Том 1 (1050341), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Поэтомуобщемслучаетвердого^*рис.нали-всегдаслучаев(см.поиПоступательноетраектории,ностимоментвеличинеСледовательно,этомтелапа-данныйвпотраектории?твердогоПоступатель-телаимеютвна-которомперемещаетсяпоступательпрителе,втвердоготокаПостутелаприскорости.бойностями,установив-примеры.одинаковыениителапони-играетдвижение,движенииАгонетвердоговзятыйВсеном6.пропадает,притакоевремениправлениюдвижениевпараметрадвижениемотрезок,себе.самомуноетолькоC.3)инекоторыенательнымпрямолинейныйРис.C.2)траекторииизываетсялюбойC.3)иустановившихсяслучаечтоРассмотримитраекторийраллельноC.2)частиправыедвижений.совпадают.„„средыдифференцирование,проводитсяПпимепыдеформируемойлиниителабытьпроизволь-ными.Существуютлилинииторыхжепрямолинейноенапример,скоростью.Вдутася.Аналогичновращениясамотокателаугловойбудутвившихсясовпадатьдвижениях,точкесСледовательно,/ (ж1,скоторыхтечениемлиниивпопеинеустано-меняютсятолькослу-токатакихпривременисосислучаедругомскоростивсовпадатьданнойвеличине,нонаправлению.полейдругвпространствабудутобщембу-траекториинеустановившим-неподвижнойвокругВскоростью.ско-Возьмем,переменнойиконечно,траекторииителатактока,будет,движениелиниитраекториилиниидлятраекториями?ствердогокакслучаетвердогоременнойдвижения,неустановившиесясовпадаютдвижениеэтомпрямыми,чаенетакиевсетокаvхг,линии(х1,х3,х3)х2,t)—скалярнаяитокаvx=и/(х1,функциятраекторииж2,совпадаютх3,своихt)v(х1,х*Дх3),аргументов.дляпо-где§ 3.

СкалярныеСуществованиелинийвекторныеиполяДифференциальныекаC.2)токаипоставитьх1данномЖории(t)нихдлях\=частиивообщеединственнуюОсобыечерезговоря,линиюиточкахсямогутцентра,фокуса,седла,иметьпотокежидко-линийтокаточкаявляетсянабегающеговстречилиниявОчевидно,—const,gradбудетС/,которойточке/направленныйнормаликперпендикуляренвекторутельно,grad/-#=О,vскоростьдляповерхностьтокапотока,называетсяповерхностьназываетсяповерхностьПрилиниейпостроеннаяполякритока.являетсяЭтаАналогичновекторногонайтикоторойвлиниюнекаждойплоскости.тока.Какностью.провестиесливповерхность,касательнойповерхностьюпроизвольногоможнокрыла,(рис.7).точку/произвольнойдвекаждуюСэтом,образуетсяпрофилемсЧерезточкакрыла.по-наразветвляетсявойлежитнаточка—потокаXтокавКритическаяпрофиле7.На-точкойАкритическойпример,Рис.носятточек.критическихтокетипбытьидифференциаль-точкиуравненийныхточкаминихвузлаВсложными.названиестановятсяпересекаться.точкиособыеC.4)особымиявляютсяли-иОсобыеболеебесконеч-внарушать-могуттоканекото-вилиуравненийточкиединственности,теоремасти-нульвком-всечтотак,Xsх2,частиправыеможетнихоб-провестиобратятсяvxж1,уравненийВлиниислучитьсяточкетакиеитока.Такимможно.неопределенными,нийC.4)внепрерывны.скоростиройдифференциальныхимеетвсегдакогдаточкуможетпонентыэтихитео-тока.критическиеВ(t)общейизКошикаждуюОднакоточкиность.xlтогда,х1поза-прикоторыеизвестнозадачаслучаепроизводныеихотыс-задачуе.t),величиныКаквсякомворешение,т.(xl,заданныепараметр).уравнений,единственноеп^к™„в—C.4)IFx3t),обращаютсяпостоянный(tдифференциальныхправыеразом,(ж1,то-видевпереписатьКоши,задачух2решенийтакихлинийуравненияможноdx1кания43пх'характерйстикйи(ж1,векторнойж2,к/ (ж1,V,поверх-а;3)и,=const?ж3)ж2,следова-=44I.Гл.деформируемойКинематикае.т.dfМыдляопределенияОписанныйспособинтегрированияными,имеющихсемействавид(С_Tdvokh„тока,вектооныекриваяпроведенныхпотенциальныесовокуп-томы(х,t),у,линииВтока.случаетруб-построеннаяt)?z,вектор-градиентрассмотрелиТ.векторградиентаЕслиливидефтрубкуточкиеетрубки.зяченияу,самкогдазамкнутая,черезтемпературыте-z,такимпостроитьслучае,характеристикой).е.аналогичноВышефункцииф (х,в(т.образуетвекторнойназваниевекторноеполе.СполявекторногоПотенциальноее.называютсячтолишьтокатокапроизвольногоноситт.-трубкикауравненийВидно,ностьС,контурдифференциальныхможнорешениелиниейЕслиуканахож-кчерезхарактеристиками).являетсянесводитсяобыкновенныхобыкновенныхэтихтокапроизвод-частнымисинтегрированиепроходящихтока,единственноеконтурЭто3.5).системыслучаеобразому,построениялиний(решенияz).поверхностей/ (х,)•произ-частныхвуравнениег\qу\'уравненийинтегрированиюуравненийвобщем^dzфункцииспособвышезываетдениюdf,"•"~дудифференциальноеполучиливодныхdf.'дхксредыВозникаетнель-вопрос:скоростискалярнойфункциянекоторойтакаясуществуетвпредставитьvчтои~я—'~1)=—5ф<3ф'dzтополескоростейvназываетсяназываетсявекторноеполефункцияФА(х,(х,у,Согласноt)свойствамтенциалафconst=8правлению:v,=d(fjds.у,там,гуще;естьz,где+vфповслучаеравногопо-равногопо-vскоростипотенциалаотСоставимdxt).поверхностиповерхностипроекцияпроизводнаяиестьеслипотенциальным,скоростьбольшеифпроизвольноечтоgrad<D(a;,=расположенынаправлениеявляетсятакая,вектора-градиентаортогональнатеченийпотенциальныхt)z,у,z,функцияаАналогичноскорости.Атенциалапотенциальным,потенциаломналюбоена-этомувыражениеvdy-fwdz.C.6)§ 3.Необходимое„„„и.,_СкалярныеполявекторныеиЕслидостаточ-итечениепотенциальное,„„^^dxиВерноференциалом,dyv4-dxC.6)dcp.=диф-полнымявляетсядлячтодифференциалом,dudvdydxдолжны'играютпотенциальныхмеры„Поступательноеdwdzdxважнуюмыроль,течений.того,выполнять-скоростьюv=w0,=афпотенциалтак4-течениеобщемслучае+voyt.функциямиЗаметим,однойляютсявидаИсточникг?1тремя:—стокивсделатьлегкодваприДействительно,и=м0,этомфРассмотримпрост-t),v2wuo,v=vo,w0v0,Ситеченияt),t),z,у,(х,z,у,бытьчемпроще,опреде-общегодвиженияаv3(x,t).z,у,важныйодиндальней-длятечения.потенциальногопримерwovl=могутдвиженияешешегоранстве(х,долюбоево-вторых,потенциальныеz,у,очевидныхточностьюспотенциально.какфункцией(х,и0,='потенциальныетакпо-сислучаекоординатам,С;+можетлтеченияизучатьчтоэтомdzвсегдаWqZнепотенциальные,ВЭфпоступательного4-иох=течения".определяетсяпопоступательноепри-течениеЭфdyпотенциалпостояннойаддитивнойте-некоторыех.Отсюдаconst.по-как"'Во-первых,условиямипотенциальныечтоосиф,хи0='поступательноевдольи0dxравенdyдостаточнымипотенциальногоЭфвывода.dwdzрассмотримгслужитьстояннойdvувидим,покааПримеромгтечение'иДалеетечения.чениядинеобходимымиявляютсятенциальностифdzделе,равенствакоторыев-)—J-коорди-самомИзвестно,потенциально.полным(поВф.dv-I—=-=-выражениетечениебылоу,-Д-=еслитоC.6)dzwобратное:ичтобыся4-х,бу-C.6)тодифференциаломz) функцииполнымнатам45характеристикиихПустьггдеповерхностямислучаецентромкляютсяэтим~\[хг=у24-z2,4-aповерхностигначалевсферам,лучами,т.Q=const=координат.е.направленавыходящимиconst,Qилифпотенциаларавногое.т.vрадиусам.изЯсно,начала=gradчтовявляютсяэтомсферыконцентрическиеСкоростьпоQ (t).=const=фЛиниикоординат.сортогональнатокаявПусть-Гл.Q ^>v0;И.тогда,такнаправленаgradкакВеличинаСкоростьстремитсяQ ^>0нульф)имеем=тосторонунаправленаvнулюгпри->г—приПрикритическими.координатначалаизжидкостивовсехд<оQ>0Течения8.тоф,побесконечностикиооявляютсявытеканиеРис.роста-т-Ч".=-jp-бесконечностьив0,равнакТочки0.—>средынаправленскорости(gradгфQ <^Еслит.по8).(рис.деформируемойКинематикаисточникаточечныхотстокаивпространстве.направленияхэто—ственнымПричалокоординатнойточкеимеемасток,Вычислимчерезобъем(vможновынестисферы).поверхностивсегда,рыкогдаS.vобразом,ногорадиуса(стока).снесмотряцентромвпотенциалезаQv—называетсяединицу=Заметим,(r) ичтотакпервыенакто,C.7)черезилисфе-поверхностиотскоростижидкости,сферу.такуюисточникаТа-раз-разные,объемомкаждуюмощностьюг.сферахразныхявляетсянавернызависиткоординатначалефвременирасходомнаconst=равенстванечтоvкакдважидкостивсферуортогональнаvвQ=интеграла,знакцентромвремениединицузавсю4яг?увременисгdaчереза\ doединицузасферыобъемQпостояннаяпротекающейv=ВычисленныйкимВеличиназаdoудален-радиусаda,на-источник.некоторогоэлементвбесконечновслучае—vvжидкостипротекающейSжидкости\втекание—первомжидкости,объемпротекает0второмвосферыЧерезповерхностькоординат.началеВсток.—Q <^простран-точечнымназываетсятечениеисточником.4.§QЕслиconst,=Qеслиность;Q (t)QполеизменяетсяQнениявначалескоростейвовсемнаиметьместаэтомулизацией,котораятельностьтолькожидкостисВоможетбольшоймногихслабыхм]сек.Элементы§ 4.тензорногоМногиевеличинтакойжидкостьюраспространениясплошнойскалярвекторописанияскалярныхнедоста-ивекторныхсплошнойдвиженияис-тензо-являютсятожеОднихимеютсредытензорногоосновыипростыми.длятечениячторассмотримчтонаиболеенорами,действи-отражатьскоростьдвиженияпоэтомуЗаметим,числения.Поидеа-исчисленияхарактеристикиприроду,тензорнуюдол-возмущений.считать,которой1450возмущенийхорошорассматриваютсяраспространениявВозмущенияопределеннойкогдавода,измеконеч-что,скоростью.являетсяможнослучаяхнапример,является,Сигналыскоростей,конечнойслучае,скоростьюмо-мгновеннотополедостаточнотомвнекоторыйвкоординат,пространстве.всеммощ-постояннуюдействительности.вполеимеетЕслинекоторойскоростейсраспространятьсярассмотренноежныстокпеременную.меняется47исчисленияилито—сказываютсяможетнено,сразутензорногоисточникто=времениментЭлементысредыточно.Системаестькоординатныетрисистемыкоординат.разделевыборбытьтическойсистемыкоорди-РассмотримрИИLнеобходимыепреобразованиягсведениякоординат.гнарядусистемаестьмякактI,системамитI,координатрассматриватьсительнот]а,стJ,Пусть»Пустьисистемыотносительнот]3.т}3естьсоответствиеможнодвижениязаконы?',?2,между?¦с,*,с,*,координатсистемойтео-из1^г^^матема-виднаограничениянедолжнызаконов.этихПреобразованиеОникоординат.выбораявленокоординаты,системыизвестныенакладываетзаписиисследователем,изучаемогоотсодержатьотносительноинвариантнымичтонат,этомвг\3.г\2,тI,илинеавыборасистемыилисистемырассмотрениевмогутот?3исследователя,движениякоординатные?3,координатсистемы?2,?*,вводитсязависетьдолжныкоошшнатобозначенияотбыть?4, ?2,какой-нибудьещечис-пространстваточкемогутилибуквамизависитЗаконыния.х3,х2,длявоспользуемсякоординатСистемаеекаждойкоординатж1,наблюдателяПоэтомуотсчетаилинии.сопутствующейлинииВЭтопространства.точкамимеждусоответствиеустанавливаеткоординатилами?3,такиэтимиотно-дву-48Гл.называемоепреобразованиемнепрерывныеОниI.Будемгруппу.относительноdt1-тг^г—искатьБудемD.1)dr\lрассматриватькоординат.соотношения,непрерывныхгруппыПопреобразований.ныхпреобразованияоднозначныеобразуютсредыкоординат.взаимноантныедеформируемойКинематикаинваривзаимнооднознач-имеем-sV+dxf-fdrf,-~D.2)илиul?=?Ldvi,/погде2,3,идетчтосуммированиебудетне3,1 доотдальнейшемвD.2')aпробегаетiуказываться,1,значениябудетноподразу-меваться.Итак,вблизилюбойdt,*координатноточки,нейнойвВведем(Издальнейшеговнизуиа\)точкиточкеследует,D.2)i,индекс,ИзвзаимнойD.2)написатьА=можно=точ-вверхуиВеличиныА,соответствуетоднозначностиравныйе.т.41матрицустроке,следует,матрицыеедетерминанту| а]: | =?=разрешить0.ТаккакотносительноA=j= 0,авторой,якобианчто| а*: |то?—отличенлинейныеdrf/,соотинарядусформулы?*}.<#.Введемданнойвматрицуеестолбцу.преобразования,ношенияли-являетсяважны.)весьмаиндексовифункциямиD.2)dtIиндексоврасстановкачтонаписанияпервыйнуля,dt,1обозначения:порядокприращенийсвязьикоординатIотпостоянны,ониприращенийобразуютгдеестьд&/дг\>'являютсяПроизводныезаданнойсвязьюке.даннойdr\l.иD.3)4.§Элементытензорного49исчислениягдеМатрицыАВиОниваний.введеныединичнойдляпрямогообратны,взаимнообратногоие.т.ихпреобразоравняетсяпроизведениеДействительно,матрице.ноО?*,кактак?3,?2,какДальшединатами.будемит]1,тK,г\2,единичнаянезависимымиОк,приiприi=f=k.=0выше0001чтовчислетомбытьвернымат-детерминант.базиса?*,??, ^3 и?* + d^1»объектвведениио??,бесконечноS2 +^S2,векторов?3близкую?3 +drейd?3(рис.=MM',введе-?3М9).altсМ'точкуВведемситочекбазисаможетпространством,»точкурассмотримчетырех-изложенияполнотыупотребляемых?2,?',илирадитребуютнеПространствокиваниявопросисреды.рассужденияТеперьтрехпро-га-мерногодвумерногосплошнойпространствомметрикой.дляпроведенылюбогодлямеханикеприводимыепространства.чтоиодномерного,вметрикинеметрическимсложнойвесьмабылионивстречающихсяЗаметим,новый1рассуждениянопространства,нияторимкоординат0Очевидно,матрица.Приведенныемерногостранства,мерного,vкоор-КронекераВрицыВектооыгФк,являются10—прик,=символами{1=ИмеемЕiпользоваться.Jcгдеприэ2,координатамизренияВэ3.координатамисврассмотрениеподчерпов-системе?*»50Гл.т.е.I.бесконечнопаруленномблизкихчертежеМ'.иНарядуобъектdrсопределяетсявведемккгдек0,^>некоторое—иdr,координатныелинииопреде-визобразимиегокоординатамитолькодругойD.4)dr,kdr<^наdr,понаправленкеслирассмотримивзятыхрассмотрениевобъектчисло;противоположноМ'',иточек),паруММ'стрелкой;МточексредыМточек(упорядоченнуюпорядкенадеформируемойКинематика0.ПроведемнихточкиеслиМточкиизNt,NltN3,сРис.9.базисаВекторысоответственноопределяемыеdt},координатобъектыобъектыеа,эз.приращениямиdt?,илиdrобъектуD.4),поилиоднойтолькоАналогичноdt,s.илиMNSMN2,MNVэ\,к(полагаяизвведем=дгобщемdrслучаеdrdt,1,@,г;1,0, 1)ипроизвольно,направленсоответственно.g2,й^вг=dt,3dt?,базисавекторыкоординатпопоопределе-написатьможноПричемнаправленыонилиниям.координатнымкВниюбазиса;вектораминазовеммыкоторыекасательнымэх,э3d?*92+d?э3.dr.компонентаминазываютсяэ2,t?+системыкоординатимеютвсегдаВекторы?*,компонентыбазисаможноZ,2, ??A, 0, 0),ввестиОчевидно,всистеме@,как1, 0),вси-г4.§стеме?4,координатВЭлементыу]3всистемеda*=и51исчисленияивэ3'а2',э\,черезтаккоординатвекторыОбозначимразными.т]3,?3,?3,системахразныхтензорногосистемевтI,координатоднойбазисатойивжесистеметK.т]2,будутониточкет]1,координатtj1,координатт]3 будемт]2,иметьОчевидно,drкомпонентычтовыбораприа}==—г-—-,5тKчтоВ,наИнвариантностьрасположениеQ2,отно-сиче-Stj^имеем/D.0)связьD.6)матрицеА.вdrеrfTj,8j=D.6).)випомощьюсвнима-относительноинвариантенкоординат.образованийD.6)обратитьпо(НеобходимоD.5)D.5)согласноdr—индексовQ3.Вг•b].=пределе,самом-dкакСледовательно,соответствующейпереходесистемысистемыпреобразований0ковариантныхвариантвыхиконтра-системобратными.иконтравариантныедругой;коварИантными#drчтовекторыприинвариантноонокоординат.базисакомпонентамПодчеркнем,именяетсянепреобразующиесявекторамсякомпонентыкВеличины,аналогичноравариантными.ковариантныечерезкоординаткоординатновеличинахзующиесяdrвыражениеоднойототносительноноL,1,старой,преобразуютсяэ.drбазисат]3,выраженыi.э,а.,.компонентыакоординаттакт]2,b.'jdQ1.=Объектпреобразованиисительнот]1,а*:иD.3)А,обратнойdrSg1базисавекторыматрицыматрицыниеотвоспользоваться=согласноdr\помощьюа;бытьвdtdrdrdrЗаметим,зависяткоторыхдостаточнобазисавекторовкомпонентбазисаэтого'са.помощьюновой,вмогутвекторырезэ7-Э\координатстемеДляопределениемсбазисавекторыdrкомпонентДлябазисавекторыформулы,Получимвекторовбазисаикоординат.системыПреобразованиеиdy\dj.аналогич-э{попреобразования,величины,D.6),поВеличины,D.5),называют-преобра-называютсяконт-образующиеявляютсявзаим-rvГл.ОпределениеI.деформируемойКинематикаТеперьвекторапоА,АА1компонентыегоиdr:ОбъектА,инвариантный,называетсяЪ\\А\=какпреобра-координатdr,ипреобразова-относительноА'э}==А"ъ,D.7)вектором.Инвариантностьстьюпреобразованийбазисаэ,.ВекторыэффициентыприточкифункциямиА можетВекторкуюразложениемкоординат.новыйкомпонентнихносителямиD.7)вМ.любуювекторычерезD.7),гдеА.векторВозникаетпроизведенияазисавекторовты^быпозволилилами,ТакиеобъектыможновзятьЕьви,Е-,э2э3,чис-Е$э3э2,=объектытакиезаEsпо-вектор,координат?частности,эъэх,=эг,объек-управляячемсложные,преобразованийввести,Ее=кромели,э.,создаютибазисныеподобноотносительно=э2э2,А1нельзяболеесистемыотзависяткакие-нибудьещеможноопределяетсячисламиКОТОрЫе]ввестиинвариантныенятия,А1вопрос:ещеввестифизичес-иливсегдауправляютэгчисловымислучаеон(функции)числабазиса—геометрическуюбазисако-вектора,общемвбазисавекторовикаждогоявляютсяиметьвзаимообратно-А1вектораявляютсяВекторыобъектобеспечиваетсяАвектораноприроду,Полиадные=рассмотретьТГ*где(i2,.

Характеристики

Список файлов книги