Том 1 (1050341), страница 10
Текст из файла (страница 10)
++g*3=векторномх)криво-неоднонеесли=„результатявляетсяyjpiJ',системеилюбойв,постоянны:=нойобразом,пространствотеперьи1}пространствавсегодляjЗдесьдекартовой1".=следовательно,Тукоординат._.Такимесликомпонентамисистемедифференцированиядифференцирования,е.т.иявляютсядекартовойкоординат.ковариантногопроведенияединуюкоординат,КU,=дх1системекратногопорядкатитьи—евклидовом.-:—гдх'линейнойнывViV«y*—в9VдхгIIзаконачтоVtVjVa=третьего«VВСтоксаНавье—равенстваДействительноаНавьезаметим,173Жидкостьвязкаяуравнениямиподстановкиимпульсов.результатевлинейнаяителоупругоекакточкевискривленномодновременноТцпространствеТ^ототличениив-эанулякривиз-обра-невозможнодГ$/дх*(см.§5гл.И).1?4Гл.ВвекторнойввидеIV.21системаНавьеуравненияir_lgradjD=ДляДBI™I»moc™MaeвместеполнуюкойСтокса,Вслучаенеразрывностисжимаемойжидкостидрдо,'dt,'дхдиdvдиdv,,+и-ыdwnи'-~ЬТди~хdw.dv.+vw1_„_dzdvW~^w=dw.си-не-'dw.,u!te~T'v~if!}~T'w+¦w+~bjполнаявязкойкоординатнеоднороднойAdzdv+ди+dTdp,ц.видЗу~aJдиимеетда—вязкостисистемевообщедвижениявяз-НавьезаконукоэффициентаортогональнойуравненийоднороднойдвиженияподчиняющейсяпостоянногодекартовойстемаB.21)0=жидкости,вfAv.+уравненийсистемунесжимаемойжидкостиупрощаются:Fgr&dp=divt?составятB.20)—А«-несжимаемойуравнениемснаписатьНСНавье-СтоксаLуравненияможно+вязкойУравненияЭтиСтокса—^±lgraddivi?+уравне-уравненийМеханйчесййхсистемыформе^.ПолнаяЗамкнутыедрдх~т~рiv"7?1„dp(д*и_v\аж2,dp¦+"дуг1дЪ+дгид*и"гd4VW++.az2d*v, ,(d*wd*wdho\B.22)Уравнениядвиженияупру-дляперемещенияхУравнениявSE^SSE-1"движениядЛЯуПруГОгоконуГукатела,wlгдевый—%иуравненийцЛаме¦IГукаВыводэтихуравненийв11 (е)а(е)Aгпримем,бесконечнослучаевполнеаналогиченносятЛамемодулиДлягл.малыхпер-—Уг^)>=чтоB.11)импульсовуравнениявзаконB.23)постоянными.заданнымисчитатьможноподставитьB.23).Ламе.уравненийназваниеперемещений,деформацийДальшетензораинвариантза-деформацийV4ff»),+векторакомпонентыудовлетворяющегослучаен,.^в|перемещенияхввыводаIIдеформацийприведенномуследует§ 2.вышеЛинейное(X +ВdivИ) gradдекартовойлинейнаяиНавьеуравненийвыводувидимеюттелоупругоесистемевязкаяСтокса.—цДад>+wpF+координат175жидкостьУравненияЛамеpa.B.24)=записываютсяониследу-образом:ющимpaxi(X=xru)i4-\д[gx\*-=-r"J*du-gdvL--г\gx,h-3—]dw\'dy+jdz^'dwdvB.25)[ дидгдечерезнийw.формации(ри,v,=р0-jдоСистемаЛамезамкнутой,новитсядлякеслиписатьнужнодинамическихпорядкапервогоуравненийнейсуравненияхэтихвде-плотностиизменениемалоПоэтомур0).чтопредположении,вчастности,р' <^малыхперемеще-векторавыведенывp',dw,+компонентыЛамемалы,ностьюdv,обозначеныwУравнения(+точ-р.вместор0ста-задачдобавитьуско-определениерения:аVУравнениедеформациямиЛаме.УравненияаVdv>a_aвнекотороеB.24)Оноввходитдляустановленыскоростиидляслужитуравненияосновныедеформаций,малыхмогутускорениямалымисупругоститеориирассматривать.неперемещения,."Г„гИГможнор',\dw=неразрывностиопределенияэтом/ dv\~ЯГ dtdv~JT_~~прибытьконеч-ными.Однакодеформации,случай,рассматриваютчастоноисамиперемещения,когдаскоростималынеиускорения.только176Гл.ВэтомIV.ЗамкнутыесистемыпослепренебреженияслучаеуравнениймеханическихнелинейнымичленамиполучимаупрощенныеЛамеуравненияприобретаютвидB-26)ВзадачахтеориисмещениеформычастицвнешнихграницобычногостижевусистемуРаньшекоординат.выяснено,былосистемыжевыхВсеI ).гл.чтокакуравнениянаихтакойимеютПринатвпереходеначальнойкоткомпонентахпереходалагранжевойсистемеобычнымиоднойотg1,ссостояния?2, ?3различнойОднаконаяисямало,считать,щихактуальнойнат,совпадают.мыкоординатможет*)средыЭтотсплошнойвопросрассмотренподробноксреды»,Физматгиз,книгепорядкасоответствуюсистемамначальнойболеевЛ.Москва,И.коорди-лагранжевойудобным,такобщемуначаль-отличают-компонентах,лагранжевымприменительно1).топервогомалыхак-пространствакоординатдовтомточекмалы,координат,системыиидеформацийперемещенияточностьюоказатьсяактуальнойваниенойханикуиодномвразныеиз-засистемыИспользованиеприкоординатами=j= ds0,уравненияначальнойчтостензоровсостояниякакиспоэтомукомпо-другойклагранжевыиможноне^совпадаютодинаковымирассматриватьds2метрикой,деформацииактуальнаясистеменачальногоснеобходимоеслиначальнойкомпонент;Пространстватуальногочтовкоординатсистемысфор-тем,итензоровсоответствующимлагранжевойпреобразованияпространстве.коордиуравнениясвязаноккоординатформуламипереходесистемыЭтовид.по-коорди-координатвекторовактуальнойвнентамлагранжевойкомпонентиотсчета.системесвойоттаккомпонентах,системесистемевактуальнойлагранжевойизменяютмулыжекаквид,жеоп-очевидно,вактуальнойлагранжевойсоответствующихнат,всреды,Ламеуравненияосновании(см.средысплошнойдляимпульсовлучившиесялагран-Поэтомувремени.моментлагран-двесостояниядляупруиактуальнуюисоставляютсяактуальныйтеориивприменятьначальную—уравненияределенныйможночтокоординатизменениеПоэтомуЛагранжазренияточкунайтинапримертела.«твердого»используюттребуетсяправило,среды,какупругости,индивидуальныхсистечемиспользо-примененииприкакдвиженияуравнению1962,сплош-«ВведениеСедовастр.150.вме-§ 3.ПримерыуравненийактуальнойлагранжевойдачинадонатОнеобходимостиниядругихещеотношениюбытьточнодостаточнокоорди-гидродинамикиразделыиразвитыупругостивышевсегданесистемыотсчета.теорииречисленныхдалекоменеева-решенияэтойОбширныемоделей177координатполногодляположениеисистемекпострое-несистемахсистемыопределятьпоТемкриволинейныхвописанымогутсредпростейшихэтихпомощьюсмоделей.простыхреальныхдвиженияпе-рамкахвмоделей.Например,нейтральныхдажеболеегазовмногих«твердых»телзамазка,необходимоисдвижениеммоделейусложненныхпонятийзапасвышепластичности,учетомДлясвойств.введенныйсвязанныхсмоделистроитьсредбольшихприисостояниеминеприме-освобождениядеформациинагрузках).остаютсяметаллыдругихрядателпосленихвтакжеаПоэтомусплошныхнапряженийотползучестистик,илитребуются«твердых»длякогданесправедлив,он(асфальт,Гуказаконслучаяхнапример,ним,газовбаротропииотсутствиипримодели.сложныеВоионизованныхдвиженияизучениядлячастицхарактерисреды,не-достаточен.НеобходиморассматриватьS,пияполянитногоненийбуетсяи,этихвввкриволинейныхсведенияполезноикриволинейныхиметьуравнениясистемахпроизволькоординатвсистемахкоординат.формулы,пространствахсимволыкомпонентычерезg,;-тензоравсистемахКристоффеляуравненияконкрет-выражающиеIYCрическогоортогональныхвидеразличныхвВыпишемволымановомготовомвдвиженияКристоффелянёразрывноститре-физикисоотношениядополнительныеиприложенийДляныхэтогоанализатензорногонеразрывностиныхурав-Длядополнительныеуравненийкоординатсистемахмеханическихдополнена.термодинамики.частности,Примеры§ 3.изещеиспользоватьэнтро-электромаг-СистемабытьдолжнаслучаяхU,энергияхарактеристикидругие.многиеихарактеристики,внутренняядеформации,остаточныедругиеещеТ,температуракактакие,мет-произвольныхСим-координат.виевклидовомри-формуламиопределеныC.1)Отсюдавортогональнойсистемекоординат(gy=0приi=j= f)178IV.Гл.легкоЗамкнутыеуравнениймеханическихполучимГ?у=0СсистемыC.2)формулыпомощью[3=fг,афC,при^суммыдляC.5)«?=Г.Гарможнополу-ачитьформулуследующуюортогональныхвсистемахкоор-динат:1гагдеg—определительПриведемПриэлементекаждомвдвухведениедифференцированииПридетерминанта,iмеромдыйизсоответствующейш=j= iзминантовравнаГ$^ Т\$ё-ИзЛегкоgaj.Г^g,iгде—Сумманулю.)симметриитриполучимстрокисвидеть,строки.равныпроиз-эгоднойчленыравендетерминантовномерудифференци-факторапервогокоторыхвидаравныйфиксированныхпри9j.изчленамизамененыэтихиндекс,тыкаждомвиэ(произвольнойскалярноеgдетерминантавектороввнеобходимоdg/dx$производнойсоставлениироватьC.6)формулыИмеемкоординат.„fi|^у||матрицыдоказательствосистемеdV'gIdggyчтоно-каж-фиксированный(Детерминантрехдетерчтоочевидно,ilпридифференцированиитакаяОтсюдапричемвание.вэтойфактороввторыхсумма.следует,жевуточнополучитсячтоформулепоиндексуiпроизводитсясуммиро-§ 3.ПримерыуравненийВыражениенойдлясистемекриволинейныхвлюбогодивергенциикоординатобразом:произвольследующимввекторазаписатьтеперьможно179КоординатсистемахC.7)Уравнениесистеменеразрывностипринимаеткоординату-в?'°Еапомним,прикоторые^Vl'dtповообщеявляются,вектораковариантногобазисаединичнымиговоря,'vэа,векторами.vскоростивекторанаписатьможноФормулутакжекомпонентыивекторовC.8)vдх3компонентамивекторамДляФизические'<)хгявляютсяегонекриволинейнойWfg+J?*Vi=:Om'да:1vaчторазложениипроизвольнойввидтензоровда^=*ц1=Уц2+guУэ^ц3+gwJ*У%?ззC.9)в:где9%—и——то(суммированиенаортогональныхgradилиПритензораиспользованииC.8)приобретаетвфизическихпроизвольнойигYguфи-ввестиаускорения')•компонентуравнениеортогональнойсистемене-коор-вид*) Например,дляследующимVgiigssdp,определитьнапримерранга=введеннымиможновектора,любогочтощсАналогичноиг.вообщевеличинысовпадаютлюбогоиp,Очевидно,координаткомпонентамикомпонентызическиеvфи-называютсяскорости.отсутствует)iпоскоростиивекторасистем(суммированиефизическимидинатлиниямкомпонентамидлякоор-проекциямравныкоординатнымксистемакомпонентыотсутствует)iпокасательныезическимиразрывностивекторы.единичныеортогональная,динатЕслитензораобразом:Т=Т*-в^»иа,физическиеЭрУи3gllg22компонентыможно180Гл.УравнениестисферическойЗамкнзггыесистемыВнеразрывно-цилиндрическойвIV.исистемахцилиндрическойслучаеxiддинатко-'т|9i|еgiil,=?22Уравнениеслучаехя(широта),Sn1.=будет|в>|?ззнеразрывностиследующимзаписываетсяВ1.Л=^22ds2(долгота),г2>=i=?/.прикоординатахобразом:^зз=r2cos29==х1координатdr2-jуравнениесистемы=Х0=dz\+1,=цилиндрическихвсферическойиметьgiiкоорz=гЧу*+Ы^1,=хзу'ф=dr*==системых*_=ds2=уравнениймеханическихиr2dy2х2г,=ф=r2cos2(pd^2,+неразрывностивид_КомпонентывортогональныхмахкоординатДляускорениясистегdvjdtниявформулу,g13'черезПреобразуемdpivl.Дляпоследнийкомпо-компонентыускоре-поформулы:этойчленdv1,.i отсутствует)(суммированиеортогональнойскоординатсистемеC.2)формулпомощьюГ^рКристоффелясимволывыражающихj отсутствует)по—gy,черезпо-лучимdt^по-выражающуюиdv1>{г,,(оумиированнеC.5),коора„дилера,движенияимеем?Вортого-системахуравнениялучимdiS-fitускорениянаписатькриволинейныхгдинатнентычтобытогональных'gxi'qxPg^2(оумвирование2gjjgxig^поqx3i отоутотвует)C.11)Отсюдафизическиесистемекоординат,компонентыесливместоускоренияу*повC.9)ввестицилиндрическойфизические§ 3.Примерыуравненийкомпонентыкриволинейныхви1,скоростиdurбудутвидиметьdur181координатсистемахдигдигдгдиdu^+dtC.12)дгduди.физическиекомпонентыускорениязапишутсякоординатди.duzсферическойвЗА,rcosfфгг9и,А„«А—Я,I"Гди-,*.«Ги9и,Ф__|"ГЯ,системеобразом:следующим+dXфcos—лафгC.13)Компонентыскалярнойортогональнойдиентациистеневвектора-гра-Определимфунк-осиси-Имеемкоординатортогональнойсистемыpкоординат.{ОтсюдафизическиегональнойА.компонентыл=др~гГ—Лу(суммированиеФизическиекомпонентыкоординатбудутgrad/>|r1Р"**=-поgradpвектораравныбудуткоординатсистемеJ±системеgradвекторапроекциидр-—А.лворто-4.1 отсутствует)вектораследующими:gradpвцилиндрической=-§?-,C.14)на182fл.ЗамкнутыесферическойваIV.уравнениймеханическихсистемыкоординатсистеме,gradдр,p\rследующими:—-^r,=C.15)ЭйлераУравнениялиндрическойскоивСци-сфериче-иЭйлераУравненияимеютсистемахисфериче-координат.цилиндрическойвнаписатьлегкоцилиндрической,вC.15)вC*13)помощьюскойC.14)иайлераДкоординатсистемахC.12)помощьюуравнениякоординатсистемевидdzдиди..'гrdtди„'aidrди,.офгрдиди1др"р""ЭТ'C.16)асферическойвди.—видduTuvdurС7ГГС»фгcosфI_рdtdr+дк¦-F~du-.и,Iах, :dp_J_^_фафгРи:^Fy=—cosргфЭХ.'C.17)ОператорЛапласалярнойфункциинальнойотвсистемеска-Положивортого-vкоординатсчтооператорЛапласаформулыпомощьюотскалярной=функцииФ,gradC.7)легкоФвполучим,произволь-3.§уравненийПримерынойортогональнойdivФgradкриволинейныхвАФ=183координатимееткоординатсистемеV2O=системахвид•-=(¦\ \fgIt/.ig\.одФ\~\I I3—гC.18)Отсюдаследует,ЭквивалентностьмерномдФ(г—дг\"э—)н]!^1дгФг25ф2д'1Ф\-¦dz1вВан-"я—)~1систематрехкруговойJBэтогоВуПрипреобразованияАцэ1э\утвержденияприиндексов„В1э-г,=aвеккомпо-контравариантныеопределеныформуламипереходеотgимеемJ) Дляgсметрикой—детерминантдальнейшегонесущественна.доказатель-преобразованиях{координаттензорнымиg-,.jэгэ^2,1,системыксистемеформуламитензоракомпонентиАц.г)кI I д1\ ~dJ\дук1дх1\.матрицыважнавообщеДля| ga?,| .системымензораантисимметрииопределителяизформулыдх1АDet=дгдеполучаетсяVgпользоватьсякомпонентДляC.21)рассмотримсвойствомтакжеР,а,будемэтомаоп\ран-второгоаксиальныйкоторогоперестановкой,yi./Q.(^.20)-±=величинлпчвсякомупространствесоответствуетнентыства/ообщих¦¦жторвектору"Iarf-\г~тензоруАИЭгэ3гааксиально-агФ1.применениетрехмерномантисимметричномутензорагдеC.19)случаях.частныхтрех-тисимметричногодФ\1COS(Pиллюстрируютважныхпространстве(да~примерынаранга\дгимеемсистемеимеемТПГIРассмотренныеформул—г1Г9/'2аФ\,агтлвторогому=сферическойва19/лч.Дфцилиндрическойвчтоформулапреобразованиявеличиныg;связь3184IV.Гл.ЗамкнутыесистемыуравнениймеханическихПоэтому_±_лVg_JV7_v~1_А'дУРdvqэх*дх3_J_=чтовидеть,являютсядудудх3дх1Эти[дх1Р,АвииПоэтому>C.22)Вобычнымиввектора.инверсии,C.21),формуламипсевдовектором,илиполярногоусло-притолькоопределенныйвекторомпреобразованиивидепреобразова-формуламивектора=В1эь,—вC.23)0.обычногоПрипереписать?,Yd*_A=свекторсобойпредставлятьдолжны3.можноаксиальнымотк2,мат-lyJГдТ'~компонентназываетсяличие1,изсовпадаютj,i,иудхк/ду^элементаследовательно,и,'дхг~дх1\~~~dUформулыконтравариантныхдулдх3'дляjdyj/dx1\\,а,формулытаким>Э)чтоминорами?*нияпо1, 2, 3,=дх1перестановкиПоэтомуC.22)¦думатрицеиндексыdxidxiвеличины|Д|причемкруговыеdxiтолькоа,0дополнительнымиобратнойрицы,dxlA'&(суммированиеЛегко-~pq1Д1принапримерпреобразо-ваниикомпонентыаC.23),6вектораполярногоаксиальногокомпонентынеменяютзнак:меняютВ,векторазнака:»'»__в1^—Вккаквидноизформулот-§ 3.ПримерыОпределениеуравненийроторавВекторвек-2&^Л??5?ШЖсЛениюP, уОчевидно,сяобразуютдекартовойР,Асистемеобразуюту2,3).Аrotтоявляет-ea^Yaa3gaY,1,изперестановкуроторчтоАVa4p3a^антисим-cтретьегорангаформуламиопределеныкоторогоАаэ*=результаткакпсевдотензоромкомпоненты2, 3).векторарассматриватьтензорасверткииндексамвсемвекторакомпонентыдАаОчевидно,по=1,издАр_круговуюYметричнымеэу,вектор,координатможно^с1=формуламповычисляютсяЛеви-Чивитаaопреде-Фор-Уланполярный—^(а,повводитсяперестановкуАесли185координатвектором.rot=ea0YАrot=покруговуючтоаксиальнымВТензорсистемахс(a,скриволинейных1еслиггг=-,Vgр,a,1,2,3,изобразуютfперестановкучетную1—77=~,О,НетрудноформулыстемееП1кмулам,витаобычных—Lуa,P,образуюттпсевдотензорзнака,?перестановкунечетнуюестьиндекса.одинаковыхдванепосредственно,ea^Yзаписаныg'—связаносопределенного0)| g4;|вналичиемси-А/|А|.Леви-Чи-формулепреобра-собствен-Дляотнеотличимыпсевдотензорыфор-потензорамножителем^>DetНазваниее.другойвидевчерез(АкпереходеприбытьC.24).т.псевдотензора,компонентымогутC.24)C.24)формулычтопредставляютсяпреобразованийтензоров.Итак,видер,аналогичнымзованияныхсредиеслипреобразованияу1координатпричема,1,2,3,изпроверитьопределяютдействительночтоесли?ёкомпонентывектораrotАмогутбытьзаписанывГл.186IV.Компонентысистеметорногот.СистемыещекоординатденияделениюАXorкругозуювек-вектороврическихторовслужитьгутвекторыпроизведениеН,поаксиальномувВностиранга1-2-rot=индукцииБиндексамвекторупоэтиммагнитнойи,п.т.имо-—индексамдвумместоимеетпространстве.трехмерномre-мерномпространствепри3п^>стрехмернымподобнойэквивалент-нет.Вфизикесовременнойнарядуспространственнымиственныйфизическийсмыслточеккоординатамиточекдинатыносвязанысоответствиивекторыан-пространстветисимметричноготензораполярномуПустьпространстве.следовательно,аксиальномувекторамFikизмеренийсмыслеtвремениифизическихичтосчитать,Поравноправны.физическихуравненияхJ *ттырехмерномвтакжепространствечаютсяирольантисимметричныетензорытензоримеемтакомче-встре-фундаментальнуюиграютантисимметричныйопределениюкоорвзаим-времени—ранга—х*.четырехмерномвж4=уравненийтензорых3,пространстваВчетырех-х2,х3х2,иxi,четырехмерноговнекоторомиврангаxi,основныхкоординатаминепосред-имеетчетырехпространстварассматриватьсх3пространствоформулированиипространствепространствомх2,х1,координатамиПритребуетсяи,аксиальныхантисиммет-антисимметричноготензоратолькоскоростио)двух(псевдовектор).второготензоровмагнитнойЭквивалентностьпо—вихрянапряженностиивек-1,2,3).векторпримерамисуществуФизическимивторогоопреcYформуламивекторноеаксиальныйестьаксиальныхмерномПоВ.икомпонентыизчтовидно,векторовПримерыОчтоперззгановкучастности,вполярныхЛсистемепроизве-векторногоАе.i, ], Т образуОтсюда,скриволинейнойвоперациювеКторовпримем,ВпредставляютсядвухпроизведенияуравнениймеханическихРассмотримвекторногоприводикоординатвпроизведениянейнойЗамкаутмевчетырехмерномвторого§3.ПримерыПриуравненийкриволинейныхвпреобразованиисистемах187координаткоординатxl=f{yh),i,ftFiHпреобразуютсятензоракомпонентыl,2,3,4,=C.25)обычнымпоформулам:C.25')ФормулыпреобразованиянезависимыC.25')способаотОднакопространстве.странствомх1,странствобомх3про-обычноеобычнымопределеннойподпроспосо-видаa,(Jgali,Длячетырехмерномчетырехмернымстрехмерноеметрикой,сввместеещех2,формулойметрикиудобнорассматриватьвыводынижеследующиеивведениячетырехмернойОматрицы^12^13ОЕЕ077Fikтензора0иможнонаписатьУЕ2423^32311,2,3.=0/YiЕг0Е3FSiЕгЛ770Es—.C.26)гдеНаБуквамииэлементыматрицыкомпонентFilt(aFik.Ea1,=можнопреобразованияпреобразованием2,обозначеныНавеличинщиемулыматрицеспециальныхнодляформулыобщимснарядупреоб-частныерассмотретькоординатпреобразуютсякоторыхтыЕслиЕа.иC.25)координатC.25')кактакже(авсоответствующиепреобразованиярассматриватьдляразования3)ФормулыиформулыпреобразованияC.26)соответственнотольковременнаяпреобразованияC.25')длячерезНададутирассматриватьЕа.ИзC.27)координакоордината,специальныеформулэтихвеличиныфор-каквторойвочтоследует,Наконтравариантныеоб-тообозначенныхвеличин,преобразованийC.27)пространственныенеизменнойсохраняется1,2,3),=иЕадлямож-188Гл.ЗамкнутыеIV.компонентысистемытрехмерногоуравнениймеханическихаксиальногоЛГвектораЯ^эу=(г =1,2,3),1Р,(а,иобразуютхковариантныеперестановкукруговуюкомпонентыполярногоЕОчевидно,четырехмерноговекторными.трехмерныеЕчЭ-<формулычтослучае=Свектора(г=1,2,3),преобразованияпреобразованияточкиНвекторыи3)1,2,иззренияЕ#Yдля?YиC.25)пространствачетырехмерногонеобщемвявляютсянеявляютсяобъек-инвариантнымитами.Нижемыностивекторычтоувидим,магнитной.Еии-ВТдляПодчеркнем,вместобынымегочтоотметрикитрехмерноговоспользоватьсятензоромкомпонентвторогодетерминантнапряженкакрассматриватьможнотензорачетырехмерногоFнезависимыэлектрическойвекторынапряженностисоответствующегоFfkalah.=предыдущиечетырехмерногометрическоголюбымдругимранга,несвязипространства.gap.тензорадляпространственнымкоторогоравеннулю.ЕуFik,междуэаэ&НуиВC.26)быломожнотрехмерсоставленныйизЛГЛАВАVОСНОВНЫЕПОНЯТИЯУРАВНЕНИЯИТЕРМОДИНАМИКИ§ 1.ТеоремаживыхповерхностныхсилОднимнаиболееизуравненийскихживыхвнутреннихобщихважныхследствийсплошнойдвижениядинамиче-средыявляетсятеоремасил.VПустьвместещаяеготензора—Предположим,vp1Возьмемобъемаdtv—Vком-скоростивекторафункциивремени.вектор—заdrнабеско-перемещенияdxсредыимпульсовуравнениеV.объемуиограничиваю-объемаидифференцируемыекоординатdrсплошной—внутрир^эр^=непрерывные—вектормалогоскалярночтоРдвижущийся2среды,напряженийпространственныхнечнообъем,конечныйматериальнойповерхность.vl9t=произвольный—частицамиспонентыvработаисилdt;времяумножимпроинтегрируемипоПолучимpa-vdtdxПреобразуем^pF-drdx=каждыйj(Vj/?ij)-fввходящихизэтосоотношениеинтег-ралов.КинетическаяемаСкалярнуюобъ-энергиясплошнойV(инвариантную)v.aсредыгдекакпоWмассаj^\dtdtdm—dtкинетическаяdtpdx/^\dtdtпостоянна,системекоор-то,dt\dt)~~2dочевидно,dtчтоопределениюB—декартовойвполучимV'a~WТаклюбуюиспользуякоординатсистшуНапример,легкодинатвеличинувычислить,можноэнергия=объемаy?dxA.2)Vсплошнойсреды.190Гл.РаботавнутреннихимассовыхнихОсновныеV.понятияМассовыевнеш-сил\pF-drdx\=VгдеdA\nпоотношениюпоотношениюpFM.drdx[+dAmЗаметим,наV.dA%=объемвнешних+dA$,ивнутреннихV,всегданамассовыхвA.1)выраженииV=ViVj)-b-+справа(V}vi~A.4)вОстроградско-—тождествомочевидным—A A)ViVj)—+ei}=<ву.получим1') vtdtdx=S2гдевидевtd*.Гауссавторого{VjVi-j-результате^этихзапишемнаписанныхтеоремойпреобразованияVjViВизпервоговоспользуемсядлядейст-сил,интегралов:преобразованияаэтотработаанулю,равна\го,A.3)нуля.интегралдвухинтеграловТогдадействующихперемещении.внутреннихотПоследнийДлягрупвнешние—объемусил,всехсуммаотличатьсяследующихdxмассовыхмаломвесьможетdrработыVобъемучтовующихвсемуpF<»¦элементарные—бесконечноприкодвенаF<e)ивнутренние—Vкобъем,силFWразобьемFсилыПы:Vитермодинамикиуравненияи^ pi'VitijdGЗаметим,—Vчтообъемdx,V,aA.5)ijвнешнейвекторанормалисилув§ pij&i}dtVединичногообъемукношениюdxVкомпонентывариантные[p%}dt—ограничивающаяповерхность,—dtко-—поот-2.кантисимметриисо^-э'э3тензораверныравенства/o>tfp4j=ПоэтомуРаботаклассическомв=Так(^з]когдатензорвинтегралpijnj9tкак\p-vinjd,dt^\Pn.drdoчерездействующихЛ4щ>внапряженийравенA.5)сим-нулю.можното=sгдерп,=A.5')<о«.Лнапи-сатьностныхсилсил,~РН)[г <последнийповерх-внешних<случае,=pji),(р^метриченЛч+[гработаобозначенанаповерхностиdA4>B,A.6)sвнешних2выделенногоповерхностныхобъемаV,§Теорема1.бесконечноприсилОпределениемалыхработысилповерхностныхверхностныхинвариантнойлениюназываетсяинтеграловточекA.4),вявляю-работойобъемеопреде-повеличиной,в-\pUWtdtdx191силdr—vdt™ЩиисянапряженийсилваугреннихперемещенияхПос„леДнийвнут-работаи2.поверхностирешшхйшвихпо-внутреннихV:=clA(Z-A.7)vТеоремаживыхнойТакимдлясилобъемаконечногосплош-средыт.е.действительногодлясредывнутреннихповерхностныхназваниеНужноA.8)виду,вdEполнымявляетсякинетическойобъемаэнергииdAm\членыбесконечноdA^l-adA%,малыеdA^BинасистемеживыхЕфункцииостальныеасреды,случаебесконечнонепрерывныхпросто—работыэлементарные—ксреды.теоремыобщемвутвер-применениивсплошнойколичествасилветствующихсилдеформируемойвформулировкедифференциаломчтовнутреннихЭтоиобъем.этотживыхсплошнойиметьсплошноймассовых,внешнихнаA.8)кинетичес-поверхностныхтеоремыобъемуконечномусилвнешнихdA<&B,Hобъемаработдействующихсил,носитдифференциалэлементарныхмассовых,ждениеdA$B-fиндивидуальногосуммеравенйА%+движенияконечногоэнергииможновидеdA%=A.1)равенствовdEкой—образом,записатьсоот-малыхперемещенийdrкаждойвопределенныхВыражениевсилричногоженийслучаетензораA.4),жениеповерхност-внутреннихныхработыдлясплошнойточкеИзA.5),дляностныхсиммет-талхщ>шнапря-dt,v=среды.сил=можновслучае-\fei dtследую-вdx\-f^dtdx,A.9)Vнапряженийтензорасимметричноговыраповерх-записатьVиличтовидно,внутренних„.виде-dA$BA.5')работывидев%jdtdx.КакпространственыйприведенныхLантисимметричномуизвестно,векторю—вышевекторпоставитьвихрярассужденийвскоростиследует,трехмерномвюутензоруможновсегдаA.10)аксиаль-соответствие(см.чтоIV,гл.наличие§ 3).вихрейИзГл.192ОсновныеV.сплошнойдвижущейсянапряженийв(вчинуанеТеоремаработысилобъемамалогоСПЛ0ШНОЙЗапишембесконечнодляA.4),входящимвыхсилвобъемаМ-?F-dr=Величинуа-LтеоремуVПолучим0.->массуна±-кинетическойплотностьюF-dr,жи-результатразделимприоA.3),Лp^VjV^dtVjf ifafidt,—имассовых—ивнешнихповерхностныхсил.внутреннихВнойвыхживыхтеоремусредысил,такнулюонаVвсехвомассо-стремитсяслучаяхработавнутреннихмассовыхзаписываетсявсилV.объемаVобъемевсилысутьсилымассовыечастицамимеждувидно,М,массойсТогдаоче-видеClJTliэтогоизвестныхвнутренниетяготенияПределсплош-внутренних0.->-например,ньютоновскогообъемамалогоработаэлементарнаякакприбесконечнодлясилвходитнеПусть,*'luv/*2~~m*7разделенноговыражения,М,наприМ->-вкаж-0нулю.равенТакимобразом,дойточкескойэнергиималойсуммеповерхностныхсил,видим,живыхуравненийследствиемнениебалансаимеетэнергетическуювобщеммеханическойслучаеэтузакономнепосредственнымпредставляетиноТеоремасохраненияэтовнутреннихсреду.являетсяэнергии.природу,инасилимпульсовработэлементарныхповерхностныхдействующихтеоремадлякинетиче-плотностиплотностейвнешнихмассовых,так:дифференциалсредыместоимеющаясил,формулируетсячастицы,равняетсявнешнихКакживыхтеоремабесконечносплошнойкаждойсятеоремуA.2),ЛработыплотностямиA.8),длясплошнойприменимназватьвеличинысилживыхинтеграламвыражающееV, (jM>i)dtможносил,объемаэтогопределу+уа/2энергии,кквели-наэнергии.всемкообъема,перейдемивлияниятеоремуттповерхно-поверхностныхмалогоДляконечногодляимассовыхтеперьсреды.среднемравенствосредымомен-внутреннихнепосредственноговнутреннихкинетическойизменениетензорасимметричноговнешнихинаживыхбесконечноприоказываетследовательно,случаеотсутствиивдвиженияпар)элементарнойстныхсредетермодинамикиуравненияичастности,количестватовпонятиясоотношениесобойнеэнергии.урав-живыхЕгосилявляетможно—i§ 1.трактоватьческойТеоремакакживыхзаконвилисохраненияконывэтомслучаемеханическойсохранениянемехани-механиче-переходитЗаметим,энергии.рамкахкогдаслучае,системывидыдругиеэнергии(втомвтепло-вобщийчтораспадаетсянемеханическойи193силэнергиитолькорассматриваемойэнергиявуювнутреннихсохранениязадач)постановкискаяработаисилназакондваза-—энергийвотдельности.ПолучимдлявыраженияверхностныхсилйЛдоп-т—работыплотностиввнутреннихнекоторыхпо-частныхслучаях.Имеем:[iЕслиЕсликакдвижетсясреданапряженийтензоругловаяюскоростьнымитвердогосилповерхностныхнихЕслиможетотличатьсятензоротсимметричен,тонуля,бытьтое.т.вообщекакнерав-равенствовернонотвердоетело,нейвсегдаравнаработыПлотностьсилвнутреннихработатодвижетсянулю.идеальнойJ_dmжидкостиdA%L-2-=D0Bp—PvсV7Л.удельный—И,Седов=объем.s^e^dtbабсолют-с=—pgl\=upd±-2pi.[dt=получим=Pir,впо-dt.divwнеразрывности,уравненияпомощью?dA%.—fr&dtгдекаксилр^среды=divсредаэтомувнутрен-ЗаменяяЕслиповерхностныхвнутреннихДлясилповерхностныхдеформациями.напряженийидеальнойслучаевA.11)говоря,тензоромсимметричнымнихработаслучаеэтомвипритак^dA&^—l-pVeudt,обусловлена,0=внутрен-могутcoyвращении).напряжений(принулюеуработателаследовательно,и,все(j>^=j=p}i)>несимметриченабсолютнокаксредыдвижениитотело,твердоеA.12)191Гл.V.ОсновныепонятиябесконечноДляживыхмалойтермодинамикиидеальнойчастицыобластяхвсилуравненияинепрерывноготеоремасредыдвиженияимеетсредывид-j-yl!(pvh)dtНебесполезноотметить,чтовообщевеличинавсехвнешних§ 2.Первое(законначалоировинтересующиесреды)ц1, [х2,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
