Том 1 (1050341), страница 8
Текст из файла (страница 8)
.,рпсью,плотностьибудетотноситсяvt,пкТакиммеханикойобъем.v2,плотностейРассмотриммическиепвконтинууму.этойдолженvvвыполнятьсяэтомвве-рх,которыхявляетсясмесинесмесислучаезаконр2)..сме-изодинвВсо-объем,занятогокаждаямеханикакогдакакжечерезобъема,точкетакогоможнозаполняющихслучай,тотихскоростейпостановкеионизация.илисмесипиконтинуумовкаждойиконтинуумов,сначалареакциикомпонентргсвоемуобразом,набораВvn.¦ ¦,п.себеОбозначимскорость.плаз-Всет.представитьэтихсплавводе;водинизкаждогосвоюио\=3);(пи—заполняющихконтинуумов,/солиионовможносмесипстиипводорода,водырастворэлектроновизсмесьпаровмеди;имногокомпонентныевокупностьзанятыйсостоящуюсмесь,например:олова—имеемкислородасмесеймуфизики.компонент,многокомпонент-дляпроблемПустьнеразрывно-объеме,индивидуальномвосновныхизвыполняетсяхарактеристик,техвеличинусвоюоднойявляетсяУстановлениее.зарядаусловиепоследнееслучаяхмногихплотностиусловия:следующие¦Ви:dtдляФчерезДФ,.,чтотензорныеиндивидуальномвеличины:/=Очевидно,илилюбомвтонет.векторныезначениетакуюэтойплотностьреакции,A.4)скалярные,своесохраняющиевведемхимическиеуравнениеадругиеивеличины,уравненияуравнение:средеA.3)уравнениединамическиеиитотжехи-происходятдлясохранениякаждойизмае-§ 1.сы,будеммыиУравнениеиметь127неразрывностиуравненийпdm,__пdtилиA.5)dtЕслижезация(этотмассыкомпонентсыг-йmiемахимическиепроисходятинтересенмогутт.компонентыссмесивопределяютсяможнок.Тогдауравнениязаписатьтоизменение—времениилихимии.смесикомпонентединицуреакциииони-приложений),зренияВведемвилиреакцииточкименяться.химическойсчетзасмесивслучайнамас-объ-единицуВеличиныионизации.к{неразрывностидлявидев-SdtИЛИ-^Основнойобщаямассазаконхимическихсмесиостаетсяdivpit?!+реакцийпостоянной,2КромеввестиплотностейпПовэтомжеиаплотностьсмесикакр определим,.limПлотностькомпонент2смесиAm-г—.vобъемеданномптсмесикомпонентобъеме:=том,чтоA.7)скоростьввпоэтомуи0.=однусмесимассаопределениюкомпонентр«1A.6)v,\.заключаетсяскоростейпиплотностьодну=тисмесиможноцелого.какравнасуммемасс128иГл.I I.ДинамическиеипонятиядинамическиеуравненияпоэтомупрСоотношение,сявляющеесяA.7)учетомЭтощимнаписатьбудетеслиpi-результатомможноуравнениеA.3),образом:ности2=обычныйиметьвидвсмесиvскоростьA.5),суммированиявидевуравненияцеломнеразрывследую-определенаг=1mv2=mivuг=1е.т.п*=iЗаметим,общегоскоростьсоответствующихУравнениеми,ТакогоЕслиЭлектрическийПриВпроводникеслучаеилиvпроцессовможносовпадаютв0,—образуетvnсвидоизменить1)гфвбезпроцессамиимеетторазные,диф-диффузия;местодвижутсяотносительнособойпримертока0,электрическийсоцелом:v.=представляетэлектрическогоаскоростяслучаеэтомсмесисмеситокиA.6)vtкомпонентывсеодинаковыминазываютсяналичииимеемвновчтос=..компонентыоднислучаедругих.процесса.проводнике=компонентскоростиэтомVi=процессыродасо-представляетобъемов,движенияскоростьюфузии.A.5)случиться,движутсякоторыесмесисvиндивидуальныхсмеси.Можетt>iвпмасскомпонентампнеразрывнопрОцессОВдиффузиеГаескоростьопределеннаяцентратакчтобойA.8).вдвижениетакогонеподвижномэлектроновиток.диффузиейуравненияиввестивнеразрывностиуравнениенераз-ио-§каждойрывности1.Уравнение129неразрывностикомпонентыvскоростьсмесидвижениякакцелого.ВобщемслучаедиффузиииналичиипривзаимодействияхимическогоA.6)уравненияможнонаписатьвидев^A.9)j,гдеРазностьvtпонентыA.9)является,софvvмассыv,скоростьюсчетзаl-жкомпонентытого,чтоi-йItком-уравненияхвобъеме,вобъем,этотобъемоминдивидуальнымявляетсянеЧленыцелом.изменениехарактеризуютскоростьюdivочевидно,всредыдвижущемсяvv—относительноеслиг-йдляком-поненты.Частицы,объемсоставляющиеиДлявычислениябытьВместоA.9)образом,необъемжеввестирассмотретьконтинуумов,гадвижущихсясдляслучаяхчтовы-сме-компонентуравненийнеразрыв-неразрывностиуравнениескоростямиразнымивекторыA.9)смеси,Vuадиффузиипотокауравнениякакиодинзаполняющихтолькорассмотрениеуравнениядляплотностейтотг>{вместоJ?ир{смеси.компонентЯсно,физикизаконамиЛ.И.Седовобъединятьнеобходимосмесейихимиимногокомпонентныхдвиженияизучениипричтогирующих5A.8)многокомпонентнойдвижениеизучаяявновводитьивинеобходиморазныхследует,целомвТакимможноизнезависимыхсмесивекторовI.вэтотвназваниеA.9)1—компонентдлясмесислучаенеразрывностиписпользоватьностидлялюбомвуравненийпможнононосятдиффузиидиффузиипотокаЗаконыфизики.разными,условиеполняетсяси11векторовзаконынавходяткомпоненту,Векторынего.диффузии.потокаопиратьсямогутг-юизвыходятдлявеличинреазаконыk^Jмеханикис130УравнениевДинамическиетрубокУравнениетокавсевоной.Уравнениесплошнойс^даСредасреды,т.частицахкоординату,х,zрывностиПолеи,дально,тока,обладаютмер,напряженностьтрубкиеслиУравнениевДляэтогосплошнойтоканыйдругойпостроенныйнаравенименноtОбъемЛагранжа.произвольнойсистемына-I1,координатмалыйкосоуголь-равенt0этомупараллелепипедупараллелепипед,косоугольныйS^dl2,этогоМточкеэ3с1%3,эгд??,бесконечнобудетдру-уравнениепеременныхвajdi1,моментэ\ d?',ввыведемвобъемМ.кончатьсянеразрывностиасопутствующейвекторахточкена-вдольиуравнениевекторахЕгонему),кначинатьсявремениэлементарныйпроизвольныйэлементарныйиндивидуальноймогутформе,осейсоответствовалI.гл.среды.малыхпараллелепипед.трубкиНапри-е.постояннойостаетсях.моментна§ 8нормаль—неразрывностипостроимВаи.не-вдоль|3,?2,трубки,т.Q,=Получимданныйсоленои-всегдавтока,гоисредыправленныхvndaнесжимаемойводнородной,среды.векторныетрубки,трубкиЛагранжанераз-длякаквразнаятокасечениенеразрывностипеременныхУравнениеизложеннымитрубкиТрубкирплотностьz).у,жидкостисвойствами,тока.„(х,справедливоегоследовательно,объемавнутрипространственныхотнесжимаемойрасходомр одинаковаплотностьзависитнесжимаемойпоперечное—зываемаяA.10)р==плотпостоян-остается0.нерр5Bвидеслинеоднородной;иA.10),неоднороднойскоростейдляитакимеет=е.среды,очевидно,частицахразныхсредыостаетсяПоэтомувеличине.такжеоднородной,называетсявсехеслиобъемпоdivt>вонесжимаемой,называетсянеразрывностиполученосреды.индивидуальныйеенесжимаемойчастицеA.3)неразрывностипостояннымдвижениявремявуравненияпроизвольнойдлялюбойностьдинамическиеипонятиянеразрывностисвойстваслучаенесжимаемоисредыиI I.Гл.э3dls,параллелепипедавзятыхвтойжебыл1.§ОбозначимчерезУравнениеплотностьриПор0.средысохранениязакону131неразрывностивtмоментыРо^оtQибудеммасссоответственноиметьPV,=илиPДлясавычисленияещех3х2,ах\е.т.движения,нойэтойt0их\,черезхкТакt.х\,являютсясистемых%.вд3&,=относительнокоординатыtмоментфункций,то-хг,ж1,череззадающихх3,законнезависимойзначенияхМточкирадиус-векторj,=ОбозначимотсчетаОчевидно,разныхприкакэ2значениямивзятымисчетаi,=среды.относительномоментвэхдвижениебази-векторовсистемупрямоугольнуюбазисавекторамипроисходитсредычекдекартовускоторойпроизведенийсмешанныхвведемж1,A.11)Po-F=перемен-относительносистемыот-естьdr-гьхъэк,=эга=—-,тоисмешанноедеё3)Xпроизведениедх*дх3-щг-щ--щтдх1дхъдх3Э13д?,3"Ы3Эх1гдепеременнымпредставитьможновви-детерминанта:А—преобразованияякобианж1,х3.х2,отоi1,переменныхАналогичноdxldxlwdl?дА-dxl_dxl_дх\нdx30dxlоЛ,=о=A,|a,53к132Гл.АгдеI I.Динамическиепонятияякобиан—динамическиепреобразованиях],кпеременнымсвойствоих\,якобианов,отх%.Теперьможноуравнения?*,переменныхA.11),уравнениепредставить?2,?3используявидевA.12)Преобразуемдлях,далеенаглядностиу,zполученноеЪ,х,черезs>jy,%z.A.12).уравнениедхг/дЬ?компонентыТогда,Обозначим'djвектороввсистемеочевидно,э1уз12XXDet|=gtt|=кгтаккак^1й=эАналогичноA.11)следовательно,и,представитьможновидевA.13)A.12)A.11),УравнениянеразрывностиФ,Заметим,сохраняющейнойсреды,вчтоипеременныхвобщемсвоеA.13)Лагранжа.выполняетсяАгдекрактерды,егосред:стивидводы,вслучаеотвыполняетсянезависитотлюбойОнодвиженияхпривоздуха,сжимаемойвесьманоситнеразрывностиисплош-A.14)х\.переменнымУравнениевеличиныобъеме=/oA,преобразованияматрицыдетерминант—любойуравнениеiхК/индивидуальномвуравнениявидыплотностидляслучаезначениеразные—свойствметалласреды.исредыт.A.3)д.Ввходятпеременныхуниверсальныйматериальнойха-средляодинакововсехнеразрывно-уравнениечетыренеизвестныеJ§ 2.функции:рфункцииностинедостаточно.Уравнениявведемчинами.ДадимходитсяиметьсплошнойточкиСосредоточенныеиделенныетвердойВраспре-ввстречаемсявующими2малогоосновномчастисплошнойобъемаэлементадействующихнанегоСосредоточенныесилытолькосредывиме-или'конценконечнымие.т.сплошноймеханикесредыт.силами,Vилипричемповерхностисилтакжесреды,основномвсилами,Враспределеннымиобъемаскаждойвверхноститормеханикеточке.вматериусложняется.сосредоточенными,трированнымидействующимисилами,при-илипо-бесконеч-стремлениик нулювстречаютсяглавныйквек-нулю.сплошноймеханикевИзслучаях.мыдейст-е.элементекаждомнапристремитсяисключительныхсилымеханикойсистемысдел0вели-которымиПонятиессравнениютеоретическойютссреды.неизменяемойсилынопосредыивэтоговекторнымисил,сплошноймеханикевсредыДляявляютсяклассификациюделомеханикеальнойсплошнойвызывают.движениеСилысилы.основнуювы-среды.средыэтокоторыерешениянеразрыв-уравнений,другихсплошнойматериальнойдвижениеизучатьпричинами,врассмотрениедляуравнениявыводусплошнойдвиженияБудемсклюбойдвижениипричтоодногосредынеизвестныетриОчевидно,скорости.не-случаевтольковходятПерейдемполняющихсяскорости;негосплошнойзадачсвязив133средыкомпонентытрикомпоненты—механики§ 2.иA.10)средысплошнойдвиженияплотностьсжимаемойвУравнениязаконавторогоНьютонагдеЛягмасса—малоготольковтойточке,иилираспределенныемассовыхсил,ЖностьсилынавданнойДтп-М)Длямалой"•''"','Иногдана-А/га.Тогдавекторплот-естьЛт'~'~"*лчастицы'F~FAm.'рассматриваютV,си-главныйFмассы'массовымиилиточкебытьобъему>элементего—бесконечность.вчерезаможетпоОбозначимдействующихмассовойобращаетсяобъемнымилами.асилар)(илизываютсясилыповерхностныеаСилы,массовые,среды,концентрированнаягде„-.Объемные,сплошнойэлементачтовидно,ускорение,силу¦:\'¦¦Ф,приходящуюсянеуна;единицу134Гл.I I.массы,аДинамическиенапонятияФlim=~е.ФFdmирения,мерностьимеютФаЧислоразмерностьвидовFусконаумноженнуюнатиобычнымиизучениивводятсямассовыхФд,=подчиняющиесядитьзаконураз-вточкизренияТак,профилемзанятаячтобытого,гатьсясилабсолютноВсилнаблюдатьсяdoповерхностисилуdPсил,действующихсилыможнобудет,pda,можноргденавообщеивговоря,Силывнешниеда_»0еслисистеме,Силыонисистемеонивызваныобъектами.рнаназываютсяповерхностнойS,отношениюпринадлеиконаирассматривается,поивнутренниевнутренними,объектами,вызваныкоторойвнешнимиповерхностныхразбитьможнодвижениеэлементповерхноститочкеразной.по-поверхностнуюПлотностьdo.набудет,ВзявплотностьДОкаждойесликжащими—гси-тососудастенкамиэлементарнуюАРlim=внешние.сисососуд,ввзаимодействие.площадкуввестиналитуюввестиповерхностсреды,сплошнойводу,водысиловоеS,=амассовые,поверхностивзятьосновнуюсредынеиграютпонапример,S соприкосновениямо-%.--рольеслисистемыглавногохарактерсплошноймеханикераспределенныеверхностиочевидно,векторасуществененсредВе.т.Так,ителу.посилыоверхностныеглавногоеедеформируемыхмеханикераспределениярас-любойдействиетелатвердогодействиюэквивалентномента.дви-продолжалаприложитьнеобходимонейдляножидкостью,силы.массовыемеханикедвиже-область,чтожидкостьксилырассматриваязаполненакрыла,примассовыесчитать,введеннаяпрофилькакпределенныеВИногдасредыможнотакжеявляютсятеланапример,крыла,искусственнокоорди-силами.сплошнойжидкости,ввво-системахдвижущегосядвиженийкрылаНьютона;приходитсякоторыемассовымиискусственно.си-тяготениясамоговнешнимисила—гравитационныевсемирногоинерции,неинерциальныхсилыдвиженияизученииприскоторыереальнымиконкретныхвообщеиЭтоневелико.силрд=силы;профиляниеними,ваемойразмерность—ускорения,различныхэлектромагнитныеВнутренниеFсилы,размерности—(вес)лы,лы.=ПЛОТНОСТИ.тяжестиные,,avду->от.уравненияОчевидно,объема.единицудинамическиеирассматри-внеш-§ 2.Понятиепример,реЗемлиЕслиальногоиV,т.нитьЕсли23).SпоповерхностнымибудуттоприVxЕслижедвижениетоцелом,этиСечениевнутренними.можнопо-разному,проводитьочевидно,распределенныеS поверхностныеверхностинаS разными.будутразныхВозьмемнекоторуюточкуэтойточкеплощадкиразличныебудемнормальюопределятьсочастищуюсредысторонынаda с нормальюплощадкеdPчтомем,гдеpnda,рп=рассматриватьвиясилыSчастейзависетьды,наваdaлюбой23).Такогосплошнойнапряжений.СилуразложитьF2HaбудемчерезdP.ДальшеВекторрпвзаимодейст-общемслучаесилынаV2—среды,надветойТак,pnda.рпгеометвсег-сре-частинапример,силамираспределеннымираспределеннымисиламиназываютсяpndaввводитьможносилыонисоставляющиеможновыбиратькповерхностныеродаVrпри-еедругихбудеми.заменятьVxВиотношениюсилаобъемевсредыda.daвводимаядействую-силу,частьвектор.повплощадокэтихплотностьнапряженийвнутреннихможно—рассмотримиполнуюаним,кна-внутреннихОриентациюобъемеобозначимп,конечныйвнешнейобъематочкереннихсредыУ2 наУгвлияние(рис.пСилытелавнутриda.площадкиплощадкинормалидействуетобъемаpnda,plnбылаонакоторуювлияниеМв23-Рис-силывдольНаправлениесвойств.чтобытак,по-ориентацииотрическихи,поповерхностнуюкакразделенныхданеемае-будутможетнаТакрассматриватьвдействиеVtоднойвторойдвижениеэтомра-частидвезаме-Vx.дляVобъемарассматриватьсилами.внешнимибудемнаивзаимодействиясилымыSсредеVраспределеннымиивведенныесплошнойобъемвсечениембудемпосиламивнешние.—произвольныйеготолькоотношениюповыделимУг,необходимораспределеннымисовымивнешнимсилымынапримерV2,е.движениеявляетсянекоторыйзобьемсиламатери-электромагнитныеторассматриваетсяполесила.тодвижениеэлектромагнитныеМысленн°напря-частейизтолькона-атмосфе-ввнутренняявоздуха,—поля,жетои(рис.воздухарассматриваетсяеслиагентом,Так,относительно.воздухаэлектромагнитноготела,части,тяжестиЕслителаF2исилавнешняя.внутреннихсилдвижениевнутренние;—материальногокнемуСилыто135средыдвижениерассматриваем—силывнутреннихрассматриваемвместе,жетяжестиженпйнмысплошнойдвижениявнешнихеслииУравнениявнут-силамикаждойсплошнойточке—понормалии.136I I.Гл.Динамическиекасательнойипонятияэлементарнойкиpndo/>nn^°*гдеpmdoadopnntt=do:+da,pnzxкомпонентавнутреннегосилытангенциальнойили,силывтрения.Поверхностныеочевидно,силами,т.щимиповерхности,ограничивающей24.Нормальнаятельнаясоставляющиевнутреннихнапряжении.версальная,связь,среды,зависящаянекоторую0сн6*внымнойотточкиНамсяобобщениемУравнениеколичестваженияточкиидви-болееточкидляоднойсил,СможнозаконкикоторыхточкиилимыимеетимеемсистемумассуизвестномупциотвсехB.1)движенияизвестнымнайтисиламточ-движениязаконусилу.пизповременисуммеравнаколичества—неенаколичест-поточки1\шдвиженияпроизводная—подействующуюназываетсяколичестваточку.уравнениязадачиэтутипичныедведвижениянайтиЕслиmvуравнениеосновногорешатьскоростьточки(9\'dtнанапомощьюкоорточкитмассаиметьматериальнойдействующихкакdmvИмеемдвижениясистемыТакбудемматериальнойколичествасреды.материальнойотносительноz.у,х,массыявляющее-соотношение,одной~точки.ноНьютонатмассыdtдвиженияматериаль-материальнойdvПроизведениедвижениясложное,законапостоянна,вомдвижущейсядвижениединатточексистемыуни-свойствта.=Рассмотримматериальнойдлядляточку.имеетсяНьютона:второгосплошнойдвижениеописывающеенимимеждузаконсформулироватьпредстоитпрямымплощадокэтуполучим.второйFнаборучерезуравнениемявляетсямно-соответствующихрп,частныхнижемыдинамическимсплошнойбесконечновекторовбесконечному^^проходящихОднакосилМточкесуществуетгокаса-исреду.сплошнуюкаждойсредыРис.действую-силами,е.мо-внешнимиивнешнейнаВpndoсилыбыть,гутслу-внутреннегосилыжидкости,чаенапряназваниетакженоситкотораякасательная,—уравненияплощадкенормальная—жения,динамическиеиматериальныхврезультатеточек,действияизкаждаянанееI§суммарнойточекFj,можнопричемпУравнениясилыэтихF.вкак2.войдутвнутренниепвсехСложивточек,2лгдетемесправасил,музаконусточкуотношениюi,номеромвсейкоизсистемеколичествауравненияjtдвижения\ 2лdti=iisсуммавсехкактакизB.1):движенияполучимt=lстоиткаждойдлятонапоточек.дляvbколичествадействующиесилы,137средыскоростьюуравнениевсеитакматериальныхB.1)содвижетсянаписатьвнешние,сплошнойдвижениятольковнешнихНьютонаотношениюпотретье-поипопарносис-квзаимодействиясилывнутренниесуществуютсуммированииприсокращаются.СуммапQп2=mi*>imv',=тгде2=г=1всей—массаЩг=1v*aсистемы,скорость—центрасистемымасспизточек,птколичествомназываетсядвиженияколичествауравнениюсистемы,движенияисистемыдляпкприходиммыизматериальныхточек:пdQvi-^Производнаяпосил.внешнихмассцентрадействующихсил,ТакимможнонойтемыточкицентрамассцентраУравнениезначение,Fi•системыдвижениядействующихвсехнанаумноженнаясуммемасса,—-(e)2iколичестваравняетсявсехвнешнихлюбойсоответствиесистемыматериальныхдвижениеоднойПрисистемы.ксис-размерахмалыхсистемыдвижениесвеститочекматериальточекоднойдвижениюточкисистемы.материальнойдвиженияегоможноси-уско-систему.массможновопросахVi=суммеиначеп„-1Гнаблюдателейдалекихмногихноев—дляотдвижениюпоставитьdvтилисистемы,наобразом,ПвремениравняетсяИлиточекматериальныхстемурение_(e)2=применятьточкиквсевозможнымимеетуниверсальмеханиче-во—133Гл.скимсистемам:нымI I.Динамическиепонятиягалактикам,аппаратам,извездам,человеку,количествауравнениялюбымпланетам,птицам,насекомымОбобщимУравнениединамическиетеперьслучайсреды,т.п.количестваограниченногоэтоVобъемаконечногоНапишем2.ностьюид.т.уравнениенадвижениясплошнойлетательиповерхуравнение,кактакVMMввиде\=~irFpdx-{-pnda,\vsгдеvpdxпоопределениюколичествоестьV,объемзанимающейFpdx\—суммысредунаТакимV,образом,сплошнойиобъемевсреды,действую-сил,поверхностныхлюбогодляpndaсоответственно.можносреды\имассовыхвнешнихщихсплошнойдвиженияаVобъемаиндивидуальногонаписатьколичествауравнениедвижения:-i-Cvpdx=т.е.попроизводнаясплошнойнамассовыхнегоVобъемиоднихтехженамассуЕслисил,добавитьханикеНьютонауравнениеизчастьколичестваточкевлиний,илисилытоихсуммуB.2).уравненияпостулируемымсплошнойявляетсяраспределенныхвнешнихосновныммеханикизаконподвиж-определениюпонекоторыхявляетсясоотношениемточки,кромесосредоточенныеправуювB.2)второйV,объемевдольРавенствоческимсостоящимвнешниеещесосредоточенныеследуетмысленносреды.вдействуютсилы,какчастицдействующихсил.объемом,VобъемадвижениявнешнихВыделяемыйсубстациональнымповерхностныхпроизвольнымиявляетсяB.2)Ъвсехсуммедеформируемымнымt pnda,+количествавремениравняетсясреды^Fpdxvvдинами-Подобносреды.исходнымдвижениятомувуравнениемB.2)положеноме-§ 2.основувУравненийсплошноймеханикирассужденияследуетсредыиВv*скоростьлироватьB.2)Пообъеманениедвижениясплошноймассввестиможносредысформу-иB.2)движенияцентрасплошнойVvpdxV=сле-такжепривестиmv*количестваэвристичесплошнойдляточки.можноформулемассцентрауравнениеB.2)материальнойдляуравнениясоображение.предшествующиеуравнениеНьютонауравнениеобоснованиедующееВсенаводящиекаксвязывающие139средысреды.рассматриватьсоображения,скиесплошнойдвижениякакурав-объемаиндивидуальногоVсреды:sгЗаметим,импульсов,таккакчНаvpdxсилы.полученыизНьютонаденийопытах,вB.2)взнаясилы,B.2)изможнозаконавторогонанаблю-основаниигипотезобобщениекакссилдляпомощьюслучаях,другихвпомощьюсилизаконыисследованиях,находитьопзаконысилдляформулируемыхОпределивпредварительныхравенство,наобобщенногое.различныхэкспериментов),данных.практическихкакизвестныеполучатьпомощьюс«мысленныхт.можновиде:pndtda.смотретьвсезаконыуравнениемследующемв+\можноуравнения,этогоЭти*).еще\ Fpdxdt=B.2)Действительно,соотношениеназываютчастозаписатьможноегоd\ределяющееB.2)соотношениечтоужеэтимсоответствующиесиламдвижения.УравнениедлядвиженийлюбыхкогдасплошнойсредыфункциямипрерывнымикогдаВчастности,теоремавуравнениямновимниже;)изиразмерности1967.этотвсостояниявопросмеханике»,времени.интегральнаядвиженийB.2)дифференциа-эквивалентнаЛ.вкниге6-е,гл.мычтотакже,следуетизд.которыесреды,освещенVпроцессов,рассматриваемомвсплошнойуравненияииобъемевударныхфункциямиB.2)движениядвиженияподробноБолееиразрывныминепрерывныхобластиколичествальнымвсюдудляичислетомвдвиженияявляютсянекоординат,являютсяисходнымявляетсясреды,характеристикидвиженияхарактеристикисредыобъемеB.2)сплошнойдвижений,разрывныхсостоянияподобия«Наука»,движенияколичествадляуравнениемИ.I, § 5,Седовстр.уста-поверхно-а19—25,«МетодыИзд-воне-140Гл.I I.Динамическиенапряженияудовлетворятьстныежныкмыкоторыхнапряженииренних•^взятыхплощадок,целомS,его23).Vxкдви-произвольнымПрименивV2 иисе-уравнениекомассовыхобъемувсемучастейрезделенныхсил,рdx=Sмо-распределенныхсилпораспределенныхидвухсечениюjP"ОтсюдавПослеV2.силтретьвы-всегдапротиводействия,иdx+iисуммыихмассовыхт.е.[объемовпроизвольностисилувытекает,издействияравенстваVxобъемывычитанияивнутреннихдляраспределен-массовыхнаравенствпервыхчто+\плотностисоответственноJP'pиметь\pndoобозначенызаконбудемp«da>SE\F"pdx+условии,приF'pdx+SPnda+1VдействующихполняетсяV,V2Vx,иSсечениячтоРпОтметим,нижеповерхность(см.Например,гл.=VII),разрыва-B.3)Р-п.непрерывностиопредположениечтосущественно.сяразделим(рис.отдельноповерхностных-F7'черезсил,сложенияноиF2ипомощью^-рЛ=еговидсоответствующихнепрерывныхслучаеввозможныйнаписать:-жгденаориентациивзаимодействиесможемныхVVxчтозамечая,иосуществлятьсяпосредствомиотколиче-уравнение"B.2)точке,B.2)движенияврпчастидвенаколичестваограничений,выводу,отдвиженияобъеммысленноSдол-среды.Возьмемчениемкнакладываетданнойвсплошнойдвиженийсоотношениям,перейдемкоторыенапряженийженийлюбыхипереходим.ствазависимостижетигуравненияуниверсальнымИтак,внут-динамическиесреднекоторымсвойствоОсновноеилюбыхдлярпвыводуVпонятиянеB.3),равенствовыполняется,скорости-у,есличерездвижениябудеткаккоторуювнутрипереходятпоказа-Vимеетча-§2.сплошнойдвиженияматериальнойстицыгимВсреды.этомтомколичествачислетеB.2),любомунадозаменитьдру-этогонойДлясреды.маломуэтого,любогодлякотороеравнятьсяМлюбыхприточнодолжнопроизвольнуюсредывременисплошнойнихпроизвольныеотрезкималыеМСобъемVпутемпостроенногота-ЕгограниМВС,ABCграньаосямкоор-Напряжения=(пх)cosнасоответственноПлощадиравнысвойствунапряжений.Scos(nx);-fcosгранейj -f-р?,.р3cosМАВ,(ny),h(nz)cosориента-рп,S cosащэ\=j,г,нормалямииМВС,SЕенормали(ny)сплощадкахр1,внутрен-произвольно.векторомгчерезS.К25.нихориентированаединичнымопределяетсяпРис.перпендикулярнысоответствующимдинат,тет-малогоМАВС.MACМАВ,=рассмотримбесконечнораэдранаdyМА,=ивидевпсистемыMB=вмо-Отложимбесконечноdxdzивходящихпроведемпараллель-25).(рис.координатфункциях,идекартовойосямравенствоточ-направления,нееныенезависимо0.Q.данныйвтеперьVобъемапредельноеконечныхвыраженияВозьмемцияVточкуверновфункцийподынтегральныхвыполняетсяменткксплош-движенияобъемастягиваниипричтовидаОнокимформеобъемуиндивидуальногоподынтегральные~движениянаписаннойхарактеристикивыражение5=изподынтег-нулю.Очевидно,кунаколичествасоставимV.объемувпредположивконечными,илюбому,кнакладываетвуравнениеуравненияиндивидуальномувходящиеугодноприменимоматериальномукоторыеприменимостьскольB.2)малому,ограничения,непрерывнымиотугоднофункции,ральныечерезегослучаедвиженияскольиВыяснимбудут141средысоотношением.УравнениевУравненияh,MACэтом,при(nz),nграниплощадьаобъемобозначимА ВСочевидно,тетраэдра—142I I.Гл.Fyft<S',=hгдеА ВС.граньуравненияhтоизстягиватьсябудетМвершинывточку,бесконечнонаоставаясьмалойпервого,порядка.Вычислимйданныйдинамическиеопущеннаябудетсебе,второго—ивысота,тетраэдрсамомуSпонятия—ЕслиподобнымaДинамическиеобъемадлямоментвременисвойствомвавшисьсплошнойобъемевнаходящегосясреды,этогоB.3),напряженийвнутреннихввоспользо-тетраэдра;очевидно,получимQ=("ЗГ Р)м~'ShТ(^Р)"+p2S—где%ясьподобным0.^>Пустьтеперьдолжны,Hm_-ПервыйпределполучаетсяИзQ.="V—0рпвсегдар1=жеМточкеМфиксированныхплоскостямсилповерхностныхограниченныйсреды,ГауссапосплошнойB.4)—объему:Остроградскогоp%-fчерезСоотношениенойхарактет.е.невновьфунк-подынтегральныхвидcos(ny)pnda,р34рплюбойнар2,взятыхнадекартовойпрямоугольнойдействующихVпоможноввнешнихобъемнаS,системысуммучтотакже,преобразоватьB.4)параллельныхплощадках,поверхностьюdoплощадкеформулер3пор1,B.4)(nz),cosвсегдасреды,напряженияпоказывает\равенствонапряжениечтоточкекоординатнымкоординат.конечныхвыполняться(nx)cosлинейновыражаетсявтойП^должнопоказывает,вB.2),силувнулю,равеннаостава-точку,условиячтокотороевзятойlim-rr==0.У-»0ивсегдах),равенстванепрерывныхV-0вытекает,0,-(Л2+О+=0йкак(ra)cos(nz)втакограниченийникакихцийlim_случаевp3Scos—предельныеочевидно,движения,ристик№~стягиваетсяТогда,0,=ПУ-»0P»s+(ny)cosвыполнятьсячастности,вShТтетраэдрсебе.самому•интеграл,сплош-формулевзятый2.§УравненияУравненияРассмотрим,движениясплошнойтовойсредывсистемесплошнойдвижениядекар-наконец,координатусловие_5_jmиB.5),Ипредставимвq_VГ—ОИспользуя143средывидеусловияиз"lim=0vполучимdtЭтовекторноеальнымдвиженийнепрерывныхличестваB.2),любогополученыприрг.j,э3кр1,р2,декартовойр3посистемыР1р*Р3иидлябазисавекторамкоординат:случаевико-QчтодифференцируемостипостулируетсяB.6)%B.5)иболееилиобщих*,=э2р1=ртэкгB.7)Р=матрицувведемР11изсостоящуюB.4)чисел.девятир1пкомпонентыРпнапроизвольноСогласносвойствунапряженийнапряжения=ориентированнойплощадке,взятойО==='выполня-следует,равенства"дифференци-средуравнениюнегоизчтоB.2)векторы=любыхнепрерывностидопущенииРазложимкакПодчеркнем,УравнениеОносреды.эквивалентнотакV.объемавекторовслучаев.=полностьюдвижениядляосновнымдвиженийнепрерывных^dzдусплошнойдвижениялюбыхдля'являетсяуравнениеуравнениеметсядх'вданной=п144Гл.точкесплошнойI I.Рп?2Динамическиери=^21(rat/)-fplscos(nz)_]_ ?aacos(ny)_j_ ^23cos(пг)+cos(та)Рматрицаи.функций<*"d»[x_ftB.[*»._„рFx,черезЕсливкоторойвообщежаться,плотностьТензорщадкахбытьможетРпЭтоотОнокомпонентбылосистемыпии,пB.10)декартовыхкоординатосях,срш,которыенопомощьюследует,ивчтолюбойневопределеныкоординат.криволинейнойтольковсис-ортогональныхкриволинейныхможнокакирпвекторамимеждувB.10)рассматриватьбылисистемахпроизвольныхравенстваследуетдекартовойpkiнаписанорп.векторасоотношениембытьпреобра-компонентамдекартовыхОтсюдакоординат.кследовательно,являетсяможетB.10)рыэк(эгп).ортогональнойортогональныхпоэтомувидев=использованиемкоординат,теменыспло-координатныхназаписанар'{эгп)рпплощад-(с коэффициентами^^)вектораполученопроизвольныхРавенство=напряженийвектораориентированнойр3ръ,B.8)линейноедаетравенствозованиеB.4)компонентдевятьиwрш.произвольнорыэкщуравнений,будетсодерфункций:Силахv,не-уравнениечетырехи,помощью=координатосинеизвестныхр1,сРгЩ=нанапряженийнапряженийвекторовоткенаdzмассовыхЗависимостьнапряженийар33'добавитьскоростиповерхностныхB.9)az,тринадцатькомпонентыр,'системувнешнихговоря,внутреннихdzвр«>.проекцииполучиммызаданныхприrдвижениято,*F.уравнениямA.3)'ар^+дхсилыэтимкразрывностиобразом:Зр«dyар33дуобозначеныFzдекартовойосинаdy,дх_,_Fy,массовойЗри[у'dx,лрп.вектора^",^отдвиженияследующим_~77^{„^=уравнениевекторноепроекцияхвкоторое<йгдекомпонентамвзаписываетсякоординатплотностиквходятрхгщ,—преобразованиер1попределяетп.э*=pikB.6),средысистемыформуламиР12(пх)векторага.Девятьуравнениядинамическиеcoscosобразом,компонентипредставятсясреды,=Такимсплошнойпонятиясистемахввестиконтравариантныевеличи-2.компонентыУравнениясплошнойдвижения145средытензораЭтоттензорэтомвназываетсялюбойтензоромкоординатсистемеРпгдерпп,напряжениековариантные—п.а.—Заметим,=j=исистемыопределенынормалиубе-координатбазисаположительноекакопределимнаправ-базисаЭг+гХЭг+2_?этого3),площадкевекторавекторкоор-системывекторамимодулюпоэтойкЛединичныйвы-слу-легкосистемеопределяемуюконтравариантноголениесоот-вкоординат;криволинейнойплощадку,(индексыэ1+2на'пплощадках.даннойдлярассмотримai+iнаправлениер=толькоговоря,криволинейнойсоответствующихДействительно,динатнормальюплощадкахвообщедекартовойнаpnр1равенствогкоординатныхпроизвольнойвчтодиться,piчтополняется,ортогональнойчаесплощадкеп.ветствующихнапряженийравенствор'щ,=компонентыкомпонентытензораР-Пвыполнятьсяпроизвольнойна.Физическиебудет=Принапряжений.внутреннихопределится,направленияочевидно,формулойgu ^> 0,гдетакойвквадратныйаB.10)которыйплощадке,вообщеследовательно,р*напряжениязисаснапряженияобозначиммыберетсядальшеивекторр\,черезполо-рпнапредставитсявидер'*9*и,здеськореньСогласнознаком.жительнымэа,взятымне•ai)Ра%эа.равенпорассматриваемойP^р1векторуразложитьможнов(экединичнымточке:—л,/--—•=p%iвекторамэа.Векторба-146I I.Гл.ДинамическиепонятияXaiВеличинывекторарх.основаниикомпонентами(суммированиефизическиеравенствпоформулеэтойваX=Отсюдаотсутствует).Х°"компонентынеявляютсяясно,ка-компонентамитензора.ВдекартовойортогональнойИзУравнениядвижениясплошнойвсредысистемевекторногоBженияпроиз-\2)dvпУнатлгГауссатеоремы\__at\=JчтоследующиевpF=/¦\ Vip'dxVдвиженийнепрерывныхVif/+криволинейнойдвиженияуравненияхракилилюбойвсправедливыеВгт,^¦г"выполняютсядвижения:уравненияpa=ЪслучаеJЕСп^арJ2получим,lVС\ pnda\л~ппJдви-Остроградского—fХаг»=количестваVизрхгкоординатуравненияУркоорди-системеипоследнихдвухчточтовольнойуравненияфизическимиНаркого-либодинамическиеназываютсянапряжениянаписать,можноисистемеdtB.11)-\-Vipki,координат.B.11)гdtpF'c=\dvftИВекторноесистемеaFдвижениенойсилысойаисистемыВыделимр dx,заданныхтосплошнойвнанеебудутОднакосредедействоватьиметьнужноточекмассовыхвыражениесил.FвключатьнужномалуюмассовыеженеинерциальдлябесконечнокоордиЕслисистемыотносительновисистемевиндивидуальныхрассматриватьинерции.таккакинерциальнойплотностьюускорениекоординат,подвижной,вускорениемкакой-либоявляетсякакчастности,всистеме.являетсяотносительносредывернокоординат,сопутствующейввекторчтовиду,нат,итакотсчета,вB.11)уравнениенеподвижнойвсчастицусилыpFdx,массилы§ 3.dx,—paУравнениякоторыеинерции;силамикаксилы,силкаквующейсистемынаЗаметим,чтоеслисреды,у^р1компонентытензораниятолькосРВРравенство0Этоуравнениегдеявляетсянех,Вме-z.у,Например,эквивалентны.массовыепокоит-силы,выше,отдругиедвижениямеханикиуравнение—этойцельюуравнениеуравнениеdvтдля-¦"~dfсисте-слевавекторноточекотносительноточкикоординат,Оматериальнойнекоторойначала—градиус-векторнасматриваемойточкиинерциальнойколичествамоментовуравнениеполучимдляСсреды.ко-точкинеуравнения,движения.моментовматериальнойзамкну-являетсяуниверсальныеУмноживУравнениеуниверсальныхнеещедвижущейсяобщеедругоеколичествасилами.системасредысвойствчастныхрассмотримполученнаяещеполучитьобъ-различныхдвижениясплошнойдвижениямоментоввнешнимиупруго-теорииуравнениемравновесииповерхностнымиколичествауказывалосьзависящиеозадачимоментовМожно0.==основнымтолькоУравненияКакниядвиже-уравнение0=действуютнерассматриваютчастоуравнениймывкоординаткоординатVtj»wconst=которуюнагруженных§ 3.личествавходятвсехвосистеметоектов,той.постояненэ^э^отилиV{/>Mсти,ркгзависятонирк1э]!э1—насреда,ся,дей-равенствотемесли=декартовойршнапряжений=исопутстсил,всехсумманулю.0.когдатогда,B.11)B.11)тензор=по-можноотносительносогласноравнаторас-действиясчетУравнениеравновесиячастицу,являютсяможнозачастицы.координат;ствующихточкахвозникающиеграницеусловиенакоординаткоторые^Tiу*Р**эк=14?движенийсистемеdxуфгмассовыеверхностныхрассматриватьстесопутствующейвсилысматриватьколичествамоментоврастмассысистемыдвиже-точки:C.1)«т,гдеК=гXmvиЩ=гXF148—I I.Гл.ДинамическиемоментпонятияколичестванамоментовриальнойЕслимыимеемдвижущихсясонаписатьдвижениясистемупскоростямиуравнениетомоментовF{главный—ношениювекторвсейкомуюточкуСложивтгстемыивэтиопределивточекC.1):Xггтомт{,можнодвижениячислеирассматриваеси-точекпвсехдляколичестваот-повнутреннихнаравенствамоментмассынихиздействующихсил,след-каждойдля=всех,системе,мате-тривиальнымколичестваXгдеоднойматериальных-yt,моментсоответственно.дляобразом,Ньютона.законаиточкиОточкитакимявляется,второгоуравненияотносительноколичестваточкиствиемFсилнеединамическиематериальнойдвижениядействующихУравнениеисистемыдвижениякак1=1получимочевидно,г26.Рис.СуммасилреннихОгдевПроизводнаяповсехмоментовнотойот^моментавремениОсил.сис-суммеравняетсяотноситель-силсистемунабудетсистемыдвиженияточкидействующихвнешнихОтметим,О.можно=взаписатьг*Xmv*системыдвиженияколичествамоментчтоточекальных,-(е\26)рис.всейколичестванекоторойточкижеw_.(см.длявнешнихтолькоотносительноточектемыVIНьютоназаконатретьегосилумоментов,суммаdKнулю.равнасправастоятьпточкиотносительноточек:системыдлядвижениявнут-всехмоментовуравнегколичествамоментовниематери-видеH),X+пгдет—ilмы,точкиV*—относительно2скоростьтиг*—центрацентрамассцентрарадиус-вектормасс,г1ОТнмасс,г»г0Тн——радиус-векторскоростьсисте-?-йi-йточ-3.§УравненияотносительнокиноМоментсцентромженияобъемасобствен-среды;ныеМоментомсплошнойдви-конечногомоментыдвижущейсяпоступатель-масс.количествасплошной149движениякоординат,системывместеколичествамоментовобъемадвиженияколичестваобычносредыVназывают»К\ (г=количестваC.2)v) pdx,Xу-движенияггдесредыскорости.Рассмотрим,ПустьЯсно,тп.мыможнооднако,объемпроизвольной27) вvскорость(рис.представитьVv*гдерассматриваемойТогда,масс.центрасуммеОточкитобъемаат,«отнскорость—ратп,массыобъема,массико-моментоввсехдвиженияобъемабудетточкиотносительномассойобъемадвиже-центромсличестват.Околичестваматериальнойнияэтогоотноси-тточкимоментасовпадающейсредыМмоментобъеманекоторойтельносподробнее.вопроссплошнойих—Votb,О*очевидно,движениявенvотносительноточкиколичества-\-aсуммывидемассцентраскорость—тточкиV*—сплошнойО,точкиэтотнекоторыйимеемчтонеподвижнойнекоторойотносительноточекрадиусы-векторы—относительноМточекО*,массцентрае.Кг*=Qх(готнv0TH)XРис.dx,р27.Qгдеmv*количествомасс,объемаконечногодлясреды.движеточкимассымо-движе-сплошной—материальнойнияуравнениюколичествания=Кментовсовпадающейтп,сцентромилиК=РассмотримслучаяхрадиусапроходящейQXбесконечнотеперьК*dxR,пренебречьввидевращающейсячерезцентрК*=/<»скоростьютогда=ВомногихколичествасмалойугловойО*;dx.моментомсравнениюпобесконечно) Pdx.Xобъеммалыйсее(гообъемамалогоможнонапример,К*=]К*;+бесконечнодлядвижениямем,г*г*X&Q.Возь-сферыоднороднойвокругоси,150I I.Гл./гдемомент—г*QXпонятияееосиспорядокт*—сравнениюсплошнойIаинерции,носительноаДинамическиеR3,Q,КсредывК.*,иОднакоеслиугловаяпределеравенментколичествабытьравенr*XигдечерезилиUнасособствен-называемыхфизическойссостоящуют.микроскопи-ядромоментомколичествапроисходящийзначи-Моментдвижения.заорбитальнымназываетсясчетор-несмотряобладаетэлектрон—повращаетсяпоэтому,исвета,системаатома,вращающегосяиядраЭлектронатом.скоростидвижения,орбите,изе.порядкаколичестваподолженсредыдвижения.вопросэлектрона,размерсобственнымтельныммо-иC.3)такизучаемыйскоростьюмалыйcoZ2чтоR3сплошнойколичествасистему,негобитевелика,зрения.РассмотримвокругVобъемапорядокплотностьнапомалконечна,настолькоVмоментовточки&\(rXv)pdx+\kpdx,обозначенаПосмотримот-R5,порядокдвиженияобъемавнутреннихческойтолькоодинаковыйимеютдвиженияК=ныхееQсферыэтойимеетv)pdr.XскоростьК*тоесликоличествауравненийинерцииml2Очевидно,момент(гконечно,радиус—вращения.Xдинамическиеиэлектронавращениямоментомдви-количестважения.Крометого,моментомсханическогокоторогоналичиеспином,ме-соответствующеговведенияпомощьюсобственнымобладаютядро—движения.образом,Такимвеннымиколичестваколичестваностиполе,иотличнойколичестваотдвижениядолжна,можновообще,всехатомовтогдасуммаВвнутреннихслучаеэтоммакроскопическойсуммадвиженияК'=силуОднакодвижениенапример,моментоввыражениечастицывходитьхаотич-наложив,всобственныхмо-этихсуммавнулю.равнаупорядочить,нуля.Ноh.дляслучаяхмногихчастицэлементарныхбудетhсобст-обладаютговоря,движениядвиженияводвижениямагнитноевообщеатомы,всемоментамиментовличестватакжедвиженияобъяснитьнельзядыаэлектрон,количествавсехдляатомовмоментасплошнойсре-моментовко-3.§ТакимУравненияобразом,сплошнойесли,ственныемыVобъемаисплошнойСобственныемоментыриватьсякогдасовременнойсамимоментиучитываютсянойВведямассовыепарыповерхностныеНаныемассовыечтодействиенойсредыиУравнениеНяотнесенныеСформулируемколи-жениясредыVдлядвижениясреды,сплошнойобобщениеколичестваодно^дви-материальнойто^ексистемыдляколичествадляиточкимоментовуравнениеиндивидуальногоконечногообъема2:Поверхностьюограниченногопоме-какмом^НтовC.4)Qndo.Производнаяпроизвольного(смассовыхучетомвременииндивидуальногоотпособственныхицоверхностныхмоментамоментов)равна,сил,движенияколичестваобъемадействующихVсуммепо-служитькомпаса,теперьуравненийко-сплошнойобъемапарстрелкиЗемли.имассыповерхностныхмогутимассавыхсплош-потребуетсяапары.единицектак,случитьсячастицунасилами,элементполедляможетмассовыхкаждыйнамагнитноедвижениянечногоQnраспределенныхмоментовчестнаповерхностныесоответственнодействующиевIfoобъектовэтицитолькоимомен-существопар.распределен-Цоверхностныхдействуютисредь^заменитьчерезщеннойнесплош-внутренниесилы.массовыеПримеромкVобъемадопуститьматериальныхмоментыпар.рассмотрениедоЛЯЩыповерхностныенельзяОбозначимпары,мымассовыхвнешнихверхностиv)pdx.сплошнойчастицутакжевводитьXвктыраспределенныхкаждуюваниеклассическихмоментыкак$ (гРаспределенныеврезапро-ссвязиВдвиженияколичестваопределяетсясредыврасширился.внутренниесредыпоследнеевсредысильносплошнойрассмат-сталитолькосплошнойтехникимеханикивопросахмеханикизадачкругмоментовэтихучетомсредысобдви-количестваДвиженияколичествасплошноймеханикевмя,иссредыэлектро-врассмотрениеМоментопределятьмеханикевсредвC.3).похетимввод^тьдолжныкмоментыжениямыРеальныхдвижениятополях,151движениянапример,описыватьсредымагнитныхколичествамоментовсплошнойсредымоментоведнешнихнаэтотобъем,иIГл.I I.Динамические—объема7понятияиS5Tсплошнойсреды=колиеств,?Уравнениемоментовстваимеет~V^(rxОточкисуммедействующихсил,О.ЕслинателопарVпоравняетсяточкислучаеобъемаJ(rSот(связанноймоментасинерциальнойнемоментколичествадвиженияЖпостоянен.C,5)движенияотносительномассовыхдействуют,?-°иpn)dG.системойобъем,этотсилы\{rxсредывнешнихнаколиче-количествасплошноймоментоввнешниемоментовХ2Г)РЛ+времениVприуравнениевидv)pdx=Производнаяныхкласс1™скомностныхдвиженияиндивидуальногокоторойВко-иотносительноне-коордия)поверши.тойто,очевидно,же^ТогдаJI I.Гл.152действующихмоментовсумменаповерхностныхимассовыхУравнениеVобъематочек,средырассматриватьдлявытекаетизсистемысамостоятельнымкактолькоПод-механикиуравнением.формулировкеегомате-та.=недвиженияявляетсяаFдвижениясплошнойколичествамоментовот-уравнениеоднойдляколичестваVобъемакакНьютонамоментовуравнениеикактому,законпостулируетсячтопоиндивидуальногодляподобносредыточкичеркнем,индивидуальногоуравненияматериальныхВсепредшествующиедвижения,постулируетсясплошнойраспределенныхвнешнимиобъектами.количествадвижения,риальнойуравненияобъемэтотматериальнымимоментовколичествадинамическиевызванныхпар,объемукношениюипонятияДинамическиерассужденияэвристическиенаводящие,следуетсообра-жения.УравнениеленноC.4)количествадвижениябыхсплошныхтакиидляиЗаметим,чтоповремяпорядка.моментовко-личествадвижениясическомвклас-стваПроизводнаяобъемакоторойОравняетсясуммеО.точкиЕслинателоуравнениепарV(связаннойинерциальнойссилывнешниедвижениядействуют,не0Кне-координат)массовыхобъем,этотнадвиженияотносительносистемойвнешнихмоментовC.5)среды=количестваповерхколиче-количествасплошнойdtмоментимоментовмоментаотвремениdKидвиже-массовых\(rXF)pdx+\(rXpn)de.действующихсил,ныхотсутствиивидпоточкиприколичествараспределенныхv)pdt=индивидуальногодвиженияслучаемоментовностных~\(rxсплошнойколичестваклассическомрас-формули-имеханикимоментовиввводитьпорядкасоотношениянияимеетдвижениянепрерывных,координатампоприходитсявнутреннихслучаелю-длякаквысокогоуравнениюпервогоуравнениемуравненияприменяетсяразрывныхболееВУравнениевекторногодвиженийосновныеновыеаналогичныесвремени.моментыдругиемыс-нарядууравнениенастоящеевдругиеC.4)индивидуальныххарактеристик,наличиемпространствасмотрениероватьсреды,Этолюбыхсреды.средсточекконечныхпринимаетсябазисногокачествевсплошноймеханикилюбыхдляобъемоввыделенныхпостоянен.иповерхносттойотносительното,очевидно,же§Гиромагнитный3.УравненияэффектуравнениечестваРассмотримиколи-моментовмагнитноевможноинамагнитится,hментовэтотстанетнемвсвободностерженьпустотенаходитсяихаотическогоиз-зареннихипорядочным,ниеОпытстерженьмоментовформеВЕгоэффект.нельзяидвижениядвиженийrrсплош-„воспользоватьсяможносРеДыB.4)ствомповерхностныхиравен-ГауссатеоремойидляполучитьвыражениеввидеОстро-—моментовсуммыинтеграла,взя-F:(г?>n)хdaпоказать,=что,моментыMrjp*)Xв=\) Vt {rXj»1)dx.напряжениямвнутреннимповерхностныхпарQnможновидеQnпомощьюdaщаналогичнораспределенныхстакойполяколичестванепрерывныхслучаеноисилобъемумагнитногомоментовградскогоТогдастерженьпар.диф-вМожноицелого,гиромагнитныйколи-движениярп,представитькаксо-количествавращаться.внутреннихучета,\внеш-долженмоментснятияпослемассовыхпоникакиедвиженияначинаетраспределенныхтогобес-количествадействуютстержняназываемыйбезвнешнихмоментовневращениячтотакференциальнойвнутстанетвремявращаться.объяснитьчествараспределениевозникнутьдействительноУравнениеполяТогдаполе.некотороеколичествадолженпоказывает,Этопустьмагнитноговнутреннихмоментсчетделе,самоммагнитноестерженьнаПоэтомузаВналичиичерезонмо-нуль.вкакначатьтовнутреннихнуля.Снимемпокое.суммаполныйдвижениясуммадвиженияпоэтомутакэтом,храниться.долженпристержневобратитсядвиженияПриобъекты,оттепловогоUмоментовстержень,чтоподвешенпа-учитывать.железныйпоказать,отличнойвмассовыенужноговоря,поместитьнаколичествараспределенныеиполеуказываетмоментывообщеры,Есликоторыйопыт,движения153движениявнутренниечт0TOjдвижениявколичествамоментовтеоремы=ГауссаQV—Остроградскогополучим154I I.Гл.ДинамическиеВоспользуемся^ V{{гр{)Xdx=v=Vтакдинамические§ (гX$(rxdx+\ViP1)(ytrdxр*)X=vV,i>*)dT^(э4+эк)РкЧх,XdvкакТеперьусловии,примоментовdmмассачтоколичества=C.4)движенияVвили,уравненияпреобразованиемещеvипонятиясилуОтсюда,таклучимуравнениесплошнойB.11),видеповне-случаедифференциальнойвсредывпроизволен,средыдвижениясплошнойвидевVколичествадвиженийпрерывныхFмоментовтеоремузаписатьдвиженияобъемкакпостоянна,Vколичествауравненияpdxможноформе:P^-=PftВтовклассическоминиеприслучае,имассовыхмоментовVi0l+(9iX8k)p«+отсутствиитензораВaили,iУравнениеклассическом"Т11нопоследнейкнапосуммеисвойству=индексыпроизведений,уравневидC.7)0.C.7),ещеполучимвекторныхприобретаетмоментовзаписатьзаменимпар,C.6)движениянап-момен-внутреннихраспределенныхповерхностныхколичества(e,X9t)^СимметрияC.6)следующимсуммированиямож-очевидно,образом:кнаI,Уравнения3.§Отсюдавытекает,кОчевидно,чтоуравнениечестваслучаеввзаимодействия.Напомним,добавилисьтриновыхсодержатзависимыхнезамкнута.зоранапряженийсистемамыр'кмоделейконкретныхношести.довсеможнотен-написатьдополни-особенностямипослеиэтогозначитель-замкнутойполученияещекомпонентдляфизическимисред,путинанене-числодвижениячтоссплошныхпродвинутьсядвижения.уменьшаютслучаевкуравненияпростосвязанныеТеперьколичестваувидим,рядевуниверсальныхсреды.напряженийуравненийтензораформулы,пардополнительныхтриаполученнаяВ дальнейшемтельныемоментовэтикомпонентОднакочетыресплошнойуравненияслучаенеизвестных,коли-неповерхностныхполучилидвижениеклассическомвы-вообщемоментоввнутреннихмысим-движения,массовыхранееC.7)движениятензораотсутствиячтослучаенапряженийнапряженийколичестваописывающихуравнения,е.симметричен.тензорсимметриявнешнихидвиженият.количестваеслиуравненияi,классическомвмоментовчто=f=напряжениймоментовтолькоговоря,кпритензор—155движениямоментовуравнениеследствиюПодчеркнем,изтекаетнимplk=тождественно,удовлетворяетсяметричен.Вpfciчтообразом,Такимсводитсяколичествамоментовсистемыурав-нений.СделаемвекторовВЖ.ниякакуравнениясвязанысоднойотвыборомпервоначальной,ходпроисходитжеинерциальной.В общем(неинерциальной)ненияизменяются,прислучае(уравнениядвижения)изменяютсяПодчеркнем,инвариантны,силчтохотяоднакоипоявлениявинерции.векторыониQнеэтотпере-другой,так-подвижнойсоответствующиедвижениясчеткпроизвольнойкоординатзавнешнихотносительнодажекпереходееслисистемыпереходеколичестваобразомПриподвижнойинерциальнойсистемевочныхслевекторыоднойототкриво-илинаблюдателя.другой,кпереходесущественнымотсчетаотсчетаэтирасвеличиныэтипервоначальной.относительносистемысистемыкакможнодекартовойобъекты«инвариантные»движе-КипридругойнеподвижнойэтиQтакпонятийповодусохраняютсялюбойксистеме,Однакоколичестваобъекты,координатлинейнойпомоментавекторыинвариантныесистемызамечаниеимеханикесоответствующиеоднойQдвиженияньютонианскойсматриватьиобщееследующееещеколичествамогутиКправыхвбытьурав-моментауказанномопределеныколичествадоба-частяхсмы-вышенезави-156I I.Гл.выборасимоотдруготносительнодлясистемыГлавныеравноТензорнаянапряженийтензораПостроимнапряжений.раповерхностьda,площадкидойхарактеризуемыеплощадокэтихизрп,Будемщественно.п;длинурппгг2Фгдеметричномучек,(х,z)у,=(х,щ=у,z)форма,несу-cos(wa:i)ОточкииВыбе-xjr.=const,=сим-соответствующаяР.напряженийГеометрическоеместото-которыхрыхкхгобразуетзорнойпроекцияхнаz)у,const,=порядка,ОсновноеосиможноР%=записатьР*=свойствовидев"у-декартовойхктен-являетсякотораянапряжений.Рпв(х,B.4)напряженийвнутренних2Ф=второготензораповерхностьповерхностьюили,2Ф=квадратичная—тензорудлярыхкхгкоор-изчтобытак,гвекторовсистемойиндексоввыходящиеочевидно,тогда,получим/*ПЛ-=хгэ\=каж-Спроектироваврасположениегнееплотностип,декартовойизвестно,векторыпонаправленныеремкакНап.силаniпростотыдлякоторой,Введемв(Р'-п)=ОточкучерезнормаляминормальРп-п=тензо-любуюпроходящиесоответствующуюпользоватьсядинат,поверхностьВыберемдействуетнарпРппсистемыкоординатвидеrplобстоятельствоЧ ЭтостиквQобщейиКвообщесистемысистемыотсчета.суммированиипространства,говоря,Рк%.=уравненийотсчета)относительностиориманованельзя,(зависимостьвыбораоттеориивопросаточкахныесимметричногорассмотримразнымиповерхностнаянапряжением.называютиногдакоторуюнапряжениеносисте-нулю.тензорнуюисредыниемпроцессыэтойвнапряженийтензоравтокомпонентыглавныеидвижущихсявсекоординат,всегдаосисистем,рассматриватьсистемедвиженияуравненияклассевЕслисопутствующейвколичество§ 4.отсчета*).динамическиеипонятиядругасредымеДинамические—трехмерныхи,выделитьипроявляетсяссдругойфизическиоднойглобальныхособеннохарактерипарадоксальвстороны,связизаданныхвекторов,стороны,какие-либосввсвязипреимуществен-осложне-различныхс тем,что§ 4.ГлавныеосиглавныеиНепосредственнойкомпонентыпроверкой=чГРп-8х^т.Поэтому,знаянайтитензорнуюзаданнойклярнодится=constсти;чтоаглавнымиобразуюттензораповерхностьнийбесконечноДляколлинеарнооткудаилиперпендикулярнынаправлениями,В общемda.ностьРяДкаленияг,кподляЕсливращения,Такиет.иортогональныйнапряжений.Тензорнаяповерх-напряжений.а.известно,имеютслучае28.тензорарИс.поверхноперпен-плоскостисимметричногональноилирпКакнапряженийскостиIвекторкасательнойоситочкекасательнаятензорнойкочевидно,дикуляренВповерхностьюпроводитсяанор-прово-28).сгплоскостьсперпендику-площадке(рис.гвекторпересеченияФОточкиможно"рп,daплощадкенаИзг.const,=_напряжениядействующегоФповерхностьобразомнаправлениемальюgrac^.=следующимгеометрическивенства_дФ_е.rpnтензоращ-°хкследовательно,и,Главныечтоустановить,можнорк%157напряженийтензорадляимеренаправ-касательныепло-называютсяортого-рпнаправленийтольконазываютсяглавнымитри.тотакихОниосямиФповерхностьсфера,по-второготриочевидно,них,такихтриэдртензорнаянапримерповерхностикрайнейкоторыхнаправления=const—направле-много.площадок,ортогональныхп,и,следовательно,главнымдолжнынаправлениям,рпвыполнятьсяра-158I I.Гл.МыДинамическиеполучилиуравненийоднороднуюнаправленийЭтаA^—1ХоPiполучилитоКорниКирп1=и.п2иD.3)Уравнениеверныhрг;х,направ-+рхх3=компонентр»р»усло-D.2)уравнениякоординат.2Фconst=приводитсявиду:+p3z2вРн=const.=напряжений=этомисистемергу2тензоракомпонен-(приD.1),формулаповерхностиканоническомукнайдемнаправленияортогональностиусловияzр3'=напряжений.D.2)криволинейнойу,рпг=тензорачтолюбойв2ФДляопределяютглавнымглавныеОчевидно,осях=определяющихтензорнойглавныхD.1),потензореслидействительныхтриуравненийтакже1).=рп2=системыизиспользоватьнадоизвестно,имееткомпонентамир3,п,векторовКакуравнения,ортогональных^2/V=р2,рг,виявэтогоглавнымиЗнаяр\ Piплощадках):называютсятыХ3площадках,(главныхлениямэтоХ2,Xvнар\ Pi+уравнение.уравнениевековоесимметричный,PiPi р\Pi ккорня.напряженияD.4)0,=/ц=МыD.3)Pi+PiрУ0=виде,развернутомр*глав-р?pIр-Xsгдетрехнетривиальноеиметьl4-=р\р\вбудетсистемаDet| p<k-?4||°iили,алгебраическихтрехкосинусовусловиипри=уравнениясистемугс..толькорешениединамическиенаправляющихопределениядляныхипонятия=X.=главныхосяхимеемр.иrift*Нажений,—площадках,отличныоттЛ71—перпендикулярныхнуля^Пk =/=ТТП1/ГктольконормальныеI.главнымосямсоставляющиенапряна-§ 4.Главныеосипряжений,акомпонентыглавныеикасательные159напряженийтензоранапряженийсоставляющиеравнынулю.ЕслиМыввелимыувидиммиотносительноосивдальнейшем,имеемеслиобразом,Такимсплошнойсредырастяженийчистыхаих=вековоговданнойвдольвекового=Pi=Р2Р3Pa++D.4)очевидно,Р1Р2формуламРз,+РгРз>ргв0,^>даннойточ-совокупностьосейглавныхвдольпо+есликакОни,=хх,состояниеуравненияhhhсплошнойточкеосиуравнениянапряжений.тензоракорнидопущениясред.токаксвязаны,физическимирассматриваемых0,Рзр2растяжение0.<р1любоенапряженноеможнорассматриватьилисжатийобщемВсовпадениясильными=деформаций,тензорадеформаций.напряжений.Коэффициентыриантамичерез,чистоесжатие,Условиясосискоростейтензораразные.Офр1мычистоезораэтисвойствЕслисредыина-тензораповерхностьглавныерассмотрениеввсетензорнаятонапряженийслучаетрех=Рз»сфера.—тензораке=р2ргпряженийтен-инва-являютсявыражаютсяиГЛАВАIVЗАМКНУТЫЕПРОСТЕЙШИХДЛЯСИСТЕМЫНЕКОТОРЫЕСВЕДЕНИЯ§ 1.МОДЕЛЕЙИдеальныесебяоднихприОднакосред.техпвнешнихжеилюбыхприсплошныхвсехсредыдвижениявыполняютсядвижениядвиженияхАНАЛИЗАнеразрывности,уравненияколичестваСРЕД.ТЕНЗОРНОГОгазиДифференциальныепрерывныхреальныеСПЛОШНЫХИЗжидкостьмоментовУРАВНЕНИЙМЕХАНИЧЕСКИХне-различныеведутусловияхпо-разному.Следовательно,саниядвиженияявляетсявуравнений,условий,конкретнойсплошнойчтотом,внихграничныхэтиходнихсоответствующихзамкнутойменьшесплошнойсплошнойний—этопро-поискамисданнойсистемузамкнутуюуравне-изучаемоймодельматематическуюпостроитьзначитфактпараметрамимеждуПостроитьсреды.опи-описывающихсвязаносреды,соотношенийдополнительныхдлявходящихчислауравнений,системыконкретнойдвижениеЭтотнезамкнута.системаПостроениедобавлениемссреды.уравненийчислонеизвестных,даженедостаточносреды.ПостроениелейсвязаноноситсПриэтомщиепринципыкиесоотношения.средсвойствмеханикифизики,иПолезнымматериала.такжеиспользоватьразделмоде-новыхизучениемэкспериментальнымнеобходимоважный—Построениереологии.об-известныенапримертермодинамичесиспользованиеоказываетсява-принципов.Вэтойческиемыглавеслучаями,нужноопределятьчтосвойствасредописаниядляуравненийВтакихэтоммыкласситолькоограничимсяклассыизучаемыеимеханическогопронедвижениясвойстватермодинамическиемеханическихченияПрисред.когдатаковы,простейшиенекоторыерассмотримсплошныхмоделицессоввсплошныхназваниевсегдариационныхтемимоделейновыхОнмеханики.беззамкнутойоказываетсясистемасред,привле-уравнений.термодинамическихобщемслучаесредахприпроцессоввсевозможныхрассмотренииобращатьсятакжеприходитсяксоотношениямтермодинамики.Начнемсизучениямоделейидеальныхжидкостиигаза.§ 1.ОпределениеИдеальныеидеальнойжидкостьНазовемжидкостиидеальнойальнымнормальюпЭкспериментальныеидавленияхТензорвТензоРнаяиде-назовемрPiжидкости,ЛюбыесистемеКомпонентыочевидно,б^тензоранеменяютсявернаСледовательно,бЛ.И.ЬЪэСедовпреобразованииприSfc)>=икоор-формулапоэтомунапряженийтензоравдекартовой,вноэтогобудутивидеаль-любойкри-иметьвидимеютвиднапряженийтензорместотензора=числомоднимимеетA.1)э.(&?компонентыэтонаписатьможно—pot.=компонентыРыкакр\координат.системековариантныезадается дается.компоненттольконеКонтравариантныеана-тензора~р\\компонентсмешанныхдлявкомпонентор0р\A.1)такойлюбойдля011смешанныхдлячастности,нойжидкостиволинейнойприпоэтомуи0—0[состояниисжатомнаправленияматрицаодинат,идеальнойвид\-РВвпока-опытмодельнаходятсяи—рввестикактакгодитсякоординатимеетчерезжеланиемортогональныхнаправлениями,главнымидекартовойпряженийихдиктуетсякоторыхвзаимноявляютсякомпонентыглавныеОбозначимзнакаследовательно,и,е>случаеэтомвт*Р31—случаяхтрисредысвойством.величину,типичныхвPi=длятемпературахсферой,очевидно,Выборположительнуюсреды,какчтозывает,соображениябольшихтакимодинаковы.давлением.давлениефизическиевек-площадкерп\\п.поверхностьбУДет>напряженийтензоралюбойе.оченьприобладаетшаровойжидкостиР>0.средапрактическинапряженийальнойлюбаяобщиеиданныепоказывают,т.которойвнарпплощадке,иде-илисреду,такуюнапряженияортогоналенчтожидкостьюгазомторс161газир,вбобщеманедевять:девятьюслучае.вилиидеальнойшестьюжидкостичисламиpki,162IV.Гл.ДляЗамкнутыеидеальнойжидкости=-pG,РGгдеметрический—Заметим,имеюттензор.любойчтосфера,естьрогоуравнениймеханическихсистемыТ,тензортензорнаякото-поверхностьВсешаровым.называетсяшаровыетензорывидТУравненияkG,==Уравнения(B.11)движенияидеальнойжидкостисистемекпричемскаляр.—сплошнойдвиженияI I)гл.любойвсредыкриволинейнойкоординатмвA.2)силуобразом:запишутсяракПриприpFk=A.3)написаниисебяведутидеальнойдляжидкостиследующимg4lVip.—компонентычтоучтено,A.3)gkiтензорадифференцированииковариантномкакпостоян-величины.ныеНапишемуравненияэтир,градиентаg*yipA.3)уравненияpaВпроекцияхпишутсяpF=следующемвидA.4)p.координатосиимеютвидеgrad—декартовынаввV^Pвектора-компонента-контравариантнымивекторномего—Величинывиде.компонентамиковариантнымиaПоэтомуми.векторномвочевидно,являются,за-уравненияэтивиде:du1rFdtxdpdxPPdpdy1dppdz1dvУdtdw„*z_~dtA.5)ИЛИdududtдхdvОниназываются,'dudwdwдхуравнениями'dvdv~~dT~,dy.'dwду,'du1dpdzpdxdv1dp1dpdwdzЭйлера.~p~dz~A.6)§ 1.Уравненияпальноидвижениятшт^плИ..«~-жидкостиЛембашопмегомгдео)Ввектор—самомdv=диАналогичныеосиусяzи.формевПоэтомуA.7),векторном-^гЭтиЛембаформегидромеханики.КМыПолнаянийидеальной(вообщедвижениянесжииаемоиоднородной)w,стицыкоторойдобавляетсяр.ноне-жидкостиненийр,Вуравне-системаvзапишет-жидкостивF~-gradp.=уравненийA.8)Эйлерадвиженияпреобразованиесплошныхвускоренияисред,прионооказывается,вопросовмногихизученииидеальнойFx,силахv,Xследуетжидкостиуравнений,четырехсистемуи,наускорениявидеидеальнойдвижениямассовыхфункций:длянеразрывностиполучиливестных2о)+любыхуравнениямуравнениетремдобавитькоординат,векторномдвиженияполезнымоченьвТакоедляприменятьчастности,A.7)v,проекцийдляназваниеГромеки.—Xдиdv/dtgradг?2увсегдаобразом:формевносятуравненияможнов+ускорениесистемуполучаютсяа""Д1ЭУ-имеемускорениеуравнения—2©+-j-х,формулывидечтоv2¦,gradосьди,,т«-.гНвСКОЛЬКОследующимдекартовунади,пол»пп«т»лВвидеть,+-QfускоренияииеНЗНенИлузаписатьвихря.используяделе,проекцииduлгплттачисг_Легкоdv163газвиде.можно~Sfиятиdin„„,,Громеки-жидкостьЗаттитттрмt-janjaxucMиде^^л.вИдеальныенаятакойFv,Такаясодержитнекоторыхвсенезамкнута.дополнительидеаль-несжимаемой,являетсяЖИдКостьт.каждойПЛОТНОстьЖИДК0СТЬЮ)кэтойсистемеиз^неизвестныхрассматриваемаячтосчитать,ещеможнослучаяхТогдапостоянна.F2системаприкотораяпятьчетырехе.ча-урав-условиеб*164Гл.или,IV.Замкнутыедекартовойвсистемысистемедокоординат,да.дхdtЭтоусловиениеидеальнойуравнениймеханическихзамыкаетдадодуdz~уравнений,системунесжимаемойописывающихдвиже-Приведемжидкости.этусистемуполностью:dv~ЖF-jgmdp,~divuфЗаметим,чтоонапоэтомуПолнаясистемаичастиц,всехдляфункцией.искомойсущественнойуравнениймеханическихжидкостиодинаковаибытьЭйлеранесжимаемойчастицевперестаетуравненийизоднороднойслучаевпостояннарA.9)0.dtплотность0,=состоитэтомвслучаенеразрывности:уравненияdv1dtA.10)Vaya=0.Замкнутаявидеальжидкостидвижениясжимаемойнойда\баротропныхслучаеПриурав-системаненийсжимаемойдвижениимногихво'случаяхт.е.каждойвРR—Твестна)движениеОчевидно,—чтопозволяетпостоянныйRpT,одинаковый(еслибаротропииусловиеуравнений,системусжимаемойдвиженииизотермическомпараметр,замкнутьидеальной=(Припостоянная.газоваятемпературачастиц.)процессаподчиняюще-газа,КлапейронауравнениюРгдебаротропногодвижениеизотермическоеслужитьгосяплотности.=/(р),Примеромбаротропными.можетоттолькокоторыхРназываются(р),I=зависитдавлениечастицевсчитать,чтопро-цессовПроцессы,(га-жидкостиможноJжидкости.всехдля/ (р)функцияописывающихиз-§ 2.ЛинейноеПолнаяупругоелинейнаяиуравненийсистемамоугольнойтелосистемедри^,"т"atдиэтомвкоординатdpЗрудуди+u+vdvдаdvdv„~F?„dv„1др1dp3y_dt'dx'dy*В.dwобщемdw.движения,ниятермодинамической§ 2.ЛинейноеРассмотримтелоПостроениемоделейкакмеханическогоУпругимpOgкаждойвформацииВязкиекомпонент8у,Трыприроды%*(например,Р«функциямипредставляются=причемгдеВg^метрыже„рпараграфеТи%._6будеммы<рУуказыватьB.1)Х«).Xi,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
