Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 55
Текст из файла (страница 55)
.,принимаетзадачина1, 2,=Функциирешение—гиг}Ет.СПриближенноеиг),. .,{ui,. .,=параметрами/результа-связанныетеории.иираспределенныминаукосновныхсодержательнойуправленияГасановфиз.-мат.процессами.=замкнутой)задач.исследованием.списокмакси-принципапопулярностьвсестороннимусловияконкретныхвуравнениямивекторилиуправленияработы,задачиописываетсяусловияЭтизадач.классуЛ.С.Понтрягиналитературе,Формулировкавегомаксиму-достаточныеприкладныхгруппойсоставля-содержаниеииномуилимосковских"принципслучаеврешениемэтойпопроцессрядемногочисленныерезультаты7.1.томувнеобычайнуюиознакомитьсяуправляемыйсистемысобоймаксимумаосновныеегоназваниемоптимальногопоявлятьсяпринципаизложимкоторыхоткрытойазадачрешениягруппойОсновноеобщимпубликациипослесоответствующаяметодовсозданныйметод,занятыхначалитеорииэффективныхиотысканииспециалистов,Здесьпроцесс.чтотем,максимумакпригоднычтозадачах,результатовПринципприменительнопрактическигранич-вуправляемыйсследуетнихвходитсложной.объединенныхнеобходимые,даетнихСредифункцияЛ.С.Понтрягиным.степлопро-уравненияслучаях17).связанныеявляетсятеорем,частномодномуравнение.вдругихрассмотрелимыдляуравнениемуниверсальныхглавесовокупностьмаксимума".
Каждаявсболееуправленииматематиковсоставляетна-проводить,влишьуправляющаявместенаиболееизF.39)можнопараграфеэтомвходитприменимаоказываетсяОднимуравненийформулепоее,задачейтрудности,оптимальномпоследователь-задачиВи7.обздесьинтегральныхисследованиекраевойопределяющиеРиккатиdr,F.39)хг)Решивпра-формальнометоды.дополнительныезадачах)и(т,т,СчитаяФурье,Полагаяфункцияклассусловия,возникаютHi(t,программированияметодикаважныйотметитьграничныедальнейшееуправляющаяэтаF.5))u(t,xs).описываетсяпричемформулусистему. .,динамическогопроцесстеплопроводности,Vзамечания.когдаслучае,методполучим^s?вышеметодаприменяяфункции.=Заключительные6.6.применение/+известные•••?изложенныеиспользуюx)#xi),u(t,X2),и(?, х), ифункцию(см.16).образомследующимивидев—=относительнонаходимx)Hi(t,r,x)и=получитьфункциейизвестнойуравненияидиффузионными..канд.412Гл.непрерывнодифференцируемымиДопустимымиуправлениямисконечнымразрываточекначальнымиfa{xi,.
.изкаждаясвоихДо-аргументов.функциииразры-допустимомууправлениюуравненийсистемырешениеu(t)=точкойявляетсякоторыхкаждому,xn,ui{t),. .процессовнепрерывныепредположениях,ur{t)),г1, 2,=n,G.2). .,условиямих&0)=х°{,заданыПустьобладающаяРассматриваемаянайтидопустимоеж},. .,числатемигх\обзадачаG.2),задачиur),ui,. .,состоитуправленииu(t)=xnj/^.иоптимальноми,xn(t)функциячтоуправлениеп.G.3)/o(^i,. .,1,2,. .,=скалярнаяисвойствами,жеxi(?),. .решениечтобытакое,G.3)xl(t1)=x1lJавсехсовокупностиединственное=оптимальныхтеориикусочноразрыва,этихсоответствуетXiспоПрирода.u{t)=общейсчитаютсячисломпервогоиОсновы7.удовлетворялогемуусловиям. .,п,G.4)1, 2,=чтобытом,всоответствующеефункционалrti/J[u}=достигалэтомприtвремениt\=своегонаименьшеговообщеto,>Отметимнекоторые1.Пусть/очестныеG.3)состоит2.Пустьмоментэтойзадачи.G.5)принимаетчтобытом,вG.4)состояниевслучаифункционалtвременивре-t\=G.1)системуизto,—и,состоя-время.фиксирован,t\=J[u]видперевестикратчайшеезаМоментзначения.задан.незаранееТогдазадачасостояниявозможногоговоря,1.=следовательно,f{x1,.
.,xn,u1,. .,ur)dtG.5)Jt0аг=1ТогдаоптимальностикритериемфункционалслужитJ[u}=иимееммырассмотреннойсделовОднаконанесмотрясформулированнойзадачиможномогутбытьзадачаобобзадачейпрактическиминимальнойсв=u{t)—=допустимоесоответствующееуравнениеВзадач,частности,относитсяквведемнекоторыерассмотреннаямаксимума,принципвтакому6гл.классу.пе-вспомогательнуюfo(xlj. .Jxnjulj. .Jur)JG.6)xo(to)образуютклассыположивхоирассмот-сформулирован-постановкевсилойсформулироватьхо,Еслиэнергией,интересныеспособом.указаннымуправленииЧтобыобщностьзначительнуюуказатьописаныпеременнуюминимальнойсуправлении6.гл.задачирешениеоднозначноxo(t)=0.G.7)ауправление,емуG.6),=определимJ[fo(x1(t),.
.,xn(t),u1(t),. .,ur(t))dt.КошифункциюфункцииG.2),xi(?),. .,G.3),xn(t)то,подставляяобразуихПринцип7.При413максимумаэтомJ[u]Поэтому,используяформулировкуможнопеременную,дальнейшегодляможнозаписатьвидевхо(П).G.8)=введеннуюудобнуюзадачи,G.5)функционалазначениесоответствующеедатьформули-инуюВоспользуемсяанализа.следующимиобозначениями.Пустьх{жо,Ж1,. .,а;та},=Тогда/G.1)уравненийсовокупностьначальныеG.3)условияG.7)иG.6)иxаx°{/o,/i,. .,/n},=ВажнозапишемУсловияоптимальнаяудовлетворятьеёхxi(?),. .хо(?),компонентавозможное,хп(?)x(t)независитG.4),должнаком-удовлетво-состоятусловиямG.8)нулевойотдолжнакоторымG.10),системыформулойси)ti,=подчинялисьсоответствиивG.11)t=условия=временитраекториякомпонентывидеводного/(ж,моментввидеввектор-функциячтозаметить,хо-записатьG.9)f(x,u),G.10)=x(t0)компонентыможно{0,ж°..
.,ж°}.=чтобытом,вакомпо-нулеваянаименьшееприниматьзначение.Вэтихможнопоставленнойтерминахдатьпростуюзадачегеометрическуюин-интерпретацию.Пустьп(рис.7.7.1).траекторийудовлетворяютлежатG.4).проходитиКаждаяизсвоюG.8)),тоLлиниюпересекающаямомент7.7.1окончанияимеетпроцессаx(t)значениемсамойиG.10),системынижней=u(t),линиясо-которомуизисходящаях1.точкеШтриховаялинией.функ-минимизируемогоуправлениеНа7.7.1рис.являетсях°точкиэтатраек-проекциейеех\Ох^^плоскостьгеометрическаяОднаковДальнейшийсоинтересует=всплошнойнарисованатерминологиинасхтраекториярешения.всовпадаеткоордината(см.Приведеннаяпостановки.траекторийэтасоответствуетнаРис.@,х},Х2).xo(?i).J[u]траекторияэтихопреде-параллельнаточкурассматриваемыхПосколькуитракото-(каждаяКонцыL,Оначерезкоординатуфункционалаt\).=прямойнаусловиямиОхоосиG.4)tобо-этихте,условиямвременитраекторийопределяемойИзтолькоинтересуютмоменттра-(см.G.11).условиеинасфазовыхх\Ох2плоскостивG.9)обозначениятрехмернымточкалежитпрост-будетНачальнаятраекторийкоторыевсвойфазовоеG.10)системыпространствоТогда2.=оназадачиинтерпретацияполезнадляпониманияееаналитическихиспользуемыханализзадачималосодержаниячтоидаетеедлятер-упрощенияпостроениях.будемпроводитьисходяизследующейеепо-414Гл.фазовомВснайтиТребуетсязначениеначальнымЕгС{xo(?),xi(?),.
.=вообще?i,Требузначе-х=G.8)функционалаМоментзначение.x(t)=tвремени=фиксирован.неговоря,си-,х^}.решениеG.4),условиямвозможноезаданапринимающееемуудовлетворялонаименьшеепринимал{0,х5,. .u{t),=,хп}..=соответствующее,хп(?)}этомпр-мх°ипроцессов{хо,хъ=гдеуправлениечтобытакое,хG.11),непрерывноеоптимальныхтеориивекторовусловиемкусочноUвобщейЕп+1пространствеG.10)система=Основы7.функциюВведемпП(ф,и)х,Г/(х,=u)J2=ФгМх,и).G.12)г=0ТогдаG.10)уравнениеможноx,ф^Переменныезаписать^f^,=,сопределимПусть,=^,(принципТеоремаиu{t)G.11)=условиемимаксимума).былозадачесвоегочтобытогохрешениедаютсяu(t)связанысуществовалаG.13)уравнениямиснену-иприu(t)=почтиG.14);ифункциякакрассматриваемаямаксимумауправ-G.10)уравнениячто:такая,идопустимоеx(t)=чтобынеобходимо,оптимальным,x(t),ф(Ь)TL^(t),x(t),u),достигаетДляемуij (t)1)функции2)функцияпеременнойtвсехприизи,[to, t\],отрезкае.(t),(=)символ[to,ti];3)означает[to^ti],Вместоуправления.ОбсуждениепринципаегооптимальногоОднакоусловия.меревнельзярассматриватьонамеретрудностиПопытаемсявкаквиду,строгое"практична",т.чтое.даетлиуправления.формулировкавинформациюнеобходимуюдоста-оптимальногоГромоздкаямаксимума.иметьонопосколькуоптимальногопостроенияуправления.следуетпомоментапостроенияопределенныедаетутверждениепостроенияотрез-причемконкретногобудем,непрактическогокакойпринципавноситмаксимумаизt\.=длядля0;=любогоtвсехприА4(ф(г),х(г))иприводитьдаетобсудим,этого0дляtтеоремынеинформациюнеобходимуюнасколькодлянапримерничегоии),G.15)почти^const=проверитьэтойсложно7.2.ф°условияДоказательстводостаточноmaxH(il>(t),x(t),иеисправедливоедостаточноравенствоt извремениu(t))(=)равенство,выполняютсяпоследнеекоейп.G.14).
.,рассматриваемойвсоответствующеевектор-функцияненулеваяего1, 2,=теоремой.управлениепрактическогогоптимальностиусловияследующейонаоднороднойдалее,НеобходимыегделинейнойследующейпомощьюдН(ф,х,и).•Фготрезка1,2,. .,n.G.13)=уравнений:системыт.системывидевпониманиена-того,практическо-длявсепроанализироватьприводимыематематическоерассуждениядоказательствонив7.Принциптехилимаксимума415Онифактов.сформулированнойиныхсодержаниеПреждевсегоненепрерывнообласти.Здесьтой,отом,=0,вуслоуправле-отысканииточки(/?(si,.
.,=седловуювидуэтусsn)ми-открытойвнегоu{t)находим(возможнопокаминимума,теоремы.ij (t)ij;(t)считаемзависимостивВо-sn.точкуанализа.анализук=si,. .,G.16)дополнительногокоторомвунеизвестныхуравненийперейдемG.15),Изфункцииптребуетаналогию,п,G.16). .,минимумасистемыточку,условия1, 2,=определениядлярешениеилиНачнемфункциями.функциюнеобходимыеприугточкиуравненийпопределяетИмеясо-оптимальногофункциисуществованиядаютмаксимумалишьвозникаетдифференцируемойониВопросдаётпояснитьусловияутверждаютОднакотого,существованиякотораяOSнетеоремафактутверждаяподобназдесьминимумачтоотметить,следуетСитуацияуправления.чтобыдлялишьтеорем.оптимальности,условияпредназначеныотииx(t)x(t),неизвестнымие.т.получаемнеоднозначную)u(t)=u№(t),x(t)).G.17)Вобластьесличастности,u(t)определенияусловиевместососовпадаетG.15)условия_пи,—котороеслужитu{t)определениядля{ui(t),. .,=известнымиur(t)}.методамиНайденнуюизG.17)условия2пнеизвестной постояннойТаким¦исключенияG.4)иопределяетполнуюэтихG.11).Ещедвасоответствующего7.3.быстродействии.управлении.описываетсяостаетсяt\можетитогеока-получаемчто.,П,11,п,.
.,чтосчитать,Ещеоднойпроцесса.2пимеемусловийскалярныхсамымтеоремаоптимальногоизадачеобслучайобщейв1+ТемиG.11).быстродейст-оптимальномобзадачиG.5)критерииопреде-управления/о=оптимальном1,аупописы-процессG.1).чтоисправедливым.вэтомсформулированныйслучаеОднакоегонеизвест-оптимальноготеоремы.G.10)задачипредполагать,0,.(будемполучениядлявп.окончаниямы3)п.частный=1,постоянных.даетмаксимуматеперьуравнениемЯсно,максимумаПринципРассмотримБудемВпостоянных.постоянныхрешенияему(ихu{t)G.14).решениенеопределенныхусловиясоотношенийсистемуеевремени3+0,гпроизвольныхмомент2пимеемпроверяемточкуи=Общее2п+2являетсявектор-функ-компонентуравненийнеизвестных.отобразом,Для2+зависитг,.
.,функцию—,найти)z,G.13)хММ)можнослучаемаксимума.,1относительноопре-дляэтомвстационарнуюуравненияв1,—каждуюдифференциальных2+._покаточкиподставляем2пизсистему%известныхЗатемобразомтакимнесколько)оказатьсяневыделяемитослабоеиощгЕг',пространствомболееточкиdH№),x(t),u)вектор-функциивсемвыписываемстационарностиусловие—Uтеперьвышеемуможномаксиму-принциппридатьболеепростой416Гл.Основы7.Ввид.соответствииН(ф,х,и)фоН(ф,х,и),+G.12){фъформулойс=общейфгде=оптимальныхтеориифп},. .,/очтотем,ихпроцессов1,={жь=можнозаписать,жта},..пН(ф,х,и)Y^=ФгМх,и).G.18)г=1G.1)Уравнениеэтомприможнозаписать*г=д-Щ^,а*вектор-функцииопределениядляфН(ф,х,и),функцияДалее,своегоразличаютсялишьимеемгтойвнеслагаемым,ЛЛ(ф(г),Функциявx(t)),чтоточке,функцияотзависящимможнотакПоэтомуи.переменнойТ1(ф,х,и),иви,каконираз-принципаусловияхписатьmaxff(#),uEU«(*))(=)фигурирующаяви).G.21)x(t),3)п.этойбытьможеттеоремы,пред-видеJ\A\w\t),x{t)Н\ф\Ь),max=иеи=Поскольку,от1,.
.,п.G.20)=какжеG.15)равенстваH$(t),x{t),представленауравнениярассматриваемаямаксимумавместомаксимума!,. .,„,G.19)=G.14)из,достигаетвидевкаккомпонентыхох(г),и)=-\-maxH(^(t),x(t),uEUi/jo(t)отмечалосьи)выше,вектораi/>o(t)=частьправаяM(^(t),x(t)).+G.22)G.11)уравнениянезависиттож,дх0иизG.14)системытребуется,теоремыAi{ip(t)^x(t))должнаifio(t)чтонаходим,чтобыэтабылаудовлетворятьизG.22)равенствВconst.=неположительной,ап.3)функцияусловиюМ(ф(€),х(€)Поэтомуфо(г)Поэтому0.=константа=0.чтоследует,uEUТакимобразом,окончательныйрезультатможносформулироватьследующимбыстродействии(принципТеоремасоответствующеепотогоG.1),задачичтобыбылиоптимальнымивектор-функцииненулевойсуществованиеu(t)управлениеG.3)чтобы:такой,1)уравнениямиДляx(t)необходимобыстродействию,ф(г)решениебыст-оптимальномобразом.максимума).емуобзадачевф(г),х(г)вектор-функцииG.19)иG.20);иu{t)былисвязанымеждусобойуравнени-иПринцип7.максимума4172)функцияН(ф(г),х(г),и),достигалат.своегочтобые.выполнялось3)вконечныйЭтутеоремудоказыватьПустьуправляемый7.1.ДопустимымивозьмемТогдамыявляется=х\,соответствиисф\H(ip,x,u)[—1,Функцияотрезкеи)х,фхх2=имеемФ2чтоформулуG.25)можногдеодногоиначальнымиG.3).tостальныхизрешениехx(t)былпримерисследован{х=fi,жп},каждоеxn,x=f(t,x,u),иг)ui,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
