Том 1 (1050341), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

.,объектыбазисавекторовтакэгтаютсяэгвводитьЭ)экопределениюэг,итрехмерномвполиадныелинейноТ1ЕЬD.8)ТкомпонентамиEtкаждоекакможно==базисевЕ,9).Базисныеными,ноназываемыечисла,—=1,ми11,ба-черезкоординат:АиобъектввестиА%,=А'1нийможнопредставляетсяпреобразованииприкомпонентыкакзуютсяdrпримерукоторыйобразом:следующимзиссредынезависимыми,(вназываютсяполиаднымиданномслучаепроизведенияихможносостоитпроизведениепроизведениямногихт.вида2,. .,=1,базисавекторове.равенстводиад-векторов,векторовsпространствепроизведенияназватьдвухизТ=0 возможно,81).Щ%счи-=Потолько9еслиЕгнийиak3jЭлементы4.§ТгчиселудобнописатьПолиадное(невекторамдокперемножаемыхрациясвойствомножителейПопоряопе-определению(выполняетсялинейнойположениепорядковоечисловыхНапример,несущественно).спра-равенствоа4агдеЪисамибазисапреобразованияпреобразованиямулыЬэк)+произведениявекторымулы(аЭдполиадногоэ„aldjэ$и9i9jсостоящихсистемекомпонентыС помощьюПотребуем,преобразованийчтобыТ"изясно,координатиT'VотносятсячтоТ1'повсоответ-матриц,видеНапример,нулей.остальных010000000T^aldjможнобылот.=кобъекты,вводитьотносительноинвариантнокоординат,е.Тн}э1э'з,D.11)системамразнымпреобразованиядолжнывэгЭ)записатьпроизведенийсистемправилаD.10)матрицуГ%»,гдевидпроизведенийииолиадныхтензорами.имеютможнообразуютлинейностиа?{а^эрэа.=единицы3i32называемыеформулыкоординатоднойиззнаяполучить,свойствомлегко(диадных)полиадныхимкакФорфор-координат.пользуясьЭтижетакЭ\Э),системыотвеличинКомпонентыбазисавекторовзависятпроизведения.ствующейD.9)Ъэгэк,+аэф=числа.—Полиадныеиоперациисущественявляетсяпроизведениивчастности,(э^фэ^Э]).дистрибутивности,этойопределенияВвекторовумноженияполиадноговедливоиДлясвойства.еенеко-объектамновымкприводящуюскалярам).указатьсобойпредставляетвекторовнеиТ1>э&.=векторами,наддостаточнообозначениямивидевумножениеоперациюобозначе-новыхнепосредственноD.8)равенствоТторуюВместонулю.равныпользоваться53исчислениятеазорногополиадныхпреобразовыватьсяОтсюдакоординат.D.10)произведенийпризаменесистемформуламv%D.12)54Гл.Определение11.КинематикадеформируемойобъектИнвариантныйтензораваетсячислоилииндексовпервогоКакслучаевиD.12).Подчеркнем,независящиеантисим-ВобщемперестановкененттензораслучаеТ^Штсохраняется,симметричнымзованиякомпоненттензораопределиликоординатdE^/drfобъектызисныезанными6?j.инаQxei=Q'ie'j,Например,==вводятортогональныхпреобразуются(нет.спинорыспин-тензоры,спомощьючтобыобразом,такимкромеобъектыбазисныеal.jиti fiматричнымпространства.иAjматрицнекоторыхспреобразованийиобъектыпреобразований,исовпадающим(свя-А\матрицамид.ортогональныхрассмотрениитензоров,иба-другимиинвариантныеР^е'^=a.jдругиевводитькоординат)соответствующиеР%&матрицопределяетсяпреобразованиембазис-тензоры,преобразованииобратныхможноназы-симмет-ивзаимнопомощьюТпреобра-приобразомосноведругимгруппыcжекомпо-тензорвекторы—которыхскоторыхявляющихся5s)Еслиправиласвойствочтоясно,преобразуютсяпреобразованиеPприкомпонентыD.12)Аналогичнымихкон-разные.тоИзобъекты52,способомстроитьиE1,кон-значениеТ^Шт,—которыхdtf/д^з.е{,инымвекторовлениемт]*==Тиндексовиндексам.этимкомпонентыт]ипарыинвариантныеи*).компонентыназываютсяитензоракомпонентывсепоМыD 13)преобразуютсяиобразомна-простозаконутензора.ваетсяобъектыкакзаданномуT^lmTl\объекты,какD.11)покакой-либоТанало-неапокомпонентамипри*)преобразуютсятензоратравариантнымпреобразуютсяопределяютсяВведенныетравариантныминыетензорявляютсятеперькоординат,которыеиD.13)преобразуютсятензорапреобразованийтензорввестикаккоторыекомпонентыиD.12).Т1'Ыт,числамивекторТтензораполиадныхранга,эьЭ]ЭкЭ1Эт,тензорыB'j,тензорТ'Ш1тэ1э-э191Эт,=чтокомпонент,—естьможнопятоготензораотСимметричныетензорарангавторогоD.10),аналогичнометричныекомпонентуправляющимипроизведениягичноQвторойназываетсяинвариантностьпреобразованийТ^э^э,,?^=объектами,гдеА,тензорунапримерполиадныед\,назы-илитензоравекторОчевидно,векторавзаимообратностьюиD.10)Т=T^at&j=рангавалентностьюкомпонент.егоТвторогоранга.обеспечиваетсяпроизведенийАналогичнолюбогоранга,бортензоромРангомвалентности.средыпредстав-иг4.§риидинат.тензоратензорногоинвариантноЕслипритензорапонентыТЭлементыназываетсякакой-нибудьменяютобразованийЕсливзятьгдеT*vдлясимметричногоТуказанногоПользУясьТпочторавныкомпонентывекто-Тотензорупоста-можноxlj9jопе-названиеносятсоответственно.ТоТг=Т,7\а=0;ТеслиТ.=еслинулю,равентензорбазисаВекторывсе=базиса.и1^??,Z?некоторыйимеемиранга?*,повек-ковариантныхПустьвторогобазисапреобразующиесяэ.,названиеносяткоординатвекторовГхинулю.э1суммой0,аопределениюторовтензорсистеметрехТ^э^Э]=умно-илюбомучисло,Тто=D.5),азисанапример,к-А,=(ска-сложенияТосимметричный,топреобразованиягде,Скоординатальтернированияитензорнекоторойсистемытензортензоровполученияконтравариантныхроврангов.натензороврангасимметрированияЗаметим,Формулыно-тензорантисимметричный,егоВ+помощьюсобъекттоправиламисимметричныйОперацииЕслиоче-АобразоватьСкладыватьА,отжениясоответствиерацийикоторая,одинаковыхтензорзависящее9,dj3hтензорможнотольковторогоантисимметричныйтолькотензором.альтернированияиAijlcразностью.илиимеемнебудетв=образом,тензоровмычисло,такжевить=новыйТакимсуммойтензорыеслисшшетрироваиТ*^эгэ},=Т*ТBvk)9.9j9k,+ЭтотВ.иданныхАтензора(АгЛ=ихчтолюбоеОперациинияизможноОчевидно,ляр),ВАявляютсявычитатьдватензоровправилакоторые—Т*причемтензором.суммойкпре-объекттотензором,+будетназываетсягдетензорСвойствоиндексам.тензора.АиT0относительноT^at9j,=будеттожетакжевые,этимком-индексовfHkim^—также*инвариантноВозьмемвидно,=потензорТ&,=коор-парыТ^Ытзнак,антисимметричнымтензоракоординат.антисимметриипреобразованийотносительноперестановкеТ55исчисления=и-^э,ии%=+DЛ4)х12э2Эйввведем+умноженныхх13э3=э1наявляетсячислаяЧ56Гл.АналогичноI.Кинематикадеформируемойдругойвсистемесредыц1,координат1ШОР.ТТЯввестиЭ'РФормулысэ«>такuf^f,какриантнымторамиИтак,ввестиеслисистемызависятотсистемыУСDetДляэгматрице| и*э[|=^О.kiSТакимличенt?,S1,базисавекторыИзвек-второгоа{Заметим,зависелитензораоттолькоотпомощьюкото-базисавекторынайтиэ4базисасх,контравариантныеможнохрангаа*.векторыиковариантныевекторы/| и*3'| ,t?алгебрыбудемдругойформулуполучим9)¦%->D-16)| xlj| ,ВaA|[«{ | .которой\ кц\\матрицунекоторойDet=детерминантсоставитьв..условиячтоматрицыD.16)/\| Xfj| ,матрицусоблюденияизвестно,| ху||,лсистемеот-ираз-координатиметьизвестныхпомощью=матрицуотносительновввестигD.14)разрешитьтребуетчтопоможноможнонеобходимоэтогоминорызнаянуля,D.14)е.т.э.,элементовобразом,АналогичноD.15)Действительно,контрава-контравариантныеэ}СD.15)базисавекторыдополнительные—отрешитьЫ-а\=тензорапроизвольного*«гдеизвестны,контравариантныминазываютсятонамэи.преобразуютсяэ*чтоD.5)а,-,относительнообратнуюВидно,Зная9iбазисакомпонен-ТбНЗОраОнии65x%=координат,образованы.ониКовариантныеТЫпомощьюконтравариантныековариантныекоординат,ирого6f}.=сможноЩ^а^ь=образом.базиса.чтоW*%=D.12)преобразования«иформулыполучимможноХ/Рвэ^=преобразованийпомощьюихц3цг,=х«э*.координатсистемепреобразованийформулпреобразованияD.17)ц1,т]2,Э]дляv.^.5)икомпонентх.;.=откудаxlj=аЗ о?хРг.эD.18)4.§Видно,чтоадныеЭлементыеслисоставитьбудетонотособойибоD.14)пообразом,ТакиммыхбудемиКовариантныеyd%ydчтох1з-xi3-вышет.А,векторадаль-впростотыxiJе.х3'4,=можноочевидно,„^ПШШ1""|>вектораРадитензором,любоговтороготензораэ4.симметричнымхз1.Длякомпоиен-произвольного=ковариант-назватьможнобазисехследовательно,образом.контравариантнымконтравариантномсчитатьвыбораотковариантным,рассмотренноговзависящийнепреобразуютсяэ^видим,компонентамиранганейшемтыху"==*7э4,D.17)и|j3нымиобъект,произведениятого,поли-—базисаформулампредставлятьполиадныеКромеэ1э>гдевекторовпокоординат,аx^aV,контравариантныхпреобразуютсясистемы57исчислениявыражениепроизведениякоторыеатензорногоАЛ'э3-=А]%иэ%=Агэ1,=положитьеслиD.19)Видно,усчтоуконтравариантныхпомощьюА\называютсяковариантнымибазисеравариантномможноввестииназываемыеназываемыеидругКовариантныеикомпонентыотсмешан-тензорачетвертогодляпреобразующиесяВРассУжДения,проведенныерангаприменитьиполучить,конт-вАвекторапомощьюобщемА,случаевектора=f= Aj.можнокова-компонентами,матрицыпомощьюкомпонентыAiАкаждогокомпонентами.контравариантныедруга,е.т.ссD.17).иэ.,вектораконтравариантнымиковариантнымиковариантныеныепреобразующиесяАгкомпонентычаютсяСледовательно,А1,идлякнапример,икакопускается1D.19)хкакже,компонентамиа1.компонентыВ,матрицытакА,вектораиндекстензорапреобразуютсяобразом:риантнымAtкомпонентковариантныхэгбазисавекторовСледовательно,А3'компонентконтравариантныхтензорамдляотли-вектора,любоготензораранга2"Л'АЛв=Г|^в4Л«в|.D.20)58I.Гл.КомпонентыTpqmn(ковариантнымисмешаннымиантнымиподеформируемойКинематикаковариантными,называютсяl)i,преобразованияrp%--lim-т.преобразованиее.ЖонглированиеМыиндексамигскатьвместомыачтоЗаметим,чтоидточкестранств,т.Дляопределенияпроизведениялярныечислами.будетравенквадратДлинаУсловиеL_|»ds*==фик-метрикупространстве.определитьтеперьдлинпро-вска-даннойточкеdr-drбытьмогутdrвектора=dtfd&at¦9}=попроизвольопределениюdtfdggij,D.22)векторавекторапроизведенияинвариантностикоординатнодостаточнодлинылюбогодлинылюбогоскалярныеdrот-рассужденияпроизвольной,базисавКвадрат|вышеоднойвектораговоря,намиопределялисьВведемвектороввообщекоторые,нымикомпо-Свойстваиндексов.определениядлиныпомощьютолькоиндексов.такжекспособукажемсможнотензороврасположенныхприведенныепространства.е.проводитсявычитатьносилисьсированнойкомпоненткомпонентыстроениямиВсеторD.21)смешанныеD.20)xi;.иодинаковоопе-названиековариантныхпомощьюантисимметрииотносительноопу-Tfctat;черезодинаковымиссимметриипомощьюсскладыватьтензоровносит=индексовситензораможнотензора7^{Чэ!=опусканиеD.21)помощьюоперациявыражениеегоподнятиенентысагп,s.Например,ГуэУТполучилиТ?,:.

Ясно,Щ},системыЭтатензоразаписиТуиндексамт,любогоиндексами.=виднижнимчтоиндексы.жонглированияТавидим,компонентуподниматьирациипоиндексамверхнимпо„,имеютР-Ч-ls-ковариантноеконтравариантное—контравариТ.ФормулыиqкомпонентГ'т-sир,тензоракомпонентамисмешанныхдляT\iq[аиндексампоиндексамсредыбазисадлиныимеетвидегочерезвыражаетсявекторов\dv\g^.относительноикомпонентывыбора4.§ФундаментальныйЭлементыОтсюдамет-рическийтензоробразом,вытекаютggya'a3',=трическимСогласнометрикуdt?координатформаформой,квадратичнойрасстояние—тензорin-=фундаментальнойзадающейме-произведенияприращенийотносительнотен-фундаментальнымскалярноготензором:называетсяgijвеличиныкомпонентыназываетсяiuКвадратичнаяD.22)\dr\длиныкоторыйТакимe^.=ковариантныетензором.определениюсимметричнымявляетсяg'pqgi}:какрассматриватьформулытензорныеинвариантностисилув59псчисленияпреобразованияследуетзораgтензорногоблизкимимеждуточкамипространства.Изсалгебрыизвестно,мут.виду,видевх2,х3,выбраннойматрицасуществует,тоD.22)спомощьювовсем1,±010001отличаетсях3,х2,вещественного1,=привести2,3,знакомотя.еслиформупространствепреобразованиякоординатds2видукрайнейподругих^топросткоорди-евклидовым,кit,.

Характеристики

Список файлов книги