Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 58

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 58)

.=заданасуществу,пто,—<р](х),уравнениямиl,. .,n-m0,(8.8)=уравнениями<p](x)ПоэтомуXi(to)координаты0,=jl,. .,n-mi.(8.9)=x(to)векторабытьдолжнысвязанысоотноше-точкамиоптималь-соотношениями$(x(to))Аналогично,Xi{t\)координатдляcpjixih))Такимобразом,l,. .,n-m0.(8.10)=x(ti)0,jимеем1,. .,=пфиксированнымис(см.системыдлягвектора=задачевоптимальной траекторииO,=зависимостиконцевымиG.13)G.14))и->,мы2пимеемвместонихПоэтому"полную"оптимальнойуравнений2пчтобы—топринципаусловиятраектории,относительноконцевыхсзадачеивэтойзадаче+mox(to)идавалиуправлениядополнительноточекграницамиоптимальногоопределенияиметьподвижными(8.11).максимумадлянужноВ,=0,1„,(8.12)(8.10)условийтп\—соотношенийсистему(8.7).условийдополнительныхимеемmi.(8.11)-x{t\)траекторииmi"полиалгебраическихx(t).оп-8.ЗадачидаютсятакподвижнымисВтеорииграницами427принципавыполнятьсяподвижнымисчтоэтитрансверсальности,условиямизадачевдоказывается,максимуманазываемымиОниграницами.дают-уравнениядолжныкоторыевыпол-формулируютсяследующимобразом.Будемij (t)x(t\),{ф,.

.,=чтотакова,чтоговорить,точке•проведеннойМ\множествотрансверсальностиAn_mi?i,т.е.вx(t),итако-касательнойМ\кМьeсистемойопределяетсяu{t)=кx(ti)точку^вектор-функцияиприортогоналенсформулироватьAi,. .,чиселVVi^i)}•,черезможносистема•(8.12)t^еслитрансверсальности,системой{^i^i),=x(t),toтраекторииконцеопределяемаяТьгиперплоскостикакправомусловиефп{1)},ф^\)векторТакввыполняется(8.12),уравненийтоусловиеСуществуетобразом.следующимчтотакая,г=1форме,скалярнойвили,"Z2J1J2M*i)=Аналогичноj=1ахгопределяетсячисел*я'0,=/i ,. .,™x(to)точкевСу-Mq.Gчтотакая,/xn_mo. .,n.(8.13)1,трансверсальностиусловиесистемаСуществуетd(p}(x(ti))Xi^Q(x(to)).г0,=1,п.(8.14). .,j=iгСледовательно,сзадачеподвижнымиПустьграницамиto)принадлежатьгладкойаточкаMi,гиперповерхностиto(8.5)аt\времениx(t)должнапри-(8.8),уравненийпринадлежать(8.9).уравненийоп-критериеммоментсистемойдолжнатраекториистраекториизаданнойгиперповерхно-Пусть,(см.далее,G.12))г=0(принципТеоремавуправлениеф(^)фпЬ}вмаксимумалевомсправедливые.Примерu{t),задачесПустькритериемAn_miудовлетворяетвыполняютсяусловияуправляемыйописываетсяпроцессЖ2,±2=UоптимальностиJ[u]Г1=—/ u2(t)Jodt,оптимальноесоответствующаявектор-функцияи/i ,.

.,такие,/xn_moусловиямпринциатрансверсальности,(8.14)и=?ьтраектории,концамиx(t)(8.13)±1сф(г)ификсированнымиравенства8.1.x{t)x(t)<—ненулеваяAi,. .,чиселтраекторииконцахсуществуютсистемаt<aграницами,тоифункцийсовокупностьпринципаEaauu(t),toподвижнымитраектория,{фо(г),. .,=чтот.соптимальнаяемуимаксимума).задачеза-ввиде.следующемфиксирован,оптимальнойMq,системойопределяемоймаксимумауравнениемточкагиперповерхностиэтойx(t\)привестивремениНачальнаясвободен.конечнаямоментгдепринципавописываетсяпроцесс(8.6),>можноуправляемыйоптимальности(tiформулировкуокончательнуюуравнениямивправом428Гл.областьюпричемзначенийЕ1.пространство=Основы7.#2@)0,х\окружностиДлясостояниеКонечная—3.х\-\-уравненияотносительнофоЧТОзадачивводимфункциюф^-01Со,=СогласнообщностиПоэтомуоптимальноеНфункциикотороеи0,^2|i2изнаходимнаходим,условияu(t)виде-S±t2+c2t3.=моментвимеет(см.видвремен(8.14))ж?A)принеизвестныхопределенияc\t.—трансверсальностиусловияфунк-получимx2(t)3,с^5.—0,=максимума=уравнения,соНе0.<сочтосчитать,изслучаедляурав-Отсюданеравенствов-рассматриваемомобразом,выписываем—ф\-можноисходныев+и=выполнятьсяпредставитьt3положивхо,-\-ф2и=определяемоеможно-|С2-\-ф\Х2ф\0,=должноуправление=вТакимокруж-0.=рассуждений,и,этос\1,принадлежать=С2.теоремеXl(t)t\+жо(О)фои2=фо—Clt=и)ж,управление,Постоянныепро-#i@)переменнуюи2,дальнейшихПодставляя=(см^2Ci,=переменнойподолжнавспомогательную=7Y(/0,(8.12))предыдущейнарушаяодномерноесоотношениямидается|xi(l),X2(l)}х'осоставляемявляетсясистемыточкапроцессов1.=решенияЗатемоптимальныхтеорииуправленийдопустимыхНачальное=общейЛис2ci,получаемсистемууравнений=0,ПолучаемВитогеЛТемлегкополучаемсамымоптимальногополучаемиКакпеременнойэтолинейныхкусочнообнаружено,и(ееосновнымчастофункцияис\С2оптималь-определениярежимысодержаниемусловиеоптимальногоприНможетанализеоказатьсямаксимумапоэтоИменнонеуправлениезависящейвли-оказываетсянелинейныхмногихвперемен-Например,управления.быстродействииоптимальномпринципамаксимумаГамильтона—Якоби).функциейназываютОднакочтоскользящиеявляетсяструктурупостоянным.дляиуправленииобзадачахсоотношенийуправленияопределяетсистемы.относительнотраектории.выше,TLфункциинеизвест-трехэтойуравненийдвухуравненийсистемуоптимальномусловиеотносительнопервыхквадратныхполнуюоптимальнойотмечалосьужеобиздвухОсобые9.уравненийисключаетсясистемууправлениязадачахалгебраическихтрехсистемуПараметрнеизвестных.задачотпеременнойбылооби,Особые9.стогдаииуправленияпомощьюпринципаВуправление.означает,чтонаклассевкаждомуправленийпредельныйдопустимымчемменьше,этойизонинеип~1.Однакосуществует)онбытьможетозначазначениепредыдущем(еслиуправлением,Этосемействаэтогонапоследовательностиуказать{un(t)}.ипуправлениифункционалаэлементможноуправленийпоследующемоптимальноепостроитьудаетсядопустимыхпоследовательностьминимизирующегоявляетсянемаксимумаслучаяхдругихминимизирующуюлишьрежимы429скользящиенеизопределенявля-принципамаксимума.Основнаясостоитзадача,котораячтобытом,внебытьможетПостановка9.1.Основныепроцесс,которойпеременныхханепрерывныехп}/допустимымиуправлениямииобластиКаждомуUЕгСдопустимомухрешениеx(t)=иг}.Будем{/i,.

.,/n}=рассматри-u(t),=сиtoточками(9.1),Т,сосчитаютсякусочнопервогорода.единственноесоответствуетудовлетворяющееоткрытойвтолькоu(t)=Тзначениямиразрываииограниченныеt <<toипере-совокупностивременисчитаютсяtпонепрерывныпоразМоментыуправлениюуравненияцели.число{и\,. .,=вектор-функциизамкнутойилииипринципto<t<T,(9.1)необходимое{^1,. .,=указатькогдаопределения.f(t,x,u)=дифференцируемызаданными,управленияуравнениемвектор-функциикомпонентынепреравноэтойдляописываемыйxвтеориисостоиуправления,использованзадачи.управляемыйрассматриватьслучаивоптимальногопостроенияпараграфе,настоящемвособыеэтиспособыпрактическиемаксимумарассматриваетсяописатьзаданномуначальномуусловиюx(to)=x°.(9.2)КритериемоптимальностифункционалвозьмемJ[u]ip(x)гдеКакпринципаотмечалосьвax{t)^(t)=числомаксимума).tpn(t)}дополнительными—функция.формеоптимальноеприн-управле-(9.1),задачирешение(9.2),уравненийсистемы_mt>№)Mt))i=вu(t)Пустьоптимальноерешение—оптимальностиследующем.вему{'0i(t),.

.,дифференцируемаяразусловиясостоятзадачесоответствующееi,iсэтой(принцип—ip(x(T)),(9.3)необходимыевыше,максимумаТеоремауправление,необходимоезаданная,—=<1J).. )П,=условиямифъ(Т)г=—,1, 2,=п,. .,гдеп\1т^*)*)//гбIЪ\*)*)/*г=1ТогдадостигаетнаH(t,ij (t),x(t),u),u(t)максимальногофункциякакрассматриваемаясвоегозначенияпочтипеременнойпривсехщtизотрезкадо-430Гл.Основы7.[*о,Т],т.общейоптимальныхтеориипроцессове.Я(?,il>{t),x{t),Доказательствовоспользуемсядальнейшемu{t)){=)этогоспомощьюi/;(t),x(t),былоутверждениявводимыхздесьи).(9.4)Однаковыше.приведеноЭтоприращений.конструкцийметодавариантоминымтахЯ(?,uEUтеперьпозволитнамособыеисследоватьдаль-вуправ-управления.ПопеременнойПоэтомуможноH(t,i/j,x,u)функцияпредположениюи.еслизаписатьUмножествовидевдифференцируемазамкнутопотовыпукло,иперемен-условиемаксимуманеравенства18)вариационного(Mt\ди )(^)символгдеозначает[to,T].отрезкенеравенство,Последнеедиугде(а, Ъ)произведениеаягаяВдальнейшемкаждоебудеммаксимума,допустимоеназыватьОпределениеПонтрягина,подмножествооиUH(t,потождественноСледует,обычновсяболееилиадругойнаУсловия9.2.случаеособыхопределяемуюследующимврешениеТогдачтоквазивариационныеОслучаинадвухособой,рассматриватьмыособыхизизявляетсяэкстремальэтивсемотрезке(9.5),условиемврекоторое[to, Т].отрезкаДля—оптимальноеусловийполученияоптимальностиФ(?),функциювспомогательную(9.1),удовлетворяющееопреде-(р(Х(х,t,T)).i)соответствующее—ему<Т.Отсюда,любойвдольвтраекториичастности,следует,(9.1),уравненияПоэтомууправлению.неравенствахсм.,—<тt0=х,=постояннанеравенства.г,условиюХ(х,т,т)Ф(х,?)вариационныхХ(ж,ауправление,оптимальному)исостоятьобразом.Ф(х,г)соответствующейtвсехвведемопределениюфункцияможетопределяетсяоптимальности.уравненияпочастидальнейшемэкстремалей,вприуправленийu°(t)ПустьегоПонтрягинаэкстремаль[to, T]времениочевидно,почтиэкс-под-существуети),(9.5)задачахреальныходнойнаэкстремаль,выполнятьсядолжнованализомТакая[?о,Т]${t),x(t),ОтрезокОднакоограничившись[?о,Т].временичтонеособой.—будем,неособойназываетсяотрезкаu(t).изичтоизu(t))(=)Ht,особой.частей,такихпринципуусловиеx(t),отметить,являетсяu(t)tвыполняетсяэлементамоднако,неJПонтрягинаф{1),всем'дигудовлетворяющеекаждомпричтоЕпвПонтрягина.Экстремальтакое,векторовуправление,еслиСзн\'экстремалью9.1.экстремалью"\ ди\'динавсюдувидев\\дискалярное—почтипредставитьиеиуобозначения:введенывыполняетсякотороеможнонеравенствоМ.:Бапоккинапример:Наука,1988.К.,КапелоА.Вариационныесоот-Особые9.иуправлениярежимы431скользящиеdtгдеОбозначим,далее,черезФ.grad=-матрицу-—-ах1д2ФОбозначимначальномуu°(t).управлениювx°(t)черезудовлетворяющую(9.2)полученномA^f(tdx2xt) W>wut)) V))+х°(?),=(9.6)будем+удовлетво-оптимальномутождествохрезультатесоответствующуюидифференцируяТогда,(9.1),системытраекториюоптимальнуюусловиюуправ-переменнойпохииметь+dtdx+y\fddxJdxf(t,x°(t),u°(t))ydcl>(xo(t),t)+чтоили,тоже^самое,df(t,x°(t),dФ(х,?)функцииопределения*u°(t))\\\dxJdxdxdxИзчтоследует,(9.7)дхdxПоэтому,вводянаходим,чтообозначениеф(Ь)функцияудовлетворяетуравнению-М(9.9)дхиполагаядополнительномуусловию(910)Вместеu°(t)срассмотримдопустимоеК)гдеv={^i,.

.,vr}0управлений,малоечисло,иприи=Приращениеследующимоноu(t).^[0,0при\vпривекторточкаизопределяетОчевидно,что[0,0изобласти0 +единственноеx(t)+te+?],е],UгТ.^=x°(t)приx(t)tдопустимыхаПоэтомурешениефункционалазначений[?о,Т],интервалаусловиюминимизируемогообразом:fix°(t)произвольныйпроизвольнаяудовлетворяющеедопустимо,(9.2)——управление^(9.3)е—произвольноуправлениеКошизадачий(?)(9.1),0.можновычислитьсле-432Гл.Основы7.J[u(t)[-J[u°(t)]Ф(х(в==Ахх=х°,—е),+е)в +Ф^=гдеобщейФ(х°(в-1"^?оптимальныхтеории++^Аж(<9процессове)в +е,=?)+о(||Аж(<9+(9.11)?)||),+аг=1Такх@)какАх(вПоэтому,хоF),=тох(ве)=+легкое)-+хо@е)+х@)е=хо@)е-0l(e).+полагаяAvf(t,x°(t),u°(t))можемf(t,x°(t),v)=f(t,x°(t),u°(t)),(9.12)-записатьАх(вoi/гдееТаки,чтонаходим,0—>еприu°(t)какВеличинаеэтомвU.выполнениеЕслибытьизвременивмалой,произвольно[?о,Т],отрезкаоптимальностидляavявляетсялюбой—u°(t)управления(9.10)итакмаксимума,какФ(х,(9.14)неравенстводоказательстваt).Онаизвекторнеобходимовы-оказываетсятеперьможносостоитвусловияпринци-записатьвчтотом,полезнойтакже(9.14)соотношениевышездесьособыхисследованиипри(9.4).видеиспользует-Понтрягина.экстремалейНеобходимые9.3.Тождество(9.6)результатеположим(9.1),Кошипродифференцируемхособыхоптимальностиусловия(9.2),будемТогдаподваждыx°(t),=x°(t)гдесоответствующее(x5(t),.

.=оптимальномууправлений.переменнойжив,х°(?)}управлению—полученномзадачирешениеи=u°(t).иметь}[t,x[t),u[t))+дхзdf(t,x°(t),u°(t))d4(x°(t),t)d4(x°(t),t)|дхдх2дх2дх2|Полученноетосформулированныеопределяютприведенногофункция(9.8),обозначениемвоспользоватьсятеперь(9.9)сОсобенностьиспользуетсяполучаемможетнеравенствеПоэтому>0,(9.14)(9.13)иусловиявместепринципаoi?r,(9.13)+то-J[u°(t)]J[u(t)](9.11)моментоммножестваix°(<9))?управление,формулизследовательно,ж°(<9),Av/@,=оптимальное—произвольныме)+0.^тождествозапишемввидеd2f(t,x°(t),u°(t))d2f(t,x°(t),u°(t))d0(x°(t),t)дх2дх=оОсобые9.иуправленияГ В2Ф(т°(^dЛ1Вdt[режимы433скользящиеrQ(t)fituQ(t))В2Ф(т°(^f)а^2Jдхдх25ж2d4(x°(t),t)df(t,x°(t),u°(t))d2f(x°(t),u°(t))d0(x°(t),t)(9.15)дх2дхдх2дхНепосредственноизФ(х,?)функцииопределенияd4(x°(t),t)чтоследует,д2ф°(Т))_(9.16)дх2дх2Вместес(x(t),u(t)),маломоптимальнымотрезкеJ[u]J[u°]предыдущемв[6,6+времени-Ф{х{6=(х°(t),процессомвведенныйпункте(см.е].

Характеристики

Список файлов книги