Том 1 (1050341), страница 21
Текст из файла (страница 21)
.dar,=специальныйоднойдлятензорысуммынезависимыхЗаметим,"агвкоординаты—базисадальнейшем1, 2,какрассматриватьтолькох3х2,На'полисистемыковариантногоподразумеваетсязначенияЗгх1,черезвидевHпробегающимибазисакачествекоординатнойвекторы—рангаэ3.всоот-различнымирассматриватьПустьпространстве.э2,э1?ввводитьвзятьбудемдальнейшемвтрехмерномможнобазисамногообразии-пространстве.некоторомсистемыкомпонентамиможновекторовизрассматри-выбораотбазисвсегдачастности,вкомпо-иможнотензорыскалярнымиТензорныйпроизведениярассматриваматрицнезависимыеопределяютсябазисе.способами,известно,объекты,инвариантныекоторыекоординат,ветствующемобобщенияхфункцииэтихвполиномиальныепонятия.какадныеОднакоранга).второголисьвIДобавлениеметрическихсточкамиформукомпо-матрицавек-Нелинейныебазисаторыэгтального?арэаээ=Жонглирование(Ь)gix9a.=ДляразличныхФормулуфундамен-Кронекера).оимвол—компонентig'.gijпомощипри439формулыверныбрЭаЭ0=индексамиществляетсявдтензора?а/зэаээ—эгформуламиопределяютсяметрическогоUфункциитензорныеA.2)тензоровA.1)можноосу-представитьвидеksгдескаляры,предполагать,р <^—всегдачтоно,ПустьIfaЗг.компонентыодниминезависимы.выбораотфункциямижебудемОчевид-Дальшег.ранганезависимотемиитензорылинейноHsНтензораявляютсядинатнекоторыетензоры—sчтосистемыкоорткомпоненттен-зоровTxЦелыечислари1\,средиЕслитензоровмулаизкоторыхтензорнымитензоровITsA.3),рттензормогутТхможнотокоторойсистемыТензорыопераций:зорныхТктензоровлюбымпотензорныхможноранговтензораТскТ*Тензорперестановкинезависимыхбудетфор-вернасовместныхотин-другихотзаданныхтензоракСвертываниеиTi}:'1женазываетсясилу21тен-свертываналичиясредиумножениерангкоторогоиндексампонижаетсверткасне-суммеравенрангтен-данногоб{б]пкомпонентамипри-компонентамиrpikil.
.изомероминдексовв8срангадвухпомощиприочевиднаятензорнасредиОперацияпоУмножениетогоТкНеопределенноед.тензору,когдад.возможнавсегдаприводитфункции,тензоровсвертывания.иrp^ikjl. .рациюлинейнотензорныеизиндексамТ*постоянные,Н.иНтензорстроитькомпонентамитензорутакоп-ТензорыТт..
.,общемПог.функциитолькосодержитсяумноженияаргументовтензоровсомножителей.21 единиц.насколькихтакиеТкдвумравныТ1гвозможно,и,нетензоразависятВТх.иаргументов.толькоИsksA.4)тензоровЗгдляслучаескалярырассмотреныаргументовтензорных1,. .,Ш).=составитьэтомвскалярныхНиже(ХопределяютрангиpmсобоймеждуразличныЯфункциейтензоровбытькакпеременные,тензорнойаргументами. .,г,рангаввариантовдополнительнозораводит. .,назовемявляютсянияpvчисласлучаеределениюlflx1"'*'*9ai. .9apx=Т.тензорамощносвестикТакимумножениюобразом,опенафунда-440Добавлениементальныйныйтензоркакетсяспособырацийумножения2°.ГрA*1"*?еслиитипыHs(s=потребуется1,Hsизсвертокр). .,будетГруппычерезматрицнымдлякомпонентыG,симметрииGравенствавыполняютсяЛегкоследуетесличто2)осимметриикоизвсехизосногоДляг)Длязаписяхтов2)группыбудетлюбымстроениемобразующихгово-можновсехинвариантностиком-егопреобразований,образуетАтензораАДляA&)=f='•?элементов'¦,тензора=преобразованияивто-тензораА,GАатрехэллипсоидомгруппы.
.,преоб-совмещенийявляется1,со-симметриигруппагруппойматрицvгдетоль-произвольногоэллипсоидя,v»тен-состоятьможетсимметричногостензорныйвместоотноситель-симметриигруппусовпадаетнумерацияпростотыа1'-обпроизвольногосимметрииЕслискоординат,иАтензорапреобразованийтождественногоэллипсоида.вАусловияизG.элементов:инверсии.группарангатоортогональна,тензорапреобразования.(несимметричного,рангадвухразованиярогосимметрииB-2)компонентортогональныхинвариантен,некоторогоАтензорГруппаGкомпонентгруппытождественногостоитэквивалент-ga^y=группаконтравариантныхтензораСовокупностьвторогоgi}ортогональныхдляотносительнозорапре-матрицыговоря,удовлетворяютпреобразованийПоэтомупростокоторыхА.антность8<*а\;а!±,=относительноG.группучтогруппинвариантностьиндексовнофундаментальныйдопускаетИначеортогональныхпроверить,инвариантностиобпонентB.1)которыеgi,ритьсисте-заданнуюуравненийсистемамB.1)опе-тензоров.ортогональными.образованийаргументыпомощипригруппыпреобразований,длянезави-тензорныеосуществлятьсягруппукоординатвсехA.3)видаКонтравариантныедопускаютназываютсяд,называ-линейноопределяющихпреобразованияизформулAU~t'=A't""'a\.
.a\.тензорполучентожестроитьтешоров.Акаждойдляобщихэтогосимметриитензораматриц*)мойДлябазисбазисатензорныйПостроениетензор,индексов,построенияфункций.A.4).определениюнесколькихТ.тензорадаютсятензорныхсимыйПосверткам.перестановокизомеромНижекирезультатIопускается,числуравнотакэлемен-G.ЕслигруппакомпонентGнетензоратоортогональна,АсдругимизравенствастроениемB.1)индексов,неследуетигНелинейныевращения,второгогональнойимеетрангаРассмотримGm(?!,рииНсовокупности{ТъТт). .,чтотого,изтензоровгруппыбудетG;симметрииисвертываниягрупплеевысокойЕсликомпонентытензора,группыполученногоможногруппуGтаблицыработахдляНтензорG,нечетногоимеетсамыйобщийЕслитензорНсостоит0случаеформулеявляютсялюбогоцентрацииA.3)т.иОбозначимтов[9»10]товследует,нентсистемыПо:•:.-Qltинвариантычислотензорйя.
.,Тъ. .,ksполучитьвобщемэтомслучаеТг,инвариантовТт..кон-бытьмогутсовместныхсистемуИзполноты/,имеетместообразованногофункциональнаясвоепреобразованийпомощьюинварианинвариан-системысохраняютлюбыхсвпеременными.—QtдляЗг,температуры,совместныхТт,=вид.тензоровТт.изимеемгринвариантовполную. .,инвариантыкомпонентимеемобщийинвариантаТг,можногтольконечетномкоэффициентыдругиевсегдапреоб-состоящейчетномприGсимметриитождественного(например,извсякогоопределениюгруппасамыйНекоторыетензоровфункцийтослучаеприскаляровдлячтосистемы| .!йякд.).симмет-тривиальнуюэтомсимметрии,совместныхпараметрами,черезтензоровеготоимеетданныхпостояннымивэлементов:0;=рангаскалярныефункциямичисласоот-преобразования,преобразования,рчетноготензорВДляследовательно,и,ранга,двухгруппыизтождественногои=мереинверсии.ир[13>14»3^],толькоЗг;—числогвид.четногокрайнейпорЗг.чемрангадопускаетслагаемыхнезависимыхлинейноменьше,групптождественногоизподгруппу.числотокристаллическихрангасостоящуюG,характеровитекстур[13>14>18].бо-обладатьзаданноготеориипересечениемсможетвообщетензорадлягруппаумножениякакA.3)помощипривиинвариантчтосовпадатьпересечениесимметрииформулеврвычислитьЕслиидопускаетбудутилиэтосодержитикомпонентоперациибудеттензорследуетэтоочевидно,результатобразосиммет-преобразованийтакжеэтимтензоровгруппыветствующиеданырииИсG,чтофункциямисвязитензоров,слагаемыхгруппулинейноНВчерезG;являютсякаксимметриейзаданнойразованияинверсииНG.составляющихИвидеть,относительнонесколькихтензорНетруднотензорапоэтомунезависимыхДляНтензорасимметрииГруппагруппойсимметрииинвариантныкоторыеназываетсягруппуд.обозначими.
.,Тт.. .,ортотензорсимметрии.допускатькомпонентыТvотносительноныТг,тензоровтензорполнойсфундаментальныйТтиТ±,Glt. .,Gm,групппересечениемкакжетензоровгруппыихсоответственно. .,ваннаятакнесколькоШаровойсовпадающуюсимметрии,вращений,группойбесконечной.будетсимметриигруппугруппато441функцииТензорныеоперацийизкомпосвязьзначениеикоординат,тензорногосвой442умноженияоднородныеВОднакоразованийкоординат,преобразованияхВеличиныны.кокомпонентоттензоровТъзоровТу-!,. .,чтовидно,Тх,G*.A.3)величиныобразом,функциямибудутизкоординатфункциитолькоИнвариантыбазиса.выбореособоещиебудутприемыЛинейнуювычисленияобщихдругихпомощилинейнорииHSiтензоровтензорадвавиямтойгруппойжеПустьВтензорурядеибылиВприобщемслучаеможновы-неG2ЭилиG3каквлинейно.2тензорыGp.Н8гисиммет-группыпротивномпротиворечитслучаеусло-однойинезависимыми.симметрии[1в].илиобладающиетензоры,бытьгруппаЭпро-Ннтензорычтовыгоднонеилидетерминантовтаксоответствуетиустанавливатьсоображенийчастности,совпадают,могутобщиесоответствующиеможнопропорциональны,удобноЭHsопределяю-заданныечерезортогональныонибысимметрии,НGiбазисомй..независимыеиВОднакослучаевчтобыНsметодов.HSlсимметрии.ихрациональногоинвариантывозможноеслинезависимы,этиобразом,основаниипомощиприприкакфункциональнопримерах.тензоровгеометрическихсоответствующихнезависимостьверкойцелогоинвариантоввсегдананапреобразованийрациональнымтензоровTm.
.,выявленыпосредственногруп-способами.построениеTvтензорыформулеврассматриватьнезависимыеразличнымиФактическоеksтолькопеременныеимеюттонзоровотносительноможноцелымсистемытен-Оче-компонентинвариантамстоль-компоненткоординат.квсовпадаютФункциональнолюбыхотприменениивеличиныполнойзначениеинварианты.толькоинвариантыок.со.подходящемПриэтихприинвариант-зависящиекоэффициентыаналогичныco?ВеличиныкакТтсог,функциикакQ..G*так. .,вы-преоб-всехотносительноинвариантныегруппыинвариантовG*,Т„,некоторыекаксог.рассматриватьможноТакимотбудутнедляилиТтпреобразования.
.,сводятсятензоровравенствавообщетензоровинвариантнычтозависятневсе2TV_1. .,пыбудутЯсно,Тч,некоординат.заданныхйгвернывыполнятьсягруппойвсехвообщесо;будутравенстваэтикомпонентыпреобразованийхгбудут. .,компонентоткоординатравенстваопределенныхэтиТт,••-,инвариантытолькокоординатсистемахдругихполняться.Tv,этогоТт.Тт. .,тензорами.конечнуюдопускаеттензоровПослесистемевпричемтензорыТт.
.,компонентхг.функциями. .,TV_1(Тх,Тч,параметрическимиG*.являющимисяTlfТт. .,Тч,тензоровкоординатсо.,Тг,тензоровзначениясобойпредставляюттензоровпостояннымисимметриисистемеинвариантыкомпонентампосредичтоЗафиксируемвслучае[9>10]полиномыгруппукэтомвсверток,иПредположим,A <^ v ^ та) являютсясовокупностьПустьбирать1ДобавлениеHsGs.выбиратьтакимНелинейныеОчевидно,Нх,что.
.,HQтолькоq-Свзять443q линейнотензоровпервыхможнофундаментальногоотЕ:рангакачествеввсегдафункциитензорныертензоранезависимыхилидтензоровНъHq,. .,дотизависящихтензоратретьегоB.3)ЭтисобственнойсоответствуюттензорыгрангаДлялитературырангаравноизтензоровмаксимальноеИзотропныегруппы.известныхорошоизотропныхчислоqбудет11ВсеНг,10i30].ранга991Я""""'Числособойстогруппы,обращаютсяг3=Наличиеq.Формулысимметриипомощиприсоответствующимсимых1Т1имеемЕи,операцийтолькоqслегкои1.=рсоответствующейполучитьсохранениемчислаговоря,наличиемтолькоформулполныхизилисс3.>гнекоторойвообщесимметрированияиндексамдляотносительнофункцийвсегдаинвариантвращениягруппыфункциигчислотензорыортогональнойранга,уменьшает,индексамЕсли0.