Том 1 (1050341), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Поэтомуотwtевклидовостиусловияdwjdljдеформаций.начальноеевклидовуварительновыражаютсяуравнениям,wи?3,?2,?\?2,отдолжнысовместностивекторналичиипространствабытьмогут|\совместностиуравнениямиактуальное,неопределеннымУравненияE.56)точкеei3-функцийтрехудовлетворятьзываютсянадлежатфункцийшестьтолькодолжныданнойе^ПрипроизводныхпространстваточекпроизводныевОднакочислами.извольнымикогдабытьмогуте,-,-itпое{3-компо-симметриишесть.девятьчерезотдевятьсилувкомпонентточкеме-независимоимееткоторыхтолькошестьэтиданнойтогдапоперемещения.деформацийизразличныхперемещенийкаждойсреды,E.40)иливекторанент,ввестиопределяютсяE.4)Тензоруравне-вдвижущейсясуществованииотензораможнокогдакомпонентыформулампокомпонентдляточекегои<5'59>тогда,всехдлядеформацийтрикампредположенияОготензорE.56)итолькоперемещениякакE.43)формулысправедливывекторE-58)симметризованного?)что*№)-+dw.Подчеркнем,деформацийпослеполучим4"[^"=ссовпадаютe5jVtw19is\тензораперемещенийчленовгопо4"=средыотносительныхквадратичных4}ВдеформируемойКинематикаонипространствеСимволывеличин.Крифор-тензораметрическогомуламиГ*-_L**.[ОЬ*.+^L-dJAE53а)§ 5.которыеопределениюбыливыше?*координатпродифференцировавУ^а'~э»как35Рэ^,~zz^—АаЭЭсо—переходеприОчевидно,чтоifпоа*а,а3г|\системеравенствоэтода.таккфор-установимичтоучитывая,иj*Fi«$—пот\гкоординатГ$черезКристоффелясимволовисистемев|»координатпреобразованиясистемыпространствапространства.римановаКристоффелясистемева87евклидовадлядлясимволыГ»*,мулыотполученысправедливыОбозначимчерездеформацийТеория^Эу,a§«получим_.rУмноживобеиметьУравнения,щиевчастиМожноопределяюкоординат,системуT.fкоторой''Всистему0=ijпространствахделяющиесистемуГвсевыполненияукоторойввсегдавсегдаточкеconstобратитьсявримановыхопре-уравнения,Г^ркоторой0.=|I aTlYDetтольконульследова-и,В——=^=0,условииприравенствI-,*li?+-*?.(со,можно=Напишемтак.вмогутgik?jпространствапространства.некоординат,Bвсегодляточкахобстоитделокоорди-gигпространствеединуювсехворчевклидовомкоординат,Гвсепоэтомубудемсистемутакуюgввестидекартовунайтили{=0тельно,э'г,наскалярноравенстваэтогоформулу:искомуюi,И/в=1,2,3).иевклидовом,можноможнот\1,ввсоответствующейновыеэтимпространстверимановомудовлетворитьввестиE.60)<)=г){координатыточке|J,равенствамточке,заданнойнекоторойвсечтобытак,Г]у=в0.Длят.заданнойэтого,е.88I.Гл.достаточноочевидно,УсловиеевклидовостпЕслижеE.60)выполнялисьт.тоэтидифференциальныхданнойВслучаевостидлясистемунеинтегрируема.системаэтапространстваизравенствабудемE.60),ПереставивиндексысуммированияполучимсимволовЛ|*отE.60)rfследующемвлюбойВКрнстоф-зорадвапомощьюкипо/вос-инижнимдисключимтретьиполучимнуля,ототличнымпро-преобра-детерминантинтегрируемости+lxsla^системыранга.некоторыйэтитоE.61)общемДлядифференцируемыйТ=У,У^аэаэУдолжнынепространствоудовлетворяются.пространстваримановаслучаетакимвеличины^*щтеикакрассматриватьтен-компонентыэтогодоказательствавектори(Ь.Ы)равенстватензора:следующихU.=ЕслиневведешшечетвертогоUpla«—координат.можновозьмемстчСОсистемеравенстватоРикана-Тшворчтоевклидово,пространствоевклидово,этиисключимивиде:—-о-Еслитем,условияавыполнятьсяд?бытьдолжендостаточныеиa?равенствещекнеобходимыевг\кпоравенства:dtсоответствующихВоспользовавшисьзованияевклидо-интегрируемостиВыпишемР и индексыКристоффеляаналогичныедругиеxВычитаниемиsсимметриейизводные.пространстве.Условиеиметьпользовавшисьиндексам,всемпроизводныевторыесистемупреобразованиявоE.60).E.60)продифференцируемполученногособойусловиямиуравненийбылопространствоrfссовпадаетдифференциальныхэтогоДлясистемыусловия.чтобыпространстве,представлятьопределениядекартовуравенствавсемвоуравненийвчтобыпотребовать,потребовать,будуте.равенства|*системыобщемсредыположитьпространстваевклидовым,деформируемойКинематикаГ=ViV^aaaV.утвержденияаирассмотрим§ 5.Очевидно,разностьТак—ТкактензораевклидоваВыражениезаданнойКрнстоффеляг^1\м-jf~Й*г"Z[Гм^Гву|g™видE.61')r^fTav,-],-д8d8fr.выбратьсистемуотпроизводныеотх1координаткоординатrvaj,еслипоэтомунуля,РиманатензораКристоф-—написатьможновсегдапросвязивисле-формулу:симметриитензора1Г=Изком-Римана—ванийточкеследующиепоторыевыполняютсялюбыхв"•'онепосредственносвойствасвойствамтензорныхкоординатсистемахвытеко-симметрии,преобразоивпространства:-"inu>Отметим,формулыэтойкают*независимы4'°Z=компонентдлясистемеr..СвойстваdrvотличныTavj,=такойдующуюпоненттензораимеют=tfv-можнооднакоевклидово,Fvajчто0,=невточкеrvajстранствофелязависитE.53а)любойчтобытем,некомпонентыg^=avсковариант-Кристоффеля.-<аRa^vсогласноВКристоффеляповторногопространстве-+так,тензора—ковариантныетензорагдеРиманарезультатевклидовомЧистоРиманакомпонентыметрическоготензорназваниевыполнения.Римана—Кристофчерезноситивкомпоненттензорафелятензортовектор,компонентыкакЭтотпространстванулю,дифференцированияегопорядкаотпроизвольный—преобразовыватьсяранга.равенногоа&должнытождественновычислитьнепосредственноКристоффеля.—Для89чтотензор,—четвертогоРиманаЕслиТ*.фполучится,тоТ*—i?ij(i°iвеличиныТвообщеТ*,чтоТдеформацийТеориячтонемежду=извсесобой.~"Rijvy.,отмеченных=-njjwздесьО,свойствсимметрии,-любой90Гл.ЧислоI.независимыхВком-^зЙНа'КтоФ^лТприслучаетрехмерномпространствамогутRiUiтонентыкомпонентвсегдаИхотможноE.62).Условиевнениям,Уравненияшестиуравком-шестинулюКомпонентытензорадеформациигтопреде-г1равенствамисуществованияусловииобеwперемещениявектораформыквадратичныеопределяютэлементаквадратПоэтомуфундаментальныхЭтонуль.тензорыприводиткизкоординатныхвдлиныРиманаgap=базисов0ипростран-евклидовомКристоффеля,—тензоровуравнениямRiJv.vОдинус-иследовательноприравниваниемляютсядеформацийдляобращенииE.62).совместностиПриаравенствевобУсловиеравносильнополучаютсяком-строкезаключаетсяпространства,которыенапримерпонент,—однавторойвоКристоффеля.Кристоффеля,—инезависимыхперечисленыонидляразнымтретьемтолькотакихпространстваРиманаРиманатензораевклидовостинульловиестве.ВсеевклидовоститензоранулюВсеготри.E.62).индек-первомнаиндексахравныхнезависима.получаетсяпонентравные3=независи-принадлежатьрасположеннымификсированныхЯщккомпонентаЭтидолжнынуля,считатьПри3 среди=одинаковы.отличныхпарам.ппприпервойвпритокомпо-тристрокечетырехиндексытолькоуказанныедватольковсеобразом,имеютсяиндекса,дваимеетсяиндексовТакимодну.сле-свойствамвышедвухнапримеркомпонент,использоватьиндексовиндексамитриместах.можносредичерезразличнысовнуля.(О.Ь2)указаннымфиксированныхкомпоненты,Еслиот^*3132'компонентЕслиразличнымимыев0.=длявыражаютсядвумяобщемЭто,в-323)-1231Согласносоображения.различных,шестькоторыеотличаться-313!этихперечислениясимметриитензортолькокомпоненты:-213'симееткомпонент,¦212>Для(п=3)пространственезависимыхследующиедующиесредыРимана-Кристоффеляриманованапример,деформируемойКинематикасоставленныеобращатьсядолжныgap,E.63)i?ij>v==0.иэгили&.можновыбратьпроиз-§ 5.второйвольно,послеСледовательно,довомпространстве,нениядляалегкоесличастности,выбранаRifrvностид?а$/д?,>то0=взаписатьможно0,—ИхможноE.61').формулпомощьюдеформированном(вообщедекартовакоординат,уравносятуравнениядеформаций.актуальномвкакЭтисевкли-врассматриватьвидепрямолинейнаясистемаможнодеформаций.развернутомвавто-базисасовместностивыписатьВудовлетворяютсякоординатноговторыетензорауравненийназваниедеформацией.определяетсяE.63)выборакомпонент91вполнеуравненийрезультатевдеформацийэтогоизодниматическиТеориясостоянииортогональная)непоэтомууравнениясовмест-виде:следующемE.63а)гдеds*->аgamкомпонентынойАналогичновобрат-матрицы,2еаш:R^^совместностиначальномО,=прямолинейнасостоянииConst.=Уравненияцийэлементы—уравнениясистемалагранжеваgapкакgaaзаписываютсякогдаИопределяютсякомпонентамисматрицеE.63а)?3)|2,(?*,Варифунк-шестидляуравненияслинейныепорядка,нелинейныевторогопроизводнымирыхпроизводныхсобойпредставляютдифференциальныечастнымиотносительновто-относительнопервыхпроиз-водных.При1,2,уравненийсистемауравнений.симыхчерезwa,совместностибесконечнослучаеВвмалыха^#называютсясредственнойсостоитуравнениямиподстановкой+всегоформулынаборанезави-E.63а)^#~^#~^#=0Сен-Венана.совместностивei3-уравнениймалыхE.58)извыражающиесовместностиформулvшестисистемыбесконечнослучаец,изE.57),интеграломуравнениядеформацийичтообщимj,i,индексовE.63а)Ясно,являютсяE.63а).совместностиУравнениязначенияхвсевозможных3уравнениядеформацийимеютвидE-63Ь)Непо-E.63Ь)92функцияхE.63Ь).являютсяwxУравнениядеформацийдифференциальныхдолжныw,вобщиекакуболеетеперьт.исключитье.тоизРис.вВположениих2,х3,у'1,оси/су'2,У3у'32/\*/г»у'1!*/'2>припереходеу'3соси,вж*отву1кгдечекМ| с j|твердого(см.точкубытьможетt—М'однаитела.тажеТаким=рис.координат/ониОбозначимположении14).перейдутчерезсмещениипоступательномМ.ПреобразованиезаписаноповоротаввидеcV,ортогональнаяобразом,осителоввприМ'точкиизабсо-тела.М,получившиесяМ,перемещение,вмороженныеначалом14).точкойсперемещенииприточкевД°(рис.жповоротом.твердоговозьмемначаломВГМЛМ,дваI1совместитьпростымлютнох1,абсо-поступательноеПреобразование14.кар-перемещенияМ'будетигеометрическойположенияточкупере-рассматриватьтела-рассмотренияпреобразованиеэтоможносначалатвердогоЕслирассматриваевекторсовместности,напроизвольныхтелаиперемещении.приРассмотримвто-ввестиwсредылютнодогоначальнымможноуравнений.подробносплошнойдеформациитинепроизводнымикомпонентыэтихОстановимсямалыхлинейныхуравнениячерезрешениябесконечнослучаечастнымивыполнятьсядлятрехуравненийнезависимыхгг1.междусредысплошноймещениявыражениявшестьскогдаслучае,томвсостояниямипроизвольныхсистемыE.63Ь)уравненийИтак,мымсобойотносительнопорядкарогоприинтеграломсовместностипредставляютсредыE.58)формулыобщимчтопроверить,можнодеформируемойКинематикаI.Гл.матрицапроизвольноедляперемещениевсехто-§ 5.(зателатвердогоетсяпростоности,нойонобесконеч-малойчастицысплош-ниеВэто.координатвсехвМокрестноститочекПоложениевсехсматриваемыйdr,торомкомпонентыЕслиМточкибазисачатьсяотэг,d|\тоМ'drfмеждусплошнойd|{иосновании.drпобудутвекотли-drf:черезdr\'9i.—преобразованиеопределяетчастицынайдемизравенстваE.64)=E.42)связиdw°d%u.равнытакжеразложениеразложенияпреобразованиеdrНавзятьэтогоихЭтосреды.икомпонентыобозначимвек-определяетсяэ.рас-вdl'si.=ипричемкоторуюв,М,базисевdrСвязьМ'точкиточкакоторогосовместитьторамположе-dl%.=drаdr0,задаетсяперейдетtси-а.,черезокрестноститочекмоментаффин-лагранжевойполностьюdr0этомалыхсчитатьбазисаобозначаютсяМточкеокрето'доможнопорядкаt0 векторымоментсреды,1точностьюспервогостемыМточки„-Покажемным.координатам.малуюпобесконечносплошнойпреобразованиесредывзаимооднознач-рассмотретьСТНостьпредполо-мывид,свойствамдифференцируемостииЕслиявля-ВозникающееобщийсамыйудовлетворяетнепрерывностиПреобразованпеноможетимеетчтоперемещения)преобразованием.деформироваться.преобразованиетолько,93поступательноготелотеперьэтомжимвычетомортогональнымПустьпридеформацийТеорияэ.,менодуэ.w:и°4-Vэгi^ЭЛ(—i-)-)jM>гдеE.65)можнонаписатьdrоткудаd??.=получимrfti*=c1*d?i.Преобразованиеобразованиециаловdl4,отматрицейст.е.приближенныхdQк]|йк||,E.66.)dr\l—котораякоординатлинейноеоднородноенезависитблизкихотпре-дифференточек;С{кI.Гл.зависетьмогутзование„СвойстватолькоаффинныхразованийдлячастицыаффинныхВв—вытекающиеОтсюдавсе(илиОтношение(всилузависитанетолькофициентОтрезокдлины,причемныеутройкаственнаядовательно,ныйкоторыйтриэдр,Объемы=Уо)/Уо(У—объема.ИменноногоизменениякартинаКбРаМ^Ча"произошлаВсякаявыделеннаяконечномалаяориентациичистаявсплошнойбес-средепреобразуетсяприЕслиэллипсоид.этомприненаправленияглавныепространстве,котораяполучи-объемов.малыхсфераввдеформация,относитель-мылюбыхразме-деформаций,тензорапараллелепипед,деформациипреобразованиисвоейивеличинудляе.говоря,объемаформывычислялисправедливыйрезультат,вообщекомпонентычерезэлементарныйэтогодлямыкогдат.измененияпервоначальныхотобъемаГеометрическаяменяютзависитпоэтому,используялинесле-ортогональтриэдр,одинмереотносительноговеличинаноедин-существуетпреобразованиях,аффинныхприменяются,сферу,всопряжендиаметрывдиаметров,крайнейвортогональныйпоповерхностьилисопряженныхпереходитнаправления.главныесуществуютвсеНапривпереходятсопряженныеслучаеалгеб-впорядка.переходитэллипсоидобщемвортогональныхсуществуетвсегдароввсферыэллипсоиданаправления.переходитсферыУэллипсоида.неотношение,жетогодиаметрытакжеегоповерхностьпорядкапереходитвторогокоэф-отрезканеизменным.поверхностьсфераортогональны,Эилиотрезка,чтопричемостаетсяиликриваяфункцийследует,ототрезок,отрезок,кривуюповерхностьпорядка:сопряженныедиаметрытолькозависитвделитАлгебраическаяраическуюмер,второгоОтсюдалюбогопереходитточкапреобразованияпоследлинынаправления.авсегдакоторомвпервоначальнойотегоотрезоднородныхудлиненияегоотиотношениемотносительногозависитдоотрезказависитотнаправленныеодинаково.являетсяпорядка)плоскости.параллелограмм.водинаковоравные,оноипрямыесжимаются)любогодлинчтотого,первогопараллельныепря-прямыепараллельныепереходитчтоE.66).впереходятпричемплоскости,врастягиваютсяформулпрямыепараллелограммследует,кинепосред-линейностиизпереходятчастности,аффинных»преобразованияхплоскостиипреобра-асвойстватеперь*плоскостимые,Следователь-постоянны,Перечислимпреобразовании,-преоб-ственноПриМ.точкималойаффинно..,„средыкоординатотс*коэффициентыE.66)но,деформируемойКинематикатосводитсячтоговорят,крастя-§ 5.жениюсжатиюилинымпоТеориядеформаций95глав-перпендикулярнымвзаимнотремосям.Еслипреобразуетсясфераменяютправлениячтоимеетсводитсяосям)деформацииглавнымчистойпоиглавнымдеформацииповоротувосям,любыепространстве.отрезкименяют,вообщеглавныечтоаффинногопреобразования,(растяжениямЗаметим,ко-говоря,тремпочтослучаевнаправленныенаправлениенечастице,вна-говорят,топространстве,вслучайчистойктак,ориентациюобщийместоторыйэллипсоидвсвоюсвоепространстве.вПричастицыдвижениипереходитсферувдикулярныежетотжерадиуса,угол.этомтойислучаеперпен-взаимнокакоднойиосичтовсеглавные,жеговорят,сферателавсерассматриватьоколоВтвердогопричемможнотриэдрыповорачиваютсяониабсолютнокактогоиодинначистыйпроизошелповорот.МатрицаE.66)поаффинногоwщенияпообразованаосейнезависимыхИтак,вповоротамалойчастицыперемещениюпоступательномучистойдеформации(сжатиюглавнымперпендикулярнымвзаимнослу-толькоосибесконечноипространВ(направленияккомповзависитиортогональнаяповоротутремшестьюосейпараметрами.перемещениепо(илиоставшимисясводитсяпространстве,растяжениюопределяющимиглавныхпараметровпроизвольноесредыкомпонентамиглавнымиповорота).сплошнойточкеЧистаячисел.девятиповороттремяматрицаповоротауглаиливпереме-даннойвслучаепараметрами,пространстветремядеформаций);характеризуетсятрехобщемтремяглавныхчистоговопределяетсявекторакомпонентпроизвольныхитензораот^3;характеризуетсянентамистве?2,издеформацийтензоранаправленияи?',координатамдеформациячаеотпроизводнымиматрицаэта| с{1|преобразованиядевятьюосям).Геометрическиеновномтвердыхдеформациймер,изостаетсятакойвсепроизойтиВмации.толькооказываютвжежидкостью,отТензорииНаприоднородна)проявляютсяобъемов.Жидкостисжатыенейвдефор-сильныедеформацийсвойствасжатию;онапереливанииприхотяизменениячерезроль.(еслисложныеос-характеристикименьшуюжидкостьсосудвважныгазахгораздогазахиижидкостьгазыгазот-несжатых.деформацийдеформированиятеориижидкостяхугодносопротивлениеличаютсяжидкостисосудаижидкостяхииграютскольсущественновсебепоперелитаяВтел.самимоглидеформацийхарактеристикидлягазаосновнуюиграетител.твердых—гидродинамике(итеорииопределяющуюВ теориидеформированиярольдвижениятеристика—насколькоОпределениебольшуюдеформаций.играетвсвязичальным»етсядвумягаемогоЕслиt0,ПомимовэтихКомпонентысплошнойблизкийAt,+tметрическогозначим?'г]:черездеформацийtментыиAt.вE.56),кввестиgi;-.обо-At-{-тензоракомпонентысплошнойбудемAei3-,черезмо-всредыкомпонентыэтиещеtмоментсостояниямОбозначивE.57).рассматриваемомуэтотвt,моментрассмотримсредыможноотношению-f-tсостояниеформулыктензораОчевидно,поwдости-состояния,местосостояниймоментвперемещениявекторначальногоимеютдвухсостояниесуществуетиз«на-реализу-gaрассматриваемоедеформацийсреды:говоря,состояниетотензораF-1)вообщеи,начальноесредымоментвдляЛ(?„-?«)Тсплошнойgj;сплошнойточек=состояниямидействительности,висрассматриваемымgij.так,существенно,деформацийТензор^данным,бытьдеформацийско-вводитсяхарак-другаяМожетоднаков«всехрольпроисходят.онитензорадеформацийсредынесущественны,скоростейТензор§ 6.тел)скоростейдеформациибыстросамичтодеформируемойКинематикатвердыхтензорнекоторыхростейI.Гл.96иметьДв«гдеwномwt3],=аgi})-связиссостояниее.wtvtAtеслиtпорядокAtкоторыйскоростейОчевидно,F.3).видучетедателясмотрениявтого,и4-(V,i;iвекторформулыопределенсистемы,континуума.F.3)симметричного=—Еслидеформаций.(V\vjможно+криволинейнойvмалымelj.=е^е{?-сопутствующейдвиженияVji;i)+компонентыподвижнойчтомоментчтобесконечноявляетсяскоростейточтолюбойикомпонентамиизвестно,вОчевидно,Поэтомутензоромvимеетv^At,=мало.=дан-вF.2)состоянияизсуществует.AtvAtявляютсяецназываетсяwAt-\—^ВеличинывычисляютсяФормулаg.j.перемещениечтоF.2)V^VjWp),+производныемоментимеетперемещением,ViWi+пространстветем,в=(ViWjковариантныеwт.4=начальномввв(gy-случаеместо/=системеспомощьюположенныхVj^)тензора,полеповычислитьсвойсохраняютприкоординатнаблю-системывосновурас-6.§Связьровcm,компонентдеформацийдеформациииТензордеформацийскоростейтензо-Изскоро-компонентF.2)97непосредственночтовидно,длядеформацийскоростейтензораформулавернал.4=4-?f.справедливаяF.3)системеоткомпонентыE.4),еслилегкоследуютпомощьювременитензоровдеформацийсистемекоординат:сзависитнесопутствующейвИзпутствующейF-4)t,координат.«начальноесостояние»формулы,иgtjсвязывающиескоростейдеформацийвF.6)dtПодчеркнем§укогдаещераз,const=тольковерноF.4)равенствоапотогда,определениювсегда.верноТензорыдеформацийразнымизадеформаций,малыхAt,времямоментикакE.63а)независимыевЛ.F.8).И.СедовТТ/ППодставивперейдякпределуAtприкомпонентдляE.63Ь),(о.7)->г-г\О,тен-=0>можноиндексов.и.даютF<8)уравненийсистемалинейныхуравненийСоответствую-порядка.второгофункцияхач,а«,„,уравнениятрехуравненийудовлетворятьсовместностинезависимыхкомбинацийE.62)извольныхидеформа-тензорасовместности.уравненийсистемапроизводныхщиевсостояниядолжны\/<^9V.,шестьсодержитныхскоростейтензордеформаций:54,частныхрезультатевакомпонентычтоусловияскоростейжевводитсяданного/C.7)вF.8)среды,условиямследующиеТакЩсплошнойцийСКО-11ОП9ППЯзорадеформацийЯсно,дляполучимF.7)вц.=времени.совместности1?ПЛТПГкПО?ТТперемещениюхарактеристикойявляетсяданныйУсловиятензорсостоянийчтодвухдеформацийтензорасоответствующегоeiiAtсравненияявляютсякомпонентамиявляютсяе.т.Заметим,деформацийскоростейиetjAtнотензорами,бесконечно4F.6)равенствочтовремени,посо-дляполучитьФормулыобщийF.3)интегралвуказанприпросистемыI.Гл.98Аналогично§ 7.БесконечночастицысредыAt?* +тамилыебесконечнонойсредыниискоростей=средыvкрайнейПустьдойбесконечнои(рис.Д*.лыхразложениеvпопорядкапервоговО'О\Оокрестности—свеквр',=p-\-(Vi=од-изсредыпревратитсяр=ЗаAtвремячастицжема-vx.—состоящий15),9ВозьмемсредытехООгторвекторсредыОхточкивремяОточкилюбоймалоенихбесконечнойпопорядка.первогочастицывсесплошнойнепрерыв-скоростьаv0,ма-производныеимеющиммереестьПеремещениенапредполагаемибескопониматькоординатамиО с координабесконечносточкичастицы,нымРис.15.малойчастидыПодбудемданнойцентромраспределе-очастице.точекскоростейсплош-частицучастицейотПолер.расстоянияэтойвмалойсовокупностьудаленныхI1 + р1,?2, |3, называемоймалуювопросизучиминечноd?i?*,e.jоттензорбесконечновВозьмемаффин-сплошнойтакжерассмотретьпроизводныминапример,средымалойвремяМожноявляютсяскоростейсплошноймалоепреобразованиепроизводнымикоординатам,частицеввестиможноявляютсяпорядков.которыхРаспределениемалойзавысокихпространственнымпоноеболеекоторыхкомпонентытензоры,средыдеформацийкомпонентыtno&t]скоростейтензорутензоры,другиеотдеформируемойКинематикаочевиднои,v0)At.точностьюG.1)ма-дор:G.2)G.2)ПодставивG.1),вполучимG.3)Отсюдатицавидно,средыбесконечноныхчтосплошноймалоеотvпо|*с точностьюзааффинноеберутсядобесконечнорО(р)малоепреобразованиевцентречастицыAtбесконечномалаяAtвремя(значенияО).претерпеваетпроизвод-час-§ 7.скоростейРаспределениевскоростейРаспределениебесконечномалой^сплошнДоТсЕедыУвМ°ЯПерепишемчас-любойЧысплошнойеецентрадругомвVlРО (р)+(VpO+Ввыражающеескоростьбесконечномалойсредыv0,координатыи99частицеvxчасти-скоростьчерезvотпроизводныеврассматриваемойвиде:V^'a*+v0=малойG.2),Охточкицентреточки,бесконечнов'кV)+(p)=еыр!э*+v0=формулепоследнейсимметричный+G.4)тензор(V+v)pO(p).члены,выделены+G.4)содержащиетензорантисимметричныйией.Р*э*Vah.:G.5)формулыРассмотримВсреды.проекцияхмеханическоетеперьG.4)ссвязинаэтимхЧ=+uiКомпонентыаВведемих%еи|.,ej.болеечлены+Щ=7,всо;-.|+угzk.„{,/7формулахэтихнеж%почемформу:квадратичнуювчто^>x\x%i+порядкавысокого+хг=¦.«гоG.4)перепишемсчитая,x3k-fx2jсплошнойчастицынаглядностикоординат,дляосичленакаждогомалойточекдекартовырПолучимистолкованиескоростейдляпервый,зависятх1,отопущены.G.7)будемочевидно,иметьG.8)ФормулыG.6)можно=переписать"о+,дФзрв+.©и*елвидег,G.9)100Гл.Такимобразом,сплошной(u0,v0вательно,всейженияане((о1га:«,дФ/дх3)дФ/дх2,третьейвведемдекартовойвсистемематрицуО0со12со210со2зсо31со320=¦'-со3-С012^13со12coi0СОзОt^23—С020СО].—0щсо2—обозначениявведем(О,G.5)исо2СО 32'=G.10)=декартовойвсо3со13,системе1Idw1/ диG.10)со21.=будемкоординатиметьdvG.11)Ихюз=НепосредственнойG.11)лыко-следоцент-исследования(а3.х1)со3Пои,движения(дФ/дх1,антисимметричнуюе.изхгдви-скоростьюдетальногощ.х1,х2,поступательногособолееДля0т.ж1,составляющаяФ.частицыперваяскоростьсовпадаетвтораясоставляющейотсобоймалойсоставляющие,координаттризависит(онапотенциалкоординатнасредыбесконечноточекскоростьvOlпредставляетчастицычастицы),имеетдеформируемойКинематикаразбитаwQ)средыторыхраI.ди\w~—проверкойлегкоJубедиться,можноизполучаютсячтоформу-символическогоследующегопредставления:iдхдддуdzVWUПослеG.9)обозначенийвведенияперепишутсясо2,кjдпосо3G.12)G.10)формулывидевдФ=и°~дх~офjдФG.13)§илиРаспределение7.скоростейG.12)согласновбесконечновмалой101частицевиде(<*+з7р)ж,XG.14)ВVi._._.G.15)ЭйлерадлятвердомтелескоростейсвG.4)v0тела,твердоговекторv1мгновеннойG.15)сплошнойчастицыЭйлераторыхприсутствиембесконечнолиженииможноопределеннойпроизвольнойскоростиФормула00vвектормалоймалегоформулыотизко-приб-первомвФ.gradВрезуль-rJ.,сплошнойДвиженияр'р—Ар,=вбытьмалойможетбесконечноточкидействительно,Вычислимсредыd|_толькопределеAtприр|112р21фрЧГ~~d(p-p)~чторазными-*-0имеемG.16)деформируемогодля_dtр,тем,стелаотносительногоdt\р\рвектораудлиненияр:16р~Изменениедвижутсявнулянаправлениивектор^-«0.скоростьювр'.обусловленоG.1)=ототличнуюназываемуюличину,средычастицыиз^резкарадиус-последнийир,—бесконечновидуО(р),рчленарольтатепереходитразныескоростями;исВыяснимотносительногоудлиненияе.рQ—учитывать._т.абсолютнотела,точекпоФgradсравнениюпонескоростейотличаетсясредыточкиточкитела,твердогодлячленовимеетQXp,+угловойаб-визвестно,Эйлераскорость—кактеле,формуланекоторойскорость—скоростей FFтвердомместоG.15)G.14).распределенияFсолютноР+рО(р),X«иДля"распределенияабсолютноформулу+Vl^V0гдеСкоростьФ„формулойРJ.Xокончательнуюv0-}-grad=формулызаменяющуюСравнениеимеемвидевекторном(«+5F__±(p_\1dp"1_Т~?p*"\p'dt~dt1•_веот-I.Гл.102ВоспользуемсяXр)р-(ю/аггде=мацийКинематическоенаправлениеудлинениячлены,инуль,втоервможное.компонентыидополовинескоростимениИзG.17)видно,чтоксредывсостоя-тензорввестиt имоментыкомпонентистолкованиеД?совпадающихсдеформаций.Величиныz.прямыхрасположеннымиКомпонентычленetj,компонентамиei3вдолье^всреды,прш=?=/равныпрямыхданныймоменткоординатнымgradФвдримеждуугловпервоначальноотрезкамисоответствующимпараллельнымипретер-отношениюМожносостояниямскашиванияобразованныхуглов,времениG.1),поиметьпервоначальнож,у,осейЗарассуждения.t.скашиваниесреды,истолко-самоесреды,покмалыххарактеризуютотрезкамикоординатныхмоментмножителябесконечнотензоражедругогочастицакинематическоеясноточностьюi=j=jрезультатеотношениюбудемтогдаОтсюдапоудлиненийпараллельноТодеформациюводноименнымисотносительныхмалаясредыЩM,деформацийосям.малуюсплошнойes3,=направленныхвбесконечнобесконечнопеваетezскоростейиAtвремя&ijобратятсяG.17)частихг,осипонаправленорe22>=первоначальнокоординатнымполучаетсясодноименнымис'и-скоростямисреды,вание-\-Пустьправой=evтензораотрезковсоответствующимteiu=являютсядеформацийтен-компонентдеформацийскоростейвкине-вытекаетистолкованиеобразом,индексаминиюнаправлении.получимехт.от-скоростьнепосредственноодного,дефор-вычислитьэтомexiТакимдФ.скоростейтензорар,G.17)ИзкромемыдФ.G-17)матическоезораиндексами.все(дФ1^чкомпонентыиистолкова-тогдакак(р,г{).cosеслиносительноготаки,=^«'«1,известныe.j,.——=—Итак,1^=G.15)получимdp\-р-средыG.16),равенствами0,=1=деформируемойКинематикаформулевреосям.G.15)для§ 7.РаспределениескоростейскоростейбесконечноточекответствененмалоймалойдеформациюзабесконечновсплошнойобозначениечастицыВведемчастицы.103частицесредыG.18)чистойназовемэтускоростьскоростьюитовсеер0любом=взятыхвформациядеформацияитоотсутствует,главныеиосикоыпонентытензораско-деформацииростеинаправленнойвсезораКакдляЗоравторогобтеждефОрМацИйоси;восям,деформаций.скоростейскоростейзораквадратичнуювидусоответствуетиКакбудетдом,еслисобойляетвекторноеаеепроизвольныенапроизвольныйввидее»векторы.вектор•(о(рХс)знака,р)-сX=Изтого,Ъ—покажем,аявляетсяможно(ю,Ь),чтоинвариантнаявектором.представ-G.15)следовательно,Xчтосистемеформулаи,G.15),формулыдекартовойвеличина(юде-разные.всеговделе,тензораговоря,членвышеско-гиперболои-осиПреждер.тензоромиГлавныетретийXооси.поверхность.одногоегвеличина.величиныс>0е.i-nвдольвообщеинвариантнаявектор,—писатьвсезнаки.е.сжатию—тен-каноническомуОчевидно,G.7).х3)0среды.тензораосейктензором,тензорнуюравенствопроизведениескалярноевариантнойх2,<etсвязатькоординатg самомтвектор,ный(ж1,Оглавныхпривестивведеннаятрехмерномвнвек-стензоровметричныхторамипрстрт.деформацийточкекомпонентамидеформаций,Рассмотримантисим-связь©;Фразныескоростейтен-еускоростейнахожденияеслиимеютжлюбойследуетэллипсоидом,формацийВекторДляможное.UbсимметричнымдеформацийростейОнавидтензораaвсякимсокомпонентиметьглавнымирастяжению,главныекоординат,чосидеформацийформуввести0называютсяе3e2,eltскоро-0временимоменттен-тензорадляматрица0главныеуказатьG.17)системебудет0данныйде-симметричногоможно0р,если0.=ранга,0МожнолюбойВеличиныповсякого«1втогдадекартовойдеформацийскоростейиv*=отрезковНаоборот,0,==0,v*Еслидлиные.меняются.ерглавнымпот.ненаправлении,gradd)Главныедеформации.отсутствует,р)-с,Очевидно,переставитьгдер,югдеXвзаписисирХс=6за—произведениевеличина,—ин-ичленыскалярноерс—произволь-юследует104Гл.чтоюнентвекторасистемеvиобщимпорассужденийспособа<авведенияполючтоско-е^з^а?тензоробщийполучаетсялюбомуавывод,именно:антисимметричномутензорурангаQвсегдаможнопоставитькартовойформуламиКакаффнн-преобразовании гивторойтретийиG.19)хги(б\-компоненты—dt.Напомним,вчтоконечночастицамалаяимеемдвах>р'итакжесG.20)деформацийаффинное,Допустим,преобразования:испытываетE.65).матрицейаффинныхпоследовательныхс1-,асоответственно,рpdt'образом:конечныхсредыG-19)малостисг}х\х{ +rвре-9°(Р)<#.+порядок=rпреобразова-следующимслучаепреобразованиеконечное(»Хр)*имеютс*,-)непрерывмалоевидев++бесконечнобесконечнозаписатьде-всвязанывремя*аффинноемалоепереписать=воСзачленыможнохпхндвиженияgradФй-fр=чтотак,будутювыше,средыгможнотеперьр'порядокпоказаночастицабесконечноиспытываеткотороеРавенствобыломалаяногоdtгде<ойG.10).малыхние,вектор1)компонентыкоординатбе-сконечноЛэ*э"coj=соответствиевсистемекоммутативностигдепроиз-всоответствиевпространствевторогомякомпо-найденывытекает,поставитьможнотрехмерномныхбытьмогутю.ИзОпреобразованияшгкоординат.всегдавекторсредыправиламG.11)проведенныхростейдеформируемойпомощьюсИзКинематикаивектор,—вольнойвI.имеютбесномычто(a)(Ь)Составимпреобразованиерезультирующеехл=а\(Ь\+соответствующееЕслиже,всех1) Отметим,преобразованияхнаоборот,со+а) Ъ\)выполнитьведеткоординат.себякакСм.обычныйстр,полярный183—188.G.21)х*,(Ь),преобразованиепреобразованиюсначалачтоЪ\+сначалаапотом(а),векторне(а).апри§ 7.(Ь),топотомскоростейРаспределениетакОднакоеслитицысуммубесконечноточностьюдомалойсредызапростейшихразований.„частицыний,ненар*=можноФпреобразованиенадеформаций:dt,(*»=Xропосле-G.22)dt.*)ei3a;V-угпреобразова-ш:G.23)осейповоротомканоническомукпривестикоор-виду:-1 1=G.22)дующем+опи-преобразовапреобразование,векторомформуфиФgrad+р=определяющеесяКвадратичнуюдинатименноадва,скоростейр'ппроведениятензоромр*G.19),бесконечнойЭтозаботясьсреды.разбить,можнониепреобразование,сформулекпреобразованиедовательностиипорядокпреобразованиятеперьмалойнапреоб-определяющеесямалы,второйкоммутативны.Вернемсясывающейчас-Д«времябесконечноимеютаффинныечленовчтоследует,некоммутативны.случае| Ь^ар||малыеэтихотсюдатообщемпреобразования| а*5-Ь'р|[,преобразова-бесконечно105частицеЬ^аЗр)хР.+вматрицмалости;Ыр + alp-fc?jtfp=f=b%jap,преобразованияаффинныечленыРазложениеимя(fi p=вообщекакаффинныетомалойполучимx'iНобесконечновможнонаписатьвглавныхосяхвсле-виде:а*=y*=z*A+в1Л):с,(l+e2dt)y,(i+eadt)z,=)\G.24))гдеX*являютсяглавными(ег<|0).нотремя—скоростямиПреобразованиепреобразованиямикаждоеизкоторыхсжатиепооднойИ*X—2*V(е^^>удлиненийG.22),—можеточевидно,Z0)илибытьсжатийзамене-видах**=У**=A -f- exdt)x,G.25)У,собойпредставляетизглавныхосей.чистоерастяжениеили106Гл.I.преобразования,ft),аG.25),три,собойпредставляютвоположностьслучаюнийЗаметим,чтотельнооснованиивсехпараллельныхмалыйныйаффинныхвекторняютсянадуювекторы,вихряурДадимкине-егоимысоставимоноокажетсяобразом,угловойшедшейдеформации.веннуюугловуюобразом,являетсяередыНайтипреобразованиядвижениясреды,векторкогдаописывающеемалымаффинным| с1] | ,ночастицыегопреобразованиепреобразованием,чистойматрицыглавныхчастицыдеформации.аффинногоВсложна.задачасплошнойсредыявляетсявекторскоро-вихрямалойиэтатвер-вращениякомпонентымалойостаетсявекторомповоротумгно-беско-сдеформаций.бесконечноможно,проискакdtвремяскоростьюкзнаяповорота,бесконечноназываемыйсводитсячастицыпослескоростейдеформаций.деформациитакжевекторзатензораповоротамыссвязанноготела,угловойконечнойслучаедвижениеилитолковатьследуетивращениипрималойдокотороею,мгновенноймалаятело,бесконечнооосейглавныхскоростейтензорабесконечноперемещениевекторвращенияр*всеер<:=0.твердоезатвердевшейскоростьтриэдрае.G.23)оси-вектораСледовательно,какскоростьюпвтоизменениее.абсолютнокакИтак,\составимию,p*>dp*,т.р*.мгновенночастицеймалойВ—G.23),гпроизведение(oiXp*)dtсреды,осейкаж-dp*.нулю,себяведетистолковатьмгновеннойсплошнойр*=преобразованииприсредыТакимepdtнапреобразованием:этим—скалярноеравнымвекторусамомучастицасти,удли-истолкованиегвекторомвызванноер,Еслит.х,zнапреобразованиееG.23)нечножеосипараллельныеиВозьмемю.р'дым,текинематическоевекторувектораможемпроизвольиспытываетудлиняетсяобусловленноеизменениеортогональноТакимe2dt,на—вектористолкованиелуО)параллельныепараллельныенадлинпоэтомуиточкиизВсеНо,изменениеодинаково,выходящийО.частицыдлины.единицуматическоепримени-проведеныцентрапреобразований,отрезков(непреобразования.наexdt,esdt,произвольныйсамыебылиизпротималойпреобразова-указанныхрассуждениятремповэтом,бесконечнодеформацийвыходящемур,удлиненияПриосям.выполнениявсевекторусвойствкчистыеконечныхпорядокчетыревекторомопределяетсяглавнымсреды,несущественен.наразложитьG.23),которых,избесконечноможноперпендикулярнымчастицыВекторсредыодносредыпреобразованиемалоесплошнойчастицывзаимнодеформируемойбесконечнолюбоеИтак,малойКинематикаслучаеdt,времязабесконечноравене>dt.т§ 7.ТеоремаРаспределениескоростейКоши—Гсльмголь-Наконец,?*?=??«?=?2RZстицысоберемпредыдущихемтеоремусредынииG.15)Охточкиискладывается(о+стиv*=gradдивергенцииФчас-СкоростьлюбойvxсплошнойчастицысредысG.26}grad(P+pиv0абсолютнокаквращатель-твердойдеформациичистойискоро-«о+«вращ+'У*.=ВведемскоростиG.27)понятиевекторадивергенцииВозьмемv.ростиско-бесконечноtмоментвсферумалую+х2изсостоящуюЧерезготочекz*перейдетонабудет,осяхглавныхв+У2Л2,=среды.Atвремяэллипсоид,вочевидно,(причемслучаевПосмотрим,видДг+потеобъемVoбудутсредычастномтакойобъемtмоментчастицыжеdtв1).свремявилиэллипсоидсравнениюзаОчевидно,сферы./?Aвмалыизменитсякакt^Atfе2переходитetdtкактакмоментвA +обязательносферасферу,малойнечно^Atfeiкоторо-уравнениеиметьУ(I +аразложе-малойсреды.частицы«1ОобесконечнопоступательногодвиженийрСформулируфрточекXaскоростиизXвсехрезультатыравняетсяVi^Voноговместемалой107частицепоши—1ельмгольцабесконечноОвмалойрурассуждений.скоростисплошнойтицыцентромбесконечнов—беско--5-Я-Д3,объемсоставлятьэллипсоидаVСоставиминечно-i-=л№вычислимехA +А*)еаДО0иA +относительногопределсредыобъемамалогоA +fe#М).беско-измененияAtприе3->+Vo+0,-»-имеем:G-28)«V.-OСуммаех+ной—первымизвестно,произвольнойе2+е3тензораинвариантомтензоракомпонентычерезсистемеинвариантнойочевидно,является,координатскоростейскоростейэтотвеличи-Какдеформаций.деформацийинвариантвможно108Гл.записатьП.+е\определения+ezЧF.3)е^векторадекартовойG.28)v§РотацияСтоксаиВсеипусть+порядка-f+1АполюОкоорполяирОр +XимеетпоотносительнокgradYнекото-АвекторпервогоприменительноАполенепрерывноепроведенные=полейвекторныхА,векторарассуждения,повторитьможноОстроградскогосвойстваимеетсярогопроизводныединатам.".V°dtо—нимиПустьТ0Ра^пред-зрениябесконечносреды:Г,lira—свек-дивергенцияточкисплошнойГауссаисвязанныенекоторыеdzизмененияд,Теоремыдумеханическойобъемаdiv8.-3'симетьdv\-дхотносительногоиндивидуальногомалого-дбудемочевидно,vскоростьv:G.29)ди=divчтовидно,собойназываетсяdiv=,.Изобозначаетсякоординат,Vyayaвеличинаvсистемеdivставляетyaw".=иdivВ=чтоинвариантнаяскоростиопределениюдивергенциейel=видно,elПосредыобразом:следующимИздеформируемойКинематикаv,получить(р),гдеисистемедекартовойвкоординатfЭтоткогдасимволическийвместокомпонентЗжf9«/-г ог¦"-"8определительвектора(8.1)составитьможноAltA2,А3взятыипростотогда,какие-8.§нибудьфиксированнойТеоремыСтоксадифференцируемыетрисматриватькакАследующимвектора).компонентывекторто(8.1),образом:равенствомАналогичноАG.29)можноотчиславводимыйу,х,определениюпообозначаетсяи.4.векто-дивергенциюопределитькакилидекартовойвAсистемеТакимобразом,дхможновихрявекторЦиркуляцияСA-ds,ротацииАполяскалярноевеличиной.будет,ОбразуемS3вектор-разомкнутыйскалярноеконтураочевидно,элементпроизведениескорости.некоторыйСоставимконтур.вектораопределенияобластивds—направленныйгдеv,половиненогоdzчто-9-rot=Возьмемзамкнутый.dAs"т"дусчитать,равенвектораиликакdAzAюе.Va^a=координатdivXпроизведениеXС.илиЭтоинвариантнойинтеграл"/—^(A-ds)Y.=АВВведенныйX.контуруциятураГвпообходапокон-поЦиркуля-указано.общемотслучаекоторомукон-вычисляется.онаРис.16.Копределениюциркуляции.векторАточекскоростьестьГ\=(v¦ds)циркуляцией\=ABназываетсяАвекторабытьзависитX,Очевидно,ЕслициркуляциейНаправлениедолжноГскалярпутемтакимназываетсятуру(вzрас-можноАвектораrot=divт.Q,RQ,триротациейназываетсяfiралюбыекоординатвектор,—100Р,функциисистемеЕслиГаусса—ОстроградскогоиABскорости.шнойсплоиdx-f-vdy -f-средыwdzv,то110Гл.ПустьI.деформируемойКинематикаvскоростивекторимеетсредыпотенциалvgrad=ф,тогдаГ=АВОтсюдациявидно,чтоскоростинеАВзависитотзначнойкоординатотфункциейеслипотенциалНапример,координат.QГотсюдаслучаетому(8.2):чаеГсЦиркуляцияГсв2лк,=2лкп=же,приОкипобходеС,иохватывающиеполеvСотфл—и(8.2)—то—0а),k(QB=чтотеперьцир-потенциальна.Сконтур2,поверхностьт.допустим,е.будемдопустим,которойнаконтурнепрерывности2 контурамиповерхность18,ичтообластивРазбиврис.которымнеvскоростьоставаясьv.напоказанослучаеконту-позамкнутыйточку,вэтомвзамкнутыеСиметь(v-ds).Эторавенствосторонамтакочевидно,Сн,контуровкакприКонтурыCftГс&можно_С /v.fjs\скольможновзятыеинтегралы,из-за18).(рис.ималыми,угодносчитать,общимпосократятсяобходавзять(8.3)суммированиинаправленийпротивоположныхчислении0.=17).гладкуюдифференцируемостикакГсarctgтакиедифференцируемо,инепрерывностянутьтак,к=следует,(рис.нулянатянутьможноможнозамкну-нулю,координат,Возьмемнегоэтомввеличина),отсюданачалоПустьна5t,отравна&9=фвраз.отличначтозависитточ-СтоксаТеоремагде—,посуществуютрыкуляция=например,0,=одно-чтопостоянная—ГзначениефнеСслу-Гс1фявляетсяциркуляцияф17.В;следует,контуруЕсли(кциркуля-жприconst,=иРис.АточекX,контуравидадвиженийпотенциальныхслучаевзависитчтоскоростьвы-приvнаСц8.§определяетсякотороймалойосплошнойчастицылежащейOh,точкенасредыПриTCftвычислениикакэтоФ18.вкладниюрОчленаот\членомсмалойкакФвысшегооднозначны,порядкапоповоротр2,ностинаправленкфпротивнанатянутаяТеперьвповиденплоскойтатьсябесконечнотолькозависити(8.4)по(пот2(undo,малогоOft),нормалип(8.5)формулу,кбесконечновdaвпределеназываемуютусторону,асиооCk,теоремойвели-которойповерх-Ch,нормали).при&->-пообластьконтурвекторChравенстрелки,малый(8.5)контура(рхф)Jчасовойединичный—иполучимточку,сравне-чток2doчиненули,дадутихСтокса.18),рис.пределахвw(онпостояненконтура,[((oXp)-rfs].(см.вектор-не-(8.4)=таксков(р).gradиvokтеоремывыводубудет(р)убедитьсяЛегкоКрО+разложениис центромвнутрипотенциалыивекторыРис.асслагаемыепотенциальные2поверхностиgradтак111Гаусса—ОстроградскогоиКощи—ГельмгольцатеоремепоточекростиСтоксаТеоремыможетсчи-стягиваемыхСтокса:(8.6)т.е.циркуляцияудвоенномутянутуюнормаликонтурапоскоростипотокунавектораэтотпдолжноСбыл:контур.бытьвидензамкнутомувихряПодчеркнем,выбранопроисходящимчтотак,Сконтуруповерхностьсквозьчтобыпротивв2,(8.6)сравняетсяна-направлениееечасовойобходконцастрелки.112I.Гл.Очевидно,скоростиДА(э1,=AsdsдругогоусловиямСток-теоремутеперьвидах:разныхJ=векторавекторанепре-длятольколюбогоНапишемв\Aidx1=недляинеобходимымАвекторадлянодифференцируемости.исредывернасреды,удовлетворяющегорывностисаСтоксатеоремасплошнойvдеформируемойКинематикаA)nda(rot=SСдА3дАгПотенциальныебезвих-исплошнойДвижениедвиженияревые=0вым,Вю^=0.когдаположенныеняютРис.19.Кэквивалентности0, и,любомупопотенциаль-итечений.ныхеслиразом,движениеПокажемvи=Вватьния.потенциальное,gradДляе.,еслие.ф,токонтуру,условиямнулю.ионодвижениетакаясуществуетпо-gradциркуляцияравнатот.=замкнутомуСтокса,т.легкоvследовательно,потенциальное,обратное,онотоориента-проверкойудовлетворяющемумымалогосвоюесличтолучить,безвихревыхтен-сохра-пространстве.Формальной=рас-бесконечновремениввихре-осейглавныхтечениевциюиволокна,деформаций,промежуткаообласти,вдольскоростейзораВеслидвиженийвременимоментвбезвихревым,этойточкахбезвихревыхслучаеданнойввсехвоz)\daназываетсясредыобластинекоторойоir)cos("'Такимбезвихревое.безвихревое,функциятеоре-об©ф,0,=чтоф.доказательствадвавозьмем?хконтурадругПовдругаиобластивХ%теоремебезвихревогонепрерывногоСтоксадеформиро-можнокоторыеАточкамиданнымимежду19),(рис.движе-имеем\и-(-vdydx+vdy -fdzw=0,.поэтомуГав=\иdx-\-wdz=^udx-\-vdy-\-wdz.§Такет,8.СтоксаТеоремыкакХгконтурыГаусса—ОстроградскогоиХги113произвольные,тоотсюдаследу-чтоudx\-f- vdywdz-f(z,ф=z),y,ABт.междуциркуляцияе.рирования,линачальнаяАмаломdxследовательно,Uравнобудемиметьдфw'дуdzdy,—-тг-.dzпотенциальныхКакиобластьеслифункциейГбезвихревыхвдругобластьодносвязна,осьполяпосвойстваВдвиженияпримереф=Шлинией.Ввектораназываетсяимеетеслиньшпе-можнокоторыеособойявляетсяцирможетточку,области.пределымно-областивконтурам,закоор-бытьможетмногосвязнойпотенциальногоzифстягивающимсявыходяПолеСоленоидалышетоВвдвиженияфункциямногосвязна,встянутьобласти;Очевидно,пределыоднозначная—одинаковадруга,непрерывностиможнозамногосвязной.срнеодно-контур,потенциальногонеиназываетсязамкнутыйобласти,выходякоординат.нуляотревестиэтойназываетсяконтурам,поотличатьсявнеобластьэтаесликуляциявзятыйточку,потенциалтогозначнойеслинепрерывногоодносвязна,динат;областьлюбойизвестно,областьслучаепротивномихбудетес-любомнаd(f,=д<р-3х-,=связной,аИ^СВЯЗН°СТЬнеГdx,понятияпотен-(8.2)V,В,точкиэквивалентны.Многозначностьчтоdzwинтег-путиконечнойочевидно,-(-отзависитпроизвольности-~дхнеПриращениеdyv9ф=образом,Такимдвижений,-f-силувВикоординатфиксирована.ВВ',участкеииоттолькоточкабесконечноАточкамизависитасоленоидальинвариантноеместоуравjггнениеПользуясьпроверкойвсегдалегкосоленоидально,div-Bопределениямиустановить,т.иполечтоеслие.ВA,=rotто=0.div-BВчастности,(о=-s-rott>;rotротацииА,непосредственнойлюбоговектораА114Гл.поэтомуверноI.деформируемойКинематикалюбойдвиженииприравенствосплошнойdivдекартовойвили,образом,ТакимюсистемеО=д(йг.полеЗсоз.векторал(полескоростивихрявихрей)соленоидально.Еслиниянесжимаемая,среданее.т.томеняется,G.28)поКакизвестноНностифизики,изявляетсясоленоидаНьныйлВсамомделе,черезвектордекартовуВозьмемТогдаравенствоненийдлячастноеВпредставитьможно(8.7)АгА1хопределенияВвекторапоследующимпостроитькоординатсистемуB=rotвидевА.rot=можнопредставлениеАхнапряжен-0.=векторВ(8.7)магнитнойсоленоидальным:divЛюбойсоленоидально.средывектораполевсегдатакжедвиже-времявоО,=несжимаемойскоростейполее.объемееимеемdivvт.вихрейполядлясредыкоординат,dcoiвсегдасредыиприводитположимследующейксистемеформулеобразом.А12=урав-А1и:и2дА12Этаеслисистемадх\Вdivусловиипри(8.7')1хdz2=0будетудовлетворена,положитьгА1у=2-5гAlx=2\Bydz.хBJz+2^5Z (z,j/,z0) dx,0.§8.ТеоремыДействительно,(8.7')нениятакжеСтоксаГаусса—Остроградскогоинепосредственноприэтом115видно,удовлетворяется,первыеуравнениечтоТретьеудовлетворяются.таккаксилувдваурав-(8.7')равенствадВг'дхполучается,2дхVZoОчевидно,(8.7),гчтовсебытьмогутWпроизвольнаяА——разностикоторойэтаНа(Aфункция.Aj)должнафункцииW.AАгrot—представлятьсявовихряО,=не-градиентавидеобщиерассмотримсвойстваполей.Какностейитрубок.точкеДифференциальныевекторноговсякогодляввеститрубок,Вихревойкоторой§ 3(см.понятияе.т.называется«2Вихревая/ (х,поверхностьлиний,вихревыхВихреваякривойСлинии.ваяповерхность,ностиРассмотримвихревойобразуется,трубка(не являющейсяБоковаяисвойстватрубкинаповерхностьнейу,=constвидесличерез0.=дваиззамкну-точкивсевих-провеститрубкивихревойконтурасостоитсплошьлинией)трубок.вихревыхвозьмемz)имеетвихревойа>по.видимеют«3уравнениеееилинийкаж-вихрявекторанаправлениемвихревыхсуравненияивкасательнаялиния,совпадаетповерхностейлиний,вихревыхлиниейлиний,векторныхпонятиявихряповерх-вектораполядляполя,I)гл.COlревыедляравенствоrot=вектораполяДействительно,выполняться—разностьпримереможнотой?,grad+должносоленоидальныхдойАг=условиюудовлетворяющиевидевскалярнаяДхrotе.А,векторыпредставленыy,z).y,zo)=Bz(x,{x,Ат.dzдуАгдедучтоНаСх—боковойивихреповерх-Сатак,как-116показаноКI.Гл.рис.наобразовавшейсябоковойнаСтокса.ПолучимдеформируемойКинематика20.Соединимприэтомэтисредыконтурытрубки,вихревойповерхностиберегадвавходятсясуммеи%2даютК20.исвойствамСхизнихобратный,на\указанонаинтегрированиипро-интегралыпонимтрубок.С2итакжепро-впроходятсяобходсменивследовательно,и,направлениях,одноготеоремупоэтомувихревыхКонтурынуль.тивоположныхприменим2поверхностиприразрезанаправлениях,разныхРис.вграницы%iлежащей2границеобходаНаправление20,рис.целиком0.(v-de)=поХх,5?г>разрезом2,поверхностиполучим(vda)=или1с.СгКонтурыиконтурами,нымибытьС2могутохватывающимиодинГсС—вихревуюЦиркуляцияпроизвольныйочевидно,разданнуюпроизвольвихревуюравнаяconst,=охватывающийконтур,трубку.Гсилиэтом,приСледовательно,трубку.где1с2.=ейпотеореме^-Стокса(vds)величина2Jd>nd<s,одинразданную8.§2гдеСиповерхность,—Стокса,теоремыКинематическиевихряконоситС,связанынаковаиоди-являетсяхаракте-Этотрубки.кинематическойтрубки.трубкивихревойтрубкиданнойристикойпервойВтораякинематическаяутверждениеГельмгольцатеоремыЭтосреды.невытекаетневозможностииообразом,аналогичноевусловияхнаСсосвоимирисункенеменяетприменимостиовыводалельнойосиилиvполякогдаэтой21,(рис.zоkQростаСvсрхОуф,испоэтому,Собразующей,параливыводанатеченияпримере=(8.10)gradcp,const=к^>тогда,особенности.его0,Скоростьтечениетокалинииследова-являются,иокружностями.еслирас-контуреслиkaiTCtg^:=поверхностямплоскостиНапример,такоговнутривместеvналичиивихревое,сделатьпотенциально,течениеортогональныва)когдатогда,полеприподробнее=е.т.телоимеют(pЭто21,остановимсясвязиточкитольконепрерывно.Нельзяб).ин-поверх-накоторойнатечениечтоцилиндрическоетвердоеохватываетпромежуткесуществоватьсправедливСтокса,2,том,(рис.скоростейпределенияСтоксавыводповерхностьпроизводнымичастнымивсемпоциркуляциянуля,отдолжныэтоттеоремынатянутьсделатьВС,Нотоа,наконтурвихревое.Дейстскоростей,теоремепоwпотокевтока.отличнатоказнака;натечениеможно21,рис.линиивыражениенатянутойжидко-еслираспределениенанаподынтегральноенельзядви-течениел.линиизамкнутыепоказанному(апф0,что'(ю=)Ь0),вихревоенаблюдаетсяпотокевнарисованнойсграницахмогут,есликакзамкну-неограничена,кажется,всегдастиимеютсявительно,такнасредаИнтуитивноте-вихревыхчениитегрированияности,линий.бытьбесконечность.в„Примерынепрерыв-могутначинатьсяесливнутриусловиявихревыхлибоилибо,среды,уходитьтрубкикончатьсямогутжущейсяизтом,вкончатьсяпересечениявихревыелиботыми,могутсостоитиначинатьсянепосредственнополяТакимГельмгольцатеорематрубкивихревыеностительно,вихревойвдольвыводепринапряженностьюНапряженностьтеоремыобходанаправленияуказывалосьвихрях.чтосторонуакактак,называетсяназваниео117Гаусса—Остроградскогоиограниченная2кп.нормалиГельмгольцаСтоксаТеоремынаправленанаправленов118Гл.так,какI.показанонасовпадающейности,ниеневсюду,тоосинамыувидим,Такимтока,поляzиvотече-этогоосикромеz;бесконечности.особенности.приравнятьосивдольтече-потенциалдлявихрявсюду,нулюнужноокружхотянуля,гдевекторравенwлюбойпоототличнакоординат,будетонвеличинуобразом,ГЦиркуляцияв.подсчитаемчтоzсредыкроменачалаЕслиопределен.ния,21,рис.линиейспотенциальнодеформируемойКинематикаимеютУt+AttЛВ'ССа)21.Рис.Вдольосиzимеетсялированного2лк.=агделюбойвдольт.сяе.прямойтечениезораввромбаввtмоментAt+qа_'главныминосугловойихпротивосималаяжидкаявориентацияtскоростьюромба.остаются,меняется.—=-к.пе-тен-диагоналямидиагоналипространстве=At+осидвижениясоменяет-частица,сввнеглавныеt совпадаютпереходятпроцессеиzмоментвчтопоказать,моментдает'ABCD,осямипрямыми,координат2онитечении,скоростейНепосрественноеосяхнаправленвэтомвлинейное.декартовыхквадратаМожнодеформациймеждувращаютсявиделинийРаспределениеБесконечноA'B'C'D'.скоростейочевидно,Ониtoточке.tмоментвтоках.const=окточкиквадрата,Углыхвихревое,отвзятаярейдетосикомпоненттечениявихревыезамкнутыхвеличина.линиямиспараллельныевычислениеизо-=0,wсовпадающиепрямые,отг)положительнаяТраектории,—что21,ин-теченияпотокев=ау,постоянная—думать,(рис.иназваниеналичиемтечениеконечнойнитьноситследуетсРассмотримтока.течениеНесвязанытечений.вихревыхвихреваяЭтовихря.обязательновозможныхизолированнаяГтенсивностиПримеры8.§ТеоремаТеоремыСтоксаГаусса—Острог-НапомнимрадскоготеперьтеоремуВозьмемтроградского.вдеVсплошной2поверхностинормаль2Вп.2',поверхностьв—ГауссадвижущейсяперейдетVограничивающуюобъемвкVV,а22).(рис.VAt22.Рис.КVобъемаИзменениеГаусса—Остроградского.теоремеV,—=ЛV-VVУменьшениеавтоматическикпотом,учитываетсяприэтомвнешняявсегданормальчтоV.объемаизмененияравнауАналогичноповерхностьюдлябесконечно2*,будемисистемевспомниве—VбесконечноV*,ограниченногоF"~7'J=vnds.дивергенциивекторамеханическийсмысл,вско-декартовойполучим\—=объемамалогоеекоординатvndoJопределениемG.28)ростиМ<з.\=A*иметьlHmimВоспользовавшись(»у—дт-LVкоравноda.vnAtотношениюусловиемСкоростьгдебудеточевидно,[иdiv*(га, х) +cos+r—малая(-?величина.у) +(п,cosv+?+w?¦)z) J Jo(га,cosГ+Ге,сре-каждойотношениюпообъемэтотобъемВ2.поверхностьюОс-—индивидуальныйвнешнююAt+tмоментвtмоментограниченныйвыберемсреды,точке119Гаусса—Остроградскогои=(8.11)120I.Гл.КонечныйобъемылыееслиvиповсемдляVвнутри(8.11)ровавразбиений,\VобъемV*деформируемойКинематиканихизнепрерывноV*таккаквлевой2*,нимчастисократятсяповерхностиРавенствонейипоповерхно"смежнымнормалейинтеграл2,всобойктольковнеш-поинтеграл,V.любойОчевидно,позамкну-этойограниченномуможнонаписатьвкоординат:\divvdx.=Ос-—(8.13s)vвнутрискоростькактрактоватьпо(8.12)системыvndoнепрерывныйпроизводныевзятогоРавенствовыбораотГауссатеоремуинтеграла,взятыйsимеющийиVииvдляполучитьнепрерыв-первые2поверхностинаАвекторможноГаус-формулунегоОстроградского:—ЕБолееР,Гауссатеоремутрехнепрерывныхх,у,z,\ [РcosПодаRQ,вданнойсистемеОстроградскогоидифференцируемых—любыекоординаткактрактоватьможнокомпонентынаписатьможнотривектора,дляР,функцийQ,любыхRотименно:(га,Q cos(«,х)+у) +винтеграламисправа,Vкактактого,величиныкак<8Л2)направленийпредставляет\саполучим?+?+?)*•останетсяобъему2независимомныечислепри0,-*-2.и(8.12)опреобразованиитроградскоготойповерхностиповерхностьювиде,V*=взятыепределевz)]da(га,coswинтегралы,противоположныхсилувпределвзяви-истямПросумми-ибесконечности,у) +x) -\- vcos(n,ма-(8.11),равенстводифференцируемо.икбесконечнонанаписатьсоставляющимстремящемся[ucos(n,разбитьможновсегдакаждогосредытакислева/tcosz)]doГауссаформулестоят(га,инвариантные,?=Остроградского—независящиеот8.§выборакартовойдругойсистемыСтоксасистемеГаусса—Остроградскогоикоординаткоординат,координат.системеТI,меТеоремы121Есливеличины.ихтоАизвестныониввычислитьлегкоименно,любойвпустьде-любойвсисте-ТKТJ,ААкэк,=пщэК;=тогдаиdrfгдесимволынымвышевычислитькоординаткТеперьвFjyКристоффеляформулампоформуламвычисляютсяданнойоттI, тJ, if).ОстроградскогосистемеГаусса—С Aknkdsкоторыйным.теоремыВдлядвумерных,Формула[=—механикевиин-временипокоординатэтаВыведемещенейшегоформулуприбытьприменяетсяобластей.дляполезнуюоднувекторногоимеетсяфункциятензором),ииотвременидальанализа,произвольнаябытьможегвы-произволь-частотеоремачетырехмерныхпространстваточексистемепространстваможетиПусть^онапод-(8.14)криволинейнойОстроградскогофизикетрехмерныхвзятогоотнаписатьVkA4x,измеренийчислочтообъемувижномуможносистемыможнопроизвольнойвЗаметим,Гауссадифференциропотеграла,(g.jvсправедливкоординат.ванияполучен-rfвиде:aводесогласнот]1, т]2,декартовойпространствевпреобразованиятеоремуследующемgaпо/зависящаяt.РассмотриминтегралI'if(x,погделастьотtV.объемуподвижномузависитинтегрированиянетолькоt)dxy,z,ВычислимподынтегральнаяV.Поопределениюпроизводнуюфункция,производнойноиоб-(см.122Гл.22)рис.можноt)dxy,z,\hm=ж,деформируемой/ (*.У,<frЛ*)+*г,У,-f-iг,VЛО+—/(ж,V—У,состоитэлементарныхиз(см.цилиндров22).рис.ихисреды=—объемкактакКинематиканаписатьf(z,}V(<)-^I.Atпри2'0 поверхность-*-/ (х,ПрименивОстроградского,z,tу,последнемук/ (х,-*¦(8.15)интегралуt).z,у,аГауссаформулу—получим±\Областьf{x,у,t)dxz,Vподвижна,зависитскоростейсv,равен-кинематическоеследующееверновсегдаестественно,и,поляот(8.16)dx.V.объематочкидвижутсяV,(/y{)]vинтегрированияОчевидно,[№r+=Vдифференцированиярезультаткоторым2,кстягиваетсяAt)+Atvndo=ство:где1естьвремениtПоэтомувпроизвольнойформулу+"^(8-18)производнойполнойвыражение1"=системе(8.16)можно/функцииоткоординат.записатьещеввидепо8.§ТеоремыПрименимСтокса(8.16)формулуVция/т.Ясно,нат.сплошнойотзависит(8.15),нияиобъем—чтоJ_,_среды.объемапеременногое.оназависитвсегдаПустьслучаю.»уОчевидно,тольковерно123частномук/гдеГаусса—ОстроградскогоиэтомвVt иотнеинтегрировазависиткинематическоефунк-случаеобласти—откоорди-тождество(8.16)поилиЭтоVбытьможеттождестводвижущейсятаксреды,(8.21)Применяянаписаноибесконечноккаклюбойдляdivгденодлясоввзятаvчтоэтосвойстваминематериальныхтойточке,равенствоквернокоторойдлядвижущейсясред,среды.напримерAV,объему1нем,части.маломуJ^div„(8.22)AV.стягиваетсяВполучим0,=любыхобъемавсегодляегосредчастности,фазовогоиПодчерк-никакнеонопространства.связа-верноиГАВАЛIIУравнение§ 1.ПерейдемловосновномВбудутрассматриватьсятел.МатериальнымисвойствомМассуи7?г,тактелачастимасссуммесохранениямассы;уравнениеразрывностине-механикитт-опытноприближении.определенномОднозаключаетсявчастей.ньютониан-законсохраненияобъема,JчтоуравнениеЭтотзаконзаконуравненийтом,изсостоящегоустановленный'иоднихможнотехрассмат-верныйприроды,всплошноймеханикилюбогодлявсе-телоиндивидуальногосреды.це-вмассаявляетсялюбогочастицтЭтотелавсегодляопределениюсоставляющихобъема,е-основныхизтела,характе--жериватьтоль-закономмассыЭйлеракаккаквсехт%скойпеременныхвдвиженияинерцииПотге.т.разде-называютсяСвойствоввестиегообъектов,последующихрядезаконыФундаментальнымЗаконплотность;втеламиможнолюбойдляравнатиэтоминерции.массой.ризуетсяломфизическихдвиженияполей.иматериальныхобладающиегоизучениюктелвСРЕДЫнеразрывностиматериальныхкоСПЛОШНОЙМЕХАНИКИУРАВНЕНИЯДИНАМИЧЕСКИЕИПОНЯТИЯДИНАМИЧЕСКИЕсредыобъемаиндивидуальногоconst.=записатьможноещевдругойформе,аименно:ВведемсреднююплотностьAmPepAVгдеределимобъем,—какA~v'массой"Am;занятыйследующийплотностьистиннуюоп-предел:AmВмеханикесматриваютсплошнойплотностьсредыр.почтиДляАпгвсегдас*-вместообъемамалогорД V;тмассыверноравенстворас-§для1.Уравнениеобъемаконечногоравенство—тгдеинтегралповзятобразом,ТакимПлотностьртакхраняться,дляобъемкакС=dx,рподвижномур,зная125неразрывностиобъему-индивидуальномунайтиможнот.индивидуальнойчастицычастицывоможетнеидвижениявремясо-можетме-няться.Законсохранениясредысплошноймассыможно,дляобъемаиндивидуальногоочевидно,теперьзаписатьвидевO.Применивправиловзятогопоподвижномусохранениябудеммассы,или,таккакуравнениеноситЭйлера.Условиясреды:массыномдругиевватомовв(8.22).характеристики,любомвпостояннымиНапример,объеме.спомощьюобъеме.объемаединицетгВведя=Птт=-,Nпостоянствеформулыв(8.22)любомчисло—индивидуальномпроизвольноминдивидуальномопредположенияиндиви-Nпустьv-oобъемесохраобъе-нрттпгпрттгтврттпнепосредственнопчртшттттпочевидно,среды.атомовпостоянноилиидвижениясплошнойилиNестьвремяобъемелекулваниитвомассакакиндивидуальногоформулыфизическиеизпере-втаклюбогоможноможно,получитьКромеЧастонеразрывностидляма>объемеостающиесядуальноммолекулA.3)уравнение,женяетсязначениясвоихраняющиеиндивидуальном0,=уравненияЭтовPdivt;+названиесо-индивиду-дифференциальноеосновноесплошнойвеличины,назаконалюбогодляпервое-|котороеинтеграла,соблюденияусловиисправедливополучиммеханикименных(8.16)прииметьравенствоэтообъема,альногодифференцированияобъему,A.2)мо-числоvосно-наиндивидуаль-получимдляп126Гл.I I.ДинамическиенонятияA.3)аналогичноеЕслидифференциальноесплошнойвСуществуютпроисходятвыполняется,объеме.Обозначимсохраняющуюсявеличинуlim-г-ггФи/длявыполняютсяфизикевоо,=которыесохраняютУравнениястиныхмысвободныхсмесьродаиДлясмесью.свою.

Характеристики

Список файлов книги