Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 59

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 59)

Тогдае),+0 +е)процессu°(t)(9.17)ие),+рассмотримварьирования(9.15)Ф(х°F-и0(t))путеме)0 +ма-=?)||2)>0.^ +Далее,на(9.17)находим,чтоАх(ве)=+х(вх°(в?)-+е)+=х°F),Д/@,и°(в))е+lo°e?2+ог(г2),ёФ(х°(в),в)dfd${x°{t).t))\dxdxdxdt\jt=<РФ(х°(в).в)dx3dx2Поэтому(9.8))условие12всехv(9.7).EоииПоэтомуможноu°(t))}t=ee2u°(t)управлениеформулудляx°(t),f(t,-Если(9.17)неравенствоt Eто(9.18)x°F),выполненоСправедливоизи°(в))е2равенствотакжеследует,видевl- Avf(9,+особое,[^о,Т].записатьчтотождество+о4(е2)(см.^(9.18)9.1определение(9.8)0.ивыполняетсяи434Гл.Основы7.1d2Jtобщейдх)дхдхж°@),Avf*frОтсюдапроцессовt=o2\\\оптимальныхтеорииЭ2ф^0(б)>б)Л#))необходимоеполучаемх°(в),Avf(O,и°(О))е2+оптимальностиусловияво(е2)>0.следующейформе.Чтобывыполнениеособоеu°(t)управлениебылонеобходимооптимальным,выполне-условияД„/(М((),»(«))'Avf*(t,x°(t),u°(t))Чтобыqx2сформулироватьполученныйвведеммаксимума,принципуТогдасвидеподобнойтеоремы,-а^"-".(9.20)(9.15)тождестваив(9.19)функцию-(9.8)формулыучетомKf(t,x°(t),u°(t))(^H.результатматричную•С)удовлетворяет+Ф(?)чтонаходим,удовлетво-уравнениюdr(t,x°(t),u°(t))ilra/(t,xQ(t),ix°(t))ip.Крометого,силув(9.16)равенствафункцияэтадолжна(9.21)удовлетворятьусловиюЩ(Т)Такимобразом,=-d^fPl.(9.22)dxzполученныйсформулироватьможнорезультатследующимобразом.ТеоремауправлениемвДля9.1.(9.1),системеx°(t)удовлетворяющимсистемы,1)выполненоусловиеиизu>(t),u°(t)былосоответствующимUСбылоособымему(9.2),условиютакого,оптимальнымуправлерешениемнеобходимоi/;(t),xo(t),гдеф(Ь)u°(t))(=)—решениетахЯ(?,иеизадачи<ф(г),(9.9),x°(t),(9.10);этойсущество-что:максимумаH(t,всехчтобыначальномуuj(t)подмножествасуществованиепритогоaи)си-Особые9.иуправления2)выполненорежимы435скользящиеусловиеx°(t),Avf*(t,u°(t))V(t)Avf(t,x°(t),u°(t))A^""^°°(9.23)dA/(*rвсехприAvfw(t),eиВсфигурируеттеоремыvгдепроизвольныйи)ж,Рассмотрим9.1.аг;)ж,/(?,-(9.20),иОнополу-аи),ж,U.описываемыйпроцесс,2и2.'2(9.22),условием(9.23).(9.14)/(?,=извекторПримерснеравенствообозначенийиспользованиемAvf(t,—(9.21)уравнения(9.12).этой(9.19)изрешение—формулепоформулировкеполучаетсяJdxФ(?)гдеопределяетсяv+уравнениямии2.и22п—'2'2'(9.24)сначальнымиусловиями*i@)ДопустимыеаоптимальностирассматриваемомслучаеСначалавыписываемфвектортеорему{^i,=Ф21(t)удовлетворяетрассмат-вимеет=^2A)удовлетворять(см.уравнениямфзНфункцииSign=^4х2ф4,у9.1=0(9.26)-1.(9.27)=управление-^2придолжно+,^з/+,/^2X3^4={«?(*),«§(*)}соответствуетизодним(9.25)ФФ){0,0}.(9.28)решениеж?(*)и==x°2(t)=x°4(t)0,=x°3(t)=t(9.29)решение=М*)=М*)=0-Mt)</п0кандидатомрассматриватьсячтоследует,управлениеуправлению(9.24),ичастности,вчтонаходим,12теоремыОтсюда,^4A)0,=|/>l(?),u2(t)=<o/условиямоптимальное.быть^зA)=видZдолженu°(t)задачи+^37,Ь^46.НФункциямаксимума.—2х3ф4,==максимумаЩЭтомут-х±.=условиямусловияможетZZ\Фа}Ф2^i(l)в-Фз,-2ж1^4,=дополнительнымИзпринципа+ф21(р(х)(9.3)#4A),=9.1)фхиф\и\=J[u]функционалусловияН(ф,х,и)0.(9.25)=условиямоптимальностикритерииж4@)=удовлетворятьявляетсявж3@)=должныуправлениякритериемгдеж2@)==-1(9-30)такихкандидатовтеоре-436Гл.Основы7.(9.26),задачи(9.27).переменнойПроверим,сначаласоставим(9.1)нужноH(i/j(t),x°(t),Функцияпоэтомуии,общейи)(9.28)управлениеявляетсяэтоликакг-йСрассматриваемомвзависящейнеотособым.оптимальным.Такэтойсна-цельюслучаесистемевположить2и2апроцессовоказываетсяявляетсяуправление(9.21).уравнениеоптимальныхтеориистрокойматрицыи2(grad/^)*,является——и2-CJXтовсеэлементыматрицыdf(t,x°(t),u°(t))dxравныx°(t)Здесьнулю.можнозаписать{x\(t),x^(t),x^(t).x\(t)}.=^12^22^13^23^14^^240000000Фо1 0IС)^С)С)0LФооФооФо/100000000-1-Дополнительное(9.22)условиеФ^A)(9.12)векторы^(ОчтоОстальныеx°(t)i/j°(t),иТаккакпринимаетвыполняетсяудовлетворяетТактакже,чтополученноеэтакак9.4.допустимымискусочноПонулю.—ж2жз^2/2}.(9.29)формулеТак(9.30),иОсталь-2t.—кактолевую[0,1],товекточастьвидетолькоотрезкевнеравен-случаевособоеотбирали,v2fЭтоv2.1чтоозначает,(9.28)управлениеудовле-9.2.даетнеобходимыелишьпринципаявляетсяуправлениехотяиспользуяоноивсегосуровуюформетом,накандидатомлишьвоговоритьдостаточнопрошломаксимумапринципдолжнымытооптимальности,условиямаксимума,рольпроверку.9.1,теоремыатакже9.2.теоремуразличные2=равны—v2/2,-теоремыуправления,мыиv\теоремаиоптимальногоЕголюбыхусловиямкакФц(^)видпривсем4.3,получаемзначенияпринимаетвидтождественнов2Aиотсюдапредставитьt1, 2,=компонентамиможнопеременная(9.23)неравенство=определяются(9.23)неравенстваг,кФ(?){^1,^2/2,матрицыпринимаетслучае0.(9.27)),/S.vf(t,x,u^(t))находимэтомв=(см.—1=Ф^@компоненты(9.21)уравнениеФ21/ФцУчитывая,ПоэтомувидевСкользящиеуправленияминепрерывнымиврежимыобзадачиоптимальномуправлении,являютсякомпонентами.задачахРассматриваяуправления.мывектор-функцииПредполагаетсяобычноразчтопредполагаем,u(t)=также,{ui(t),.

.,до-ur(t)}чтоихточкиОсобые9.иуправленияразрывапервогодопустимыхуправленийчислорода,техиллюстративныхпринципадоказывалитеоремчтоUопыткогдамножествевПримерсуществует)онПусть9.2.некоторомдопустимымииможноявляетсясконечнымминимизируюэтойпоследова-элементуправлением.уравнением03,t <<являютсячисломситуация,выделитьдопустимыми,=дина-встречаетсяпредельныйуправлениямиu(t)=гарантиейуправлениичастоописываетсяпроцессхдока-допу-служитьоптимальномдовольноуправленийОднако{un(t)}.(когдаобзадаччтодопустимыхпоследовательностимогутклассахвсегда.показывает,минимизирующую последовательностьненемыэтихвпримерырешениивуправления,чтовспомнить,управлениясуществуютсистемамичтобывыделитьследуетизложе-ходудостаточно,способоминымрассмотренныеуправленияпобылооптимальногоитакиеНакопленныйточекфунк-непрерывныекусочноразрыва,удовлетворяющиеусловию1.<ТребуетсяфункционалминимизироватьJ[u)сдопу-областьзамкнутуюприводилисьОднакосуществованиядинамическимии\значениймножествоилипредположенийилиоптимальность.управлений,допустимыхфункцииакоторыемаксимуманапретендующиевоткрытуюэтихматериала,помощьютого,конечно,собойпримерах,теоретическогосточекЕг.Визложенияэтихпредставляетпространствеврежимы437скользящиеграничнымих@)условиямиСначалаанализируемТС(Ь,ф,х,и)функциюСтационарнаяточкахC)=и2]-и2]—Фофункцииф\иф1TLвыписываемиСоставляеммаксимума.принцип+0,=dt1.=применяяфо[х2щх2Joзадачу,=3f=уравненийсистему-2фох.=[—1,+1]отрезкавнутриудовлетворяетуравнению-2фои=—_аиОднакоонанеточкойявляетсяфх+0.=такмаксимума,каки0исогласноПоэтомуоптимальноеизначенияJфункционалаu(t)полагаемx(t)u(t)x(t)своеготак,задачутемчем1t,—t—20прих{1)Тогда+1.=а0.=сt^наименьшегои2 (t)учетом1.^Тогдаconst=0.<значе-граничныеизхC)условия=Чтобы0.=значения,былоравноединице,1 <времениточекразрываtэтого<2.Кусочнобылополачтополучаем,^t^3движенияуравненияJ[u]u(t)управлениемx2(t)достичьизПоэтому2временифункционалнужноau2(t).движенияуравненияотрезка1функ-минимизируемогобольшечемидляхB)отрезкечисломx2(t)Аналогично,возможногочтобыЗначениекачественно.меньшеследовательно,и,оставшемсяконечнымменьше,—1фоусловиетолькопринимать+1.=анализируем===ииТеперьможетуправление—1=выполнятьсядолжномаксимумапринципуполучаемневозможно.свое-достигалраспорядитьсятождественнымнепрерывнымвыбираемнулемуправлениемнасГл.438и\=Однако1,можно[12/Bп)],1 +.

.,разобьем1—Ясно,=0,1,[^(t)]2чтоуравненияBп++1/c1)/Bп),-t Gприt Gn. .,2п1.сначальнымусловиюэтоможносле-[1,1частейравных2]1/Bп)],+положими-,12n2/c12n1.—Соответствующее=процессовудовлетворяющее0.Сделать=наприэтомухA)условиемобращающейсяфункцией,кусочно-линейнойu°(t),x°(t)решение[0,1][1оптимальныхтеорииуправлениеОтрезокобразом.исходногообщейсоответствует1/Bп),+построитькоторомуследующимОсновы7.=вxn(t)решениеуправлению0непрерывной+1,1являетсяточкахвнуль2/2п,11,52Рис.4/Bп),1 +пределеприочевидно,таково,пдопустимыеэтогопрямойнехДляуправляемыйегох=u°(t)управленияненаразрываx°(t)остаетсяназываетсяПусть,Будемуправленийдалее,вг)-мерныетакжеоткрытойЕппространствеприхпред-областьзамкнутойиливектороврассмотпрежнихчтопредполагать,являетсяфазовомрежима(9.1)уравнениемf(t,x,u).функцияхдопустимых—скользящегоопределенияописываемыйпроцесс,означений={xi,.

.,UЕг.вхп}заданыгиперповерхностиSi (ж)u(t,управлениеx)сдопустимым.=0,. .,Sr(x)=0,(9.31)компонентамищ&х)гУявляетсяточкитраекториядействиемподматематическогострогогопредположенияхааx°(t)допустидвижения.чтотом,визолированными,x°(t)определялисьуравненийрешенияимсостоитуправленияДвижение0.вышекоторымиx°(t),оче-решениеиВ7.9.1.рис.решениеемуu°(t),управлениеинапредставленсоответствующеетерминах,являются=1,Однакографикрежимом.скользящим(п0.=асоответствующиеиосирассмотрим[u°(t)]2Ее=вуправлениянаx°(t)2)/Bп),2.—истолкованыОсобенностьчисловойсю—>чтобытьмогутBп1 +. .,7.9.1В'этом;=1и+(?>Х\\u~(t,x)случаеможет^!Si(x)>0'(9.3<0V2)ПРИприоказаться,чтоJтраекториясистемыОсобые9.иуправлениярежимы439скользящиеxвтечениеконечногоповерхностейсистемыокрестностиэтонаВэтом(9.33)Онаразрывауправления.фазоваядвижетсяэтоТакоеопределено.Следовательно,поповерхтраекто-еевдругокресткакдругу,точкиПри0несистемыэтомрешенияопределе-(9.33)уравнениятаканализа,=разры-фазовойкакрежи-поверхностирежимом.Sk(x)разрываизсистемыособомвдвижениедополнительногоповерхности=навстречутраекториивремярежиматребуетнаправленынаходитсявскользящегоSk(x)поверхноститочкадвижениискользящимопределениеоднойнаНапример,0, если7.9.2.рис.случаеназываетсяоставатьсяпересечениях.ихf(t,x(t),u(t,x))своемпринекоторыхнекоторойскоростипоказанорежиме.наилипринадлежитвекторыможетвременипромежутка(9.31)разрыватраекторияf(t,x,u(t,x))(9.33)=какu(t,x)управлениеопределенонаповерхно-неопределе-функцииис'значениеиf(t,x,u(t,x)).Однакоанализееслиобъектов,реальныхдатьдифференциальногочто,работающегоскользящемврежиме,определяющиеиНеидеальностинемыS(x)0,=ареальнойнекоторойпотом,вобъекта,работаюфакторы,реальныеоп-устройствапереключающегосвязаныфазоваяитогетраектории,сточкавтонкомслоеповерхностималыепроэтойидеализациейЕп,впочерезявляетсярежиминер-инеповерхностьскользящийнаходящейсязапаздываниемдвижетсяпересекаяПоэтомутраектории,поверхностьповерх-окружающемскольжения.Этаидеяматематическогопредельного(9.32),режимакогдаS(x)0,которой(запаздывание,Введениетакого(9.35)скаксмысле,Однакотипапроисходитперехода,движения,рассматриваетсятакуюнеидеальностисуществуетсостоитS(x)многообразиюполучающеесяввикачестверезультатеуравненияв=ирешениет.(зад.).уравне-единственнонепрерывныхкусочнопричтотому,кx°=регуляризациюпомодельюустройстваприводитвышеточноприпересече-точнойвсевозможныеучтеныx(to)определялосьзаболеедругой,переключающегоусловиемне(9.1)процессапринадлежитf(t,x,u),(9.35)неидеальности"расплата"Уравнение=инерционностьначальнымоно(9.32)иуправлениигистерезис,Используем{S1(x),.

Характеристики

Список файлов книги