Том 1 (1050341), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

/g.иё'. |"исуммированиеявляютсядеформацийзоров=&,е*4=выраженияхследовательно,и,е,'n]guотношенияравныпоследнихсреды,_де.евя?.существуетdrvнаправленияразныеимеюте.т.=f=»,ноef,Уста/-ивдольвзятогоиметь—dsg,dfj2lds1,=E.24)откуда2S,ds21—-^.=E.25)АналогичноЛ?2J52._284^2,=E.26)и2е>^1-1.ИзиE.25)соотношенийизнихлегкожеиE.27)E.27),вполучить,частности,чтоё.видно,=f= evчтоо2егт.е.найтиУстановимискомуюещеудлинениивнаправлениях1=~1+28.связьсвязь=главных1+28.%-E.28)v',компонентглавныхЩтензоровкоэффициентамимеждуиотносительныхосейLds.=ds——ds~~.01.2i-иглав-Ш-§ 5.нымикомпонентамиТеориядеформаций73E.25)Издеформаций.тензоровследуеть-/т=щ-1ианалогичноE.27)изФормулыE.29)деформациидеформаций<5-29>E.30)иверныбесконечножеШ%итожE.29)изкомпонентымалыE.30)иЕслидеформаций.конечныхдлямалы,послетензороврядвразложенияполучим1гт.коэффициентые.осейсглавнымикомпонентамипространстве,такЩцийёЩивудлиненийдеформациймалыхглавныминыхглав-определенияXВосяхглавныхСIXЕслиDetвзятьКорнигг,е2,еслие'| ,итакпомощьюкомпо-Радикрат-нейподподра"| %blj—e'jlrматрицувидимеет00—ех0%0е2—егоXотносительно0Л,-8,10приравнятьинулю,уравнениетоочевидно,мы,E.31)виде,развернутомвили,дело,С*кубическоеполучимсглавныебудемипараметр,| ХЬ\—матрицатензоровпропадает.матрицувозьмемматрицукакзумеватьдеформа-деформаций.тензорачисловойнекоторый—актуальномразницанайтиможнонентыкаквспособ,напомнимкостигдеПоэтомудеформациймалыхкотороготензоракомпонентЩтензорапространстве.ТеперьСпособглавныхсовпадаюткомпонентамибесконечнослучаевдольдеформацийтензораси«начальном»вeiT=относительныхбесконечнослучаеве4=Х3XvX2,е3соответствующегоE.31)этогобудутуравнениятензорасоставленовглавнойкомпонентамиглавнымидеформаций.системеобстоитТактI,t)s,т]3.74I.Гл.ВозьмемI1,?2,ние|3гI,отностипроизвольную,нейвиформуламсогласноипонентмытензораоткудапреобразованияDetС*Det=С,ком-следовательно,уравне-ЕслиесливместоE.32)ег,-визвестно,тридействительныхнияE.31)являютсякоординат,главнымиe'j,какh=/3=всегдаимеетвековогоуравне-преобразованиядеформаций.1г, /2,корнями,т.Is:иDC?e2g3E.33)2I elj IDe,t==е.E.31)Раскрывая1+компонентглавныхопределенияданнойвсоставитьтензоровсистемескоэффициентамидлятензораE.32)уравнениеуравнением;оноопределяютсяfcг.;корнивековымотносительно'корниУравнениее..корниКоэффициентыfc3Гполучимтотензорадляе^авздляёг:-,полностьюС2eje2следуетвековое~)—fc]^-—идеформа-тензоровилиформулы^координатполучимтензораполучимИтак,тоонизначениями1системыстоятхарактеристическимсимметричногокорня.инвариантамидлктакe'jвзятьE.32)компонентывместоназываетсякак0=главныеопределяютций.мацийраз-смешанныхи,выбораотносительновсегда5.32),каккомпонентамиявляютсяилиинвариантноE.32)С,матрицыЩ,и|М*,-е«|егокоординатпреобразова-Рассмотримполучимчтовидно,E.31)ниеКомпонентыбтензоровдвухтензора,?3.|2,системуС.матрицу?',ксредыглавную,несоставимгKгJ,компонентдеформируемойКинематикаI1,координатE.33)дефор?2,найтии?3егокорни.Д,выражаютсяочевидно,ё2,ё15е.сШтензорадляа/3/2,Тх,Инварианты/2> /3,иё3,ё.и,поскольку/.=е.иВпоE.28)иОE.33)оI.поэтомуи/2,ОинвариантыГлавные=f=IrилегконайтиАi3у2,/.малойследующуюслучае/15 /2,/3,—черезкомпонентыинвариантыВсовпадают.через«^У15абесконечноI\обозначать/3;е3,е2,=^= ё.,случаеI.инварианты1г,evдругом,сдругсвязаныинвариантамие\формациичерезё.черезбудемЩсвязаныдеформацииконечнойсвязьде-между§ 5./.инвариантамидеформацийТеория75/.:иE.34)InКоэффициент-i~л6160631=3=32кубическогоИзучиврасширения^иобъемоввнайдемдеформациизораугольныйdV0определяетсяемусоответствуетdslfкубическогоds2,ребрамиdV0сформулойпрямоугольныйds3иdVобъемомс8E.26)9аE.33)по/A=dVQ8враллелепипедовчтопокажем,расширенияОнравенdVQ.вблизиВследуетэффициентмалыхкубическогоформулойотточкивслучаедеформациймалых=тензораможнорасширения.коэффициентпервоначальноголюбыхконечныхизE.36)малыхдеформаций.E.37)или8ii~8ii.инвариантдеформацийпа-координат.E.35)формыизменениюотносительномупервыйпригодноеэлементарныхдлясистемезависитформулаобразом,9определенныйданной6,длякоординат.криволинейнойнеха-геометрическаяввестилюбойE.37)1.выражениедает6~/1ТакимбесконечноE.36)1,-8/3-+системыбесконечнослучае,„вид2е3)A +инвариантнаяможнопутемобъемаобъемовизмененияпридать4/2+E.37)любойиспользованиикубическогоребрамикоэффициентом(<-A + 2е2)какФормулаАналогичнымНижедвижениисdV0—можноYl+2lx=определенарактеристика.припрямообъемеговид—Величина2k)+ds03,ПриотносительногоE.35)равенствуэлементарныйds02,параллелепипедНазовемвеличинуfiСогласно=ds1dsids3.—расширенияобъема:ds01,ds01ds02ds03.тен-осяхглавныхвсостоянииначальномвпараллелепипедсо-элементар-соответствиеВозьмемсостояниях.этихэлементов«начальном»иаКТуальномвстояниях,ныхлинейныхсоответствиеjsдеформацийрассматриватьслучаевкакко-76I.Гл.ВычислениеОбратимсякомпонентдеформацийтензорапомуизвестно-поei3-движениязаконух\известной\метрикеgtjчтоЕслисредывдеформацийх1,приксистемыотсостоянияКовариантныеE.39).сопутствующейсистемеположе-начальногодлях3.х2,параметрсоответствуеткоординатсистемевE.38)E.39)системыпреобразованиеформуламиопределяетсях\, х\, х],каксостоянието0,t0)сопутствующейотtQ,х\наблюдателяпространстварассматриваетсялагранжевойктензораделяютсяt0),начальноемоментнаблюдателяtвремякоординат\ х\t),х1=Подчеркнем,преобразованиинаблюдателя.ниютом,окомпонен-деформацийтензоратывопросукковариантныеопределятьl\исредытеперькакдвижениязаковудеформируемойКинематикакомпонентысистемеопре-координатравенствамигдеg.jметрика—пространстваактуальногоТаксистеме.сопутствующейвкактодх<гдх1>и,следовательно,сопутствующейвifгде§^метрикепространствасказатьничегослучаяхкоdzpjd^,1производныеснавлиятьниюпереходгдеL_E.39),определенсостояниясистемыотсистемывтоI1, ?2,наблюдателялагранжевойимеемдх™]д\попределеныможетонаизE.39).чтослучаевводитьсявразныхОдна-соображений.физическихметрическоговыбораЕслиизсостояния»какЗаметим,в общемE.38).определены«начальногоразличныхкомпонентыпосредствомdxqdxv(такнельзя,помощьюкоординатсистеме§тензора?3ввсежеможносостоянии».«начальномкtjсостоя-начальномусистеменачальногоо§ 5.НаЩформулоснованиисопутствующейотE.40)наблюдателянаткомпонентсопутствующейвбудемсистеме,иегоВэтом§ц,гг0гдеж1,х%,гиXs—однойижеСпомощьюбазисовсплошнойсредыtВекторлегкосиотсчетавначальныйсоответственно.перемещения.можно54э;деформацийитензоракомпонентпоE.41)E.41)системымомент12.12):(рис.гога,МточкиданныйвРис.векторами+г0=евклидовой.являетсяперемещенияотносительнорадиусы-векторыитойtQвременимоментgy,векторсо-осуществлятьсяреальнометрикаиввестиначальноекогдаможеткакможноE.38).изслучай,стояниеметрикаслучаенарядукоорди-системеdwiопределеныРассмотримперемещенияекторвиметьдЪ,т]дхппроизводныетензоранаблюдателя,системекg™где77преобразованиясистемыформуламисдеформацийТеорияееустановитьпомощьюПродифференцировавгц.междусвязьнаписатьформулыдляE.41)получимдг0дгооткуда~,илиЭг=Э{E.42)—поэтомудго78I.Гл.деформируемойКинематикасредыdwdwdw.dwСледовательно,dwdw1dwdwГ dwdw[E.43)ФормулыОотносительныеМыдифференцированииегоитольковек-койишентпоI1,перемещенияполучилиточекмещениявектораустановить,какпроизводныеототпроизводныетаккакплоскости.э2кахпо—тораэхпостоянноготочкахнаккасательнымплоскостициине13),будутиэ2векторабудутбудутплоскостирис.лучам,по—т.е.равныпроизводныеАивонаправлениюпонулю.будутрадиусотпереходепринекомпонентточкименяется,гдолжнарав-?1иуголгначалапоакоординат,Вconst.=?аивекторыср,следующимнаправленыизкегоиКоординатамибудутвыходящимокружностямнаправленыАнанаправленияразными(см.,А.вектораочевидно,нятьсяипокакплоскостиплоскостиотнулю.плоскостинатаксамомполярнуюпостоянноготочкахбазисаэхвообщеВнапример,полекточкибазиса.векторыпроизводная,системаопределяютоткоординатточкеonstнепереходевозьмем,Векторобразом:черезменяются,ивсехнавекторакомпонентприсистемурассмотримвеличине,координатчерезецнеобходимоэтогопространстваделе,ПолярнаявыражениядеформацийДляпере-векторотговоря,13.среды.компонентчерезпроизводнаяточкеРис.сплошнойподучимw.вектора,1отха-которыекомпонент.самого/*=^3,длятензоравыражаетсяегообычныеОчевидно,изменения?2,е.,-перемещенийвыражениипроизводныеТеперЬwкомпоненткомпонентыввыражениядеформацийтензорако-криволинейныхчтопервыекоординатамwnoрактеризуютторавходятг^перемещениявекторавообщевыбореIs.

Заметим,I2,I1,компонентдлялюбомприверныкоординатлагранжевыхE.43)E.43)viточ-разныхиразному,эхиэ2точкинапример,постоянноговпроекразныхВжвек-С§ 5.ВдекартовойсистемегъбазисныекаксяdВкомпонентиегоиОчевидно,т]1,поэтомуизменяют-несистемебазисасобойобозначимиэ3-производнаяхарактеризую-чтоРазложимкоординат.системыбазисуэтогокомпонентыраз-Г^символами^f=rU.ВеличиныГизываютсяНижеE.45)E.45)функциямиявляютсямыкоэффициентамиподробно.илиГивеличиныизучимE.44)равенствогI,координатКристоффелясимволаминости.эгнаписатьнужнопринять,вектор,можнокриволинейнойположенияк=owпредставляетсвойствавекторГJ,иопределениюпотакжеэтотэ3криволинейнойrf векторыпроизвольнойdwщийj,координатпеременны,тен-векторовдэи/дг\1;ГТЭЬ__—1,э2~эхдифферен-цированиезоровсвойствади>"Эк)\%г,точке.кКовариантноек—r-(W\векторыточкиот79координатdwтакдеформацийТеорияг|3гJ,ина-связ-НаоснованиивидпринимаетOWВторойчлениндексовможносуммукпоксуммированияПоменяем/.и/на/инейвнак.ТогданаписатьdwdwКоэффициентыимеютриантнымиторасобойпредставляетобозначенияпри/dw'fcэк,е.т.-_^_обозначениеспециальноег»Т*{+уги>*;онисиндексамидвумяназываютсякомпонентконтравариантныхпроизводными,ковавек-w:Vго"=^-г+^Г«.E.47)80I.Гл.УстановимВ декартовойт.Г#е.деформируемойКинематикасвойстваVi*-системе0,=ковариантнаяВсовпадаетt},Тогдапустькоординат.тактакобразуются,какковариантныепредставляетсобойвидно,мычто,производнойкомпонентыновая,—гKтJ,старая—3tfдгообъект,инвариантныйwтензора.т]1,авектора.объект;инвариантныйdiv/difтокомпонентынопопре-§ПоэтомуE.46)NE.47)иимеемТе.являетсянентамивместоДействительно,тензорногоИздифференцироватьпреобразованияковариантнойзаконаопределенияковариантныевпроизводныеновойсистемеидляпроизводнойскаляраотd/drfпроизводнойзнакподвыражениекомпонен-являютсянееслиихбудетг)» нужнопочимдшк/дг\гподставитьSJtwK-производныековариантныепроизводныекомпо-смешаннымиранга,второгоявляютсячтотензора.wHтамиVi=тензоромкоторогоЗаметим,тообразуютt,3??,Тт.=0,дэк/дх1какобычнойспроизводныеделе,dwитаккоординате.поКовариантныесистемы=х*),dwkdwkкпроизводнаявекторасамом(ц1координатимеем_компонентсредыдцк/д&,dw^jdrf.мыинеполучтоочевидно,совпадаютфкоординатсобычнымипроизводнымидго_4Топределяютскалярногомырассмотрелиивектор,поляф.которыйподробноОпределимантныхЭтоттензора.вектором-градиентомхарактеристикуявляетсякаквекторполявыше.контравари-производнуюковариантнуютеперькомпонентдт1гВозьмемдляконкретноститензорф§ 5.Нрангавтороговторой/, аигдесуммепоI81проведемивычислениеобозначенияпоменяемтретьейвдеформацийН'нэ}эк—образом:ВоIТеорияк,жтогдаследующиминдексовсуммированияполучимопределению^спроизводнойковариантнойназываетсяпоненттензоратензоромвторогорангаНрангаком-контравариантныхЛегкоН.рангавтороговвестиможновчтовидеть,тензорысвязитретьегоформуламподНтiTTik_шлаилиОчевидно,чтоможноотконтравариантныхИзопределенияпокомпонентамотныхясно,(еековариантнаячтокомпонентконтравариантныхсуммеравнапроизводнуюранга.линейностипроизводнаяковариант-производных:что+произведений(г^ы;*).ковариантноготензора,вДляwk)=+ссовпадаетобычномсмысле.необходимоэтогоVjir*.какпроизведенийдифференцировавычислитьтребуетсяправиломПустьвоспользоватьсядифференцированиятакV^*дифференцированияправилосмыслековариантномнияпонентлюбогопроизводнойковариантнойПокажем,угразличны.ковариантнуютензоровкомпонентV4 (vkввообщеТъпостроитьвектора)суммыТ2,Тх,тензорыАналогичноправиломком-контравариантныхпроизведенияviw*,какизвестноиз82Гл.предыдущегоранга.I.(§4Итак,КинематикаI ),гл.'чтоинобудетвариантнымиовычислитьдэ'/дц\егослучаепоэ*.такВГи—эwiпространств=-E.48)•вектором;иразловболееобщемформулаЦгэ\E.49)ДляКристоффеля.символыранее-TTбудетпространствавернаевклидовавведенные+дЭ]/дц1,икакжеE.49)справедливоститановленияуспроиз-скалярноевозьмемведениеипродифференцируемэтопространства,В последнейI =;;поэтомупосуммеко-и-';-э'-ЛifiгдеаТогда=случаеримановыхвконтравариантными,не=Т~Т-"ТТОчевидно,произве-Пустьwжиманалогичсмыследифференцированиизаданкомпонентами.требуется-Совершенноковариантномковариантномвекторdwивторогочленов.вопроскогдаЛ/Г5+утверждение.числаслучае,тензораv'w'r!,+впроизвольноготомЩ^±=средыкомпонентамидифференцироватьсяРассмотримвявляютсятребуемоедоказываетдениедеформируемойвсехточкахг|»:координатеотличенвоверноеравенство,отнулятолькототчлен,вкотором§ 5.Очевидно,счтоформулаэтаE.49)учетомТеория9w^_заменына/нуюсуммеwkTji—ковариантныхАналогичноопределяетковариантнуюковариантнуюлюбогоЗаметим,/суммированияпроизводнуюкова-оттензора.V4u^чтопроизвод-вектора:ввестикомпонентсмешаннымииндексовкомпонентможнориантныхккг'\ дцгw'{отE.48)получимдцгВыражение^последнейвкаФормула..дцгdrfк,E.49).вид~~После83равносильнаприметdwнадеформацийявляютсяковариантными,тогоиодногокомпонентамиVtw;aже—второготензорарангаТОтсюдаисебяgij,следует,несмотрякомпонентычтоониивноситьVjU?'итогожеViwh,какзаrf,gljвестидолжныкакменяярезультата,Действительно,V{.знакмеждукомпонентамиразличнымииодногосвязь:существуеттензора,неговоря,выноситьмеждутензорагJ,тI,дифференцированиюИначевеличины.можнометрическогоотзависятковариантномукотношениюпоw^aVэчтотонапостоянныеих^=УУ=Е*Ъи>к,E.50)нои,следовательно,Vi(g''4t)т.еслие.\ig'k=вместоj0.АналогичноE.50)=?'*?!«>»,чтополучится,взятьy.wk=ghjVtw\авместоE.51)84I.Гл.СвойстваОстановимсяКристоф-символовФелядеформируемойКинематикатеперьевклидовомсложныедаются,иихСимволылибозаданиявидно,онивВнижнимсвойболеевычисляются,пространза-апространства.какого-чтоодномвитомженулю,равныкомпонентычтомогут.Кристоффелясимволысимме-индексам:¦iПокажемнепространствепонеОчевидно,нуля.отсуществуютримановыкоординатобладатьевклидовомтричнытого,системеотличнысвойствомтакимизметрическомкомпонентаминапример,декартовойкриволинейнойвтензораопределениеявляютсянеЭтоввычисле-выяснимчтоиливходитКристоффелятензора.пространствеаевклидовыКристоффелясимволыспособвиЗаметим,чемпространства,которыхвства,овопросепространствеКристоффеля.символовстванаКристоффелясимволовниисредыВэто.x—jk•пространствеевклидовом(тI,градиус-векторfcjif)гJ,^=ЕЭ)**а=-^-,^=существуетвсегдадг/дц\=E.52)откудаформулыДадимпоВозьмемиизсоотношениенегополучимдаSgiианалогичноСложивэтиКристоффеляволовиg.тензораметрическогоКристоффелясимволоввычислениядлякомпонентамтем,чтодваравенстваипонижнимсимметриейвоспользовавшисьиндексам,равенствомсим-E.52)§ 5.деформацийТеория85получимСвернувc-~-gsi,соотношениепоследнеетребуемыеполучимформулы:ЬМ&ВыражениетензораформацийвектораЦ16НИЯщенияпогопереме-тензорадеформацийвектораперемещения.базисукомпонентодного=wkalswМожноввестиидвасортатакввестиэтомувектораwkе.т.w,идва&к:игикэк.=производных:ковариантныхVmPL=~переме-эосоответственножеполу-компонентыт-.актуальномупотогоичерезВекторкакиикомпонентывыражающиеразложитьа.E.43)формулекчимможноE.53)теперьформулы,компо-начальномусортаВернемсяде-черезненты^&)E.54)ИПерваяизковариантныхпространстве,gn,автораяпоE.43),получимменяярезультата,Воспользовавшисьможно,тем,небудемпроизводной,АналогичносвичтопонейвE.54)Подставимgi3-.начальномвычисляютсяпространстве,вычисляютсяравенствовычисляетсяКристоффелясимволыактуальномв—ней^О.ООуЭк.jWпроизводныхвиКристоффеляV=г—метрическогокомпонентывводитьподзнаксимволывпервоетензораковариантнойиметьE.55)помощьюравенствавторогоиE.43)можнополучитье4,-=-тг[Viwi+^iwi—Viw]tViW/c].E.57)86ВГл.I.бесконечнослучаемалыхотбрасыванияОчевидно,чтоtf Я'VA)+декартовойсистемекомпонентамикоординат\ds2НИИdslисуществованииСОВМеСТНОСТИwследовательно,функцияминымиформуламE.56)перемещениятаксуществует,тогда,каксредыприпред-рассмотримГ^,Кристоффелякакизвестно,какого-либокомпонентамитрехмерномвсемидвадцатикомпонентамиссвязаныeXjкогдасплошнойявляютсяизжена-толькотогда,е.Поэтомутензора,экстенсивтемпространства.Символыобразуютстоффеляпокоторыет.пространству.ПКРистоффеНлИяЯпроизволькаксуществоватьсостояниянетаки,про-|3выражаютсячерезI1, ?3, ?3.

Характеристики

Список файлов книги