аргументов.Привыполненииеслимаксимума,гjz(x,y)п(х,у).ип(х,у)=zчемсамомделе,еег>(х,иитогепостроениядлярешениявУ),A0.1)иA0.10)ПримерzгдекусочноииY—заданныеудовлетворяющиеvиизвестны,получаемвучетомеекакполнуюфункцииуправляемыйпроцессA0.2)1.[ Jo[A0.15),описываетсяотносительноТребуетсяоднойминимизироватьусловиямz(O,y)иусловийA0.12).системууравне-найденнымигра-считаютсяуправлениямиотудовлетворяющихz(x,0)иzy,v).уравнением(x-l)z(x,y)dydx=zг/,0<y<Y,A0.15)толькозависящиеж,z,zx,v(x,y).Допустимыми^и(х,у,=связанную0<x<X,|гх|максимумаотуравненийусловиямипостоянные.условияиполучаемv(x,Y)инеравенствууравнениявонажедаетзависимостисистемуv(x,y)иJoрешенияхонадополнительныхдополнительнымиS=хотяТакизмыифункционалнаачтобысистем,систем,многозначную)решаемфункции,непрерывные=управ-что,управления.находимсz(x,y)Пустьотметим,нелинейныхслучаеконечномерныхzxy==u-2zx-zy-2z,Xипризадачи.v(X,y)10.1.A0.14)0,допустимоенеобходимо,достаточно,ип,.
.,оптимальногочтокоторуюс1, 2,вA0.14))(возможно,A0.11),уравнениязначениямиграничными=теоремы,случаевопределениядляуравненийдляфункциюПодставляягоптимальностинеравенствополучаемчтобыA0.1)—A0.3),доказательствкпредполагая,(см.Н/^>максимума.теоремафункциифункцийиусловийсоотношенийсистемуВипереходитьсоответствующаяv(X,y)неравенствоA0.9)—A0.12)итогозадачевусловиюиспользоватье.максиму-справедливоA0.2)Дляоптимальнымдостаточныхможнот.у)dxdyA0.1),максимума).былопоПреждедаетv,условиюи(х,задачрешения—удовлетворялоВудовлетворяетН(х,у,р(х,у),и(х,у))]-линейностинеу)управления(принципТеоремаоноп(х,допустимогоv(x,y)ислучаеA0.2).управление[Н(х,у,р(х,у),п(х,у))jуправлениеоднозначносоответствующемиг/ /=чтолюбогодляуправленииA0.1),задачиговорить,A0.9)—A0.12)и(х,у)задачикраевыедопустимомz(x,y)решенииБудемгдекаждомприемуусловийэтихразрешимы=0.A0.16)переменнойкуифункцио-=и(у)10.ПринципДля(см.длямаксимумазадачирешениясистемвводим447параметрамиzo(xJy)JфункциювспомогательнуюположивA0.4))zoxyТогдазадача{x-=сводитсяl)z(x,у),поискукопределенныйнаНФункцияэтомвvиvovoxyz,у,zx,0,УхуvOx(x,Y)(хvOy(X,y)=0.A0.17)=функционалA0.15),A0.16)v(u+2v—(см.2vx—2zx—соотношенийA0.17).иФунк-zy——2z),A0.10)—A0.12))0vy,—vo(X,Y)0,=l)zvo—<X,<х0<<уУ,-1,=v(X,Y)vy(X,y)=2v(X,y),0.=чтонаходим,щ(х,Поэтому(х=l)v0—vx{x,Y)=v{x,Y),Отсюдаи)v,zy,системой=0)видопределяются=z(y,=zo(X,Y),задачипринимаетН(х,0)минимизирующего=краевойрешенияхслучаеzo(x,управления,Sгдераспределеннымису)условиеv(x,-1,=у)\=(Хе<ж-Х)оптимальногомаксимумах) A-е2^")).-(см.п(у)управленияA0.14))имеетвид// [п(г/)Joдляпроизвольных\и\условиюх) A-е2(?/-у))-функцийнепрерывныхкусочноОтсюда1.^(Хе^х~х)и(и)]-Joчтоследует,иdydx^Oи(у),=оптимальноеудовлетворяющихопределяетсяуправлениеформулойп(у)Вычисляяинтеграл,|"Asign=je2{y~Y))-(Xe{x~x)получаемп(у)=8'щпA-е-хСледовательно,п(у)управлениеЧу)1,Xеслитакое,ДоказательствотеоремыоптимальнымХ/2+принципатемвоспользуемсядоказательствездесьминимизируемогофункционалаПусть>является1,тоуправле-оптимальными=у)емуформулой)Полное=доказательство—являетсяA0.1),\^2viZxy-теоремыминимизи-aуправление,A0.2).7управления.z=функционалТогдаH(x,y,v,z,zx,Zy,u)\приведенопараграфевприращениядопустимоезадачирешениедоказательстватерминальногоформулывыводомпроизвольноеприменензадаче21).соответствующееI[v,z,u]которыйвлишьп(х,Длямаксимума.методом,максимумаограничимсяопределяемыйЕгорова.жепринципаОднакоА.И.е~хчто-1-=10.2.приа-Х/2).Xмаломдостаточнопри=dx\.х)-г(х,I[v,у)z,dxdy,A0.18)вцитированнойвышеработе—и],448Гл.Основы7.обладаетобщейоптимальныхтеориипроцессовсвойствомI[v,z,u]прилюбыхеслиуправлениюп(х,Az(x,y)соответствующеечерезсправедливоу)Такпри=п(х,/лAzixy(x,пЛи]+краевойрешениемАгприращениеесче-будетспра-A0.1),задачи.г1, 2,=A0.2)уравненийсистемеdH(x,y,v,z,zx,zy,u)дПоэтомуобозначитьтоудовлетворяетА^—*—^=у).и0.=являетсяточу)функцииприращениеемуAz,,+zvn(x,Аи(х,у)г(х,г/),.
.,приращениедопустимое+ Az(x,y)z(v,y)г/) + Аи{х,г/),какидатьI[v,равенствоvi(x,y),функцияхнепрерывныхкусочно=0п,. .,условиямиДг@,где?/)0)0,=г1, 2,=A0.19)п,. .,обозначениевведеноy,v,z,zx,zy,u)ПриСДг(х,=этомдругойдН(х,_AI[v,z,u]чтоочевидно,стороны,Ai>,p,u]/Jo=A0.18)pY/JoрХAzx,+zxI[v,z=формулесогласноAz,+y,v,zAz,+Аи]+иAzy,+zyп/[v,z,u]—0.=имеемп1г\S^ViAzixy-AH{x,y,v.z.zx,zy,u)\dxdyQ,=Y~[\гдеAH=H(x,y,z+Az,v,Интегрированиемzx+AzXjпоп+Ди)-Я(ж,zy+AzyjчастямX,YAzixyidxdynXA0.21)формулевA0.19)/JopYбудемрХzyjA0.20)u).>пхл/~г=1x=0,y=0x=0ny^dx+г=1J°у=0качествеvвозьмемп(х,у)функциямсоответствующееусловий/zXjdyг=1J°z,=г=1-v,получаемYВу,IJ°y2IA0.10)—A0.12),задачирешениеz(x,y).иA0.21)vixyAzdxdy.г=1Тогдассо-граничныхучетомусло-иметьп/ y^viAziJoi=1i=1*^XдЩХ,у,у(Х.у),р(Х.у),U(X,n-Yv(rY)f)(rY)Ti(tY))-ГYоdJoу))dzix—:(dH\dx\dzlx)dZi(X,y)dyz%(x,Yf дН\\dy\dziy)\,A0.22)10.ПринципгдеAi,оптимальностидлямаксимумаг1, 2,=. .,п,системспостоянные,—распределенными449параметрамикритерийопределяющиеоптимальнос-A0.3).получаемТейлораформулуПрименяяииспользуяv,р,обозначениер{z,zz,zy},=полу-равенствоЯ(ж,u,п-\-Аи)Ар,р-\-v,Я(ж,—u,п)3nv?F??^?yAp^+a2 Я(х,u,1iJ1vу-Я(ж,=и,^l_,v,p,EЯ(ж,—+Аи)\XU^?'-/\7/iС/j~Lv,и,VT)п)p,ApjApi^dpidpj3nвАр,п+>,рV,*jп+Аи)p,++U)г=1ВыполняяпоинтегрированиеYрХЭЯ(ж,у>и,и,частямп)р,учитываяиA0.19),условиябудемиметьdy.10.23^</ооГ±//1~#I/\I'I1 I/\/I'/I/\IIII/\/I IUdH(x,y,v,p,u)JoЛi=1Если(dH(x,y,v,p,uформулуполучаемnpYS^AiAzi{X,Y)=A0.22)-A0.23),у)I-IpXтоДи(х,приращениеу)соотноше-изопти-когда:[H(xJyJvJpJu+Au)-H(xJyJvJpJu)]dxdyJo~[JoдаетсяdxA0.14),функционалаприращенияп(х,управлениюоптимальному(ж, у)формуламивоспользоватьсятеперьA0.20)I7dpidxdсоотношенияfdH(x,y,v,p,u)\dzixd+r]1+ri2,A0.24)гдеoЛA0.24)ФормулафункционалавзаключительнаяслучаеJoдРг~{Yполучитьформулесоответствующейаналогичнатерминальногозадачечастьможно/Jo(см.управлениядоказательстватемпринципажеметодом,имаксимумакоторыйбылфунк-приращенияG.43)G.44)).впримененПоэтомуза-рассматриваемомвпараграфе7.450Гл.максимума10.3.ЗаключительныепреждевсегоНфункцииклассысистемы10.1жееслиуправление,хсчиталисьиврассмотренномтолькоотоптимальноеполучитьИзу.управле-толькозависящиеин-клас-специальнуюВу.зависящиеможнооднозначножеотхтолькоилипринципаA0.13)).А.Л.Вполностью.методмаксимума23)Кузьминацитированнойоптимальногопараболическихбылисистемыможноограниченияприменитьописываетсяизложенивзадачахзадачамикраевымимаксимумапринципснятьчтопоказано,можнопроцессналожитьуравненияЕгороваСоответствующийуравнений.управления.вынужденыэтиА.И.управленийВасильевым22).максимумакогдауправления,чтоработепринципафункособыхдляопределяющиепоказала,^@,г/).итерминальногомы/^,вышедоказательствазадачеО.В.функциинаограничениевполученыобык-минимизируемогоивышебылидоказательствесущественноеzj(x,0)A0.24)оптимальностиизложенрезультатыоптималь-задачефигурируютуправляющимифункцииусловиякоторыйобщейA0.2)дополнительнымиприращенияполучитьметодомСоответствующиеПрисопределяющиеформулыпозволяетболеевусловийуравненияполученияфункционалаиграничныхдифференциальныеСпособдляполучаетсяформе.аналогичной)О.В.ВасильевОптимальностьпараметрами./распределенными)КузьминаMathematicaeуказыватьхаргументовполучаютсявместокогдапараметрами,изложенныйможноуправления,результатыуправления,(см.братьрасширитьу.обыкновенныетеммаксимумапозволяетуправления,НсчитатьАналогичныеоптимальногочтоотмаксиму-условиеследуетЭтотого,функциидопустимыми+счетуправлениймаксимумапринципачтото,параметрамиA0.15)).допустимымиусловияпроцессованализенараспределеннымизадопустимыхтогоПривниманиенеравенствоуправленийдопустимыхпримеревс(см.оптимальныхтеориизамечания.длязависимостьобщейобратитьследуетформеинтегральнойотОсновы7.А.Л.UniversitatisособыхУправляемыеОбоднойCarolinae.залаче—управленийграничныхсистемы.—1979.—оптимального1976.—V.7, №3.—в№управления.P.11-26.18.—системахС.с4-13./Commentationsраспре-ГЛАВА8СтохастическиеБольшойпроблем,кругтакисследованиямиособенностьсостоитэтиххарактеристик.показалиактуальностьПрактическиевышеКрометого,проблемаминаиболеелишьполноекоторойсписокприведенВсевышеначтотом,Однаковремени.Припроцесса.этомсвойствахстохастическихсигналусловияхнакоторый,статистическимикогдаслучае,такженасистемывходслучайногонекоторогореализациинет,случайногореализациейпроцесса.сведенийкромеВоэтихслучайногоуслопроцесса,статисти-соответствующимилишьсложнаякогда(случайнымипроцессамиМножествованализомоказываютсявероятностнымиизадачначальноекогдапредставляеттеориисостояниепро-коэффициентыуравнений.такжеуправлениясистемызаданолишьсвязаносразличнымихарактеристиками.Основные1.1.Здесьсигналанасигналастатистическиерассмотриммынавходе.системыБудемстатистическихопределениязадачулинейнойвыходесигналахарактеристикипорассматриватьпроцесс,уравнениемx=Ax+ip,A.1)навыхо-характеристикстатистическимзаданнымбо-ислучайнымиуравненияхинтересныхсистем,интересдифференциальныхфункциями)практическистатистическихустановленииЗначительныйуравнений.задача,дифференциальнымиобвсегопреждеидтичастейправыхобыкновеннымиописываетсяпроцессдолжнаречьуравнениями,свойствхарактеристикаэтойбудеттакжехарактеризуетсячтореализациюобосно-функциязаданнаяхарактеристиками.Ввыходе.системывыходекакоказывается,соответствующеговозможно,системуправляемыхсобойсведениесистемамисигналчастоусловияхникакихлитературе,влинейнымиподаетсяпредставляющийсигнал,поступаетсодержаниеуправле-найтиможномоделированиясистемывходреальныхвеепоэтомупро-рассмат-системсигналовзадачинаисглавекниги.случайныхприведенныеосновывалисьтипа,проблемкругаконцевкоторыесвязанаэтойстохастическихтеориюэтогоПреобразование1.такогозадачиизложениепока-тех,системВидентификации.иобширнуювсистемотсистем.простыевведениемБолееуправления.такихотличныхстохастическихуправлениясчитатьследуетоптимизациейсэксплуатациианализаальтернативногорассматриваютсяболееважностьхарак-связаныоптимизации,детерминированныхдляособаясособен-ихстатистическимииначеилизадачипроблеммногихГлавнаяопределяетсятакуправлениясвязануправления,систем.поведениеихзадачирассматривалисьтеориивстохастическихчтовсеирассматриваемыхназываемыхтом,вхарактеристиками,системыхарактериописываемыйуравне-452Гл.Агдепостоянная—матрицапорядкаоднородногосоответствующеговвестисматрицазначенияимеютW(tКошиматрицаудовлетворяетs)—условиюфункциюt>0,при) вприtтоэлементами,нулевымисобственныеееслучаепереходнуюимпульснуюw—системыr\\W(t)\ E~dt<oo.K{t)=\w{t)ивсеэтомуравненияJoЕслиап,Вчасти.вещественныеотрицательныегдеСтохастические8.0,'<последнееможноусловиезаписатьвидевооJВходнойслучайногоограниченногохарактеристикамиtoнаможновпределе[tприA.1)W(t-s)tp(s)будемсю—>исп.).т.Вx(t)нулевымЭтуформулуввили,W(tptpoodsW{s)ip{tзаписыватьtoA.2),вW(s)ip(t+s)ds.видев/обозначениемсприs) ds,+/lim=W(t-s)ip(s)ds=J-ooJoсоответствииs)ip(s)-будемjформулойиметьдальнейшемx(t)=сзначением°fds=—/limсоответствииначальнымrtrt=огранихарактеристика-видевJtoJoреализациейсчитатьстатистическимидисперсияпредставить=будемизвестнымисистемывыходеx(t)и^n@lсожидание,сигнал={(/?i(?),.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
